高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

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第1课时 等差数列的概念及通项公式
[学生用书P97(单独成册)]
[A 基础达标]
1．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列{dan}是( )
A．公差为d的等差数列
B．公差为2d的等差数列
C．公差为d2的等差数列
D．公差为4d的等差数列
解析：选C.由于dan－dan－1＝d(an－an－1)＝d2(n≥2，n∈N*)，故选C.
2．在等差数列{an}中，a2＝－5，a6＝a4＋6，则a1等于( )
A．－9 B.－8
C．－7 D．－4
解析：选B.设{an}的公差为d，由a1＋5d＝a1＋3d＋6，得d＝3，所以a1＝a2－d＝－8.
3．(2019·某某二中期中检测)已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝
a23，则公差d
＝( )

A．0 B.12

C．2 D．0或12
解析：选B.根据题意知d≠0，a4＋a8＝a23⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4
＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝12或d＝0(舍去)，故选B.
4．已知首项为－24的等差数列{an}，从第10项起为正数，则公差d的取值X围是( )
A.83，＋∞ B.83，3

C.83，3 D．83，3
解析：选D.易知an＝－24＋(n－1)d.由题意，可知第10项是该等差数列的第一个正数
项，则






a9＝－24＋（9－1）d
≤0

a10＝－24＋（10－1）d
>0

，解得83

5．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝12，2an＋1＝1an＋1an＋2(n∈N*)，则该数列的通项公式为( )
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A．an＝1n B.an＝2n＋1
C．an＝2n＋2 D．an＝3n
解析：选A.由2an＋1＝1an＋1an＋2，得1an＋1－1an＝1an＋2－1an＋1，则数列1an是首项为1a1＝1，公差
为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1an＝n，即an＝1n.
6．一个等差数列的连续4项是a，x，b，2x，则ab＝________．
解析：由题意，得2x＝a＋b2b＝x＋2x，所以a＝12x，b＝32x，所以ab＝13.
答案：13
7．已知数列{an}中，a1＝3，an＝an－1＋3(n≥2)，则an＝________．
解析：因为n≥2时，an－an－1＝3，
所以{an}是以3为首项，公差为3的等差数列．
所以an＝a1＋(n－1)d＝3＋3(n－1)＝3n.
答案：3n

8．已知1an是等差数列，且a4＝6，a6＝4，则a10＝________．
解析：设公差为d，
因为1a6－1a4＝14－16＝112＝2d，

所以d＝124.
同理，1a10－1a6＝4d＝4×124＝16，
所以1a10＝16＋1a6＝16＋14＝512，
所以a10＝125.
答案：125
9．已知{an}为等差数列，分别根据下列条件写出它的通项公式：
(1)a3＝5，a7＝13；
(2)前三项为a，2a－1，3－a.
解：(1)设首项为a1，公差为d，
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则a3＝a1＋2d＝5，a7＝a1＋6d＝13，解得a1＝1，d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1.
(2)由等差中项公式得2×(2a－1)＝a＋(3－a)，

解得a＝54，所以等差数列首项为54，

公差为2a－1－a＝a－1＝54－1＝14，
所以an＝54＋(n－1)×14＝n4＋1.
10．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
(1)求数列的第10项；
(2)问112是数列{an}的第几项？
(3)在80到110之间有多少项？
解：设{an}的公差为d，则

a1＋a1＋4d＝8，a1＋3d＝7，解得




a
1
＝－2，

d
＝3，

(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，
由112＝3n－5，
解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项．
(3)由80<3n－5<110，解得

2813所以n的取值为29，30，…，38，共10项．
[B 能力提升]
11．若一个等差数列的首项a1＝1，末项an＝41(n≥3)，且公差为整数，则项数n的取
值个数是( )
A．6 B.7
C．8 D．9

解析：选B.由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，解得d＝40n－1.又d为整数，n≥3，
则n＝3，5，6，9，11，21，41，共7个．故选B.
12．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则( )
A．a3a6>a4a5 B.a3a6word
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C．a3＋a6>a4＋a5 D．a3a6＝a4a5
解析：选B.由通项公式，得a3＝a1＋2d，a6＝a1＋5d，那么a3＋a6＝2a1＋7d，a3a6＝(
a
1

＋2d)(a1＋5d)＝a21＋7a1d＋10d2，同理a4＋a5＝2a1＋7d，a4a5＝a21＋7a1d＋12d2，显然a3a6－

a4a5＝－2d
2
<0，故选B.

13．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.设bn＝an2n－1.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)证明：由已知an＋1＝2an＋2n得bn＋1＝an＋12n＝2an＋2n2n＝an2n－1＋1＝bn＋1.
又b1＝a1＝1，
因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知数列{bn}的通项公式为bn＝n，

又bn＝an2n－1，
所以数列{an}的通项公式为an＝n·2n－1.
14．(选做题)若数列{bn}对于n∈N*，都有bn＋2－bn＝d(d为常数)，则称数列{bn}是公差

为d的准等差数列．例如＝4n－1，n为奇数4n＋9，n为偶数，则数列{}是公差为8的准等差数列．设数列
{an}满足：a1＝a，对于n∈N*，都有an＋an＋1＝2n.
(1)求证：数列{an}为准等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：因为an＋an＋1＝2n(n∈N*)，①
所以an＋1＋an＋2＝2(n＋1)，②
②－①得an＋2－an＝2(n∈N*)，
所以数列{an}是公差为2的准等差数列．
(2)因为a1＝a，an＋an＋1＝2n(n∈N*)，
所以a1＋a2＝2×1，
即a2＝2－a.
因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列，a2，a4，a6，…是以2－a为
首项，2为公差的等差数列，

所以当n为偶数时，an＝2－a＋n2－1×2＝n－a，

当n为奇数时，an＝a＋n＋12－1×2＝n＋a－1.
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所以an＝n＋a－1，n为奇数n－a，n为偶数.