2函数中求解参数范围的几种常见策略

函数中求解参数范围的几种常见策略
含参函数问题是训练和检查学生逻辑理解能力和分析能力的一种综合题型，是近年来全国各省份高考题比较稳定的一道压轴题，难度不小，区分度较高，但我们也必须学会一些常见的操作方法争取抢分.运用导数确定含参数函数的参数取值范围是一类常见的探索性问题，以函数为载体，以导数为工具，考查函数性质及导数应用为目标，是最近几年函数与导数交汇试题的显著特点和命题趋向.参数分离、充分必要法、讨论最值（直接法）、数形结合等等都是常用的方法，但各有侧重，下面通过几道高考题体会下常见方法的操作流程. 1 分离参数法（首选）
关于不等式(,)0,f x a x D ≥∀∈恒成立问题，将含有参数a 的代数式分离出来，即转化为()(),g a h x x D ≥∀∈恒成立，然后求解函数()h x 在区间D 上的最值即可。

但特别注意参数a 的系数恒为正或者恒为负，此类问题采取分离参数法会比较有效。

例题1 （2013年全国大纲卷文科第21题）已知函数()32
=33 1.f x x ax x +++ （I
）当a =()f x 的单调性；
（II ）当[)()2,0,x f x ∈+∞≥时，求a 的取值范围.
例题2 已知函数2()4f x x ax =-+在区间[2,4]上有零点，求实数a 的取值范围.
例题3 （广州市2015届高三二模节选1）已知函数，（其中为自然对数的底数），函数在区间内是增函数，求实数a 的取值范围..
分离参数发是解决参数取值范围的首选方法，通过分离参数，运用函数的观点分析讨论最值，由此确定恒成立参数范围.此方法可以避免分类讨论的繁杂，常常在不等式恒成立问题，函数零点，已知函数单调性求参数范围等等问题中经常用到.
函数中求参数的问题，常常采用分离参数法，但有时候分离参数法时会出现用高中知识
()ln f x a x =-11
x x -+()e x g x =e ()f x ()0,1
不能得出答案（需要高数求极限的知识)，因此，充要必要法是高中数学最基本最有效的方法，下面介绍恒成立中求参数取值范围的一个通法.
2 充分必要法
2.1 引理（简化版洛必达法则）：若函数(),()f x g x 在定义域D 内可导，a D ∈满足
()()0,f a g a ==''(),()f a g a 存在，且'
()0g a ≠，则''()()lim ()()x a f x f a g x g a →=. 2.2 使用条件和方法：含参函数()f x 在某个范围D （不妨设区间端点0x ）为内有()0
f x ≥（或()0f x ≤）恒成立，且满足0()0f x =，那么考虑用'0()0f x ≥解得参数范围，若'0()
f x 恒为零，则考虑''0()0f x ≥解出参数范围，若''0()f x 恒为零，则继续重复上述过程，直到
高阶导数在0x x =处不恒为零，然后根据题目不等式方向，令此时的导数'0()0f x ≥（或
'0()0f x ≤）解得参数范围.
2.3 例题赏析
例题4（2010全国2理第22题）设函数()1x f x e -=-.
（Ⅰ）证明：当1x >-时，()1x f x x ≥
+； （Ⅱ）设当0x ≥时()1
x f x ax ≥
+，求a 的取值范围．
例题5（2015福建文第22题）已知函数． (Ⅰ)求函数的单调递增区间；
（Ⅱ）证明：当时，；
（Ⅲ）确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．
该类问题命题的背景：就是在区间的端点处不等式左右两边恰好相等.因此这里就有一
2
(1)()ln 2
x f x x -=-()f x 1x >()1f x x <-k 01x >0(1,)x x ∈()()1f x k x >-
个想法，如果函数在该区间内单调递增则肯定满足条件，所以就得到充分条件即参数的取值范围，但这只是充分条件，很多人在解这类题时只管得参数的范围，而没有注意还需要说明其必要性.也就是说是不是只有求出的参数范围才满足题目条件？所以就必须加入必要性的说明（主要导出矛盾，说明所求范围恰到好处，不多也不少）.
对于一些较难的题目，比如压轴题，分离参数后的函数可能很复杂，不容易求最值，而且所给的区间又不满足方法2中的区间端点函数值为零，此时，我们别无他法，只能老老实实地回归到分类讨论的方向上来.
3 直接法(分类讨论)
采取分类讨论解决含参函数的单调性、极值和最值问题，最关键的是明晰分类讨论的标准，导函数是否有零点，零点是否在所求解的区间内，零点的大小关系，端点值的大小比较等等这些都是常见的分类标准，在解决具体问题时候请遵循解题的相关原则（最高次系数优先考虑，系数无参数时因式分解，不能因式分解时在考虑判别式）.
例题6（10年全国新课标1文第21题）已知函数42()32(31)4f x ax a x x =-++ （I ）当16
a =时，求()f x 的极值; （II ）若()f x 在()1,1-上是增函数，求a 的取值范围.
例题7（华南师大附中2015届高三三模节选）已知函数和．
（Ⅰ）m =1时，求方程f (x ) = g (x )的实根；
（Ⅱ）若对于任意的恒成立，求的取值范围.
含参数的函数问题作为高考题中的压轴角色，在采取相应的破解策略之前首先要克服的是自己的畏难恐惧心理，保持冷静的心态，充满信心，用坚强的意志力逐步攻克，采取步步为营的姿态，能抢一分式一分.无论解答的策略有多少，大胆的尝试才是解题的硬道理. 4相关的高考真题及模拟试题练习
ln ()1x x f x x =+()(1)()g x m x m R =-∈[1,),()()x f x g x ∈+∞≤m
（2007年广东文21）已知a 是实数，函数2()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在
区间[]11-，上有零点，求a 的取值范围．
（答案：1a ≥或a ≤）
（15年北京理）已知函数()1ln
1x f x x +=-. （1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
（2）求证：当()0,1x ∈时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭； （3）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭对()0,1x ∈恒成立，求k 得最大值.（答案：2）
（13年辽宁文科21）（1）证明：当[0,1]x ∈时，sin 2
x x x ≤≤； （2）若不等式()3
2
22cos 42x ax x x x ++++≤对[]0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.（答案：(,2]-∞-）
（15年广州一模节选）已知函数()()2ln 12
a f x x x x =++-()0a ≥，若()0f x >对()0,x ∈+∞都成立，求a 的取值范围. （答案：[)1,+∞）。