2021届西南名校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学(理)试题(解析版)

2021届西南名校联盟高三下学期4月高考适应性考试数学
（理）试题
一、单选题
1．已知集合{|,}x M y y e x R ==∈， {|sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ⋂=（ ） A ．{|01}y y << B ．{|01}y y ≤≤ C ．{|11}y y -≤≤ D ．{|01}y y <≤
【答案】D
【分析】根据指数函数和正弦函数的值域可求得集合M 、N ，再由集合的交集运算可得选项.
【详解】∵{|>0}M y y =，{|11}N y y =-≤≤，∴{|01}M N y y =<≤，
故选：D.
2．若复数z 满足()125z i +=，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2 B ．2- C ．1- D ．1
【答案】B
【分析】利用复数的除法化简复数z ，进而可得出复数z 的虚部. 【详解】由()125z i +=可得()()()
5125
12121212i z i i i i -===-++-，因此，复数z 的虚部为2-， 故选：B.
3．在菱形ABCD 中，2AB =， 60ABC ∠=︒，若P 为CD 的中点，则AC AP →→
⋅=（ ） A ．3 B ．6 C ．5 D ．4
【答案】A
【分析】根据向量的模长，两向量的夹角余弦求AC AP →→
⋅即可. 【详解】由题有
||AP →
=，||2AC →
=，30PAC ∠=︒，
∴||||cos 23AC AP AC A PAC P →→→→
=∠==， 故选A.
4．已知数列{}n a ，{}n b ，{}n c 均为等差数列，若1110a b c ++=，2221a b c ++=，则n n n a b c ++=（ ） A ．2n - B ．1n + C ．n D ．1n -
【答案】D
【分析】根据等差数列的性质和通项公式可得选项.
【详解】由题有数列{}n n n a b c ++是以0为首项、1为公差的等差数列，故0(1)1n n n a b c n ++=+-⨯ 1n =-，
故选：D.
5．若命题“p q ∧” 与命题“p q ⌝∨”都是假命题，则（ ） A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真 D ．p 假q 假
【答案】B
【分析】由给定条件结合逻辑联结词联结的命题真值表即可得解. 【详解】因命题“p q ∧”为假命题，则p ，q 中至少有一个为假命题，
若p 为假命题，则p ⌝为真命题，则p q ⌝∨为真命题与命题“p q ⌝∨”是假命题矛盾， 故必有p 为真命题，q 为假命题. 故选：B
6．已知点(,)M x y 的坐标满足24x y ≤-≤，48x y ≤+≤，则2x y -的最大值为（ ） A ．10 B ．5 C ．7 D ．8 【答案】A
【分析】根据不等式得可行域，再平移直线2t x y =-到点A 可得最大值. 【详解】画出24x y ≤-≤，48x y ≤+≤所表示的平面区域，如图所示， 平移直线2t x y =-到点A 可得最大值.
由48y x y x =-⎧⎨=-+⎩ 得62
x y =⎧⎨=⎩，
，即(6,2)A ，max (2)10x y -=，
故选：A .
7．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A BC D -的棱BC ，1CC 的中点，设α为二面角1--D AE D 的平面角，则sin α=（ ）
A ．
2
3
B ．
23
C ．
5D ．
2
3
【答案】C
【分析】在平面ABCD 内过点D 作DH AE ⊥于点H ，连接1D H ，DE ，得出1D HD ∠即是二面角1D AE D --的平面角，利用等面积可得5
DH =，在1Rt D DH △中即可
求解.
【详解】如图，设正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2， 在平面ABCD 内过点D 作DH AE ⊥于点H ，连接1D H ，DE 则1D HD ∠即是二面角1D AE D --的平面角，
且22215AE =+
=，由11
22222
ADE
S AE DH =⨯⨯=⋅⋅= 解得5
DH =
，∴15
D H =
，∴115
sin D D D H α=
=，
故选:：C.
8．在二项式6(1)x +的展开式中，任取两项的系数相加，得到不相同的结果的种数有（ ） A ．10种 B ．7种 C ．8种 D ．9种
【答案】C
【分析】列举出二项式所有的展开式中系数，写出不同的求和结果，即可得到不同的种类数.
【详解】二项式6(1)x +的展开式的系数分别为0
61C =，1
66C =，2
615C =，3
620C =，
4615C =，566C =，6
61C =，不同的结果有2，7，12，16，21，26，30，35，
故选：C .
9．已知左、右焦点分别为1F ，2F 的双曲线222:1(0)16
x y C a a -
=>上一点P 到左焦点1F 的距离为6，点O 为坐标原点，点M 为1PF 的中点，若||5OM =，则双曲线C 的渐近线方程为 （ ） A ．2y x =± B ．43
y x =±
C ．45
y x =±
D ．4y x =±
【答案】A
【分析】由题意，可得2||106PF =>，所以得12||||42-==PF PF a ，求得2a =，可得双曲线的渐近线方程.
【详解】由||5OM =，得2||106PF =>，∴点P 在双曲线左支上，故
12||||42-==PF PF
a ，∴2a =，得双曲线方程为221416
x y -=，∴双曲线C 的渐近线方程为2y x =±. 故选：A .
10．最近几年网络经济发展迅速，快递行业为大家购物带来了便捷，某学生网购的物品由快递员在学校大课间10:0010:40-的时间内直接送达其就读学校门前等候学生自主取件，如果快递员和学生在学校大课间任何时刻到达学校门前是等可能的，因某种原因快递员在学校门前只等待6分钟就会离开，学生到学校门前只等待8分钟就会离开，则学生能够在大课间取到所购物品的概率为（ ）
A ．57
160 B ．
49160 C ．51160
D ．53160
【答案】C
【分析】设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x ，y ， 根据题设信息列出不等关系，由线性规划知识确定总的区域， 再确定事件“学生能够在大课间取到所购物品”表示的区域， 最后根据几何概型的概率公式求解概率即可.
【详解】设快递员、学生两人到达学校门前的时刻分别为x ，y . ∴10：0010x ≤≤：40，10：0010y ≤≤：40，
如图，试验的全部结果构成的区域为正方形，正方形面积为240， 学生能够取到物品的条件是6y x -≤且8x y -≤， 设事件A =“学生能够取到物品”， ∴22
11
4034343232
5122()40160
P A -
⨯⨯-⨯⨯==， 故选:C
【点睛】解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围．当考察
对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比．
11．某车间王师傅、张师傅因工种不同上班规律如下，王师傅休息一天后连续两天上班，再休息一天，
张师傅休息一天后连续四天上班，再休息一天，
在第一天，王师傅、
张师傅都休息，从第1个星期到第15个星期内，记第n 个星期王师傅上班天数为()f n ，张师傅上班天数为()g n ，用a ，b ，c ，d 分别表示()()g n f n -等于2，1，0，1-的个数，则(a ，b ，c ，d )=（ ） A ．(4,7,4,0) B ．(3,7,4,1) C ．(3,7,5,0) D ．(3,8,4,0)
【答案】D
【分析】由已知得出每个星期王师傅上班天数和每个星期张师傅上班天数，由此可得出选项.
【详解】每个星期王师傅上班天数依次为4,5,5,4,5,5,…，每个星期张师傅上班天数依次为5,6,5,6,6,5,6,5,6,6,…，
因此()()g n f n -依次为1,1,0,2,1,0,2,0,1,2,0,1,1,1,1所以()(3840)a b c d =，，，，，，，
故选：D.
12．已知函数()ln 3f x a x x =-，当(0,)x ∈+∞时，(1)3x f x e ax ++≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0 B ．3 C ．2 D ．1
【答案】B
【分析】首先将不等式(1)3x f x e ax ++≥转化为(1)(e )x f x f +≥，又(0)x ∈+∞，
时，11e x x <+<，问题转化为()f x 在(1)，
+∞上递减，所以当1x >时，()0f x '≤恒成立，最后参变分离得到参数a 的最大值.
【详解】∵(1)3e lne 3e (e )x x x x f x ax a f +-=-=≥在(0)x ∈+∞，时恒成立， 而(0)x ∈+∞，
时，11e x x <+<，
∴()f x 在(1)，
+∞上递减， ∴当1x >时，3()30a a x
f x x x
-'=
-=≤恒成立， 即1x >时，3≤a x 恒成立， 故3a ≤，
∴实数a 的最大值为3， 故选B.
【点睛】(1)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号．关键是分离参数k ，把所求问题转化为求函数的最小值问题．
(2)若可导函数f (x )在指定的区间D 上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立问题，从而构建不等式，要注意“＝”是否可以取到．
二、填空题 13．函数()cos 2
x
y x R π=∈的最小正周期是_______________________.
【答案】4
【分析】利用余弦型函数的周期公式可求得结果. 【详解】函数()cos 2
x
y x R π=∈的最小正周期是
24
2
T π
π
=
=.
故答案为：4.
14．已知a ，b ，c 分别是椭圆E 的长半轴长、短半轴长和半焦距长，若关于x 的方程220ax bx c ++=无实根，则椭圆E 的离心率e 的取值范围是_______________________.
【答案】1⎫
⎪⎪⎝⎭
【分析】根据判别式为负可求,,a b c 的关系，从而可求离心率e 的取值范围. 【详解】由题有2440b ac ∆=-<，即220a c ac --<， 故210e e +->
，得12e <
或1
2
e >，而01e <<，
1e <<.
故答案为：1,12⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
15．如图是某个铁质几何体的三视图，其中每个小正方形格子的边长均为1个长度单位，将该铁质几何体熔化，制成一个大铁球，如果在熔制过程中材料没有损耗，则大铁球的表面积为_______________________.
【答案】16π
【分析】由已知得该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，根据圆锥和球体的体积公式可得答案.
【详解】该铁质几何体是由一个小铁球和一个铁质圆锥体拼接而成，体积之和为3241π1π233⨯+⨯ 327π3
⨯=， 设制成的大铁球半径为R ，则3432
ππ33
R =，得2R =，故大铁球的表面积为
24π16πR =.
故答案为：16π.
三、双空题
16．若2*240422()n n n n N +-∈≤≤，集合{1,2,3,
,}A n =，集合B A ⊆且
B ≠∅，现将满足条件的每一个集合B 中的最小元素取出，然后将取出的所有元素相
加，相加的结果记为S ，那么n =______，S =_______________________. 【答案】64 65266-
【分析】由不等式求解得64n =，根据集合B A ⊆且B ≠∅，分类讨论判断最小元素为1，2，3，……，对应的情况，然后求和，再利用错位相减法计算S .
【详解】∵2*240422()n n n n N +-∈≤≤，解得64n =，∴{12364}A =⋅⋅⋅，，
，，，对于数1，集合{2364}⋅⋅⋅，
，，有子集632个，∴以1作为最小元素被计算的次数为632，总和为6312⨯，同理以2作为最小元素被计算的次数为622，总和为6222⨯，以3作为最小元素被计算的次数为612，总和为6132⨯，依此类推，故所求结果6362611122232632S =⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯0642+⨯，则
6261011
12226326422
S =⨯+⨯++⨯+⨯…，
∴636261*********S =+++++- (641)
642332
⨯=-，得65266S =-. 故答案为：64；65266-；
【点睛】一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．
四、解答题
17．已知函数2()sin sin 2cos ,662x f x x x x R ππ⎛⎫
⎛⎫=++--∈ ⎪ ⎪
⎝
⎭⎝⎭
. （1）求函数()f x 的值域；
（2）在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角,,A B C 的对边，若2a =且()0f A =，
ABC ABC 的周长.
【答案】（1）[3,1]-；（2）6.
【分析】（1）根据两角和差的正弦公式、辅助角公式化简函数的解析式，最后根据正弦型函数的性质进行求解即可；
（2）根据三角形面积公式，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】解：（1）11()cos cos (cos 1)22
f x x x x x x =
++--+
cos 12sin 16x x x π⎛
⎫=--=-- ⎪⎝
⎭.
由1sin 16x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤≤，得π32sin 116x ⎛
⎫--- ⎪⎝
⎭≤≤，
可知函数()f x 的值域为[31]-，.
（2）由()0f A =，得1sin 62A π⎛
⎫-= ⎪⎝⎭，因为(0,)A π∈，所以5(,
)666
A πππ-∈， ∴6
6
A π
π
-
=
，故3
A π
=
.
∵2a =，3
A π
=
，ABC
∴11sin sin 223
S bc A bc π
===，
故4bc =.
又2222cos a b c bc A =+-，即222
1
2242
b c =+-⨯⨯
，即228b c +=，
故4b c +，
∴ABC 的周长为6a b c ++=.
18．高考在即，进行适量的体育锻炼有助于缓解考试压力，为了解高三年级同学们每天放学后主动参加体育锻炼的情况，随机调查了50名高三学生，通过调查把这50人每天锻炼的时间(单位：分钟)绘制成频数分布表，如下表所示： 锻炼时间 [0,20]
[20,40] [40,60] [60,80] [80,100]
[100,120]
人数
8
10
12
11
7
2
若把每天锻炼时间在60分钟以上(含60分钟)的同学称为“ 锻炼助考生”，余下的称为“非锻炼助考生”，根据统计结果中男女生“ 锻炼助考生”和“非锻炼助考生”的数据，制作成如下图所示的等高条形图.
（1）根据抽样结果估计该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间(同一组数据用该区间的中点值作为代表)；
（2）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关?
男生 女生 总计 锻炼助考生 非锻炼助考生 总计
附：参考公式22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++， 其中n a b c d =+++.
参考临界值表：
20()P k k ≥
0.100 0.050 0.010 0.001
0k
2.706
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）52分；（2）列联表见解析，没有.
【分析】（1）根据频率分布表中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解； （2）根据频率分布表中的数据，得出22⨯的列联表，求得2K 的值，结合附表，即可得到结论.
【详解】（1）由频数分布表中的数据，可得该校高三学生每天放学后的平均锻炼时间为： 810121172
1030507090110505050505050
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=1.661215.412.6 4.452+++++=(分).
（2）由频数分布表得，“锻炼助考生”的人数是117220++=人， 根据等高条形图作出2×
2列联表如下： 男生 女生 总计
锻炼助考生 6 14
20 非锻炼助考生
18 12
30 总计
24
26
50
可得2
50(6121814)225
4.327 6.6352030242652
K ⨯⨯-⨯=
=≈<⨯⨯⨯， 所以没有99%的把握认为“锻炼助考生”跟性别有关.
19．如下图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PCD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为正方形，侧面PCD 为等腰三角形，且120PCD ∠=︒，PD 的中点为E .
（1）求证：CE ⊥平面PAD ；
（2）求平面PAD 与平面PAB 所成二面角的平面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（227
【分析】（1）由题意可得CE PD ⊥，再由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面PCD ，
从而可得AD CE ⊥，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）在平面PCD 内过点C 作CH CD ⊥交PD 于点H ，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系，CE 为平面PAD 的一个法向量，再求出平面P AB 的一个法向量，利用空间向量的数量积即可求解.
【详解】（1）证明：∵点E 是PD 的中点，PCD 为等腰三角形， ∴CE PD ⊥.
∵平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ，AD CD ⊥， ∴AD ⊥平面PCD . 又CE ⊂平面PCD ， ∴AD CE ⊥， 而AD
PD D =，
∴CE ⊥平面PAD
.
（2）如图，在平面PCD 内过点C 作CH CD ⊥交PD 于点H ， ∵平面PCD ⊥平面ABCD ，交线为CD ， ∴CH ⊥平面ABCD ，
∴以C 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系， 设正方形ABCD 的边长为4a ，则4PC a =， ∴(440)A a a ，，，(040)B a ，，，(2023)P a -，，. ∵CE ⊥平面PAD ，
∴CE 为平面PAD 的一个法向量，
得(03)CE a =，，，(400)AB a =-，，，(2423)BP a a a =--，，. 设平面P AB 的一个法向量为()n x y z =，，，
()()()
()4,0,0,,02,4,23,,0AB n a x y z BP n a a a x y z ⎧⋅=-⋅=⎪∴⎨⋅=--⋅=⎪⎩
得020x x y z =⎧⎪⎨
--=⎪⎩，
，
令y =0x =，2z =，
∴平面P AB 的一个法向量为(032)n =，，，
∴cos ||||CE n CE n CE n =
<，>
=
=
∴平面P AD 与平面P AB 【点睛】思路点睛：
解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：
（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角.
20．已知函数()()ln f x ax x =-，()()()2
1ln 18g x x x x x =+++-.
（1）当()0,x e ∈时，函数()f x 有且仅有两个零点，求实数a 的取值范围； （2）当()0,2x e ∈时，()g x k <恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）(
)1
,e e e
-；
（2）[)0,+∞. 【分析】（1）利用导数可求得()f x 单调性，知()max ln 10f x a =->，可求得a e >；结合零点存在定理可知()0f e <，解得1e a e -<，由此可确定a 的取值范围； （2）令()()h x g x '=，由()0h x '>可知()g x '在()0,2e 上单调递增，由
()()0g g x ''<<()2g e '可确定()00,2x e ∃∈，使得()00g x '=，由此得到()g x 单调
性，利用放缩可知()20g e <，由此知()()00g x g <=，由此可求得k 的取值范围. 【详解】（1）
0x
，0a ∴>，()ln ln f x x x a ∴=-+，则
()()1110x
f x x x x
-'=
-=>， ∴当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<；
()f x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 1ln 1f x f a ∴==-，
要使()f x 有且仅有两个零点，必须有ln 10a ->，解得：a e >； 当a e >时，1
01ae
<
<，则1111ln ln 10f a ae ae ae ae ⎛⎫
=-+=--< ⎪⎝⎭
，
令()ln ln 0f e e e a =-+<，解得：1e a e -<； 综上所述：当(
)1
,e a e e
-∈时，函数()f x 在()0,e 上有且仅有两个零点；
（2）()()()ln 1128ln 127g x x x x x '=+++-=++-， 令()()ln 127h x x x =++-，则()123
211
x h x x x +'=
+=++， 当()0,2x e ∈时，()0h x '>，()h x ∴，即()g x '在()0,2e 上单调递增，
()()()02g g x g e '''∴<<，即()()7ln 2147g x e e '-<<++-， ()ln 21470e e ++->，()00,2x e ∴∃∈，使得()00g x '=，
∴当()00,x x ∈时，()0g x '<；当()0,2x x e ∈时，()0g x '>；
()g x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,2x e 上单调递增，
又()00g =，
()()()()222221ln 2141621ln 416g e e e e e e e e e
=+++-<++-()2
2234122474 2.8 1.57 6.76702e e e ⎛⎫
=-+=--<⨯--=-< ⎪⎝⎭
，
∴当()0,2x e ∈时，()0g x <恒成立，∴实数k 的取值范围为[)0,+∞；
【点睛】关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到根据零点个数求解参数范围、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是将问题转化为函数最值的求解问题，利用导数求得函数的最值后即可得到参数的取值范围.
21．已知抛物线22y x =的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点(4,2)M 为平面上的定点，点B ，C 是y 轴上不同的两点.
（1）求||||PF PM +的最小值，并求此时P 点的坐标；
（2）若圆22(1)1x y -+=是PBC 的内切圆，求PBC 的面积的最小值.
【答案】（1）
9
2
，(2,2)；（2）8.
【分析】（1）过点P 作准线l 的垂线，垂足为E ，过点M 作准线l 的垂线，垂足为N ，直线MN 与抛物线的交点为0P ，得到||||||||||PF PM PE PM ME +=+≥||MN ≥，联立方程组，即可求解.
（2）由直线PB 的方程为00
y b
y b x x --=
，根据圆心(10)，到直线PB 的距离为1，化简得到2000(2)20x b y b x -+-=，同理得到2000(2)20x c y c x -+-=，得出,b c bc +，
进
而求得0
02||2
x b c x -=-，结合面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，抛物线22y x =的准线l 为1
2
x =-，过点P 作准线l 的垂线，垂
足为E ，
过点M 作准线l 的垂线，垂足为N ，直线MN 与抛物线的交点为0P ， 则有||||||||||PF PM PE PM ME +=+≥||MN ≥19
422
=+
=. 又由222y y x =⎧⎨=⎩可得2
2
x y =⎧⎨=⎩，所以此时P 点的坐标为0(22)P ，
. （2）设00()P x y ，，(0)B b ，，(0)C c ，，
由于直线PB ，PC 都不可能与x 轴垂直，由题易知02x >， 则直线PB 的方程为00
y b
y b x x --=
，即000()0y b x x y x b --+=. 又由圆心(10)，
到直线PB 的距离为1
1=，
故22222
00
0000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+， 上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=， 同理，2000(2)20x c y c x -+-=， 所以0022
y b c x -+=
-， 0
02x bc x -=-，又2002y x =，
则0
02||2x b c x -==-， 故01||2PBC S b c x =-△ 0002x x x =
- 00
4(2)42x x =-++
-48≥=， 当20(2)4x -=时，上式取等号，此时，04x =
，0y =±.
因此PBC 的面积的最小值为8
.
【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，
并在两个坐标系下取相同的长度单位，已知曲线C 的参数方程为133x y θ
θ
⎧=⎪⎨
=⎪⎩(θ为参数)，直线l 的参数方程为2cos 1sin x t y t α
α
=+⎧⎨
=+⎩(t 为参数，α为直线l 的倾斜角). （1）求曲线C 的普通方程；当3
π
α=
时，求直线l 的极坐标方程；
（2）若曲线C 和直线l 交于M ，N 两点，且||10MN =l 的倾斜角. 【答案】（1）22(1)3x y -+=，π2cos 2316ρθ⎛
⎫+= ⎪⎝⎭；（2）π12或5π12
.
【分析】(1)消去参数可得曲线C 的普通方程，3
π
α=时，把直线l 的参数方程化为普
通方程，再化成极坐标方程而得；
(2)把直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，借助韦达定理及参数的几何意义求解即得.
【详解】（1）由133x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩得曲线C 的普通方程为22(1)3x y -+=；
当
π
3
α=时，直线l
的参数方程为
1
2
2
1
x t
y
⎧
=+
⎪⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
(t为参数)，
直线l
10 y
--=
，则其极坐标方程为
cos sin10
θρθ
--=，
即
π
2cos1
6
ρθ⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
；
（2）将
2cos
1sin
x t
y t
α
α
=+
⎧
⎨
=+
⎩
代入圆的方程22
(1)3
x y
-+=，得
22
1cos)(1sin
()3
t t
αα
+++=，化简得22(sin cos)10
t tαα
++-=，
又点(21)
，在圆22
(1)3
x y
-+=内，设M，N两点对应的参数分别为
1
t，
2
t，则
12
2(sin cos)
t tαα
+
+=-，
12
1
t t=-，
则
12
||
||t t
N
M=-=
1
sin2
2
α=，解得π
2
6
α=或2
5π
6
α=，即
π
12
α=或
5π
12
α=，
所以直线l的倾斜角为
π
12
或
5π
12
.
23．在平面直角坐标系xOy中，函数32
y kx mx
=+的图象过点(1,4)
-
P，且在点P处的切线l恰好与直线130
x y
-=垂直.
（1
）求函数()
f t
（2）若正数a，b，c满足20
a b c k m
++++=，求
14
a b b c
+
++
的最小值.
【答案】（1）2；（2）
9
4
.
【分析】（1）由题有2
32
y kx mx
'=+，将点P（-1,4）代入原函数，再根据过P的切线与直线x-13y=0垂直，得到
4
1332
k m
k m
-=+
⎧
⎨
-=+
⎩
，
，
解得参数5
k=-，1
m=
，求得
()
f t=222
()22
x y x y
++
≤，求得()
f t的最大值. （2）由（1）中求得的5
k=-，1
m=代入，可得()()4
a b b c
+++=，将问题变为14
a b b c
+
++
114
[()()]
4
a b b c
a b b c
⎛⎫
=++++
⎪
++
⎝⎭
，展开即可里不等式求得最小值.
【详解】（1）由题有232y kx mx '=+，得41332k m k m -=+⎧⎨-=+⎩，
，
得5k =-，1m =，
∴()f t (02)t ≤≤， ∵222xy x y ≤+， ∴222()22x y x y ++≤，
∴2224+=≤，
2
1t =时取等号， 故()f t 的最大值为2. （2）由5k =-，1m =，
∴24a b c ++=，即()()4a b b c +++=，
∴
14
a b b c +++114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭
14()54b c a b a b b c ++⎡⎤=
++⎢⎥++⎣⎦
19(54)44⨯+=≥， 当且仅当()()42()a b b c b c a b +++=⎧⎨
+=+⎩
，
， 即4383a b b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=
⎪⎩
，时取等号，
故
14
a b b c
+++的最小值为94
【点睛】方法点睛：利用导数求得函数的解析式，借助基本不等式的性质求解最值；遇到型如
14
a b b c
+++的表达式求最值时，可以通过常量代换，本题中变成114[()()]4a b b c a b b c ⎛⎫
++++ ⎪++⎝⎭
，可以求得最小值.。