高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列(第1课时)等差数列的概念及通项公式巩固提升(含解析)新人教

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第1课时 等差数列的概念及通项公式

[学生用书P97(单独成册)]

[A 基础达标]

1.若数列{a n }是公差为d 的等差数列,则数列{da n }是( ) A .公差为d 的等差数列 B .公差为2d 的等差数列 C .公差为d 2

的等差数列 D .公差为4d 的等差数列

解析:选C.由于da n -da n -1=d (a n -a n -1)=d 2

(n ≥2,n ∈N *

),故选C. 2.在等差数列{a n }中,a 2=-5,a 6=a 4+6,则a 1等于( ) A .-9 B.-8 C .-7

D .-4

解析:选B.设{a n }的公差为d ,由a 1+5d =a 1+3d +6,得d =3,所以a 1=a 2-d =-8. 3.(2019·某某二中期中检测)已知等差数列{a n }中各项都不相等,a 1=2,且a 4+a 8=

a 23,则公差d =( )

A .0 B.1

2 C .2

D .0或1

2

解析:选B.根据题意知d ≠0,a 4+a 8=a 2

3⇒a 1+3d +a 1+7d =(a 1+2d )2

.又a 1=2,则4+10d =(2+2d )2

,解得d =12

或d =0(舍去),故选B.

4.已知首项为-24的等差数列{a n },从第10项起为正数,则公差d 的取值X 围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫83,+∞

B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤83,3

C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫83,3 D .⎝ ⎛⎦

⎥⎤83,3 解析:选D.易知a n =-24+(n -1)d .由题意,可知第10项是该等差数列的第一个正数

项,则

⎪⎨⎪⎧a 9=-24+(9-1)d ≤0a 10=-24+(10-1)d >0,解得83<d ≤3.

5.在数列{a n }中,若a 1=1,a 2=12,2a n +1=1a n +1

a n +2

(n ∈N *),则该数列的通项公式为( )

A .a n =1

n

B.a n =

2n +1

C .a n =

2n +2

D .a n =3

n

解析:选A.由

2

a n +1=1a n +1a n +2

,得1a n +1-1a n =1a n +2-1a n +1,则数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫1a n 是首项为1

a 1

=1,公差

为1a 2-1a 1

=2-1=1的等差数列,所以1a n

=n ,即a n =1

n

.

6.一个等差数列的连续4项是a ,x ,b ,2x ,则a

b

=________.

解析:由题意,得⎩

⎪⎨⎪⎧2x =a +b 2b =x +2x ,所以a =12x ,b =32x ,所以a b =1

3.

答案:13

7.已知数列{a n }中,a 1=3,a n =a n -1+3(n ≥2),则a n =________. 解析:因为n ≥2时,a n -a n -1=3,

所以{a n }是以3为首项,公差为3的等差数列. 所以a n =a 1+(n -1)d =3+3(n -1)=3n . 答案:3n

8.已知⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

1a n 是等差数列,且a 4=6,a 6=4,则a 10=________.

解析:设公差为d , 因为1a 6-1a 4=14-16=1

12=2d ,

所以d =1

24.

同理,1

a 10-1a 6=4d =4×124=16, 所以

1

a 10=16+1a 6=16+14=512

, 所以a 10=12

5.

答案:125

9.已知{a n }为等差数列,分别根据下列条件写出它的通项公式: (1)a 3=5,a 7=13;

(2)前三项为a ,2a -1,3-a . 解:(1)设首项为a 1,公差为d ,

则⎩⎪⎨⎪⎧a 3=a 1+2d =5,a 7=a 1+6d =13,解得⎩

⎪⎨⎪⎧a 1=1,d =2. 所以a n =a 1+(n -1)d =1+(n -1)×2=2n -1. (2)由等差中项公式得2×(2a -1)=a +(3-a ), 解得a =54,所以等差数列首项为54,

公差为2a -1-a =a -1=54-1=1

4,

所以a n =54+(n -1)×14=n

4

+1.

10.在等差数列{a n }中,a 1+a 5=8,a 4=7. (1)求数列的第10项;

(2)问112是数列{a n }的第几项? (3)在80到110之间有多少项? 解:设{a n }的公差为d ,则

⎩⎪⎨⎪⎧a 1+a 1+4d =8,a 1+3d =7,解得⎩

⎪⎨⎪

⎧a 1=-2,d =3, (1)a 10=a 1+9d =-2+27=25. (2)a n =-2+(n -1)×3=3n -5, 由112=3n -5, 解得n =39.

所以112是数列{a n }的第39项. (3)由80<3n -5<110,解得 2813<n <3813

, 所以n 的取值为29,30,…,38,共10项.

[B 能力提升]

11.若一个等差数列的首项a 1=1,末项a n =41(n ≥3),且公差为整数,则项数n 的取值个数是( )

A .6 B.7 C .8

D .9

解析:选B.由a n =a 1+(n -1)d ,得41=1+(n -1)d ,解得d =40

n -1

.又d 为整数,n ≥3,则n =3,5,6,9,11,21,41,共7个.故选B.

12.如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,且公差d ≠0,则( ) A .a 3a 6>a 4a 5

B.a 3a 6<a 4a 5

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