一元二次方程课件ppt

y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
① y x2
② y x2 1 x
③ y xx2 ④ yx2 x1
⑤ y1x2 2x4
3
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算 相应的y值,完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是2的整式方程叫做一元二 次方程。
一元二次方程通常可写成如下的一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0)
特征：方程的左边按x的降幂排列， 右边＝0
• 练习：下列方程中哪些是一元二次方程？试 说明理由。
3x25x3 不是
x2 4
是
x 2 x2 x 1
不是
根公式，得出方程的根 x b b2 4ac 2a
注意:
• ①当时 b24ac0，方程无解；
• ②公式法是解一元二次方程的万能方法；
• ③利用
的值，可以不解方程
就能判断b方2 程4a根c 的情况；
一元二次方程的根的判别式
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根的判
别式△＝ b2 4ac • 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； • 当△＝0时，方程有两个相等的实数根， • 当△＜0时，方程没有实数根．
3 1 2 不是等式 x
2、我们学过哪些方程？ • 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。
3、什么叫一元一次方程？方程的“元”和 “次”是什么意思？
一元
一次
只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次 的整式方程叫一元一次方程。
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
3、已知关于x的方程
（ m 1)xm 1mx m 210
是一元二次方程，求m的值。
• 分析：因为方程是一元二次方程，故未知数x 的最高次数∣m∣+1＝2，
• 解之得，m=1或m=－1， • 又因二次项系数m＋1≠0， 即m≠－1，
• 所以m=1。 温馨提示：注意陷井 二次项系数a≠0！
❖若x=1是关于x的一元二次方 程x2+3mx+n=0的解，则
程右边为0；
• ②将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式；
• ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；
• ④解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解。
• 例题：解方程 3x21x140
配方法
• 用配方法解一元二次方程ax2bxc0(a0)
的一般步骤 • ①二次项系数化为1：方程两边都除以二次项
例2．（学生活动：请二至三位同学上台演练） 将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=•1化成一元 二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二
次项系数；一次项、一次项系数；常数项．
• 分析：通过完全平方公式和平方差公式把（x+1）2+ （x-2）（x+2）=1化成ax2+bx+c=0（a≠0）的形 式．
• 问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼 房之间，开辟面积为900平方米的一块长方 形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长 和宽各为多少？
（x＋10）
x
问题1、绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间， 开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且 长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
平方法解，两边直接开平方得xa b
或者 xa b ， x a b
• 注意：若b<0，方程无解
例题：
• 将方程左边配成完全平方式，得到的方 程是（ ）
• A、(x3)2 3 B、(x3)2 6
•
• C、(x3)2 3 D、(x3)2 12
因式分解法
• 一般步骤如下：
•
①将方程右边得各项移到方程左边，使方
• （1）都只含一个未知数x； • （2）它们的最高次数都是2次的； • （3） 都有等号，是方程．
一元二次方程的一般形式．
• 任何一个关于x的一元二次方程， 经过整理， 都能化成如下形式 ax2bxc0(a0)这种 形式叫做一元二次方程的一般形式．
• 一个一元二次方程经过整理化成 ax2bxc0后(a，0) 其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一 次项，b是一次项系数；c是常数项．
• ③“列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这 个关系列出含有未知数的等式，即方程。
• ④“解”就是求出说列方程的解； • ⑤“答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符
合实际意义的方程。
方程的本质 特征是什么？ 1、下列式子哪些是方程？
2＋3＝5 没有未知数 3x＋2 不是等式 5x＋3＝18 含有未知数的等式叫方程 x－2y＝5 含有未知数的等式叫方程
一元二次方程课件ppt
教学目标：
• 一元二次方程概念 • 解一元二次方程的方法 • 一元二次方程应用题
一元二次方程概念
• 一元二次方程概念及一元二次方程一 般式及有关概念．
一元二次方程概念
• 只含有一个未知数（一元），并且未知 数的最高次数是2（二次）的整式方程， 叫做一元二次方程．
一元二次方程特点
减小.
当x>0 (在对称轴的 右侧)时, y随着x的增大而
增大.
当x=-2时，y=4 当x=-1时，y=1
抛物线y=x2在x轴的 上方(除顶点外),顶点 是它的最低点,开口 向上,并且向上无限 伸展;当x=0时,函数y 的值最小,最小值是0.
例1．将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次 方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次
项系数及常数项．
• 分析：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0）．因此， 方程（8-2x） （ 5-2x）=18必须运用整式运算进行整理，包括 去括号、移项等．
• 解：去括号，得： • 40-16x-10x+4x2=18 • 移项，得：4x2-26x+22=0 • 其中二次项系数为4，一次项系数为-26，常数项为22．
注意：每年都是 在上一年的基础
上增长！
• 明年底：5（1＋x）＋5（1＋x）x
• ＝5（1＋x）（1＋x）
• ＝5 （1＋x）2
• 根据题意得方程：5（1＋x）2
• 整理得： x2＋10x－900＝0
（1）
5x2＋10x－2.2＝0
（2）
特征（1） 都是整式方程 （2） 只含有一个未知数 （3） 未知数的最高次数是2
• 解：去括号，得： • x2+2x+1+x2-4=1 • 移项，合并得：2x2+2x-4=0 • 其中：二次项2x2，二次项系数2；一次项2x，一
次项系数2；常数项-4．
应用拓展
求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，
不论m取何值，该方程都是一元二次方程．
• 分析：要证明不论m取何值，该方程都是一元 二次方程，只要证明m2-8m+17≠0即可．
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
2x2x30 2
1
－3
3x2 50 3
0
－5
x2 3x0 1
－3
0
2、将下列一元二次方程化为一般形式，并分别 指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（ 1） 3x2x2
（ 2） 7x32x2
（ 3 ） x(2 x 1 ) 3 x(x 2 )0
（ 4 ） 2 x (x 1 ) 3 (x 5 ) 4
• （3）以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
一元二次方程的应用
• 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解 应用题类似
• ①“审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量 关系；
• ②“设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接 设元；
• 合并同类项：（a－2）x2 —2bx＋a＝0
• 所以，当a≠2时是一元二次方程；
• 当a＝2，b≠0时是一元一次方程；
2、已知关于x的一元二次方程 (m－1)x2＋3x－5m＋4＝0有一根为2，求m。
• 什么叫方程的根？
• 能够使方程左右两边相等的未知数的值， 叫方程的根。
• 解：把x＝2代入原方程得： • (m－1) ×22＋3 ×2 －5m＋4＝0 • 解这个方程得：m＝6
(1)图象对对称点？
y
y x2
x O
(2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?
(3)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么? 你是如何知道的？
(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？ 当x>0呢？
y x2
当x<0 (在对称轴的 左侧)时,y随着x的增大而
6m+2n=______．
• 已知关于x的方程（k2－1）x2＋（k＋1）x
－2＝0．
（1）当k取何值时，此方程为一元一次方程？
并求出它的根；
（2）当k取何值时，此方程为一元二次方程？
写出这个方程的二次项系数，一次项系数和常
数项．
二次函数y=ax2的 图象和性质
1、二次函数的一般形式是怎样的？
韦达定理（根与系数关系）
• （1）我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0之 后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c 之间有如下关系：
• +＝； ＝可以由公式法解一元二次方程的两个根证明。 • *实根与虚根。 • （2）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么
x1+x2=-P， x1x2=q
描点,连线 y 10
y=x2
8
6
4
2
?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x -2
二次函数 y=x2的图象 形如物体抛 射时所经过 的路线,我们 把它叫做抛 物线
y x2
这条抛物线关于 y轴对称,y轴就 是它的对称轴.
对称轴与抛物 线的交点叫做 抛物线的顶点.
议一议
观察图象,回答问题：
3x2－1x－2=0 2x2－7x＋3=0 1x2－5x＋0=0 2x2－5x－11=0
友情提示：某一项的系数包括它前 面的符号。
拓展练习：
• 1、 关于x的方程ax2 —2bx＋a＝2x2, 在
什么条件下此方程为一元二次方程？在什么 条件下此方程为一元一次方程？
• 解：移项：ax2 —2bx＋a－ 2x2 ＝0
• 证明：m2-8m+17=（m-4）2+1 • ∵（m-4）2≥0 • ∴（m-4）2+1>0，即（m-4）2+1≠0 • ∴不论m取何值，该方程都是一元二次方
程．
本节课要掌握：
（1）一元二次方程的概念；
（2）一元二次方程的一般形式 ax2bxc和0(a0)
二次项、二次项系数，一次项、一次项 系数，常数项的概念及其它们的运用．
系数； • ②移项：使方程左边为二次项与一次项，右边
为常数项； • ③配方：方程两边都加上一次项系数一般的平
方，把方程化为 (xm)2n(n0) 的形式；
• ④用直接开平方法解变形后的方程。
• 注意：当 n 0 时，方程无解
例题： • 将方程 x24x10配方后，原方
程变形为（ ）
• A．(x2)2 3 B．(x4)2 3
• C．(x2)2 3 D．(x2)2 5
公式法
• 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式：
x b b2 4ac 2a
（ b24ac0 ）
• 一般步骤：
• ①将方程化为一般形式 ax2bxc0(a0)
• ②确定方程的各系数a，b，c，计算 b2 4ac 的值； • ③当b24ac0，将a，b，c以及 b2 4ac 的值代入求
第二课时
• 1．一元二次方程根的概念； • 2．根据题意判定一个数是否是一元二次
方程的根及其利用它们解决一些具体题 目．
一元二次方程的根．
• 为了与以前所学的一元一次方程等只有 一个解的区别，我们称：一元二次方程 的解叫做一元二次方程的根．
直接开平方法
• 形如的方程 (xa)2b(b0) 可以用直接开
解：设长方形绿地的宽为x米， 则长为（x＋10）米，可得方程：
设未知数
长×宽＝面积
相等关系
x（x＋10）=900
• 问题2、学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明 年年底增加到7．2万册。求这两年的年平均增长率。
• 解：设这两年的年平均增长率为x,
• 去年底：5 • 今年底：5＋5x＝5（1＋x）
x24(x2)2 不是
ax2+bx+c=0（a≠0)
讨论：为什么二次项系数a不能为0？假如a=0
会出现什么情况？b、c能不能为0？
一元二次方程的项和各项系数
二次项 系数
一次项 系数
a≠0 ax2+bx+c=0
二次项 一次项
常数项
练习
1、指出下列一元二次方程的二次项 系数、一次项系数和常数项：
方程