2011年北京朝阳区二模数学试题(理科)

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学测试题（理工类） 2011.5
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1、已知全集U =R ，集合{|021}x
A x =<<，3{|log 0}
B x x =>，则U ()A B I ð=
（A ）{|1}x x > （B ）{|0}x x > （C ）{|01}x x << （D ）{|0}x x <
2、设,x y ∈R ，那么“0>>y x ”是“1>y
x
”的 （A ）必要不充分条件 （B ）充分不必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分又不必要条件
3、三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视
图(如图所示)的面积为8，则侧视图的面积为 （A ） 8 （B ） 4 （C
） （D
4、已知随机变量X 服从正态分布(, 4)N a ，且(1)0.5P X >=，则实数
a 的值为
（A ）1 （B
（C ）2 （D ）45、若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从 1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有
（A ）120个 （B ）80个 （C ）40个 （D ）20个
6、点P 是抛物线x y 42
=上一动点，则点P 到点(0,1)A -的距离与到直线1-=x 的距离和的最小值是 （A
（B
（C ）2 （D ）2
7、已知棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点
E ，
F 分别是棱1BB ，1DD 上的动 点，且1BE D F λ==1(0)2
λ<≤．设EF 与AB 所成的角为α，与BC 所成的角为β，则αβ+的最小值
（A ）不存在 （B ）等于60︒ （C ）等于90︒ （D ）等于120︒
8、已知点P 是ABC ∆的中位线EF 上任意一点，且//EF BC ，实数x ，y 满足
PA xPB yPC ++=0 ．
设ABC ∆，PBC ∆，PCA ∆，PAB ∆的面积分别为S ，1S ，2S ，3S ， 记11S
S
λ=，2
2S S λ=，33S S
λ=．则23λλ⋅取最大值时，2x y +的值为
（A ）
32 （B ）1
2
（C ） 1 （D ）2 正视图
9、已知复数z 满足1iz i =-，则z = . 10、曲线C ：cos 1,
sin 1
x y θθ=-⎧⎨
=+⎩（θ为参数）的普通方程为 .
11、曲线2
33y x =-与x 轴所围成的图形面积为________.
12、已知数列{}n a 满足12a =，且*1120,n n n n a a a a n +++-=∈N ，则2a = ；并归
纳出数列{}n a 的通项公式n a = .
13、如图，PA 与圆O 相切点A ，PCB 为圆O 的割线，并且不过圆心O ，
已知30BPA ∠=
，PA =1PC =，则PB = ；圆O 的 半径等于 ．
14、已知函数2()(1)1f x ax b x b =+++-，且(0, 3)a ∈，则对于任意 的b ∈R ，函数()()F x f x x =-总有两个不同的零点的概率是 . 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15、已知函数2()2sin sin(
)2sin 12
f x x x x π
=⋅+-+ ()x ∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及函数()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）若0(
)23x f =，
ππ(, )44x ∈-，求0cos 2x 的值. 16、为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为1
6
，第二轮检测不合格的概率为
1
10
，两轮检测是否合格相互没有影响. （Ⅰ）求该产品不能销售的概率；
（Ⅱ）如果产品可以销售，则每件产品可获利40元；如果产品不能销售，则每件产品亏损80元（即获利-80
元）.已知一箱中有产品4件，记一箱产品获利X 元，求X 的分布列，并求出均值E (X ).
17、在长方形11AA B B 中，124AB AA ==，C ，1C 分别是AB ，11A
B 的中点（如图1）. 将此长方形沿1C
C 对折，使二面角11A CC B --为直二面角，
D ，
E 分别是11A B ，1CC 的中点（如图2）. （Ⅰ）求证：1C D ∥平面1A BE ； （Ⅱ）求证：平面1A BE ⊥平面11AA B B ； （Ⅲ）求直线1BC 与平面1A BE 所成角的正弦值.
18、设函数2
()ln ()f x x x a =+-，a ∈R . （Ⅰ）若0a =，求函数()f x 在[1,]e 上的最小值；
（Ⅱ）若函数()f x 在1[, 2]2
上存在单调递增区间，试求实数a 的取值范围； （Ⅲ）求函数)(x f 的极值点.
19、已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点(2, 1)A
．过点(3, 0)B 的直线l 与椭圆C 交
于不同的两点,M N ．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）求BM BN ⋅
的取值范围；
（Ⅲ）设直线AM 和直线AN 的斜率分别为AM k 和AN k ，求证:AM AN k k +为定值．
20、对于正整数, a b ，存在唯一一对整数q 和r ，使得a bq r =+，0r b <≤. 特别地，当0r =时，称b 能整除a ，记作|b a ，已知{1, 2, 3,,23}A =⋅⋅⋅.
（Ⅰ）存在q A ∈，使得201191 (091)q r r =+<≤，试求,q r 的值；
（Ⅱ）求证：不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数12,x x A ∈，若12||{1,2,3}x x -∈，则
12()()f x f x ≠；
（Ⅲ）若B A ⊆，12)(=B card （()card B 指集合B 中的元素的个数），且存在,a b B ∈，b a <，|b a ，
则称B 为“和谐集”. 求最大的m A ∈，使含m 的集合A 的有12个元素的任意子集为“和谐集”，并说明理由.
图（1）
15、解: 2()2sin cos 2sin 1=⋅-+f x x x x ……………………………………1分
sin 2cos 2=+x x ……………………………………2分
π
)4
x =+. ……………………………………3分 （Ⅰ）函数()f x 的最小正周期2π
π2
T ==. ……………………………………5分 令πππ
2π22π242k x k -++≤≤()k ∈Z ， ……………………………………6分
所以3ππ2π22π44k x k -+≤≤. 即3ππππ88
k x k -+≤≤. 所以，函数()f x 的单调递增区间为3ππ
[π, π]88
k k -+ ()k ∈Z . ……………8分
（Ⅱ）解法一：由已知得000()sin cos 2x f x x =+=
…………………9分 两边平方，得021sin 29x +=
所以 07
sin 29x =-
……………………………………11分
因为0ππ(, )44x ∈-，所以0π
2(, )22
x π∈-.
所以0cos 2x =……………………………………13分 解法二：因为0ππ(, )44x ∈-
，所以0ππ
(0, )42
x +∈. …………………………9分
又因为000ππ(
)))22443x x f x =⋅+=+=，
得 0π1
sin()43
x +
=. ……………………………………10分
所以0πcos()4x +== ……………………………………11分 所以，00000πππ
cos 2sin(2)sin[2()]2sin()cos()2444
x x x x x π
=+
=+=++
12339
=⋅⋅
=
……………………………………13分 16解：（Ⅰ）记“该产品不能销售”为事件A ，则
111
()1(1)(1)6104
P A =--⨯-=.
所以，该产品不能销售的概率为1
4
. ……………………………………4分
（Ⅱ）由已知，可知X 的取值为320,200,80,40,160---. ………………………5分
411(320)()4256P X =-==， 1
34133(200)()4464P X C =-=⋅⋅=，
22241327(80)()()44128P X C =-=⋅⋅=，3341327(40)()4464P X C ==⋅⋅=， 4381
(160)()4256
P X ===. ……………………………………10分
所以X 的分布列为
……………………………………11分 E (X )11272781
32020080401602566412864256
=-⨯
-⨯-⨯+⨯+⨯
40= 所以，均值E (X )为40. ……………………………………13分
17、解法一：
（Ⅰ）证明：取1A B 的中点F ，连接
DF ，EF . 因为D ，F 分别是11A B ，1A B 的中点， 所以DF 是△11A BB 的中位线. ………………1分
所以DF ∥1BB ∥1CC ，且1111
22
DF BB CC ==.
又因为E 是1CC 的中点，
所以111
2
C E CC =.
所以DF ∥1C E ，且1DF C E =.
所以四边形1C EFD 是平行四边形.
所以1C D ∥EF . ……………………………………3分 又EF ⊂平面1A BE ，1C D ⊄平面1A BE ，
所以1C D ∥平面1A BE . ……………………………………4分 （Ⅱ）证明：因为111CC AC ⊥，111CC B C ⊥且11111AC B C C = ，
所以1CC ⊥平面111AC B .
因为1BB ∥1CC , 所以1BB ⊥平面111AC B .
因为1C D ⊂平面111AC B ，所以11BB C D ⊥.
又1111AC C B =，且D 是11A
B 的中点，所以111
C
D A B ⊥.
因为1111A B BB B = ，所以1C D ⊥平面11AA B B . ………………………6分 由（Ⅰ）知EF ∥1C D .
所以EF ⊥平面11AA B B . ……………………………………7分 又因为EF ⊂平面1A BE ，
所以平面1A BE ⊥平面11AA B B . ……………………………………8分 （Ⅲ）解：由已知，将长方形11AA B B 沿1CC 对折后，二面角11A CC B --为直二面角，
因为在长方形11AA B B 中，
C ，1C 分别是AB ，11A B 的中点， 所以1CC BC ⊥，1CC AC ⊥. 所以ACB ∠是二面角11A CC B --的平面角. 所以90ACB ∠=︒. 所以BC AC ⊥. 又1BC CC ⊥，1AC CC C = ，
所以BC ⊥平面11AAC C ，即BC ⊥平面11A EC . …………………………10分
所以1111111
3
C A BE B A EC A EC V V S BC --∆==⋅. 其中11111
11
21122
A EC S AC C E ∆=⋅=⋅⋅=， 所以111111112
12333
C A BE B A EC A EC V V S BC --∆==⋅=⋅⋅=.
1111
22
A E
B S A B EF ∆=⋅=⋅=
设点1C 到平面1A EB 的距离为h ，
所以111112333C A BE A EB V S h -∆=
⋅==
，即3h =.
………………………12分 设直线1BC 与平面1A BE 所成角为θ，
所以1sin 6
h BC θ===
. 所以直线1BC 与平面1A BE
……………………………13分 解法二：
（Ⅰ）证明：由已知，将长方形11AA B B 沿1CC 对折后，
二面角11A CC B --为直二面角，因为在长方形11AA B B 中，C ，1
C 分别是AB ，11A B 的中点， 所以1CC BC ⊥，1CC AC ⊥. 即ACB ∠是二面角11A CC B --的平面角.
所以90ACB ∠=︒. 所以BC AC ⊥. 所以1, , CA CB CC 两两垂直.
以点C 为原点，分别以1,,CA CB CC 为, , x y z 轴，
建立空间直角坐标系. ……………1分 因为124AB AA ==，
且D ，E 分别是11A B ，1CC 的中点，
所以1(0, 0, 2)C ，(1, 1, 2)D ，1(2, 0, 2)A ，
(0, 2, 0)B ，(0, 0, 1)E . ………………………………………………………………2分
所以1(1, 1, 0)C D = ，1(2, 2, 2), (0, 2, 1
)AB BE =--=-
.
设平面1A BE 的法向量为(, , )x y z =n ，
所以10,
0.
A B BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 所以2220,20. x y z y z -+-=⎧⎨
-+=⎩ 令1y =，则2z =，1x =-.
所以(1, 1, 2)=-n . ……………………………3分
又因为1(1, 1, 0)(1, 1, 2)0C D ⋅=⋅-=
n .
所以1C D ⊥
n .
又因为1C D ⊄平面1A BE ，
所以1C D ∥平面1A BE . ……………………………4分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知
(2, 0, 0A ，
1(2, 0, 2)A ，(0, 2, 0)B ，1(0, 0, 2)AA =
，(2, 2, 0)AB =- . 设平面11AA B B 的法向量为(, , )x y z =m ，
所以10,0.
AA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
m m 所以20, 220.z x y =⎧⎨-+=⎩ 令1y =，则1x =，0z =，所以(1, 1, 0)=m . ……………………………6分 由（Ⅰ）知，平面1A BE 的法向量为(1, 1, 2)=-n . 所以(1, 1, 0)(1, 1, 2)0⋅=⋅-=m n .
所以⊥m n . 所以平面1A BE ⊥平面11AA B B . ……………………………8分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，(0, 2, 0)B ，1(0, 0, 2)C . 所以1(0, 2, 2)BC =-
.
又由（Ⅰ）知，平面1A BE 的法向量为(1, 1, 2)=-n . …………………10分 设直线1BC 与平面1A BE 所成角为θ，则
111
sin cos , BC BC BC θ⋅=<>==
=⋅
n n n . 所以直线1BC 与平面1A BE
……………………13分 18、解：（Ⅰ）)(x f 的定义域为(0,)+∞. ……………………………1分
因为1
()20f x x x
'=
+>，所以()f x 在[1,]e 上是增函数， 当1x =时，()f x 取得最小值(1)1f =.
所以()f x 在[1,]e 上的最小值为1. ……………………………3分
（Ⅱ）解法一：21221
()2()x ax f x x a x x
-+'=+-=
设2()221g x x ax =-+， ……………………………………4分 依题意，在区间1[, 2]2
上存在子区间使得不等式()0g x >成立. ……………5分
注意到抛物线2()221g x x ax =-+开口向上，所以只要(2)0g >，或1()02
g >即可 ……………………………………6分
由(2)0g >，即8410a -+>，得94
a <
， 由1()02g >，即1
102a -+>，得32a <，
所以9
4
a <，
所以实数a 的取值范围是9
(, )4
-∞. ……………………………………8分
解法二：21221
()2()x ax f x x a x x
-+'=+-=， ……………………………4分
依题意得，在区间1
[, 2]2
上存在子区间使不等式22210x ax -+>成立.
又因为0x >，所以12(2)a x x
<+. ……………………………………5分
设1()2g x x x
=+，所以2a 小于函数()g x 在区间1
[, 2]2的最大值.
又因为21
()2g x x
'=-，
由21()20g x x '=-
>解得2x >；
由21()20g x x '=-
<解得0x <<.
所以函数()g x 在区间 2)上递增，在区间1
(,2上递减. 所以函数()g x 在1
2
x =
，或2x =处取得最大值. 又9
(2)2
g =，1()32g =，所以922a <，94a <
所以实数a 的取值范围是9
(, )4
-∞. ……………………………………8分
（Ⅲ）因为2221
()x ax f x x
-+'=，令2()221h x x ax =-+
①显然，当0a ≤时，在(0,)+∞上()0h x >恒成立，这时()0f x '>，此时，函数()f x 没有极值点； ……………………………………9分
②当0a >时，
（ⅰ）当0∆≤，即0a <时，在(0,)+∞上()0h x ≥恒成立，这时()0f x '≥，此时，函数()
f x
没有极值点； ……………………………………10分
（ⅱ）当0∆>
，即a >
x <<
()0h x <，这时()0f x '<；
当0x <<
x >()0h x >，这时()0f x '>；
所以，当a >
2a x -=是函数()f x
的极大值点；2
a x +=是函数()f x 的极小
值点. ……………………………………12分
综上，当a 时，函数()f x 没有极值点；
当a >时
，x =是函数()f x 的极大值点
；x =是函数()f x 的极小值
点. …………13分
19、解：
（Ⅰ）由题意得22222411,,2a b a b c c a
⎧+=⎪⎪⎪
=+⎨⎪
⎪=⎪⎩
解得a =
b =
故椭圆C 的方程为22
163
x y +=． ……………………………………4分 （Ⅱ）由题意显然直线l 的斜率存在，设直线l 方程为(3)y k x =-，
由22(3),
1,6
3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(12)121860k x k x k +-+-=. …………………5分
因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，
所以4222
1444(12)(186)24(1)0k k k k ∆=-+-=->，解得11k -<<. ……6分
设M ，N 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
则21221212k x x k +=+，2122
186
12k x x k
-=+，11(3)y k x =-，22(3)y k x =-．… 7分 所以1212(3)(3)BM BN x x y y ⋅=--+
……………………………………8分
2
1212(1)[3()9]k x x x x =+-++
2
2
3312k k
+=+ 233
22(12)
k =
+
+． ……………………………………9分 因为11k -<<，所以2332322(12)
k <
++≤． 故BM BN ⋅
的取值范围为(2, 3]． ……………………………………10分
（Ⅲ）由（Ⅱ）得AM AN k k +121211
22
y y x x --=
+
-- ……………………………………11分 122112(31)(2)(31)(2)
(2)(2)kx k x kx k x x x ---+---=
--
121212122(51)()124
2()4
kx x k x x k x x x x -++++=
-++
2222222(186)(51)12(124)(12)
186244(12)
k k k k k k k k k --+⋅+++=--++
2244
222
k k -+=
=--． 所以AM AN k k +为定值2-． ……………………………………14分 20、（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：因为201191229=⨯+,
所以22,9q r ==. ……………………………………2分
（Ⅱ）证明：假设存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠.
设(1)f a =，{1,2,3}a ∈，(2)f b =，{1,2,3}b ∈，由已知a b ≠, 由于|31|2,|32|1-=-=，所以(3)(1)f f ≠，(3)(2)f f ≠. 不妨令(3)f c =，{1,2,3}c ∈，这里c a ≠，且c b ≠， 同理，(4)f b ≠，且(4)f c ≠，
因为{1,2,3}只有三个元素，所以(4)f a =.
11 即(1)(4)f f =，但是|41|3-=，与已知矛盾.
因此假设不成立，即不存在这样的函数:{1,2,3}f A →，使得对任意的整数,x y ，若||{1,2,3}x y -∈，则()()f x f y ≠. ……………………………………8分
（Ⅲ）当8m =时，记}16,,2,1|7{⋅⋅⋅=+=i i M ，}4,3,2,1|)7(2{=+=i i N 记P =M N C ，
则12)(=P card ，显然对任意116i j <≤≤，不存在3n ≥，使得7(7)j n i +=+成立. 故P 是非“和谐集”，此时{8,9,10,11,12,13,14,15,17,19,21,23}P =.同样的，当9,10,11,12m =时，存在含m 的集合A 的有12个元素的子集为非“和谐集”.
因此7m ≤. ……………………………………10分 下面证明：含7的任意集合A 的有12个元素的子集为“和谐集”.
设}7,,,,{1121a a a B ⋅⋅⋅=，
若1，14，21中之一为集合B 的元素，显然为“和谐集”.
现考虑1，14，21都不属于集合B ，构造集合}16,8,4,2{1=B ，}12,6,3{2=B ，}20,10,5{3=B ，}18,9{4=B ，}22,11{5=B ，}23,19,17,15,13{='B .
以上54321,,,,B B B B B 每个集合中的元素都是倍数关系.考虑B B '⊆的情况，也即B '中5个元素全都是B 的元素，B 中剩下6个元素必须从54321,,,,B B B B B 这5个集合中选取6个元素，那么至少有一个集合有两个元素被选，即集合B 中至少有两个元素存在倍数关系.
综上所述，含7的任意集合A 的有12个元素的子集B 为“和谐集”，即m 的最大值为
7. ……………………………………14分。