高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

第1课时 等差数列的概念及通项公式

[学生用书P97(单独成册)]

[A 基础达标]

1．若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{da n }是( ) A ．公差为d 的等差数列 B ．公差为2d 的等差数列 C ．公差为d 2

的等差数列 D ．公差为4d 的等差数列

解析：选C.由于da n －da n －1＝d (a n －a n －1)＝d 2

(n ≥2，n ∈N *

)，故选C. 2．在等差数列{a n }中，a 2＝－5，a 6＝a 4＋6，则a 1等于( ) A ．－9 B.－8 C ．－7

D ．－4

解析：选B.设{a n }的公差为d ，由a 1＋5d ＝a 1＋3d ＋6，得d ＝3，所以a 1＝a 2－d ＝－8. 3．(2019·某某二中期中检测)已知等差数列{a n }中各项都不相等，a 1＝2，且a 4＋a 8＝

a 23，则公差d ＝( )

A ．0 B.1

2 C ．2

D ．0或1

2

解析：选B.根据题意知d ≠0，a 4＋a 8＝a 2

3⇒a 1＋3d ＋a 1＋7d ＝(a 1＋2d )2

.又a 1＝2，则4＋10d ＝(2＋2d )2

，解得d ＝12

或d ＝0(舍去)，故选B.

4．已知首项为－24的等差数列{a n }，从第10项起为正数，则公差d 的取值X 围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83，＋∞

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83，3

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫83，3 D ．⎝ ⎛⎦

⎥⎤83，3 解析：选D.易知a n ＝－24＋(n －1)d .由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数

项，则

⎩

⎪⎨⎪⎧a 9＝－24＋（9－1）d ≤0a 10＝－24＋（10－1）d >0，解得83<d ≤3.

5．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1

a n ＋2

(n ∈N *)，则该数列的通项公式为( )

A ．a n ＝1

n

B.a n ＝

2n ＋1

C ．a n ＝

2n ＋2

D ．a n ＝3

n

解析：选A.由

2

a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2

，得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1

a 1

＝1，公差

为1a 2－1a 1

＝2－1＝1的等差数列，所以1a n

＝n ，即a n ＝1

n

.

6．一个等差数列的连续4项是a ，x ，b ，2x ，则a

b

＝________．

解析：由题意，得⎩

⎪⎨⎪⎧2x ＝a ＋b 2b ＝x ＋2x ，所以a ＝12x ，b ＝32x ，所以a b ＝1

3.

答案：13

7．已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，则a n ＝________． 解析：因为n ≥2时，a n －a n －1＝3，

所以{a n }是以3为首项，公差为3的等差数列． 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋3(n －1)＝3n . 答案：3n

8．已知⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等差数列，且a 4＝6，a 6＝4，则a 10＝________．

解析：设公差为d ， 因为1a 6－1a 4＝14－16＝1

12＝2d ，

所以d ＝1

24.

同理，1

a 10－1a 6＝4d ＝4×124＝16， 所以

1

a 10＝16＋1a 6＝16＋14＝512

， 所以a 10＝12

5.

答案：125

9．已知{a n }为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式： (1)a 3＝5，a 7＝13；

(2)前三项为a ，2a －1，3－a . 解：(1)设首项为a 1，公差为d ，

则⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1＋2d ＝5，a 7＝a 1＋6d ＝13，解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2. 所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由等差中项公式得2×(2a －1)＝a ＋(3－a )， 解得a ＝54，所以等差数列首项为54，

公差为2a －1－a ＝a －1＝54－1＝1

4，

所以a n ＝54＋(n －1)×14＝n

4

＋1.

10．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7. (1)求数列的第10项；

(2)问112是数列{a n }的第几项？ (3)在80到110之间有多少项？ 解：设{a n }的公差为d ，则

⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝8，a 1＋3d ＝7，解得⎩

⎪⎨⎪

⎧a 1＝－2，d ＝3， (1)a 10＝a 1＋9d ＝－2＋27＝25. (2)a n ＝－2＋(n －1)×3＝3n －5， 由112＝3n －5， 解得n ＝39.

所以112是数列{a n }的第39项． (3)由80<3n －5<110，解得 2813<n <3813

， 所以n 的取值为29，30，…，38，共10项．

[B 能力提升]

11．若一个等差数列的首项a 1＝1，末项a n ＝41(n ≥3)，且公差为整数，则项数n 的取值个数是( )

A ．6 B.7 C ．8

D ．9

解析：选B.由a n ＝a 1＋(n －1)d ，得41＝1＋(n －1)d ，解得d ＝40

n －1

.又d 为整数，n ≥3，则n ＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.

12．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，且公差d ≠0，则( ) A ．a 3a 6>a 4a 5

B.a 3a 6<a 4a 5