高三数学一轮复习精品学案6：§2.4二次函数与幂函数

§2.4二次函数与幂函数基础梳理
1．二次函数
(1)二次函数的三种形式
一般式：f(x)=______________________;
顶点式：f(x)＝______________________，顶点坐标为
;
零点式：f(x)＝___________________，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象与性质
函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)y＝ax2＋bx＋c(a＜0) 图象
定义域④__________ ⑨__________ 值域⑤__________ ⑩__________
单调性在⑥__________上递减，
在⑦__________上递增在⑪__________上递增，在⑫__________上递减
最值
当x＝－b
2a时，函数
有最小值⑧__________当x＝－
b
2a时，函数
有最大值⑬__________
顶点⑭__________
对称轴函数的图象关于直线⑮__________成轴对称
(1)定义：形如⑯__________(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是⑰__________，α为⑱__________.
(2)幂函数的图象
(3)幂函数的性质
学情自测
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( )
(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，x ∈『a ，b 』的最值一定是2
44ac b
a
-.( )
(3)函数y ＝2x 1
3是幂函数．( )
(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n 在(0，＋∞)上是增函数．( ) 2．已知点M ⎝⎛
⎭
⎫
33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )
A ．f (x )＝x 2
B ．f (x )＝x －
2 C ．f (x )＝12
x D ．f (x )＝x －1
2
3．若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________．
4．已知函数h (x )＝4x 2－kx －8在『5，20』上是单调函数，则k 的取值范围是________． 5．若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)xm 2－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________． 考点一 求二次函数的解析式 例 1
已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，满足不等式f (x )＞－2x 的解集为(1,3)，且方程f (x )＋6a ＝0有两个相等实根，求f (x )的解析式．
变式探究1 已知二次函数f (x )同时满足条件：
(1)f(1＋x)＝f(1－x)；
(2)f(x)的最大值为15；
(3)f(x)＝0的两根立方和等于17.
求f(x)的解析式．
考点二二次函数的最值
例2已知f(x)＝x2＋3x－5，x∈『t，t＋1』，若f(x)的最小值为h(t)，写出h(t)的表达式．
变式探究2已知x2≤1，且a－2≥0，求函数f(x)＝x2＋ax＋3的最值．
考点三二次函数的综合问题
例3若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间『－1,1』上，不等式f(x)＞2x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
变式探究3已知f(x)＝x2＋ax＋3－a，若x∈『－2,2』时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围．
考点四 幂函数的图象与性质
例 4点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎫－2，1
4在幂函数g (x )的图象上． (1)求f (x )，g (x )的解析式；
(2)问当x 取何值时有：①f (x )＞g (x )；②f (x )＝g (x )；③f (x )＜g (x )．
变式探究4 已知幂函数y ＝x m 2－2m －3
(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函
数，求满足3
(1)m
a -+＜3
(32)
m a -
-的a 的范围．
方法总结 一个核心
二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次 ”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，充分利用二次函数的图象是探求解题思路的有效方法． 一个结论
ax 2＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是2
040
a b ac >⎧⎨
-<⎩，x 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的充要
条件是2
040
a b ac <⎧⎨
-<⎩.
一个特征
幂函数y ＝x α(α∈R )图象的特征
α＞0时，图象过原点和(1，1)，第一象限的图象上升；
α＜0时，图象不过原点，过(1，1)，第一象限的图象下降，反之也成立． 两种方法
函数y ＝f (x )对称轴的判断方法
1．对于二次函数y ＝f (x )，如果对定义域内所有x 都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝
12
2
x x +对称． 2．对于二次函数y ＝f (x )，如果对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．
——★ 参 考 答 案 ★——
基础梳理 1．二次函数 (1)ax 2＋bx ＋c (a ≠0)
a (x －h )2＋k (a ≠0) (h ，k ) a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)
①ax 2＋bx ＋c (a ≠0) ②a (x －h )2＋k (a ≠0) ③a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0) ④R
⑤⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⑥⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⑦⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⑧4ac －b 2
4a ⑨R ⑩⎝
⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ⑪⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a ⑫⎣⎡⎭⎫－b 2a ，＋∞ ⑬4ac －b 24a ⑭⎝⎛⎭⎫－b 2a
，4ac －b 24a ⑮x ＝－b 2a ⑯y ＝x α ⑰自变量 ⑱常数 ⑲R ⑳R ○21函数 ○
22R ○23『0，＋∞) ○24偶函数 ○25『0，＋∞) ○26(－∞，0』 ○27R ○28R ○29奇函数 ○
30在R 上为增函数 ○31『0，＋∞) 学情自测
1． (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．B
『解析』设f (x )＝x α
，则有3＝⎝⎛⎭
⎫33α，即3＝3－α2，
∴－α
2＝1，
∴α＝－2， ∴f (x )＝x －
2. 3．4
『解析』f (x )＝x 2＋(a －4)x －4a ，由f (x )是偶函数知a －4＝0，所以a ＝4. 4．(－∞，40』∪ 『160，＋∞)
『解析』函数h (x )的对称轴为x ＝k 8，要使h (x )在『5，20』上是单调函数，应有k 8≤5或k
8≥20，
即k ≤40或k ≥160. 5．1或2
『解析』由⎩
⎪⎨⎪
⎧m 2－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.
经检验m ＝1或2都适合． 考点一 求二次函数的解析式
例 1解：因f (x )与f (x )＋2x 的二次项系数相等， ∴f (x )＋2x 的二次项系数为a . 又∵f (x )＋2x ＞0的解集为(1,3)， ∴设f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)(a ＜0)， ∴f (x )＝a (x 2－4x ＋3)－2x ＝ax 2－(4a ＋2)x ＋3a .
∵方程f (x )＋6a ＝0有两个相等实根， ∴ax 2－(4a ＋2)x ＋9a ＝0有两个相等实根． ∴『－(4a ＋2)』2－36a 2＝0， 解得a ＝1(舍)，a ＝－1
5.
∴f (x )＝－15x 2－65x －3
5
.
变式探究1 解：依条件，设f (x )＝a (x －1)2＋15， 即f (x )＝ax 2－2ax ＋a ＋15， ∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝1＋15
a
.
而x 31＋x 32＝(x 1＋x 2)3
－3x 1x 2(x 1＋x 2)
＝23－3·2·(1＋15a )
＝2－90a
，
∴2－90
a ＝17，则a ＝－6.
∴f (x )＝－6x 2＋12x ＋9. 考点二 二次函数的最值
例 2 解：如图所示，∵函数图象的对称轴为x ＝－3
2
，
(1)当t ＋1≤－32，t ≤－5
2时，即h (t )＝f (t ＋1)＝(t ＋1)2＋3(t ＋1)－5，
即h (t )＝t 2＋5t －1(t ≤－5
2
)．
(2)当t ≤－32＜t ＋1，即－52＜t ≤－3
2时，
h (t )＝f (－32)＝－29
4
.
(3)当t ＞－3
2
时，h (t )＝f (t )＝t 2＋3t －5.
综上可得h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧
t 2＋5t －1t ≤－
5
2
，
－294－52＜t ≤－3
2
，t 2
＋3t －5t ＞－32
.
变式探究2 解：由已知得－1≤x ≤1，a ≥2，于是函数f (x )是定义在区间『－1,1』上的二次函数，将f (x )配方得：
f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋3－a 2
4，二次函数f (x )的对称轴方程是x ＝－a
2
，顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－a 2，3－a 2
4，图象开口向上，由a ≥2可得x ＝－a
2≤－1，显然其顶点横坐标在区间『－1,1』的左侧或左端点
上．
如图，函数的最小值是f (－1)＝4－a ，最大值是f (1)＝4＋a . 考点三 二次函数的综合问题 例 3 解：(1)由f (0)＝1得，c ＝1. ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1. 又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，
∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x ， 即2ax ＋a ＋b ＝2x ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－1.
因此，f (x )＝x 2－x ＋1.
(2)f (x )＞2x ＋m 等价于x 2－x ＋1＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0，要使此不等式在『－1,1』上恒成立，只需使函数g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1,1』上的最小值大于0即可． ∵g (x )＝x 2－3x ＋1－m 在『－1,1』上单调递减， ∴g (x )min ＝g (1)＝－m －1， 由－m －1＞0得，m ＜－1.
因此满足条件的实数m 的取值范围是(－∞，－1)． 变式探究3 解：设f (x )的最小值为g (a )，则只需g (a )≥0，
(1)当－a
2＜－2，即a ＞4时，
g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0，得a ≤7
3，
又a ＞4，故此时a 不存在； (2)当－a
2∈『－2,2』，即－4≤a ≤4时，
g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a
2
4
≥0，得－6≤a ≤2， 又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2；
(3)当－a
2＞2，即a ＜－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0，得a ≥－7，又a ＜－4，故－7≤a ＜－4.
综上，得－7≤a ≤2.
考点四 幂函数的图象与性质
例 4 解：(1)设f (x )＝x a ，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，将(2，2)代入f (x )＝x a 中， 得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f (x )＝x 2.
设g (x )＝x b ，因为点⎝⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，将⎝⎛⎭⎫－2，1
4代入g (x )＝x b 中， 得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g (x )＝x －
2. (2)在同一坐标系下作出f (x )＝x 2和g (x )＝x
－2
的图象如图所示：
由图象可知：
①当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＞g (x )； ②当x ＝1或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； ③当－1＜x ＜1时，f (x )＜g (x )．
变式探究4 解：∵函数在(0，＋∞)上递减， ∴m 2－2m －3＜0，解得－1＜m ＜3. ∵m ∈N ＋， ∴m ＝1,2.
又函数图象关于y 轴对称，
∴m 2－2m －3是偶数．
而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数， ∴m ＝1. 而y ＝1
3
x
-在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴13
(1)
a -
+＜13
(32)
a -
-等价于a ＋1＞3－2a ＞0或0＞a ＋1＞3－2a 或a ＋1＜0＜3－2a .
解得a ＜－1或23＜a ＜3
2
.
故a 的范围为{a |a ＜－1或23＜a ＜3
2}．。