幂函数 2022年高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)(讲)原卷版

专题3.4 幂函数
【知识清单】
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的5种幂函数的图象
(3)常见的5种幂函数的性质
【考点分类剖析】
考点一：幂函数的概念
例1.已知函数f(x)＝(m2＋2m)·x m2＋m－1，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；
(4)幂函数.
【总结提升】
形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋
1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数． 【变式探究】
（2021·全国高一课时练习）设α∈11,132⎧
⎫-⎨⎬⎩⎭
，，
，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
考点二 ：幂函数的图象
例2.（2020·四川省高一期末）若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，d y x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ）
A ．1a b >>
B ．1a b >>
C ．0b c >>
D ．0d c >>
例3.若幂函数1
,m
y x y x -==与n
y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）
A. 101m n -<<<<
B. 10n m -<<<
C. 10m n -<<<
D. 101n m -<<<<
例4.（2021·浙江高一期末）已知幂函数()f x x α
=的图像过点，则α=________，(16)f =_________．
【总结提升】
1.函数y ＝x α
的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y 轴左侧的增减性即可．
2.幂函数y ＝x α的形式特点是“幂指数坐在x 的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题. 【变式探究】
1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数4
3
y x =的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数n
y x =的部分图像,已知n 取
11
,2,2,22
--这四个值,则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为( )
A ．11
2,,,222-- B ．11
2,,,222--
C ．11,2,2,22
--
D ．112,,2,22
--
3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ） A ．幂函数的图像过(0,0) 和(1,1)两点 B ．幂函数的图像不可能出现在第四象限 C ．当0n >时，()*
n
y x
n N =∈是增函数
D ．0y x =的图像是一条直线
考点三 ：幂函数的性质
例5. （2021·北京高三其他模拟）已知定义在R 上的幂函数()m
f x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记
()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
例6.（2021·贵州省思南中学高三一模（理））已知幂函数()()
()1
2
*
m m f x x
m N -+=∈，经过点(，试
确定m 的值，并求满足条件()()21f a f a ->-的实数a 的取值范围. 例7.（2021·全国高一课时练习）已知偶函数()2
4a a
f x x -=在()0∞+，上是减函数，则整数a 的值是________．
【方法技巧】
1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况. 【变式探究】
1. （2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f （x ）＝x n
+1的图象上，设a f =⎝⎭
，b ＝f
（ln π），4c f ⎛= ⎝⎭
，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A ．b ＜a ＜c
B ．a ＜b ＜c
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜a ＜b
2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当
(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.
3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数2()(1)m f x m m x =--是幂函数，且()f x 在
(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.
考点四：幂函数综合问题
例8.（2021·江西高三其他模拟（文））已知函数1a
y ax b =-+-是幂函数，直线
20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则
1
1
n m ++的取值范围是（ ） A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝
⎝⎭⎭
B ．(1,3)
C ．1,33
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．1
,33⎛⎫ ⎪⎝⎭
例9.（江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1
x
(x >0)图象上一动点．若
点P ，A 之间的最短距离为，则满足条件的实数a 的所有值为________． 例10.（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数()()
2312
22
33p p f x p p x
--
=-+满足()()24f f <．
（1）求函数()f x 的解析式； （2）若函数()()()[]2
,1,9g x f
x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m
的值；若不存在，说明理由；
（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由． 【变式探究】
1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()
21f x f x --的最大值为（ ） A ．
1
2
B ．12
-
C ．34
-
D ．-1
2.（2020·上海高一课时练习）若223
3
(1)(32)
a a --+>-，求实数a 的取值范围．。