新高考数学(理)之数列 专题03 等差数列(等差数列的和与性质)(解析版)

新高考数学（理）数列
03 等差数列（等差数列的和与性质）
一、具体目标：等差数列 （1） 理解等差数列的概念.
（2） 掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.
（3） 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系关系，并能用有关知识解决相应的问题. （4） 了解等差数列与一次函数的关系.等差数列的和与二次函数的关系及最值问题. 二、知识概述： 一）等差数列的有关概念
1.定义：等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.用递推公式表示为
或.
2.等差数列的通项公式：；()d m n a a m n
-+=.
说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列.
3.等差中项的概念：
定义：如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项,其中 . ，，成等差数列. 4.等差数列的前和的求和公式：. 5.要注意概念中的“从第2项起”．如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起，每一项与
2d 1(2)n n a a d n --=≥1(1)n n a a d n +-=≥1(1)n a a n d =+-A P d 0>0d =0d <a A b A a b 2
a b
A +=
a A
b ⇔2
a b
A +=
n 11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+【考点讲解】
它前一项的差是同一个常数，那么此数列不是等差数列． 6.注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别． 二）方法规律：
1．等差数列的四种判断方法
(1) 定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1()n N ∈*(常数)，则数列{}n a 是等差数列； (2) 等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ()n N ∈*，则数列{}n a 是等差数列; (3)通项公式：n a pn q =+(,p q 为常数,n N ∈*)⇔
是等差数列;
(4)前n 项和公式：2
n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔
是等差数列;
(5)
是等差数列⇔n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
是等差数列. 2．活用方程思想和化归思想
在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为1a 和d 等基本量，通过建立方程(组)获得解．即等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量1,,,,n n a d n a S ，知其中三个就能求另外两个,即知三求二，多利用方程组的思想，体现了用方程的思想解决问题,注意要弄准它们的值.运用方程的思想解等差数列是常见题型，解决此类问题需要抓住基本量1a 、d ，掌握好设未知数、列出方程、解方程三个环节，常通过“设而不求，整体代入”来简化运算． 3.特殊设法:三个数成等差数列，一般设为,,a d a a d -+； 四个数成等差数列，一般设为3,,,3a d a d a d a d --++. 这对已知和,求数列各项,运算很方便.
4．若判断一个数列既不是等差数列又不是等比数列，只需用123,,a a a 验证即可． 5.等差数列的前n 项和公式：若已知首项1a 和末项n a ，则1()
2
n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ， 公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)
2
n n n S na d -=+. 三）等差数列的性质： 1.等差数列的性质：
（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；
1(1)n a a n d =+-11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+{}n a
（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，
，，，……；
（3）在等差数列中，对任意，，，；
（4）在等差数列中，若，，，且，则,特殊地，
时，则
，
是
的等差中项.
（5）等差数列被均匀分段求和后，得到的数列仍是等差数列，即成等差数列.
（6）两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列． （7）若数列{}n a 是等差数列,则{}n ka 仍为等差数列．
2．设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）若项数为偶数，设共有项，则①-S S nd =奇偶； ②
；
（Ⅱ）若项数为奇数，设共有项，则①S S -偶奇(中间项)；②. 3.(),p q a q a p p q ==≠,则0p q a +=,m n m n S S S mnd +=++.
4.如果两个等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是两个原等差数列公差的最小公倍数．
5.若与{}n b 为等差数列，且前n 项和分别为n S 与'n S ，则21
21
'm m m m a S b S --=. 四）方法规律：
1. 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n 项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和 灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题．
2.等差数列的性质多与其下标有关，解题需多注意观察，发现其联系，加以应用, 故应用等差数列的性质解答问题的关键是寻找项的序号之间的关系．
3.应用等差数列的性质要注意结合其通项公式、前n 项和公式．
4.解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向、形成解题策略. 五）等差数列的和
1. 等差数列的前n 项和公式
{}n a 1a 3a 5a 7a 3a 8a 13a 18a {}n a m n N +∈()n m a a n m d =+-n m
a a d n m
-=
-()m n ≠{}n a m n p q N +∈m n p q +=+m n p q a a a a +=+{}n a d 2n 1
n n S a S a +=奇偶21n -n a a ==中1S n
S n =-奇偶{}n a
若已知首项1a 和末项n a ，则1()
2
n n n a a S +=，或等差数列{a n }的首项是1a ，公差是d ，则其前n 项和公式为1(1)
2
n n n S na d -=+
. 2．等差数列的增减性：0d >时为递增数列，且当10a <时前n 项和n S 有最小值．0d <时为递减数列，且当10a >时前n 项和n S 有最大值．
六）求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：
1.利用等差数列的单调性或性质，求出其正负转折项，便可求得和的最值．当10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）则当10a >，0d <，
满足100n n a a +≥⎧⎨≤⎩的项数n 使得n S 取最大值，(2)当10a <，0d >时，满足1
00n n a a +≤⎧⎨≥⎩的项数n 使得n S 取最小
值.
2.利用等差数列的前n 项和：2
n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)为二次函数，通过配方或借助图像，二次函数的性质，转化为二次函数的最值的方法求解；有时利用数列的单调性（0d >,递增；0d <，递减）；
3. 利用数列中最大项和最小项的求法：求最大项的方法：设为最大项，则有1
1n n n n a a a a -+≥⎧⎨≥⎩；求最小项的方
法：设为最小项，则有1
1n n n
n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩.只需将等差数列的前n 项和1,2,3,n =L 依次看成数列{}n S ，利用数
列中最大项和最小项的求法即可.
4.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用.
1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则（ ） A ．25n a n =-
B ． 310n a n =-
C ．2
28n S n n =- D ．2
122
n S n n =
- n a n a 【真题分析】
【解析】由题知，415
144302
45d S a a a d ⎧
=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，2
4n S n n =-,故选A ． 【答案】A
2.【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a =（ ）
A ．12-
B ．10-
C ．10
D ．12
【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243
332224222d d d ⨯⨯⎛
⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭
， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ． 【答案】B
3.【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为（ ） A ．24-
B ．3-
C ．3
D ．8
【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2
326a a a =，即()()()2
12115d d d +=++，
整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故
{}
n a 前6项的和为
()()
()6166166166122422
S a d ⨯-⨯-=+
=⨯+⨯-=-.故选A ． 【答案】A
4.【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即
4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．
【答案】C
5.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若375,13a a ==，则10S =___________. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题意可得317125,613
a a d a a d =+=⎧⎨
=+=⎩得11
,2a d =⎧⎨=⎩
101109109
101012100.22
S a d ⨯⨯∴=+
=⨯+⨯= 【答案】100
6.【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则
10
5
S S =___________． 【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，
所以
105S S =1111109
1010024542552
a d a a a d ⨯+
==⨯+． 【答案】4
7.【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n
的最小值为___________．
【解析】法一：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,
5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,
即为10-.
法二：等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,可得()()22224n a a n d n n =+-=-+-=-，()()()12
81
82
2
2
n n a a n n n S n n +-===-，所以结合题
意可知，n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【答案】 0，10-.
8.【2019年高考江苏卷】已知数列*
{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，
则8S 的值是___________．
【解析】由题意可得：()()()2581119147098
9272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
， 解得：152
a d =-⎧⎨
=⎩，则8187
840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【答案】16
9.【2017课标II ，理15】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11
n
k k
S ==∑ 。

【解析】本题考点是等差数列前n 项和公式；裂项求和.
设等差数列的首项与公差分别为d a ,1，由题意有⎪⎩⎪
⎨⎧=⨯+=+102
3443
211d a d a 解得⎩⎨
⎧==111d a . 数列的前n 项的和为()()()2
11211211+=
⨯-+⨯=-+
=n n n n n d n n na S n
. 所以有
()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=111
2121k k k k S k ， 所以有
11n
k k S ==∑12111211131212112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n Λ. 【答案】
21
n
n + 10.【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值．
【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16． 【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16．
11.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 9=-a 5．
（1）若a 3=4，求{a n }的通项公式；
（2）若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围．
【解析】（1）设{}n a 的公差为d ．由95S a =-得140a d +=．由a 3=4得124a d +=．于是18,2a d ==-． 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-．
（2）由（1）得14a d =-，故(9)(5),2
n n n n d
a n d S -=-=
. 由10a >知0d <，故n n S a ≥等价于2
11100n n -+…，解得1≤n ≤10．所以n 的取值范围是
{|110,}n n n *≤≤∈N ．
【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .
12.【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列，a 1=–10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．
（1）求{a n }的通项公式；
（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．
【解析】
（1）设{}n a 的公差为d 因为110a =-，所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+． 因为23410,8,6a a a +++成等比数列，所以()()()2
3248106a a a +=++．所以2
(22)(43)d d d -+=-+．
解得2d =．所以1(1) 212n a a n d n =+-=-．
（2）由（1）知，212n a n =-．所以，当7n ≥时，0n a >；当6n ≤时，0n a ≤． 所以，n S 的最小值为630S =-．
【答案】（1）212n a n =-；（2）当5n =或者6n =时，n S 取到最小值30-.
13.【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知
1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．
（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,
1,,
k k n k
k c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(
){}221
n n a c -的通项公式；
（ii ）求
()2*
1
n
i i
i a c n =∈∑N ．
【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2
662,6124,q d q d =+⎧⎨
=+⎩解得3,
2,
d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n n
n n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公
式为32n
n b =⨯．
（2）（i ）()()()()
22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}
221n n a c -的通项公式为()
221941n n n a c -=⨯-． （ii ）
()()22221
1
1
1
211n n n
i
i
n
i i
i
i
i
i
i i i i a c a a c a a c
====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑
()
()
12212439412n n
n n
i i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭
∑
()
(
)2114143252914
n n n n ---=⨯+⨯+⨯
-- ()21
1*
272
5212
n n n n --=⨯+⨯--∈N ．
【答案】（1）31n a n =+；32n
n b =⨯（2）（i ）(
)
221941n n n a c -=⨯-（ii ）
()()2*
21
1*
1
272
5212
n
n n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N
14.【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个
12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．
（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,,2n
n n
a c n
b *=
∈N 证明：12+2,.n c c c n n *++<∈N L 【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+， 解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ．所以2*n S n n n =-∈N ，， 由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()2
12n n n n n n S b S b S b +++=++． 解得()2
121n n n n b S S S d
++=
-．所以2*,n b n n n =+∈N ． （2）*221
,22(1)(1)
n n n a n n c n b n n n n --=
==∈++N ． 用数学归纳法证明．
（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；
（ii ）假设()
*n k k =∈N 时不等式成立，即122k c c c k +++<L ． 那么，当1n k =+时，
1211
22(1)(2)1
k k k c c c c k k k k k +++++<+
<+
+++L 2
222(1)211k k k k k k k
<+
=++-=+++．
即当1n k =+时不等式也成立．
根据（i ）和（ii ），不等式122n c c c n +++<L 对任意*n ∈N 成立． 【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.
1.已知数列
{}n
a 满足3,121
==a a
，()3,1≥∈=--n N n n a a n n ，{}12-n a 是递增数列，{}n a 2是
递减数列，则=2018
a __________．
【解析】分析：先判断()1021
2≥>-+n a a n n ，()101222≥<-++n a a n n 可得
()
⎩⎨
⎧+-=-+=-+++221
21222212n a a n a a n n n n ，所以1222-=-+n n a a ，根据等差数列的通项公式可得结果. 由题意可知
{}1
2-n a 是递增数列，所以，
0121
2>--+n n a a
所以()()0122212>-+--+n n n n a a a a ， 因为n n 212>
+，所以1
22212-+->-n n n n a a a a ，所以()2021
2≥>-+n a a n n ，又
,0513>=-a a 所以()10212≥>-+n a a n n 成立，由{}n a 2是递减数列，0222<-+n n a a ，同理可
得()101222≥<-++n a a n n ，()
⎩⎨⎧+-=-+=-+++221
21222212n a a n a a n n n n ，所以1222-=-+n n a a ，所以{}n a 2是
首项为3，公差为-1的等差数列，故()()100511100932018-=-⋅-+=a ，故答案为-1005.
【答案】-1005
2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 3＝a 5，a m ＝2019，则m ＝ ．
【分析】根据题意，设等差数列{a n }公差为d ，结合等差数列的通项公式可得3（1+d ）＝1+4d ，解可得d 的值，又由a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝2m ﹣1＝2019，解可得m 的值，即可得答案．本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于基础题.
【解析】根据题意，设等差数列{a n }公差为d ，则S 3＝3a 2＝3（a 1+d ）， 又由a 1＝1，S 3＝a 5，则3（1+d ）＝1+4d ，d ＝2， 则a m ＝a 1+（m ﹣1）d ＝2m ﹣1＝2019，解可得m ＝1010； 【答案】1010
【模拟考场】
3.已知{}n a 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若2
1253,S =10a a +=-，则9a 的值是 .
【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 【答案】20.
4.等差数列{a n }的前10项和为30，则a 1+a 4+a 7+a 10＝ ．
【分析】利用等差数列的前n 项和公式即可得到a 1+a 10＝6．由等差数列的性质可得a 1+a 10＝a 4+a 7，进而可得答案．
【解析】因为等差数列{a n }的前10项和为30，所以
()302
10101=+a a ，解得a 1+a 10＝6．
由等差数列的性质可得a 1+a 10＝a 4+a 7，所以a 1+a 4+a 7+a 10＝2（a 1+a 10）＝2×6＝12． 所以a 1+a 4+a 7+a 10＝12． 【答案】12
5.在等差数列{}n a 中，71=a ，公差为d ，前n 项和为n S ，当且仅当8=n 时n S 取最大值，则d 的取值范围_________.
【解析】由题意得：，所以，即所以71,8d ⎛⎫
∈-- ⎪
⎝
⎭.
【答案】
6.等差数列{}n a 中，已知55S =，25n a -=，60n S =，则n = ． 【解析】由5355S a == 得31a =，于是1()2n n n a a S +=32()
32
n n a a n -+==， 又60n S =∴20n =。

【答案】20
7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 6是方程x 2﹣8x +5＝0的两根，那么S 9＝（ ） A ．8
B ．36
C ．45
D ．72
【分析】由a 4，a 6是方程x 2﹣8x +5＝0的两根，得a 4+a 6＝8，从而()()64919
2
929
a a a a S +=+=
由此能求出结果．
【解析】因为等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4，a 6是方程x 2﹣8x +5＝0的两根，
890,0a a ><770,780d d +>+<71.8
d -<<-7
(1,)8
--
所以a 4+a 6＝8，所以()()3682
9
292964919=⨯=+=+=a a a a S ．
【答案】B ．
8．等差数列{a n }中，已知a 7＞0，a 2+a 10＜0，则{a n }的前n 项和S n 的最小值为（ ） A ．S 4
B ．S 5
C ．S 6
D ．S 7
【分析】由等差数列通项公式推导出a 7＞0，a 6＜0，由此能求出{a n }的前n 项和S n 的最小值． 【解析】因为等差数列{a n }中，已知a 7＞0，a 2+a 10＜0，
所以a 2+a 10＝2a 6＜0，即a 6＜0，所以{a n }的前n 项和S n 的最小值为S 6． 【答案】C
9.等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且
231n n S n
T n =+，则55
a b 等于（ ） A ．
23 B ．79 C ．2031 D ．9
14
【解析】由5519551922a a a a b b b b +==+=()
()19199292
a a
b b ++=991892814
S T =
=，选D. 【答案】D
10．已知等差数列{a n }前n 项和为c bn an S n
++=2，则下列一定成立的是（
）
A ．a ＝0
B ．a ≠0
C ．c ≠0
D ．c ＝0
【分析】由等差数列{a n }前n 项和为c bn an S n
++=2，求出前三项，由等差数列{a n }中，2a 2＝a 1+a 3，
能求出结果．
【解析】等差数列{a n }前n 项和为c bn an S n
++=2，
所以a 1＝S 1＝a +b +c ，a 2＝S 2﹣S 1＝4a +2b +c ﹣（a +b +c ）＝3a +b ，
a 3＝S 3﹣S 2＝9a +3
b +
c ﹣（4a +2b +c ）＝5a +b ，
因为等差数列{a n }中，2a 2＝a 1+a 3，所以2（3a +b ）＝a +b +c +5a +b ，所以c ＝0． 【答案】D
11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若m>1，且38,012211==-+-+-m m m m S a a a ，则m 等于（ ）
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
【解析】因为112m m m a a a -++=，所以有2
2m m a a =，由2138m S -=知0m a ≠，所以2m a =.
()()12121212
m m a a m S --+-=
()
2212
m a m -=，
()2138m a m -=，所以有10m =，选C.
【答案】C
12．首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列4个命题，其中正确的命题的个数是（ ）
①若S 10＝0，则S 2+S 8＝0；
②若S 4＝S 12，则使S n ＞0的最大的n 为15； ③若S 15＞0，S 16＜0，则{S n }中S 8最大； ④若S 7＜S 8，则S 8＜S 9． A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【分析】根据题意，由等差数列的性质分析4个式子，综合即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力 【解答】解：根据题意，依次分析4个式子： 对于①，若S 10＝0，则S 10＝
()2
10101
⨯+a a
＝0，则a 1+a 10＝0，即2a 1
+9d ＝0，
则S 2+S 10＝（2a 1+d ）+（8a 1+28d ）＝10a 1+29d ≠0，①不正确；
对于②，若S 4＝S 12，则S 12﹣S 4＝0，即a 5+a 6+……+a 11+a 12＝4（a 8+a 9）＝0，由于a 1＞0，则a 8＞0， a 9＜0，则有S 15＝
()2
15151a a +＞0，S 16＝()216161a a +＝0，故使S n ＞0的最大的n 为15，②正确；
对于③，若S 15＞0，S 16＜0，则
S 15＝()2
15151a a +＝15a 8＞0，S 16＝()216161a a +＝()21698a a +＜0，
则有a 8＞0，a 9＜0，则{S n }中S 8最大；③正确；
对于④，若S 7＜S 8，即a 8＝S 8﹣S 7＞0，而S 9﹣S 8＝a 9，不能确定其符号，④错误；其中有2个正确； 【答案】B
13.已知一个数列{}n a 的前n 项和为n S ，
并且2
36n S n n =-。

（1） 证明数列{}n a 为等差数列
（2） 并求出当n 为何值时，数列有最大或最小值，并求出此值
【解析】证明：（1）由2
36n S n n =-得113a S ==-，()()2
13161n S n n -=---，
当2n ≥两式相减整理得：169n n n a S S n -=-=-
当1n =时，13a =- 所以69n a n =-()n N *
∈
再由：69n a n =-得16(1)9n a n +=+-=63n - 两式相减得：16n n a a +-=
所以原数列为首项为-3，公差为6的等差数列. （3） 将236n S n n =-()
232n n =-()2
313n =--
当1n =时，n S 有最小值是-3
14.n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且17=1
28.a S =，记[]=lg n n b a ，其中[]
x 表示不超过x 的最大整数，如[][]
0.9=0lg99=1，．
（Ⅰ）求111101b b b ，，；（Ⅱ）求数列{}n b 的前1 000项和．
【解析】等差数列的的性质，前n 项和公式，对数的运算.试题分析：（Ⅰ）先用等差数列的求和公式求公差d ，从而求得通项n a ，再根据已知条件[]x 表示不超过x 的最大整数，求111101b b b ，，；（Ⅱ）对n 分类讨论，再用分段函数表示n b ，再求数列{}n b 的前1 000项和．
【解析】（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72128d +=，解得 1.d =所以{}n a 的通项公式为.n a n =
111101[lg1]0,[lg11]1,[lg101] 2.b b b ======
（Ⅱ）因为0,
110,
1,10100,
2,1001000,
3,
1000.
n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪
=⎨
≤<⎪⎪=⎩
所以数列{}n b 的前1000项和为1902900311893.⨯+⨯+⨯= 【答案】（Ⅰ）10b =，111b =， 1012b =；（Ⅱ）1893.。