等比数列(优秀导学案)

§6.3 等比数列 考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系． 知识梳理
1．等比数列的有关概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n
＝q (n ∈N *，q 为非零常数)． (2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ab .
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1.
(2)前n 项和公式：
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q
＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1. 3．等比数列的性质
(1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N *)．
(2)对任意的正整数m ，n ，p ，q ，若m ＋n ＝p ＋q ＝2k ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2k .
(3)若等比数列前n 项和为S n ，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 仍成等比数列(m 为偶数且q ＝－1除外)．
(4)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .
(5)若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1，
则等比数列{a n }递增． 若⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧
a 1<0，q >1，则等比数列{a n }递减． 常用结论
1．若数列{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则数列{c ·a n }(c ≠0)，{|a n |}，{a 2n }，⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n ，{a n ·b n }，
⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n b n 也是等比数列． 2．等比数列{a n }的通项公式可以写成a n ＝cq n ，这里c ≠0，q ≠0.
3．等比数列{a n }的前n 项和S n 可以写成S n ＝Aq n －A (A ≠0，q ≠1,0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q 是一个常数，它可以是任意实数．( × )
(2)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( × )
(3)数列{a n }的通项公式是a n ＝a n
，则其前n 项和为S n ＝a (1－a n )1－a .( × ) (4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列．( × )
教材改编题
1．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12
，则公比q 等于( ) A ．－12 B ．－2 C ．2 D ．±12
答案 D
解析 设等比数列的公比为q ，
∵{a n }是等比数列，a 2＝2，a 4＝12
， ∴a 4＝a 2q 2，
∴q 2＝a 4a 2＝14
， ∴q ＝±12
. 2．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，则a 6＋a 8＝______. 答案 5
解析 ∵{a n }是等比数列，
且a 1a 11＋2a 6a 8＋a 3a 13＝25，
∴a 26＋2a 6a 8＋a 28＝(a 6＋a 8)2＝25.
又∵a n >0，∴a 6＋a 8＝5.
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数为________． 答案 1,3,9或9,3,1
解析 设这三个数为a q ，a ，aq ， 则⎩⎨⎧ a ＋a q ＋aq ＝13，a ·a q ·aq ＝27，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，q ＝13或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝3，q ＝3， ∴这三个数为1,3,9或9,3,1.
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2020·全国Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n
等于( )
A ．2n －1
B ．2－21－
n C ．2－2n －1
D ．21－n －1 答案 B
解析 方法一 设等比数列{a n }的公比为q ，
则q ＝a 6－a 4a 5－a 3＝2412＝2. 由a 5－a 3＝a 1q 4－a 1q 2＝12a 1＝12，得a 1＝1.
所以a n ＝a 1q n －1＝2n －1，
S n ＝a 1(1－q n )1－q
＝2n －1， 所以S n a n ＝2n －12n －1＝2－21－n . 方法二 设等比数列{a n }的公比为q ，
则⎩⎪⎨⎪⎧
a 3q 2－a 3＝12，①a 4q 2－a 4＝24， ② ②①得a 4a 3
＝q ＝2.
将q ＝2代入①，解得a 3＝4.
所以a 1＝a 3q 2＝1，下同方法一． (2)(2019·全国Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1
3，a 24＝a 6，则S 5＝________.
答案 121
3
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
因为a 24＝a 6，所以(a 1q 3)2＝a 1q 5，
所以a 1q ＝1，又a 1＝1
3，所以q ＝3，
所以S 5＝a 1(1－q 5)1－q ＝13×(1－35
)
1－3＝121
3.
教师备选
1．已知数列{a n }为等比数列，a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，则a 4＝________.
答案 54或24
解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1·
q ＝6，
6a 1＋a 1·q 2＝30，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝3，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝2，
a 1＝3，
a 4＝a 1·q 3＝2×33＝54或a 4＝3×23＝3×8＝24.
2．已知数列{a n }为等比数列，其前n 项和为S n ，若a 2a 6＝－2a 7，S 3＝－6，则a 6等于(
) A ．－2或32 B ．－2或64
C ．2或－32
D ．2或－64
答案 B
解析 ∵数列{a n }为等比数列，
a 2a 6＝－2a 7＝a 1a 7，
解得a 1＝－2，
设数列的公比为q ，S 3＝－6＝－2－2q －2q 2，
解得q ＝－2或q ＝1，
当q ＝－2时，则a 6＝(－2)6＝64，
当q ＝1时，则a 6＝－2.
思维升华 (1)等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．
(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；
当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q 1－q
. 跟踪训练1 (1)(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
答案 C
解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，
令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，
∴{a n }是以a 1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，
∴a n ＝2×2n －1＝2n .
又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，
∴2k ＋1(1－210)1－2
＝215－25， 即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，
∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.
(2)(2020·新高考全国Ⅱ)已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.
①求{a n }的通项公式；
②求a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1.
解 ①设{a n }的公比为q (q >1)．
由题设得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1q ＋a 1q 3＝20，a 1q 2＝8，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
q ＝12，a 1＝32(舍去)． 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n ∈N *.
②由于(－1)n －1a n a n ＋1＝(－1)n －1×2n ×2n ＋1 ＝(－1)n －122n ＋1，
故a 1a 2－a 2a 3＋…＋(－1)n －1a n a n ＋1
＝23－25＋27－29＋…＋(－1)n －1·22n ＋1
＝23[1－(－22)n ]1－(－22)
＝85－(－1)n 22n ＋3
5. 题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n ，设b n ＝a n n
. (1)求b 1，b 2，b 3；
(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{a n }的通项公式．
解 (1)由条件可得a n ＋1＝2(n ＋1)n
a n . 将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4.
将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12.
从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.
(2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列，
由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a n n
，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得a n n
＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1. 教师备选
已知各项都为正数的数列{a n }满足a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n .
(1)证明：数列{a n ＋a n ＋1}为等比数列；
(2)若a 1＝12，a 2＝32
，求{a n }的通项公式．
(1)证明 a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，
所以a n ＋2＋a n ＋1＝3(a n ＋1＋a n )，
因为{a n }中各项均为正数，
所以a n ＋1＋a n >0，所以a n ＋2＋a n ＋1a n ＋1＋a n
＝3， 所以数列{a n ＋a n ＋1}是公比为3的等比数列．
(2)解 由题意知a n ＋a n ＋1＝(a 1＋a 2)3n －1
＝2×3n －1，
因为a n ＋2＝2a n ＋1＋3a n ，
所以a n ＋2－3a n ＋1＝－(a n ＋1－3a n )，a 2＝3a 1，
所以a 2－3a 1＝0，所以a n ＋1－3a n ＝0，
故a n ＋1＝3a n ，
所以4a n ＝2×3n －1，a n ＝12
×3n －1. 思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a n a n －1
＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．
(2)等比中项法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2(n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (3)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列．
跟踪训练2 S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q >0.
(1)求a n 及S n ；
(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)易知q ≠1，
由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 3＝9a 1q ，a 1(1－q 3)1－q ＝13，q >0，
解得a 1＝1，q ＝3，
∴a n ＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3
＝3n －12. (2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，
∵S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13，
∴(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝12
， 此时S n ＋12＝12
×3n ， 则S n ＋1＋
12S n ＋12＝12×3n ＋112×3n ＝3， 故存在常数λ＝12，使得数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n ＋12是以32为首项，3为公比的等比数列． 题型三 等比数列的性质
例3 (1)若等比数列{a n }中的a 5，a 2 019是方程x 2－4x ＋3＝0的两个根，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023等于( )
A.2 0243
B ．1 011 C.2 0232
D ．1 012
答案 C
解析 由题意得a 5a 2 019＝3，
根据等比数列性质知，
a 1a 2 023＝a 2a 2 022＝…＝a 1 011a 1 013＝a 1 012a 1 012＝3，
于是a 1 012＝123，
则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 3＋…＋log 3a 2 023
＝log 3(a 1a 2a 3…a 2 023) 11011232023=l 3·og 3.2⎛⎫= ⎪⎝⎭
(2)已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于( )
A ．40
B ．60
C ．32
D ．50
答案 B
解析 数列S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，
即4,8，S 9－S 6，S 12－S 9是等比数列，
∴S 12＝4＋8＋16＋32＝60.
教师备选
1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6
＝__________. 答案 73
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠－1，由等比数列前n 项和的性质可知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6仍成等比数列，
∴S 6－S 3S 3＝S 9－S 6S 6－S 3
， 又由已知得S 6＝3S 3，
∴S 9－S 6＝4S 3，
∴S 9＝7S 3，
∴S 9S 6＝73
. 2．已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.
答案 2
解析 由题意，得⎩
⎪⎨⎪⎧ S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
S 奇＝－80，S 偶＝－160，
所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80
＝2. 思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n 项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2022·安康模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝7，则S 40等于( )
A ．5
B ．10
C ．15
D ．－20
答案 C
解析 易知等比数列{a n }的前n 项和S n 满足S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…成等比数列．设
{a n }的公比为q ，则S 20－S 10S 10
＝q 10>0，故S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30，…均大于0. 故(S 20－S 10)2＝S 10·(S 30－S 20)，
即(S 20－1)2＝1·(7－S 20)⇒S 220－S 20－6＝0.
因为S 20>0，所以S 20＝3.
又(S 30－S 20)2＝(S 20－S 10)(S 40－S 30)，
所以(7－3)2＝(3－1)(S 40－7)，故S 40＝15.
(2)在等比数列{a n }中，a n >0，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 8＝4，a 1a 2·…·a 8＝16，则1a 1＋1a 2＋…＋1a 8
的值为( )
A ．2
B ．4
C ．8
D ．16 答案 A
解析 ∵a 1a 2…a 8＝16，
∴a 1a 8＝a 2a 7＝a 3a 6＝a 4a 5＝2，
∴1a 1＋1a 2＋…＋1a 8＝⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 8＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1a 7＋⎝⎛⎭⎫1a 3＋1a 6＋⎝⎛⎭
⎫1a 4＋1a 5 ＝12(a 1＋a 8)＋12(a 2＋a 7)＋12(a 3＋a 6)＋12(a 4＋a 5)
＝12
(a 1＋a 2＋…＋a 8)＝2. 课时精练
1．(2022·合肥市第六中学模拟)若等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝1，a 4＋a 5＝8，则a 7等于( )
A.64
3 B ．－64
3
C.32
3 D ．－32
3
答案 A
解析 设等比数列{a n }的公比为q ，
则a 4＋a 5
a 1＋a 2
＝q 3＝8，
所以q ＝2，又a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝1，
所以a 1＝1
3，
所以a 7＝a 1×q 6＝13×26＝64
3.
2．已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3·a 5＝4(a 4－1)，则a 7的值为( )
A ．2
B ．4 C.9
2 D ．6
答案 B
解析 根据等比数列的性质得a 3a 5＝a 24，
∴a 24＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2＝0，解得a 4＝2.
又∵a 1＝1，a 1a 7＝a 24＝4，∴a 7＝4.
3．(2022·开封模拟)等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n －1＋r ，则r 的值为(
) A.13 B ．－1
3 C.1
9 D ．－1
9
答案 B
解析 由等比数列前n 项和的性质知，
S n ＝32n －1＋r ＝1
3×9n ＋r ，
∴r ＝－13
. 4．(2022·天津北辰区模拟)我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人第四天走的路程为( )
A ．6里
B ．12里
C ．24里
D ．48里
答案 C
解析 由题意可知，该人所走路程形成等比数列{a n }，其中q ＝12
， 因为S 6＝a 1⎝⎛⎭⎫1－1261－12
＝378， 解得a 1＝192，
所以a 4＝a 1·q 3＝192×18
＝24. 5．(多选)设等比数列{a n }的公比为q ，则下列结论正确的是( )
A ．数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列
B ．数列{a n ＋a n ＋1}是公比为q 的等比数列
C ．数列{a n －a n ＋1}是公比为q 的等比数列
D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列 答案 AD
解析 对于A ，由a n a n ＋1a n －1a n
＝q 2(n ≥2)知数列{a n a n ＋1}是公比为q 2的等比数列； 对于B ，当q ＝－1时，数列{a n ＋a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于C ，当q ＝1时，数列{a n －a n ＋1}的项中有0，不是等比数列；
对于D ，1
a n ＋11a n
＝a n a n ＋1＝1q
， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．
6．(多选)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，则有( )
A ．S n ＝3n －1
B ．{S n }为等比数列
C ．a n ＝2·3n －1
D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，2·3n －2，n ≥2 答案 ABD
解析 由题意，数列{a n }的前n 项和满足a n ＋1＝2S n (n ∈N *)，
当n ≥2时，a n ＝2S n －1，
两式相减，可得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)＝2a n ，
可得a n ＋1＝3a n ，即a n ＋1a n
＝3(n ≥2)， 又a 1＝1，则a 2＝2S 1＝2a 1＝2，所以a 2a 1
＝2， 所以数列{a n }的通项公式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，
2·
3n －2，n ≥2. 当n ≥2时，S n ＝a n ＋12＝2·3n －12
＝3n －1， 又S 1＝a 1＝1，适合上式，
所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1，
又S n ＋1S n ＝3n 3n －1
＝3， 所以数列{S n }为首项为1，公比为3的等比数列，综上可得选项ABD 是正确的．
7．(2022·嘉兴联考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则a 1＝________. 答案 1
解析 由于S 3＝7，S 6＝63知公比q ≠1，
又S 6＝S 3＋q 3S 3，
得63＝7＋7q 3.
∴q 3＝8，q ＝2.
由S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－8)1－2
＝7， 得a 1＝1.
8．已知{a n }是等比数列，且a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 7＝________；若公比q ＝13
，则a 4＝________. 答案 3 81
解析 由{a n }是等比数列，
得a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，
故a 7＝3，a 4＝a 7q 3＝81. 9．(2022·徐州模拟)已知等差数列{a n }的公差为2，其前n 项和S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *.
(1)求实数p 的值及数列{a n }的通项公式；
(2)在等比数列{b n }中，b 3＝a 1，b 4＝a 2＋4，若{b n }的前n 项和为T n ，求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫T n ＋16为等比数列．
(1)解 S n ＝na 1＋n (n －1)2
d ＝na 1＋n (n －1) ＝n 2＋(a 1－1)n ，
又S n ＝pn 2＋2n ，n ∈N *，
所以p ＝1，a 1－1＝2，即a 1＝3，
所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.
(2)证明 因为b 3＝a 1＝3，b 4＝a 2＋4＝9，
所以q ＝3，
所以b n ＝b 3·q n －3＝3n －2，
所以b 1＝13
， 所以T n ＝13(1－3n )1－3
＝3n －16， 所以T n ＋16＝3n 6
， 又T 1＋16＝12
，
所以T n ＋16T n －1＋16＝3n 6
3n －16
＝3(n ≥2)， 所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫T n ＋16是以12为首项，3为公比的等比数列． 10．(2022·威海模拟)记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋1.设b n ＝a n ＋1－2a n .
(1)求证：数列{b n }为等比数列；
(2)设c n ＝|b n －100|，T n 为数列{c n }的前n 项和．求T 10.
(1)证明 由S n ＋1＝4a n ＋1，
得S n ＝4a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，
两式相减得a n ＋1＝4a n －4a n －1(n ≥2)，
所以a n ＋1－2a n ＝2(a n －2a n －1)，
所以b n b n －1＝a n ＋1－2a n a n －2a n －1
＝2(a n －2a n －1)a n －2a n －1 ＝2(n ≥2)，
又a 1＝1，S 2＝4a 1＋1，
故a 2＝4，a 2－2a 1＝2＝b 1≠0，
所以数列{b n }为首项与公比均为2的等比数列．
(2)解 由(1)可得b n ＝2·2n －1＝2n ，
所以c n ＝|2n －100|＝⎩
⎪⎨⎪⎧
100－2n ，n ≤6，2n －100，n >6， 所以T 10＝600－(21＋22＋…＋26)＋27＋28＋29＋210－400
＝200－2(1－26)1－2
＋27＋28＋29＋210 ＝200＋2＋28＋29＋210
＝1 994.
11．(多选)(2022·滨州模拟)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，则下列结论正确的是( )
A ．数列{a n ＋1＋a n }为等比数列
B ．数列{a n ＋1－2a n }为等比数列
C ．a n ＝2n ＋
1＋(－1)n 3
D ．S 20＝23
(410－1) 答案 ABD
解析 因为a n ＝a n －1＋2a n －2(n ≥3)，
所以a n ＋a n －1＝2a n －1＋2a n －2＝2(a n －1＋a n －2)，
又a 1＋a 2＝2≠0，
所以{a n ＋a n ＋1}是等比数列，A 正确；
同理a n －2a n －1＝a n －1＋2a n －2－2a n －1＝－a n －1＋2a n －2＝－(a n －1－2a n －2)，而a 2－2a 1＝－1， 所以{a n ＋1－2a n }是等比数列，B 正确；
若a n ＝2n ＋1＋(－1)n 3，则a 2＝23＋(－1)23
＝3， 但a 2＝1≠3，C 错误；
由A 知{a n ＋a n －1}是等比数列，且公比为2，
因此数列a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，…仍然是等比数列，公比为4，
所以S 20＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＝2(1－410)1－4
＝23(410－1)，D 正确． 12．(多选)(2022·黄冈模拟)设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并
且满足条件a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1
<0.则下列结论正确的是( ) A ．0<q <1
B ．a 7·a 9>1
C ．S n 的最大值为S 9
D ．T n 的最大值为T 7 答案 AD
解析 ∵a 1>1，a 7·a 8>1，a 7－1a 8－1
<0， ∴a 7>1,0<a 8<1，
∴0<q <1，故A 正确；
a 7a 9＝a 28<1，故B 错误；
∵a 1>1,0<q <1，∴数列为各项为正的递减数列，
∴S n 无最大值，故C 错误；
又a 7>1,0<a 8<1，
∴T 7是数列{T n }中的最大项，故D 正确．
13．(2022·衡阳八中模拟)设T n 为正项等比数列{a n }(公比q ≠1)前n 项的积，若T 2 015＝T 2 021，则log 3a 2 019log 3a 2 021
＝________. 答案 15
解析 由题意得，
T 2 015＝T 2 021
＝T 2 015·a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021，
所以a 2 016a 2 017a 2 018a 2 019a 2 020a 2 021＝1，
根据等比数列的性质，
可得a 2 016a 2 021＝a 2 017a 2 020＝a 2 018a 2 019＝1，
设等比数列的公比为q ，
所以a 2 016a 2 021＝(a 2 021)2q 5＝1⇒a 2 021＝5
2,q a 2 018a 2 019＝(a 2 019)2q ＝1⇒a 2 019＝12,q 所以log 3a 2 019log 3a 2 021＝12
3523log 1.5log q q
= 14.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，……，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其
最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．
答案 132
解析 由题意，得正方形的边长构成以22为首项,22
为公比的等比数列，现已知共含有1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，所以n ＝10，所以最小正方形的边长为⎝⎛
⎭⎫2210＝132.
15．(多选)在数列{a n }中，n ∈N *，若a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n
＝k (k 为常数)，则称{a n }为“等差比数列”，下列关于“等差比数列”的判断正确的是( )
A ．k 不可能为0
B ．等差数列一定是“等差比数列”
C ．等比数列一定是“等差比数列”
D ．“等差比数列”中可以有无数项为0
答案 AD
解析 对于A ，k 不可能为0，正确；
对于B ，当a n ＝1时，{a n }为等差数列，但不是“等差比数列”，错误； 对于C ，当等比数列的公比q ＝1时，a n ＋1－a n ＝0，分式无意义，所以{a n }不是“等差比数列”，错误；
对于D ，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．
16．已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，数列{a n b n }的前n
项和为(2n －1)·3n ＋12
. (1)分别求出数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值． 解 (1)因为a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列，
所以2a 2＝a 1＋a 3－8，
即2a 1q ＝a 1＋a 1q 2－8，所以q 2－2q －3＝0， 所以q ＝3或q ＝－1，又q >1，所以q ＝3， 所以a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．
因为a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －1)·3n ＋12
， 所以a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(2n －3)·3n －1＋12
(n ≥2)， 两式相减，得a n b n ＝2n ·3n －1(n ≥2)， 因为a n ＝2·3n －1，
所以b n ＝n (n ≥2)，
当n ＝1时，由a 1b 1＝2及a 1＝2，得b 1＝1(符合上式)，所以b n ＝n (n ∈N *)．
(2)因为数列{a n }是首项为2，公比为3的等比数列，所以数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 是首项为12，公比为13的等比数列，
所以S n ＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13
＝34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n <34. 因为∀n ∈N *，S n ≤m 恒成立，
所以m ≥34，即实数m 的最小值为34.。