2022-2023学年湖北省黄冈市五校数学九年级第一学期期末调研试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）
1． 关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0有实根，则m 的值可能是（ ）
A ．﹣4
B ．﹣3
C ．﹣2
D ．﹣1
2．下列几何体中，主视图是三角形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
3．在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实验次数分别为10次、50次、100次，200次，其中实验相对科学的是（ ）
A ．甲组
B ．乙组
C ．丙组
D ．丁组 4．若分式34x x -+的值为0，则x 的值为（ ） A ．3
B ．3-
C ．4
D ．4- 5．把抛物线21y x =+向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线( ).
A ．()231y x =+-
B ．()233y x =++
C ．()231y x =--
D ．()2
33y x =-+ 6．如图，点,,A B C 在O 上，6,30BC BAC =∠=︒，则O 的半径为（ ）
A ．3
B ．6
C ．3
D ．12 7．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）
A．72︒B．56︒C．62︒D．52︒
x-有意义，则x的值可以是（）
8．要使式子5
A．2 B．0 C．1 D．9
9．如图，AB、CD相交于点O，AD∥CB，若AO=2，BO=3，CD=6，则CO等于（）
A．2.4 B．3 C．3.6 D．4
10．已知矩形ABCD，下列结论错误的是（）
A．AB＝DC B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠A+∠C＝180°
11．如图，矩形草坪ABCD中，AD＝10m，AB＝103m．现需要修一条由两个扇环构成的便道HEFG，扇环的圆心分别是B，D．若便道的宽为1 m，则这条便道的面积大约是（）（精确到0.1 m2）
A．9.5m2B．10.0m2C．10.5m2D．11.0m2
12．如图，点D是△ABC的边BC上一点，∠BAD＝∠C，AC＝2AD，如果△ACD的面积为15，那么△ABD的面积为（）
A ．15
B ．10
C ．7.5
D ．5
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上．若△ABE 的面积为8，CE=3，则线段BE 的长为_______．
14．计算：()0
23-+-＝______.
15．如图，抛物线y ＝﹣x 2+2x+k 与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴于点C ，则点B 的坐标是_____；点C 的坐标是_____．
16．在ABC ∆中，90C ∠=︒，8AB =,3cos 4
A =，则AC 的长是__________． 17．若△ABC ∽△A′B′C′，∠A ＝50°，∠C ＝110°，则∠B′的度数为_____．
18．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，点A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝55°，则∠APB =___°．
三、解答题（共78分）
19．（8分）已知关于x 的一元二次方程x 2－2x +m =0,有两个不相等的实数根.
⑴求实数m 的最大整数值；
⑵在⑴的条下，方程的实数根是x 1，x 2,求代数式x 12+x 22－x 1x 2的值.
20．（8分）如图，一次函数y=x+b 和反比例函数y=
x
k （k≠0）交于点A （4，1）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．
21．（8分）如图，抛物线212
y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且2OA =，3OC =．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知抛物线上点D 的横坐标为2，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得BDP ∆的周长最小？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（10分）如图，在四边形ABCD 中, //AD BC , AB BC ⊥．点E 在AB 上, 90DEC ∠=︒．
(1)求证: ADE BEC ∽；
(2)若1AD =，3BC =，2AE =，求EB 的长．
23．（10分）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点A （-3，0），与y 轴交于点B （0，4），在第一象限内有一点P （m,n)，且满足4m+3n=12.
（1）求二次函数解析式.
（2）若以点P 为圆心的圆与直线AB 、x 轴相切，求点P 的坐标.
（3）若点A 关于y 轴的对称点为点A′，点C 在对称轴上，且2∠CBA+∠PA′O=90◦.求点C 的坐标.
24．（10分）如图，在△ABC 中，BC ＝12，tan A ＝34
，∠B ＝30°，求AC 的长和△ABC 的面积．
25．（12分）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点A （﹣1，0）、C （3，0），点B 为抛物线顶点，直线BD 为抛物线的对称轴，点D 在x 轴上，连接AB 、BC ，∠ABC ＝90°，AB 与y 轴交于点E ，连接CE ．
（1）求项点B 的坐标并求出这条抛物线的解析式；
（2）点P 为第一象限抛物线上一个动点，设△PEC 的面积为S ，点P 的横坐标为m ，求S 关于m 的函数关系武，并求出S 的最大值；
（3）如图2，连接OB ，抛物线上是否存在点Q ，使直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，若存在请直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．
26．已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根
（1）求k 的取值范围；
（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、D
【分析】根据题意可得，24b ac =-△≥0，即可得出答案.
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣m ＝0有实根，
∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m ）≥0，
解得：m≥﹣1．
故选D ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根的判别式，当240b ac =->时，有两个不等实根；当240b ac =-=时，有两个相等实根；当240b ac =-<时，没有实数根.
2、C
【分析】主视图是从正面看所得到的图形，据此判断即可．
【详解】解：A 、正方体的主视图是正方形，故此选项错误；
B 、圆柱的主视图是长方形，故此选项错误；
C 、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确；
D 、六棱柱的主视图是长方形，中间还有两条竖线，故此选项错误；
故选：C ．
【点睛】
此题主要考查了几何体的三视图，解此题的关键是熟练掌握几何体的主视图．
3、D
【解析】试题分析：大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值．根据模拟实验的定义可知，实验相对科学的是次数最多的丁组．故答案选D ．
考点：事件概率的估计值.
4、A
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，据此求解即可． 【详解】解：∵分式
34
x x -+的值为1， ∴x-2=1且x+4≠1．
解得：x=2．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键．
5、D
【分析】直接根据平移规律（左加右减，上加下减）作答即可．
【详解】将抛物线y=x 2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线解析式为y=（x-1）2+1． 故选：D ．
【点睛】
此题考查函数图象的平移，解题关键在于熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 6、B
【分析】连接OB 、OC ，如图，根据圆周角定理可得60BOC ∠=︒，进一步即可判断△OCB 是等边三角形，进而可得答案.
【详解】解：连接OB 、OC ，如图，则OB=OC ，∵30BAC ∠=︒，∴60BOC ∠=︒，
∴△OCB 是等边三角形，∴OB=BC =6.
故选：B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，属于基础题型，熟练掌握上述性质是解题关键.
7、C
【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD 的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.
【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,
∵AB 是直径，
∴∠ADB=90°,
∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.
故选：C.
【点睛】
本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.
8、D
为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-5≥0，解不等式就可得到答案.
有意义，
∴x-5≥0，
∴x≥5，
观察个选项，可以发现x的值可以是9.
故选D.
【点睛】
本题考查二次根式有意义的条件.
9、C
【分析】由平行线分线段成比例定理，得到CO BO
DO AO
=；利用AO、BO、CD的长度，求出CO的长度，即可解决问
题．
【详解】如图，∵AD∥CB，
∴CO BO DO AO
=；
∵AO=2，BO=3，CD=6，
∴
3
62
CO
CO
=
-
，解得：CO=3.6，
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理及其应用问题．掌握平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例是解题的关键．．
10、C
【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，则∠A+∠C＝180°，只有AB＝BC时，AC⊥BD，即可得出结果．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，AC＝BD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠A+∠C＝180°，
只有AB＝BC时，AC⊥BD，
∴A、B、D不符合题意，只有C符合题意，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了矩形的性质的运用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
11、C
【分析】由四边形ABCD为矩形得到△ADB为直角三角形，又由AD＝10，AB＝103，由此利用勾股定理求出BD
＝20，又由cos∠ADB＝
1
2
AD
DB
=，得到∠ADB＝60°，又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，所以每个扇
环都是圆心角为30°且外环半径为10.1，内环半径为9.1．这样可以求出每个扇环的面积．【详解】∵四边形ABCD为矩形，
∴△ADB为直角三角形，
又∵AD＝10，AB＝103，
∴BD＝22
AD AB
+，
又∵cos∠ADB＝
1
2 AD
DB
=，
∴∠ADB＝60°．
又矩形对角线互相平分且相等，便道的宽为1m，
所以每个扇环都是圆心角为30°，且外环半径为10.1，内环半径为9.1．
∴每个扇环的面积为
22
3010.5309.55
3603603
ππ
π⨯⨯⨯⨯
-=．
∴当π取3.14时整条便道面积为5
3
π×2＝10.4666≈10.1m2．
便道面积约为10.1m2．故选：C．
【点睛】
此题考查内容比较多，有勾股定理、三角函数、扇形面积，做题的关键是把实际问题转化为数学问题．
12、D
【分析】首先证明△BAD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△BAD的面积：△BCA的面积为1：4，得出△BAD 的面积：△ACD的面积＝1：3，即可求出△ABD的面积．
【详解】解：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，
∴△BAD∽△BCA，
∵AC＝2AD，
∴
21
4 BAD
BCA
S AD
S AC
∆
∆
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭
，
∴
1
3
BAD
ACD
S
S
∆
∆
=，
∵△ACD的面积为15，
∴△ABD的面积＝1
3
×15＝5，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
二、填空题（每题4分，共24分）
13、5.
【详解】试题解析：过E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，
∴EM=AD，BM=CE，
∵△ABE的面积为8，
∴1
2
×AB×EM=8，
解得：EM=4，
即AD=DC=BC=AB=4，
∵CE=3，
由勾股定理得：
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积；3.勾股定理．
14、4
【分析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质分别化简得出答案.
【详解】解：原式＝1+3＝4.
故答案为：4.
【点睛】
此题主要考查了零指数幂的性质和绝对值的性质，正确化简各数是解题关键．
15、(﹣1，1) (1，3)
【分析】根据图象可知抛物线y＝﹣x2+2x+k过点(3，1)，从而可以求得k的值，进而得到抛物线的解析式，然后即可得到点B和点C的坐标．
【详解】解：由图可知，
抛物线y＝﹣x2+2x+k过点(3，1)，
则1＝﹣32+2×3+k，得k＝3，
∴y＝﹣x2+2x+3＝﹣(x﹣3)(x+1)，
当x＝1时，y＝1+1+3=3；
当y＝1时，﹣(x﹣3)(x+1)=1，
∴x＝3或x＝﹣1，
∴点B的坐标为(﹣1，1)，点C的坐标为(1，3)，
故答案为：(﹣1，1)，(1，3)．
【点睛】
本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与x轴的交点横坐标是ax2+bx+c=1时方程的解，纵坐标是y=1．
16、1
【分析】根据∠A的余弦值列出比例式即可求出AC的长．
【详解】解：在Rt△ABC中，
3
cos
4
AC
A
AB
==，8
AB=
∴AC=33
86 44
AB=⨯=
故答案为1．
【点睛】
此题考查是已知一个角的余弦值，求直角三角形的边长，掌握余弦的定义是解决此题的关键．
17、20°
【分析】先根据三角形内角和计算出∠B的度数，然后根据相似三角形的性质得到∠B′的度数．
【详解】解：∵∠A＝50°，∠C＝110°，
∴∠B＝180°﹣50°﹣110°＝20°，
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B′＝∠B＝20°．
故答案为20°．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，如果两个三角形相似，那么它们的对应角相等，对应边成比例，它们对应面积的比等于相似比的平方.
18、70°
【分析】连接OA、OB，根据圆周角定理求得∠AOB，由切线的性质求出∠OAP=∠OBP=90°，再由四边形的内角和等于360°，即可得出答案
【详解】解：连接OA、OB，∠ACB＝55°，
∴∠AOB=110°
∵PA、PB是⊙O的两条切线，点A、B为切点，
∴∠OAP=∠OBP=90°
∵∠APB+∠OAP+∠AOB+∠OBP=360°
∴∠APB=180°-(∠OAP+∠AOB+∠OBP)=70°
故答案为：70
【点睛】
本题考查了切线的性质、四边形的内角和定理以及圆周角定理，利用切线性质和圆周角定理求出角的度数是解题的关键
三、解答题（共78分）
19、⑴m的最大整数值为m=1
（2）x12+x22－x1x2= 5
【分析】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m 的不等式，求出m的取值范围．
【详解】⑴由题意，得：△＞0，即：(24m
-->0 解得m＜2，
∴m的最大整数值为m=1；
(2)把m=1代入关于x的一元二次方程x2－x+m=0得x2－
根据根与系数的关系：x1+x2 , x1x2=1，
∴x12+x22－x1x2= （x1+x2）2－3x1x22-3×1=5
考点：根的判别式.
20、（1）反比例函数的解析式为：y=4
x
；一次函数的解析式为：y=x﹣2；
（2）S△AOB=15
2
；
（2）一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围为：﹣1＜x＜0或x＞1．
【分析】（1）把A的坐标代入y=k
x
，求出反比例函数的解析式，把A的坐标代入y=x+b求出一次函数的解析式；
（2）求出D、B的坐标，利用S△AOB=S△AOD+S△BOD计算，即可求出答案；（2）根据函数的图象和A、B的坐标即可得出答案．
【详解】（1）∵反比例函数y=k
x
的图象过点A（1，1），
∴1=k
4
，即k=1，
∴反比例函数的解析式为：y=4
x
．
∵一次函数y=x+b（k≠0）的图象过点A（1，1），∴1=1+b，解得b=﹣2，
∴一次函数的解析式为：y=x﹣2；
（2）∵令x=0，则y=﹣2，
∴D （0，﹣2），即DO=2． 解方程4x
=x ﹣2，得x=﹣1， ∴B （﹣1，﹣1）， ∴S △AOB =S △AOD +S △BOD =
12×2×1+12×2×1=152； （2）∵A （1，1），B （﹣1，﹣1），
∴一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围为：﹣1＜x ＜0或x ＞1．
【点睛】
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了观察函数图象的能力．
21、（1）211322y x x =-++；（2）存在，点15,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 【分析】（1）由题意先求出A 、C 的坐标，直接利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（2）根据题意转化PA PB =，BD 的长是定值，要使BDP ∆的周长最小则有点A 、P 、D 在同一直线上，据此进行分析求解.
【详解】解：（1）2OA =，
∴点A 的坐标为(2,0)-.
3OC =，
∴点C 的坐标为()0,3.把()2,0-，()0,3代入212y x bx c =-++，得0223b c c =--+⎧⎨=⎩
， 解得123
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩.
∴抛物线的解析式为211322
y x x =-++. （2）存在.
把0y =代入211322
y x x =-++， 解得12x =-，23x =，
∴点B 的坐标为3,0.
点D 的横线坐标为2
211223222
∴-⨯+⨯+=.故点D 的坐标为()2,2. 如图，设P 是抛物线对称轴上的一点，连接PA 、PB 、PD 、BD ，
PA PB =，
BDP ∴∆的周长等于BD PA PD ++，
又BD 的长是定值，
∴点A 、P 、D 在同一直线上时，BDP ∆的周长最小， 由()2,0A -、()2,0A -可得直线AD 的解析式为112y x =+， 抛物线的对称轴是12
x =， ∴点P 的坐标为15,24⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在抛物线的对称轴上存在点15,24P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，使得BDP ∆的周长最小. 【点睛】
本题考查二次函数图像性质的综合问题，熟练掌握并利用利用待定系数法即可求出二次函数的解析式以及运用数形结合思维分析是解题的关键.
22、 (1)见解析；(2)32
EB =． 【分析】（1）由AD ∥BC 、AB ⊥BC 可得出∠A=∠B=90°，由等角的余角相等可得出∠ADE=∠BEC ，进而即可证出△ADE ∽△BEC ；
（2）根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：（1）证明：∵AD ∥BC ，AB ⊥BC ，
∴AB ⊥AD ，∠A=∠B=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，
∴∠ADE=∠BEC ，
∴△ADE ∽△BEC ；
（2）解：∵△ADE ∽△BEC ， ∴=AD AE BE BC ， 即123
BE =， ∴BE=32.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的判定定理找出△ADE ∽△BEC ；（2）利用相似三角形的性质求出BE 的长度． 23、（1）24(3)9y x =+；（2）P(1511,2411
)；（3）C(-3,-5)或 (-3，2513) 【分析】（1）设顶点式，将B 点代入即可求；
（2）根据4m+3n=12确定点P 所在直线的解析式，再根据内切线的性质可知P 点在∠BAO 的角平分线上，求两线交点坐标即为P 点坐标；
（3）根据角之间的关系确定C 在∠DBA 的角平分线与对称轴的交点或∠ABO 的角平分线与对称轴的交点，通过求角平分线的解析式即可求.
【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为A(-3,0),
设二次函数解析式为y=a(x+3)2，
将B （0，4）代入得，4=9a
∴a=
49
∴24(3)9y x =+ （2）如图
∵P （m,n)，且满足4m+3n=12
∴443
n m =-+
∴点P在第一象限的
4
4
3
y x
=-+上，
∵以点P为圆心的圆与直线AB、x轴相切，∴点P在∠BAO的角平分线上，
∠BAO的角平分线：y=13 22
x+，
∴134
=4 223
x x
+-+，
∴x=15
11
,∴y=
24
11
∴P(15
11
,
24
11
)
(3)C(-3,-5)或(-3，25
13
)理由如下：
如图，A´(3，0),可得直线L A´B的表达式为
4
4
3
y x
=-+，
∴P点在直线A´B上，
∵∠PA´O=∠ABO=∠BAG, 2∠CBA+∠PA′O=90°,
∴2∠CBA=90°-∠PA′O=∠GAB,
在对称轴上取点D,使∠DBA=∠DAB,作BE⊥AG于G点, 设D点坐标为(-3,t)
则有(4-t)2+32=t2
t=25 8
,
∴D(-3,25 8
),
作∠DBA的角平分线交AG于点C即为所求点，设为C1
∠DBA的角平分线BC1的解析式为y=
9
13
x+4,
∴C1的坐标为(-3, 25
13
)；
同理作∠ABO的角平分线交AG于点C即为所求，设为C2，∠ABO的角平分线BC2的解析式为y=3x+4,
∴C2的坐标为(-3,-5).
综上所述，点C的坐标为(-3, 25
13
)或(-3,-5).
【点睛】
本题考查了二次函数与图形的结合，涉及的知识点角平分线的解析式的确定，切线的性质，勾股定理及图象的交点问题，涉及知识点较多，综合性较强，根据条件，结合图形找准对应知识点是解答此题的关键.
24、10，24+183
【分析】作CD⊥AB于D，根据直角三角形的性质求出CD，根据余弦的定义求出BD，根据正切的定义求出AD，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式求出△ABC的面积．
【详解】解：作CD⊥AB于D，
在Rt△CDB中，∠B＝30°，
∴CD ＝12BC ＝6，BD ＝BC •cos B ＝ 在Rt △ACD 中，tan A ＝34
， ∴34CD AD =，即634
AD =， 解得，AD ＝8，
由勾股定理得，AC 10==，
△ABC 的面积＝
12×AB ×CD ＝12×（×6＝ 【点睛】
本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．
25、（1）点B 坐标为（1，2），y ＝﹣
12x 2+x +32；（2）S ＝﹣34m 2+2m +34
，S 最大值2512；（3）点Q 的坐标为（﹣13，109）． 【分析】（1）先求出抛物线的对称轴，证△ABC 是等腰直角三角形，由三线合一定理及直角三角形的性质可求出BD 的长，即可写出点B 的坐标，由待定系数法可求出抛物线解析式；
（2）求出直线AB 的解析式，点E 的坐标，用含m 的代数式表示出点P 的坐标，如图1，连接EP ，OP ，CP ，则由S △EPC
＝S △OEP +S △OCP ﹣S △OCE 即可求出S 关于m 的函数关系式，并可根据二次函数的性质写出S 的最大值；
（3）先证△ODB ∽△EBC ，推出∠OBD ＝∠ECB ，延长CE ，交抛物线于点Q ，则此时直线QC 与直线BC 所夹锐角等于∠OBD ，求出直线CE 的解析式，求出其与抛物线交点的坐标，即为点Q 的坐标．
【详解】解：（1）∵A （﹣1，0）、C （3，0），
∴AC ＝4，抛物线对称轴为x ＝
132-+＝1， ∵BD 是抛物线的对称轴，
∴D （1，0），
∵由抛物线的对称性可知BD 垂直平分AC ，
∴BA ＝BC ，
又∵∠ABC ＝90°，
∴BD ＝12
AC ＝2， ∴顶点B 坐标为（1，2），
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+2，将A（﹣1，0）代入，
得0＝4a+2，
解得，a＝﹣1
2
，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣1
2
（x﹣1）2+2＝﹣
1
2
x2+x+
3
2
；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，将A（﹣1，0），B（1，2）代入，
得
2
k b
k b
-+=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得，k＝1，b＝1，∴y AB＝x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴E（0，1），
∵点P的横坐标为m，
∴点P的纵坐标为﹣1
2
m2+m+
3
2
，
如图1，连接EP，OP，CP，则S△EPC＝S△OEP+S△OCP﹣S△OCE
＝1
2
×1×m+
1
2
×3（﹣
1
2
m2+m+
3
2
）﹣
1
2
×1×3
＝﹣3
4
m2+2m+
3
4
，
＝﹣3
4
（m﹣
4
3
）2+
25
12
，
∵﹣3
4
＜0，根据二次函数和图象及性质知，当m＝
4
3
时，S有最大值
25
12
；
（3）由（2）知E（0，1），
又∵A（﹣1，0），
∴OA＝OE＝1，
∴△OAE是等腰直角三角形，
∴AE OA，
又∵AB＝BC AB＝，
∴BE＝AB﹣AE＝2，
∴
21
2
22
BE
BC
==，
又∵
1
2 OD
BD
=，
∴BE OD BC BD
=，
又∵∠ODB＝∠EBC＝90°，
∴△ODB∽△EBC，
∴∠OBD＝∠ECB，
延长CE，交抛物线于点Q，则此时直线QC与直线BC所夹锐角等于∠OBD，设直线CE的解析式为y＝mx+1，
将点C（3，0）代入，
得，3m+1＝0，
∴m＝﹣1
3
，
∴y CE＝﹣1
3
x+1，
联立
2
13
22
1
1
3
y x x
y x
⎧
=++
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，
解得，
3
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
或
1
3
10
9
x
y
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点Q的坐标为（﹣1
3
，
10
9
）．
【点睛】
本题是一道关于二次函数的综合题目，巧妙利用二次函数的性质是解题的关键，根据已知条件可得出抛物线的解析式是解题的基础，难点是利用数形结合作出合理的辅助线.
26、（1）k ＜52
（1）1 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k 的不等式，求出不等式的解集即可得到k 的范围．
（1）找出k 范围中的整数解确定出k 的值，经检验即可得到满足题意k 的值．
【详解】解：（1）∵关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根，
∴224(24)2080k k ∆=--=->．
解得：k ＜52
． （1）∵k 为k ＜
52的正整数， ∴k=1或1．
当k=1时，方程为2220x x +-=，两根为24813x -±+==-± 当k=1时，方程为220x x +=，两根为0x =或2x =-，都是整数，符合题意．
∴k 的值为1．。