高中数学 阶段质量检测(五)统计案例 苏教版选修2-3-苏教版高二选修2-3数学试题

阶段质量检测（五）统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知回归方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^
＝3，且样本点的中心为(1,2)，则回归直线方程为( )
A.y ^＝x ＋3
B.y ^
＝－2x ＋3 C.y ^＝－x ＋3 D.y ^
＝x －3
解析：选C 因为回归方程一定经过样本点的中心，所以只需将样本点的中心坐标代入方程，用待定系数法求出即可．
2．每一吨铸铁成本y (元)与铸件废品率x %建立的回归方程y ^
＝56＋8x ，下列说法正确的是( )
A ．废品率每增加1%，成本每吨增加64元
B ．废品率每增加1%，成本每吨增加8%
C ．废品率每增加1%，成本每吨增加8元
D ．如果废品率增加1%，则每吨成本为56元
解析：选C 根据回归方程知y 是关于x 的单调增函数，并且由系数知x 每增加一个单位，y 平均增加8个单位．
3．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x 1 2 3 4 用水量y
4.5
4
3
2.5
由散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是y ^＝－0.7x ＋a ^，则a ^
等于( )
A ．10.5
B ．5.15
C ．5.2
D ．5.25
解析：选D 样本点的中心为(2.5,3.5)，将其代入线性回归方程可解得a ^
＝5.25. 4．下表显示出样本中变量y 随变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能是( )
x 4 5 6 7 8 9 10 y
14
18
19
20
23
25
28
A
C ．指数函数模型
D ．对数函数模型
解析：选A 画出散点图(图略)可以得到这些样本点在某一条直线上或该直线附近，故最可能是线性函数模型．
5．试验测得四组(x ，y )的值为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，则y 与x 之间的回归直线方程为( )
A.y ^＝x ＋1
B. y ^
＝x ＋2 C.y ^＝2x ＋1 D.y ^
＝x －1
解析：选A 由题意发现，(x ，y )的四组值均满足y ^＝x ＋1，故y ^
＝x ＋1为回归直线方程． 6．下列说法中，错误说法的个数是( )
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变； ②回归方程y ^＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y ^
平均增加5个单位； ③线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
必过样本点的中心(x ，y )；
④在一个2×2列联表中，若χ2
的观测值k ＝13.079，则有99.9%以上的把握认为这两个变量之间有关系．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B 数据的方差与加了什么样的常数无关，故①正确；对于回归方程y ^
＝3－5x ，变量x 增加1个单位时，y ^平均减少5个单位，故②错误；易知③正确；若k ＝13.079>10.828，则有99.9%以上的把握认为这两个变量之间有关系，故④正确．
7．根据一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的散点图分析存在线性相关关系，求得其回归方程y ^
＝0.85x －85.7，则在样本点(165,57)处的残差为( )
A ．54.55
B ．2.45
C ．3.45
D ．111.55
解析：选B 把x ＝165代入y ^
＝0.85x －85.7，得y ＝0.85×165－85.7＝54.55，故残差为57－54.55＝2.45.
8．某高校《统计》课程的教师随机给出了选修该课程的一些情况，具体数据如下：
χ2
>3.841，所以可以判断选修该课程与性别有关．那么这种判断出错的可能性不超过( )
A ．5%
B ．95%
C ．1%
D ．99%
解析：选A 若χ2
>3.841，说明在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为选修该课程与性别有关，也就是选修该课程与性别有关出错的可能性不超过5%.
9．为考察数学成绩与物理成绩的关系，某老师在高二随机抽取了300名学生，得到下面的列联表：
A ．0.5%
B ．1%
C ．2%
D ．5%
解析：选D 由表中数据代入公式得χ2
的观测值 χ2
＝300×(37×143－85×35)2
122×178×72×228
≈4.514>3.841，
所以有95%以上的把握认为数学成绩与物理成绩有关，因此，判断的出错率不超过5%. 10．已知x 与y 之间的几组数据如下表所示.
假设根据上表数据所得回归方程为y ＝b x ＋a ，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.b ^>b ′，a ^
<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′ D.b ^<b ′，a ^
<a ′
解析：选C 由题意可得，b ′＝2，a ′＝－2，x ＝72，y ＝136
.由公式b ^
＝
∑i ＝1
6
(x i －x )(y i －y
)
∑i ＝1
6
(x i －x
)
2
求得b ^＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13
，∴b ^<b ′，a ^
>a ′.
11．假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其2×2
列联表如下：
( ) A ．a ＝9，b ＝8，c ＝7，d ＝6 B ．a ＝9，b ＝7，c ＝6，d ＝8 C ．a ＝8，b ＝6，c ＝9，d ＝7 D ．a ＝6，b ＝7，c ＝8，d ＝9
解析：选B 对于同一样本，|ad －bc |越大，说明X 与Y 之间的关系越强，故检验知选B.
12．两个分类变量X 和Y, 值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}, 其样本频数分别是a ＝10, b ＝21, c ＋d ＝35. 若X 与Y 有关系的可信程度不小于97.5%, 则c 等于( )
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
解析：选A 列2×2列联表如下：
故K 2
的观测值k ＝31×35×(10＋c )(56－c )≥5.024. 把选项A, B, C, D 代入验证可知
选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上) 13．已知高三某学生的高考成绩y (分)与高三期间有效复习时间x (天)正相关，且回归方程是y ^
＝3x ＋50，若期望他高考达到500分，则他的有效复习时间应不低于________天．
解析：本题主要考查运用线性回归方程来预测变量的取值．当y ^
＝500时，易得x ＝500－50
3
＝150. 答案：150
14．若一组观测值(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )之间满足y i ＝bx i ＋a ＋e i (i ＝1,2，…，
n )，若e i 恒为0，则r 2为________．
解析：e i 恒为0，说明随机误差总为0，于是y i ＝y ^，故r 2
＝1. 答案：1
15．欲知作者的性别是否与读者的性别有关，某出版公司派工作人员到各书店随机调查了500位买书的顾客，结果如下表所示.
________．(填“有关”或“无关”)
解析：由公式得χ2
＝500×(142×133－122×103)2
264×236×245×255
≈5.131>5.024，所以在犯错误的概
率不超过0.025的前提下作者的性别与读者的性别有关．
答案：有关
16．已知x ，y 之间的一组数据如下表，对于表中数据，甲、乙两同学给出的拟合直线分别为l 1：y ＝13x ＋1与l 2：y ＝12x ＋1
2，利用最小二乘法判断拟合程度更好的直线是
______________.
解析：用y ＝1
3
x ＋1作为拟合直线时，所得y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：
S 1＝⎝
⎛⎭
⎪⎫
1－432＋(2－2)2＋(3－3)2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
4－1032＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
5－113
2＝73.用y ＝12x ＋12
作为拟合直线时，所得
y 的实际值与y 的估计值的差的平方和为：S 2＝(1－1)2＋(2－2)2＋⎝
⎛
⎭
⎪⎫
3－722＋(4－4)2＋⎝
⎛⎭
⎪⎫
5－92
2
＝12
. 因为S 2<S 1，故用直线l 2：y ＝12x ＋1
2，拟合程度更好．
答案：y ＝12x ＋1
2
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算
步骤)
17．(本小题满分10分)对某校小学生进行心理障碍测试得如下列联表：(其中焦虑、说
谎、懒惰都是心理障碍)
解：对于上述三种心理障碍分别构造三个随机变量χ2
1，χ2
2，χ2
3， 由表中数据可得
χ21
＝110×(5×60－25×20)2
30×80×25×85
≈0.863，
χ22
＝110×(10×70－20×10)2
30×80×20×90
≈6.366，
χ23
＝110×(15×30－15×50)2
30×80×65×45
≈1.410.
因为χ2
2的值最大，所以说谎与性别关系最大．
18．(本小题满分12分)某房地产公司有6名产品推销员，其中5名推销员的工作年限与年推销金额的数据如表：
(1)求这5 (2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的推销金额．
解：(1)设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由题表数据得x ＝6，y ＝3.4，则b ^
＝
∑i ＝1
5
(x i －x )(y i －y
)∑i ＝1
5
(x i －x
)
2
＝
10
20
＝0.5，a ^＝y －b ^
x ＝0.4. 所以这5名推销员的年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^
＝0.5x ＋0.4. (2)当x ＝11时，y ^
＝0.5×11＋0.4＝5.9.
所以估计第6名推销员的年推销金额为5.9百万元．
19．(本小题满分12分)淘宝网卖家在某商品的所有买家中，随机选择男女买家各50位进行调查，他们的评分等级如下：
(2)规定：评分等级在[0,3]为不满意该商品，在(3,5]为满意该商品．完成下列2×2列联表，并帮助卖家判断能否95%的把握的认为是否满意该商品与性别有关系.
解：(1)20种选法，其中恰有1人为男性的共有C 1
12C 1
8＝96种选法，
所以所求概率P ＝96190＝48
95.
(2)2×2列联表如下：
假设H 0由公式得χ2
＝100×(32×30－20×18)
2
50×50×52×48
≈5.769>3.841，
所以能95%的把握认为是否满意该商品与性别有关．
20．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[21.7,22.3](单位：cm)之间，把零件尺寸在[21.9,22.1)的记为一等品，尺寸在[21.8,21.9)∪[22.1,22.2)的记为二等品，尺寸在[21.7,21.8)∪[22.2,22.3]的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：
(1)根据上述数据完成下列2×2列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？
甲工艺乙工艺总计
一等品
非一等品
总计
附：
P(χ2≥k0)0.100.050.01
k0 2.706 3.841 6.635
χ2＝n(ad2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
(2)以上述各种产品的频率作为各种产品发生的概率，若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，你认为以后该工厂应该选择哪种工艺生产该种零件？请说明理由．
解：(1)2×2列联表如下：
甲工艺乙工艺总计
一等品5060110
非一等品504090
总计100100200
K2＝200×(
110×90×100×100
≈2.02<2.706，所以没有理由认为选择不同的工艺与生产
出一等品有关．
(2)由题知运用甲工艺生产单件产品的利润X的分布列为
X的数学期望为E(X)24，X的方差为V(X)＝(30－24)2×0.5＋(20－24)2×0.3＋(15－24)2×0.2＝39.
乙工艺生产单件产品的利润Y的分布列为
Y的数学期望为E(Y)，
Y的方差为V(Y)＝(30－24.5)2×0.6＋(20－24.5)2×0.1＋(15－24.5)2×0.3＝47.25.
由上述结果可以看出V(X)<V(Y)，即甲工艺波动小，虽然E(X)<E(Y)，但相差不大，所以以后应选择甲工艺．
21．(本小题满分12分)某区卫生部门成立了调查小组，调查常吃零食与患龋齿的关系，对该区六年级的800名学生进行检查，按患龋齿和不患龋齿分类，得汇总数据：不常吃零食且不患龋齿的学生有60名，常吃零食但不患龋齿的学生有100名，不常吃零食但患龋齿的学生有140名．
(1)完成下列2×2列联表，并分析能否在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区的学生常吃零食与患龋齿有关系？
(2)4
负责数据处理．求工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组的概率．解：(1)由题意可得列联表如下所示.
因为K2的观测值k＝
≈16.667>10.828，
160×640×200×600
所以能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为该区的学生常吃零食与患龋齿有关系．
(2)设其他工作人员为丙和丁，4人分组的所有情况有：
收集数据组：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁；
相应的处理数据组：丙丁；乙丁；乙丙；甲丁；甲丙；甲乙．共有6种情况． 记事件A 为“工作人员甲分到负责收集数据组，工作人员乙分到负责数据处理组”， 则满足条件的情况有：甲丙收集数据，乙丁处理数据或 甲丁收集数据，乙丙处理数据，共2种情况． 所以P (A )＝26＝1
3
.
22．(本小题满分12分)某市为了对学生的数理(数学与物理)学习能力进行分析，从10 000名学生中随机抽出100位学生的数理综合学习能力等级分数(6分制)作为样本，分数频数分布如下表： 等级得分 (0,1] (1,2] (2,3] (3,4] (4,5] (5,6] 人数 3
17
30
30
17
3
(1)如果以能力等级分数大于4分作为良好的标准，从样本中任意抽取2名学生，求恰有1名学生为良好的概率．
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间(1,2]的中点值为1.5)作为代表：
①据此，计算这100名学生数理学习能力等级分数的期望μ及标准差σ(精确到0.1)； ②若总体服从正态分布，以样本估计总体，估计该市这10 000名学生中数理学习能力等级在(1.9,4.1)X 围内的人数．
(3)从这10 000名学生中任意抽取5名同学，他们数学与物理单科学习能力等级分数如下表：
x (数学学习能力) 2 3 4 5 6 y (物理学习能力)
1.5
3
4.5
5
6
①请画出上表数据的散点图；
②请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^
(附参考数据：129≈11.4)．
解：(1)样本中学生为良好的人数为20人．故从样本中任意抽取2名学生，则仅有1名学生为良好的概率为C 1
20×C 1
80C 2100＝32
99
.
word 11 / 11 (2)①总体数据的期望约为：μ＝0.5×0.03＋1.5×0.17＋2.5×0.30＋3.5×0.30＋
4.5×0.17＋
5.5×0.03＝3.0，
标准差σ＝[(0.5－3)2×0.03＋(1.5－3)2×0.17＋(2.5－3)2×0.3＋(3.5－3)2
×0.3
＋(4.5－3)2×0.17＋(5.5－3)2×0.03]12
＝ 1.29≈1.1， ②由于μ＝3，σ＝1.1
当x ∈(1.9,4.1)时，即x ∈(μ－σ，μ＋σ)，
故数理学习能力等级分数在(1.9,4.1)X 围中的概率约为0.682 7.
数理习能力等级分数在(1.9,4.1)X 围中的学生的人数约为10 000×0.682 7＝6 827人．
(3)①数据的散点图如图：
②设线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则x ＝4，y ＝4.
b ^＝
∑i ＝15
(x i －x )(y i －y
)∑i ＝15
(x i －x
)2
＝1.1，a ^＝y －b ^x ＝－0.4. 故回归直线方程为y ^＝1.1x －0.4.。