吉县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

吉县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 设x ∈R ，则x ＞2的一个必要不充分条件是（ ） A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞3 D ．x ＜3
2． 下列关系正确的是（ ）
A ．1∉{0，1}
B ．1∈{0，1}
C ．1⊆{0，1}
D ．{1}∈{0，1}
3． 执行如图所示的程序框图，若输出的结果是，则循环体的判断框内①处应填（ ）
A ．11？
B ．12？
C ．13？
D ．14？
4． 已知命题“p ：∃x ＞0，lnx ＜x ”，则￢p 为（ ）
A ．∃x ≤0，lnx ≥x
B ．∀x ＞0，lnx ≥x
C ．∃x ≤0，lnx ＜x
D ．∀x ＞0，lnx ＜x
5． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x 6． 设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b ⊥m ，则“α⊥β”是“a ⊥b ”的（ ） A ．必要不充分条件
B ．充分不必要条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
7． 实数x ，y 满足不等式组，则下列点中不能使u=2x+y 取得最大值的是（ ）
A ．（1，1）
B ．（0，3）
C ．（，2）
D ．（，0）
8． 函数
的定义域是（ ）
A ．[0，+∞）
B ．[1，+∞）
C ．（0，+∞）
D ．（1，+∞）
9． 设a ，b ∈R 且a+b=3，b ＞0，则当+
取得最小值时，实数a 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
或 D ．3
10．函数f （x ）=Asin （ωx+θ）（A ＞0，ω＞0）的部分图象如图所示，则f （）的值为（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．
11．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
12．函数f （x ）=
的定义域为（ ）
A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
B ．（﹣2，1）
C ．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）
D ．（1，2）
二、填空题
13．S n =
+
+…+
= ．
14．已知f （x ）=，则f[f （0）]= ．
15．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若6a=4b=3c ，则cosB= ．
16．已知x ，y 满足条件，则函数z=﹣2x+y 的最大值是 ．
17．二面角α﹣l ﹣β内一点P 到平面α，β和棱l 的距离之比为1：：2，则这个二面角的平面角是 度．
18．已知双曲线
的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．
三、解答题
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；
（2）设1AP =，AD =P ABD -的体积4
V =
，求A 到平面PBC 的距离.
111]
20．设定义在（0，+∞）上的函数f （x ）=ax++b （a ＞0）
（Ⅰ）求f （x ）的最小值；
（Ⅱ）若曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=，求a ，b 的值．
21．已知曲线y=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0）上的一个最高点的坐标为（，），由此点到相邻最低点
间的曲线与x 轴交于点（π，0），φ∈（﹣，）．
（1）求这条曲线的函数解析式； （2）写出函数的单调区间．
22．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．
（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；
（Ⅱ）设b n =（n ∈N *
），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞
成立的最小正整数n ．
23．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>），点3(1,)2在椭圆C 上，且椭圆C 的离心率为12．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的右焦点F 的直线与椭圆C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆C 的右顶点，直线PA ，QA 分别
交直线：4x =于M 、N 两点，求证：FM FN ⊥．
24．已知命题p：不等式|x﹣1|＞m﹣1的解集为R，命题q：f（x）=﹣（5﹣2m）x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
吉县第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1．【答案】A
【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是，
x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件，
x＞3是x＞2的充分条件，
x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．
2．【答案】B
【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
3．【答案】C
【解析】解：由已知可得该程序的功能是计算并输出S=+++…+=的值，
若输出的结果是，
则最后一次执行累加的k值为12，
则退出循环时的k值为13，
故退出循环的条件应为：k≥13？，
故选：C
【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．
4．【答案】B
【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“p：∃x＞0，lnx＜x”，则￢p为∀x＞0，lnx≥x．
故选：B．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．
5． 【答案】A 【解析】
试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 6． 【答案】B
【解析】解：∵b ⊥m ，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a ⊥b 成立， 若a ⊥b ，则α⊥β不一定成立， 故“α⊥β”是“a ⊥b ”的充分不必要条件， 故选：B ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．
7． 【答案】 D
【解析】解：由题意作出其平面区域，
将u=2x+y 化为y=﹣2x+u ，u 相当于直线y=﹣2x+u 的纵截距， 故由图象可知，
使u=2x+y 取得最大值的点在直线y=3﹣2x 上且在阴影区域内，
故（1，1），（0，3），（，2）成立，
而点（，0）在直线y=3﹣2x 上但不在阴影区域内，
故不成立；
故选D ．
【点评】本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，注意点在阴影区域内；属于中档题．8．【答案】A
【解析】解：由题意得：2x﹣1≥0，即2x≥1=20，
因为2＞1，所以指数函数y=2x为增函数，则x≥0．
所以函数的定义域为[0，+∞）
故选A
【点评】本题为一道基础题，要求学生会根据二次根式的定义及指数函数的增减性求函数的定义域．
9． 【答案】C
【解析】解：∵a+b=3，b ＞0， ∴b=3﹣a ＞0，∴a ＜3，且a ≠0．
①当0＜a ＜3时， +
=
=
+
=f （a ），
f ′（a ）=+
=，
当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当
时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调递
减．
∴当a=时， +取得最小值．
②当a ＜0时， +
=﹣（）=﹣（
+）=f （a ），
f ′（a ）=﹣
=﹣
，
当时，f ′（a ）＞0，此时函数f （a ）单调递增；当
时，f ′（a ）＜0，此时函数f （a ）单调
递减．
∴当a=﹣时， +
取得最小值．
综上可得：当a=或时，
+
取得最小值．
故选：C ．
【点评】本题考查了导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
10．【答案】C
【解析】解：由图象可得A=，
=
﹣（﹣
），解得T=π，ω=
=2．
再由五点法作图可得2×（﹣）+θ=﹣π，解得：θ=﹣
，
故f （x ）=sin （2x ﹣），
故f （
）=
sin （
﹣
）=
sin
=
，
故选：C ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+θ）的部分图象求函数的解析式，属于中档题．
11．【答案】A
【解析】
12．【答案】D
【解析】解：由题意得：，
解得：1＜x＜2，
故选：D．
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：∵==（﹣），
∴S n=++…+
=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）
=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．
14．【答案】1．
【解析】解：f（0）=0﹣1=﹣1，
f[f（0）]=f（﹣1）=2﹣1=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了分段函数的简单应用．
15．【答案】．
【解析】解：在△ABC中，∵6a=4b=3c
∴b=，c=2a，
由余弦定理可得cosB===．
故答案为：．
【点评】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，用a表示b，c是解决问题的关键，属于基础题．16．【答案】4．
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时，
直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
17．【答案】75度．
【解析】解：点P 可能在二面角α﹣l ﹣β内部，也可能在外部，应区别处理．当点P 在二面角α﹣l ﹣β的内部
时，如图，A 、C 、B 、P 四点共面，∠ACB 为二面角的平面角，
由题设条件，点P 到α，β和棱l 的距离之比为1：：2可求∠ACP=30°，∠BCP=45°，∴∠ACB=75°．
故答案为：75． 【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查分类讨论的数学思想，正确找出二面角的平面角是关
键．
18．【答案】 4 ．
【解析】解：∵双曲线
的渐近线方程为 y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，∴ =2，m=4，
故答案为4．
【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为 y=x ，是解题
的关键．
三、解答题
19．【答案】（1）证明见解析；（2. 【解析】
试
题解析：（1）设BD 和AC 交于点O ，连接EO ，因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以//EO PB ，EO ⊂且平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，所以//PB 平面AEC .
（2）136V PA AB AD AB =
=，由V =
，可得32AB =，作A H P B ⊥交PB 于H .由题设知BC ⊥平面PAB ，所以BC AH ⊥，故AH ⊥平面PBC ，又313
PA AB AH PB ==
，所以A 到平面PBC 的距离为
.1 考点：1、棱锥的体积公式；2、直线与平面平行的判定定理. 20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）f （x ）=ax+
+b ≥2
+b=b+2
当且仅当ax=1（x=）时，f （x ）的最小值为b+2
（Ⅱ）由题意，曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=，可得：
f （1）=，∴a++b=①
f'（x ）=a ﹣
，∴f ′（1）=a ﹣=②
由①②得：a=2，b=﹣1
21．【答案】
【解析】解：（1）由题意可得A=，
=
﹣
，求得ω=．
再根据最高点的坐标为（
，
），可得sin （×+φ）=
，即sin （×
+φ）=1 ①．
再根据由此最高点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点（π，0），可得得sin （×
+φ）=0，即sin （
+φ）
=0 ②，
由①②求得φ=，故曲线的解析式为y=sin （x+）．
（2）对于函数y=sin （x+），令2k π﹣≤+
≤2k π+
，求得4k π﹣
≤x ≤4k π+
，
可得函数的增区间为[4k π﹣，4k π+]，k ∈Z ．
令2k π+
≤+
≤2k π+
，求得4k π+≤x ≤4k π+，
可得函数的减区间为[4k π+
，4k π+
]，k ∈Z ．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin （ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由特殊点求出φ的值，正弦函数的单调性，属于中档题．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ
）因为
=+1（n ≥2），
所以是首项为1，公差为1的等差数列，…
则
=1+（n ﹣1）1=n ，…
从而S n =n 2
．…
当n=1时，a 1=S 1=1，
当n ＞1时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2
=2n ﹣1．
因为a 1=1也符合上式， 所以a n =2n ﹣1．… （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n
=
=
=
，…
所以b 1+b 2+…+b n
=
=
=
，…
由
，解得n ＞12．…
所以使不等式成立的最小正整数为13．…
【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想
23．【答案】（１） 22
143
x y +=；（２）证明见解析． 【解析】
试题分析： （１）由题中条件要得两个等式，再由椭圆中c b a ,,的等式关系可得b a ,的值，求得椭圆的方程；（２）可设直线P Q 的方程，联立椭圆方程，由根与系数的关系得122634m y y m -+=
+，12
29
34
y y m -=+，得直线PA l ，直线QA l ，求得点 M 、N 坐标，利用0=⋅FN FM 得FM FN ⊥．
试题解析： （1）由题意得222221
91,41,2
,a b c a a b c ⎧+=⎪⎪
⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎩
解得2,
a b =⎧⎪⎨=⎪⎩
∴椭圆C 的方程为22
143
x y +=．
又111x my =+，221x my =+， ∴112(4,
)1y M my -，222(4,)1y N my -，则112(3,)1y FM my =-，222(3,)1
y FN my =-，
12122
121212
22499111()y y y y FM FN my my m y y m y y ⋅=+⋅=+---++222
2236
3499906913434
m m m m m -+=+=-=---+++ ∴FM FN ⊥
考点：椭圆的性质；向量垂直的充要条件． 24．【答案】
【解析】解：不等式|x ﹣1|＞m ﹣1的解集为R ，须m ﹣1＜0，即p 是真 命题，m ＜1 f （x ）=﹣（5﹣2m ）x 是减函数，须5﹣2m ＞1即q 是真命题，m ＜2， 由于p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，故p 、q 中一个真，另一个为假命题 因此，1≤m ＜2．
【点评】本题考查在数轴上理解绝对值的几何意义，指数函数的单调性与特殊点，分类讨论思想，化简这两个命题是解题的关键．属中档题．。