中国海洋大学 概率统计—第三章(1)

y 1 d x ln(1 y ),0 y 1, 0 1 x 0, 其它.
三、小结
1. 设 ( X ,Y ) 是二维离散型随机变量 pij ( i , j 1, 2,) , 为其联合分布律, 在给定Y y j 条件下随机变量 X 的条件分布律为 P { X xi ,Y y j } pij P { X xi Y y j } , P {Y y j } p j
解 样本点
D F
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0 2 1 2 1
3 1
2 1
4 2
2 1
4 1
3 1
4 2
由此得 D 和 F 的联合分布律与边缘分 布律 :
F
D
0 1 2
P{ D i }
1 2 3 4 1 10 0 0 0 0 4 10 2 10 1 10 0 0 0 2 10 1 10 4 10 2 10 3 10
x
x
f X Y (u y ) d u
[ f (u, y) fY ( y)]d u.

FY X ( y x)
y
y
f Y X (v x ) d v
[ f ( x, v) f X ( x)]d v.

§4. 随机变量的独立性
1. 定义
设F ( x , y )及FX ( x ), FY ( y )分别是二维随机变量 ( X ,Y )的分布函数及边缘分布 函数.若对于所有 x , y 有 即 P{ X x ,Y y } P{ X x }P{Y y }, F ( x , y ) FX ( x )FY ( y ),
1π 1 , 1 y2 x 1 y2 , f X Y ( x y ) ( 2 π) 1 y 2 2 1 y 2 0, 其他.
y=0 y=0.5
结论: 正态分布的边缘分布和条件分布仍为 正态分布.
解：
fY ( y ) f ( x , y ) d x
F ( x , y ) P { X x ,Y y } ,
P{ X x,Y } F ( x , )
( X ,Y )关于X的边缘分布函数 .
一、离散型随机变量的边缘分布律
X Y
x1
x2

xi

y1 y2 yj
p11 p12 p1 j
p21 p22 p2 j

x
同理定义在 X x 的条件下Y 的条件概率密度为
FY X ( y x ) P{Y y X x }
y

f ( x, y) d y. f X ( x)
条件分布函数与条件密度函数的关系
FX Y ( x y)
x
f X Y (u y) d u [ f (u, y) fY ( y)]d u.
1
o
x
2. 二维正态分布
二维正态分布的图形
推广
定义
n 维随机变量的概念
设 E 是一个随机试验, 它的样本空间是
S {e }, 设X 1 X 1 (e ), X 2 X 2 (e ),, X n X n (e ), 是定义在 S 上的随机变量,由它们构成的一个 n 维向量 ( X 1 , X 2 ,, X n ) 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量.
在给定 X xi 条件下随机变量Y 的条件分布律为 P{ X xi ,Y y j } pij P{Y y j X xi } , P { X xi } pi 其中 i , j 1, 2,.
2. 设 ( X ,Y ) 是二维连续型随机变量则有 ,
FX Y ( x y )
称
f X Y ( x y ) d x
x
x
f ( x, y) d x 为在 Y y 的 fY ( y )
条件下, X 的条件分布函数, 记为 P{ X x Y y } 或 FX Y ( x y ), 即 FX Y ( x y ) P{ X x Y y } f ( x, y) d x. fY ( y )
即 pij pi p j .
y
( x, y)
X x ,Y y
o
x
分布函数的性质
注意: 利用分布函数的性质去判断一个函数是否为随机变
量的分布函数.
一、二维离散型随机变量
pij 0,
p
i 1 j 1


ij
1.
二维随机变量 ( X,Y ) 的分布律也可表示为
X Y
y1 y2 yj
x1 p11 p12 x2 p21 p22 xi pi 1 pi 2
Y X
1
2
1
2
2
1 2
0 13
13 13
0, x 1 或 y 1或1 x,y <2, 1 F ( x, y) , 1 x 2, y 2, 或x 2,1 y 2, 3 1, x 2, y 2.
说明 离散型随机变量 ( X ,Y ) 的分布函数归纳为
0, x 1, 或 y 0, ( 2 x y 2) y , 1 x 0, 0 y x 1, F ( x , y ) ( x 1)2 , 1 x 0, y x 1, (2 y ) y , x 0, 0 y 1, 1, x 1, y 1.
思考
边缘分布均为正态分布的随机变量,其联合分
布一定是二维正态分布吗?
答 不一定. 举一反例以示证明.
令 ( X ,Y ) 的联合密度函数为 1 f ( x, y) e (1 sin x sin y ), 2π 显然, ( X ,Y ) 不服从正态分布 但是 , 1 f X ( x) e 2π
第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量 边缘分布 条件分布 相互独立的随机变量 两个随机变量的函数的分布
§1.二维随机变量
定义 3.1.1
设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e}，又设 X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成 一个向量(X,Y)，叫做二维随机向量或二维随机变量。
F ( x, y)
x yy pij , x
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
二、二维连续型随机变量
结论1 二维连续型随机变量(X,Y)的分布函数 F(x,y)关于x和y连续。
解：(i) 根据规范性得 A=2;
三、两个常用的分布
1. 均匀分布
p1 j
p2 j

pij

例 3.1.1(二维离散型随机变量的分布律) 设随机变量X在1,2,3,4中等可能取值，而随机变量Y在 1~X中等可能取整数值，求(X,Y)的分布律。
例 3.1.2（联合分布律、分布函数） 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2。从中任取 一个, 丌放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取 到的可能性相等,以 X, Y 分别记第一次和第二次取到的球 上标有的数字 ,求 ( X, Y ) 的分布律不分布函数。

x
FY X ( y x)
y

fY X (v x) d v [ f ( x, v) f X ( x)]d v.

y
说明 联合分布、边缘分布、条件分布的关系如下
边缘分布 联合分布 条件分布 联合分布
结论: 二维均匀分布的边缘分布不一定是一维均匀 分布, 但其条件分布一定是一维均匀分布.
设 D 是平面上的有界区域，其面积为 S，若二维随
机变量 ( X , Y ) 具有概率密度
则称 ( X , Y ) 在 D 上服从均匀分布。
例 3.1.4 已知随机变量 ( X , Y ) 在 D上服从均匀分布,试求( X , Y ) 的分布密度及分布函数,其中D为x 轴，y 轴及直线 y = x+1 y 所围成的三角形区域。 y x1 1
P{ F j }
1 10 7 10 2 10 1
或将边缘分布律表示为
D 1
2
3
4
F
0
1
2
pk 1 10 4 1续型随机变量的边缘分布
y y x
(1,1)
y x2
O
x
二维正态分布和其边缘分布的关系
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相依关系的一个有力工具 在Y=y的条件下, X的条件分布函数:
一、离散型随机变量的条件分布
例 3.3.1(离散型条件分布律) 在一汽车工厂中，一辆汽车有两道工序是由机器人完成 的。其一是紧固3只螺栓，其二是焊接2处焊点。以X表示螺 栓紧固不良的数目，以Y表示焊点焊接不良的数目。据以往 的资料知二维离散型随机变量(X,Y)具有以下分布律：
X (e )
e
S
Y (e )
实例1 炮弹的弹着点的 位置 ( X, Y ) 就是一个二 维随机变量. 实例2 考查某一地 区学前 儿童的发育情况 , 则儿童的 身高 H 和体重 W 就构成二 维随机变量 ( H, W ). 说明 二维随机变量 ( X, Y ) 的分布不仅与 X 、Y 的分布有关,还依赖于这两个随机变量的相互关系.


pi 1 pi 2 pij




j 1

P{ X xi } pij , i 1,2,;
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1

※ 离散型随机变量关于X 和Y 的边缘分布函数分 别为：
例3.2.1 已知下列分布律求其边缘分布律.