数学_2008年北京市西城区高考数学二模试卷(文科)(含答案)

2008年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题分40分）
1. 设全集I =R ，A ={x|x <0}，集合B ={x||x|>1}，则集合A ∩(∁I B)等于（ ） A ⌀ B {x|−1≤x <0} C {x|0<x ≤1} D {x|−1≤x ≤1}
2. 双曲线3x 2−y 2=3的渐近线方程是（ ） A y =±3x B y =±1
3x C y =±√3x D y =±
√33
x 3. 设m ，n 表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m ，n ⊂α．则“α // β”是“m // β且
n // β”的（ ）
A 充分但不必要条件
B 必要但不充分条件
C 充要条件
D 既不充分又不必要条件 4. 在等差数列{a n }中，a 1=13，a 3=12，若a n =2，则n 等于（ ） A 23 B 24 C 25 D 26 5. 圆(x −1)2+y 2=1的圆心到直线y =√3
3
x 的距离是（ ）
A 1
2 B √3
2 C 1 D √3
6. 设|φ|<π
4，函数f(x)=sin 2(x +φ)．若f(π
4)=3
4，则φ等于（ ） A −π
12
B −π
6
C π
12
D π
6
7. 函数y =log a x ，(a >0，且a ≠1)的图象按向量n →
=(−3, 1)平移后恰好经过原点，则a 等于（ ）
A 3
B 2
C 1
2
D 1
3
8. 袋中装有分别编号为1，2，3，4的4个白球和4个黑球，从中取出3个球，则取出球的编号互不相同的取法有（ ）
A 24种
B 28种
C 32种
D 36种
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 从全年级学生的数学考试成绩中，随机抽取10名学生的成绩，抄录如下：（单位：分） 82 90 74 81 77 94 82 68 89 75
根据样本频率分布估计总体分布的原理，该年级学生的数学考试成绩在79.5∼85.5之间的概率约为________．
10. 已知平面向量a →
=(1, 2)，b →
=(2x, x +2)，若a →
⊥b →
，则实数x =________． 11. 已知点P(x, y)的坐标满足条件{x ≥0y ≥0x +y −2≤0
，则2x −y 的最大值是________． 12. 在(2x +1)4的展开式中，x 2的系数是________；展开式中各项系数的和为________．
13. 将边长为1的正方形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则折起后B ，D 两点的距离为________；直线BD 和平面ABC 所成角的大小是________．
14. 设函数f(x)，g(x)的定义域分别为D f ，D g ．若对于任意x ∈D f ，都有g(x)=f(x)，则称函数g(x)为f(x)在D g 上的一个延拓函数．设f(x)=2x (x ≤0)，g(x)为f(x)在R 上的一个延拓函数，且g(x)是偶函数，则g(x)=________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 已知函数f(x)=asinx +bcosx 的图象经过点(π
6，0)，(π
3,1)． （1）求实数a 、b 的值；
（2）若x ∈[0,π
2]，求函数f(x)的最大值及此时x 的值．
16. 设甲，乙两人每次投球命中的概率分别是13
，1
2
，且两人各次投球是否命中相互之间没有
影响．
若两人各投球1次，求两人均没有命中的概率；
若两人各投球2次，求乙恰好比甲多命中1次的概率．
17.
如图，在正四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AA 1=√2，AB =1，E 是
DD 1的中点．
（1）求直线B 1D 和平面A 1ADD 1所成角的大小； （2）求证：B 1D ⊥AE ；
（3）求二面角C −AE −D 的大小．
18. 数列a n 中，a 1=−3，a n =2a n−1+2n +3(n ≥2且n ∈N ∗)． （1）求a 2，a 3的值； （2）设b n =
a n +32n
，证明{b n }是等差数列；
（3）求数列{a n }的前n 项和S n ．
19. 已知抛物线的方程为x 2=2py(p >0)，过点P(0, p)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作抛物线的两条切线l 1和l 2，记l 1和l 2相交于点M ． （1）证明：直线l 1和l 2的斜率之积为定值； （2）求点M 的轨迹方程．
20. 设a ∈R ，函数f(x)=3x 3−4x +a +1． （1）求f(x)的单调区间；
（2）若对于任意x ∈[−2, 0]，不等式f(x)≤0恒成立，求a 的最大值．
2008年北京市西城区高考数学二模试卷（文科）答案
1. B
2. C
3. A
4. A
5. A
6. C
7. D
8. C
9. 0.3 10. −1 11. 4 12. 24,81 13. 1,45∘ 14. 2−|x|
15. 解：（1）∵ 函数f(x)=asinx +bcosx 的图象经过点(π
6
，0)，(π
3
,1)，
∴ {1
2
a +
√32b =0
√3
2
a +1
2
b =1
解得：a =√3，b =−1
（2）由（1）知：f(x)=√3sinx −cosx =2sin(x −π6
)8分） ∵ x ∈[0,π
2]，∴ x −π
6∈[−π6,π
3]，
∴ 当x −π
6=π
3，即x =π
2时，f(x)取得最大值√3．
16. 解记“甲投球命中”为事件A ，“乙投球命中”为事件B ，则A 、B 相互独立， 且P(A)=1
3，P(B)=1
2．
那么两人均没有命中的概率P =P(A ¯B ¯
)=P(A ¯
)P(B ¯
)=(1−1
3)×(1−1
2)=1
3．
记“乙恰好比甲多命中1次”为事件C ，“乙恰好投球命中1次且甲恰好投球命中0次”为事件C 1， “乙恰好投球命中2次且甲恰好投球命中1次”为事件C 2， 则C =C 1+C 2，C 1，C 2为互斥事件．
P(C 1)=C 21
(1
2
)2×C 20(2
3
)2=2
9
，
P(C 2)=C 22(1
2
)2×C 21×1
3
×2
3
=1
9
，
P(C)=p(C 1)+P(C 2)=1
3．
17. 解：（1）连接A1D．∵ ABCD−A1B1C1D1是正四棱柱，∴ A1B1⊥平面A1ADD1，
∴ A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
∴ ∠A1DB1是直线B1D和平面A1ADD1所成的角
在Rt△B1A1D中，tanA1DB1=A1B1
A1D =√3
3
，
∴ ∠A1DB1=30∘，
即直线B1D和平面A1ADD1所成角的大小是30∘（2）证明：在Rt△A1AD和Rt△ADE中，
∵ A1A
AD =AD
DE
=√2，
∴ △A1AD∼△ADE，∴ ∠A1DA=∠AED．
∴ ∠A1DA+∠EAD=∠AED+∠EAD=90∘，
∴ A1D⊥AE
由（1）知，A1D是B1D在平面A1ADD1上的射影，
根据三垂线定理得，B1D⊥AE
（3）设A1D∩AE=F，连接CF．∵ CD⊥平面A1ADD1，且AE⊥DF，根据三垂线定理得，AE⊥CF，∴ ∠DFC是二面角C−AE−D的平面角
在Rt△ADE中，由AD⋅DE=AE⋅DF⇒DF=AD⋅DE
AE =√3
3
．
在Rt△FDC中，tanDFC=CD
DF
=√3，∴ ∠DFC=60∘，
即二面角C−AE−D的大小是60∘
18. 解：（1）a2=2a1+2+3=1，a3=2a22+23+3=13
（2）b n+1−b n=a n+1+3
2n+1−a n+3
2n
=1
2n+1
(a n+1−2a n−3)=2n+1
2n+1
=1．
∴ 数列{b n}是公差为1的等差数列．
（3）由（2）得b n=a n+3
2n
=n−1，∴ a n=(n−1)⋅2n−3(n∈N∗)∴ s n=0×21+1×22+...+(n−1)2n−3n
令T n=0×21+1×22+...+(n−1)2n
则2T n=0×22+1×23+...+(n−2)2n+(n−1)2n+1
两式相减得：−T n=22+23+...+2n−(n−1)⋅2n+1
=4(1−2n−1)
1−2
−(n−1)2n+1=(2−n)⋅2n+1−4
∴ T n =(n −2)⋅2n+1+4
∴ s n =(n −2)2n+1−3n +4． 19. 解：（1）依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y =kx +p ， 将其代入x 2=2py ，消去y 整理得x 2−2pkx −2p 2=0
设A ，B 的坐标分别为A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1x 2=−2p 2 将抛物线的方程改写为y =1
2p x 2，求导得y′=1
p x ． 所以过点A 的切线l 1的斜率是k 1=x 1p
，过点B 的切线l 2的斜率是k 2=
x 2p
，
故k 1k 2=
x 1x 2p 2
=−2，所以直线l 1和l 2的斜率之积为定值−2
（2）解：设M(x, y)．因为直线l 1的方程为y −y 1=k 1(x −x 1)，即y −x 1
22p
=
x 1p
(x −x 1)，
同理，直线l 2的方程为y −
x 2
22p
=
x 2p
(x −x 2)，
联立这两个方程，消去y 得x 1
22p −x 2
22p =x 2p
(x −x 2)−
x 1p
(x −x 1)，
整理得(x 1−x 2)(x −
x 1+x 22
)=0，注意到x 1≠x 2，所以x =
x 1+x 22
此时y =x 1
2
2p +
x 1p
(x −x 1)=x 1
2
2p +
x 1p
(
x 1+x 22
−x 1)=
x 1x 22p
=−p
由（1）知，x 1+x 2=2pk ，所以x =
x 1+x 2
2
=pk ∈R ，
所以点M 的轨迹方程是：y =−p ．
20. （1）解：f(x)的导数f′(x)=9x 2−4． 令f′(x)>0，解得x >2
3，或x <−2
3； 令f′(x)<0，解得−2
3<x 23．
从而f(x)的单调递增区间为(−∞,−2
3
)，(2
3
，+∞)；
单调递减区间为(−23, 2
3
)
（2）解：由f(x)≤0，得−a ≥3x 3−4x +1
由（1）得，函数y =3x 3−4x +1在(−2, 2
3)内单调递增，
在(−2
3
, 0)内单调递减，
从而当x =−23时，函数y =3x 3−4x +1取得最大值25
9 因为对于任意x ∈[−2, 0]，不等式f(x)≤0恒成立， 故−a ≥
25
9
，即a ≤−25
9， 从而a 的最大值是−25
9。