格林公式ppt课件
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D D
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
14
课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
中L为
圆
y
L
周( x 1)2 y2 2, L的 方 向 逆 时 针.
解 设L所围区域为D.
P(x,
y)
y 2( x2
b
又,
a
{P[ x,1( x)]
P dxdy
P[
b
dx
x,2( x)]}dx;
2 ( x)P dy
D y
a
1 ( x ) y
L 2: y 2( x) DD
b
[P( x,
a
y
)]12
( (
x x
) )
dx
L1: y 1( x)
b
aLP{Pdx[ x,2D(x)P]ydPx[dxy,.
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
l
:
xy
r r
cos t, sin t,
t从0变到2 .
2 r 2 cos 2 t r 2 sin2 t
0
r2
dt
2
0 d t 2π.
y
L
D
D1
O
x
l : x2 y2 r2
当奇点(0,0) D时,若不注意是否满足P202定理 1
的条件而直接使用格林公式, 则
y2)
,
Q( x,
y)
x 2( x2
y2)
.
O
lD
x
P y
x2 2( x2
y2 y2 )2
Q 在D内 不 连 续,(0,0)是 奇 点. x
D上 不 能 用 格 林 公 式(见P202定 理1条 件).
在D内 作 小 圆 周l : x2 y2 r 2方 向 逆 时 针(如 图).
L
(1)当(0,0) D时, Q , P 在D上连续, x y
L D
可 以 用 格 林 公 式(. ∵满足P202定理1的条件)
xdy ydx Q P
O
x
L
x2 y2
( )dxdy 0. D x y；.
12
(2)当(0,0) D时,
Q , P 在D上不连续( 有奇点), D上不能用格林公式.
L BA
BA
x
A(1,0)
1
( y 0)dxdy xdx 1 D
x x,
BA
:
y
0,
1
d sin d 0
0
0
；.
2. 3
x从 1变 1.
9
格林公式 P202公 式(1)
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
课堂练习 计算 ( x y)dx (2x y)dy,其中L是以 L
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
；.
1
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其边界曲线的正向 设D为 平 面 区 域, 如 果D内 任 意 一 条 闭 曲 线 所 围 的 部 分 都 属 于D,则 称D是 平 面单 连 通 区 域, 否 则 称 为复 连 通 区 域.
若D上有P、Q的偏导数不连
上述等式称为格林公式. 续的点,则不能用格林公式.
；.
4
格 林 公 式L
Pd x
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
证 (1) D是单连通区域时(如图)
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
b
a
L21
:
x y
x,
12(
x
),,xx从从ab变变到到ba..
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2 ( x)]dx y
；.
(1,0) x
8
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
例3 计算 I xdx xydy, L是上半圆周y L
从A(1,0)到B(1,0)的 一 段.
y
1 x2
解 加 水 平 直 线BA使 之 封 闭(如 图).
I L xdx xy dy
D B(1,0) O
xdx xydy xdx xydy
x, 0,
x从0变到1.
BA
:
x y
1, y,
y从 0变 到1.
(2xy 2xy)dxdy
1
( sin x)dx
1
ydy
0
0
D
0
cos x
1 0
1 2
1
y
2
；0.
1 cos1. 2
11
(3)计算曲线 L 所围区域 D 内有奇点的曲线积分
例4 计 算
L
xdy x2
x y
(不 满 足P 202定 理1的 条 件)
在D内作小圆周l : x2 y2 r 2方向逆时针(如图).
设L与l 共同围成的复连通区域为D1 .
Q x
,
P y
在
复
连
通
域D1上
连
续,
Pdx Qdy (Q P )dxdy
Ll
D1 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy 0,
物线 x y2上由点A(1,1)到O(0,0)的一段弧.
解 为计算上简便,加辅助线常选水平和垂直的直线.
加 水 平 直 线OB和 垂 直 直 线BA
y L A(1,1)
使 之 封 闭, 所 围 区 域 为D(如 图).
D
x
原式
LOB BA
OB
BA
O(0,0)
B(1,0)
OB
:
x y
xoy面上该曲线积分与路径无关.
2xydx x2dy 0.
L
；.
22
例6 计算 2xydx x2dy, 其中L为从O(0,0)到 A(1,1)
都 在G 内,
又因为P y
Q x
,
根据格林公式有
Q P
C
Pdx
Qdy
(
D
x
y
)dxdy
0.
必要性(反证法)
假 设M0 G 使
Q xM0ຫໍສະໝຸດ P y,M0
不 妨 设
Q x
P y
M0
0.又又由由；条. 条件件可知知QxQx、PyPy在在点点MM0连0连续 20续, ,
lim ( MM0
对 ,
2
格林
Pdx Qdy
公式
U
( Q P )dxdy x y
2
U
dxdy
0.
2
这 与 沿G 内 任 意 闭 曲 线 的 曲 线 积分 都 为 零 矛 盾.
；.
21
例5 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
2xydx x2dy 0.
L
证
令P 2xy, Q x2,
Q P 2x, x y
1
( x)]}dx;
类似可证
O
L
a
Qd y
D
Q x
b dxdy.
x
故 格 林 公 式 成 立.
；.
5
(2) D是复连通区域时(如图) (书中未证,P205例4用到)
将D沿辅助线AB割开, 得到以L1 BA L2 AB为
正向边界的单连通区域.由(1)知
P( x, y)dx Q( x, y)dy
x y
a, y,
y从y1变到y2 .
P( x, y)dx y2P(a, y) da y2P(a, y) 0d y 0.
L
y1
y1
一般, L是垂直直线时, L Pdx 0;
L是水平直线时,L Qdy 0.
下面内容中反复；用. 到这一结论.
17
二、平面曲线积分与路径无关的条件
设A、B为 平 面 开 区 域G内 任 意 两 点, L1、L2是G内 从 点A到 点B的 任 意 两
；.
D L
D
L2 L1
3
注意,D可以是单连通域也可以是复连通域.
2.格林公式
定 理1 设 闭 区 域D由 分 段 光 滑 的 曲 线L所 围 成, 函 数P( x, y),Q( x, y)在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,
则有
L
Pd x
Qdy
D
Q x
P y
dxdy,
其 中L 是 D 的 正 向 边 界 曲 线.
15
作业: P200 7(1)(2). P213 1(1),2(1),3,5.
本周五上习题课
；.
16
P200.1题 : 设L为xoy面内直线 x a上的一段,证明:
L P( x, y)dx 0.
解 设L是垂直直线 x a上从(a, y1 )到(a, y2 )一段.
看
成
参
数 方 程, 则L
:
ydx y2
,
其
中L为
一
条
无
重
点,
分
段
光
滑 且 不 经 过 原 点 的 连 续闭 曲 线,方 向 逆 时 针.
解
y P(x, y) x2 y2 ,
x Q( x, y) x2 y2 .
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q 在(0,0)处不连续, 称(0,0)是奇点. x
设L所围成的平面区域为D. y
有 一 阶连 续 偏 导数, 则 曲 线积 分L Pdx Qdy 在G
内 与 路 径 无 关( 或 沿G 内 任 意 闭 曲 线 的 曲 线 积分
为 零 )的 充 分必 要 条 件是P Q 在G 内 恒 成立. y x
证 充分性. G 是单连通域, 在G内任取一条闭曲
线
C , C所 围 成 的 区 域D
L1 BA L2 AB
L1
D
(
Q x
P y
)dxdy成
立.
L2 A D
B
又 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0.
BA
AB
BA
BA
BA AB
要证 PP((xx,,yy))ddxxQQ((xx,,yy))ddyy (Q P)dxdy.
LL11LL22
( Q
P
x DL1 L2
D1上
0,
能 D
用
格林 y
D1
公 L
式.
L
l
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
Ol
x
L
l
l
Pdx Qdy
Pdx
Qdy.
曲线L上的积分可以化成同
；方. 向的小圆周 l 上的积分.
13
L
l
曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周 l 上的积分.
L
xdy x2
y
BA AB
)dxdy. 证D毕为复. 连通区域
L1 BA L2 AB
D x y
D为；复. 连通区域
6
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
3.格林公式的简单应用 顺便说一下格林公式的记忆方法 (1)计算平面区域的面积
L ydx xdy [1 (1)]dxdy 2 dxdy,
(0,0), (3,0), (3,2)为 顶 点 的 三 角 形 区 域 的正 向 边 界.
解 设L所 围 区 域 为D, 根 据 格 林 公 式
L ( x y)dx (2x y)dy
2 (1) dxdy
D
3 dxdy 9.
D
；.
y
(3,2)
D
(0,0)
(3,0) x
10
课堂练习 求 ( xy2 sin x)dx x2 ydy其中L为抛 L
1
D
D
ydx xdy 是L所围区域D的 面 积.
2L
例1 求椭圆x a cos , y b sin 所围成图形的面积A.
解
1
A
2
L
ydx
xdy
1
2π
bsin d(a cos ) a cos d(b sin )
20
1 ab
2π
d
πab.
20
；.
7
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
ydx xdy 2( x2 y2 )
用P 205第810
行的方法得
l
ydx xdy 曲线L上的积分可以化成同 2( x 2 y 2 ) 方向的小圆周 l 上的积分.
( 小 圆)
2 0
r
2
s
in2 t 2r 2
r
2
cos
2
t
d
t
π.
；.
l
:
x y
r r
scionstt,,t从0变到2
.
格林公式的简单应用顺便说一下格林公式的记忆方法正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算由格林公式得所围区域为qdypdx是上半圆周计算xydyxdx如图使之封闭加水平直线badyxyxdxbabaxydyxdxxydyxdxqdypdx正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算根据格林公式所围区域为qdypdxp202公式格林公式obbabaob如图所围区域为使之封闭和垂直直线加水平直线baobdxdyxyxyydy课堂练习直的直线加辅助线常选水平和垂为计算上简便11方向逆时针闭曲线滑且不经过原点的连续分段光为一条无重点其中计算满足p202定理1的条件12如图方向逆时针内作小圆周的条件定理不满足上不能用格林公式上连续在复连通域dqdypdx曲线l上的积分可以化成同方向的小圆周有奇点上不连续公式的条件而直接使用格林定理若不注意是否满足课堂练习p2143条件定理如图方向逆时针内作小圆周cossi是奇点内不连续曲线l上的积分可以化成同方向的小圆周上的积分
单连通区域
复连通区域
单连通区域就是没有“洞”的区域.
；.
2
对平面区域D的边界曲线L, 我们规定L的正向
如下 :沿L的这一方向行走时, D始终位于他的左侧.
单连通区域 D 的边界曲 线L的正向是逆时针方向.
复连通区域D 的边界曲 线L由 L1 和 L2 组成, L1 逆时 针 L2 顺时针方向为边界曲 线L的正向.
Q P
x y
0,
)
Q x
当P
U
P y (M
M0
0, )
. 由连续定义知
G时,
有 (Q P ) , 有 Q P ,
x y
2
2 x y
2
即U(M0, ) 上恒有
Q P x y
. 2
二重积分的性质
设 是U (M0 , )的 正 向 边 界 曲 线, 是U (M0 , )的 面 积.
条曲线,若 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
则 称 该 曲 线 积 分 在G内 与 路 径
无 关, 否 则 便 说 与 路 径 有 关.
B
L2
L1
AG
；.
18
曲线积分在G内与路径无关,
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L1
L2
即 Pdx Qdy Pdx Qdy,
L
xdy y dx x2 y2
D
( Q x
P
Q P x y
)dxdy
0
y ；.
为 错 误 结 果.
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课堂练习
P214.3
求
L
ydx xdy 2( x 2 y2 )
,
其
中L为
圆
y
L
周( x 1)2 y2 2, L的 方 向 逆 时 针.
解 设L所围区域为D.
P(x,
y)
y 2( x2
b
又,
a
{P[ x,1( x)]
P dxdy
P[
b
dx
x,2( x)]}dx;
2 ( x)P dy
D y
a
1 ( x ) y
L 2: y 2( x) DD
b
[P( x,
a
y
)]12
( (
x x
) )
dx
L1: y 1( x)
b
aLP{Pdx[ x,2D(x)P]ydPx[dxy,.
ydx y2
l
xdy ydx x2 y2
l
:
xy
r r
cos t, sin t,
t从0变到2 .
2 r 2 cos 2 t r 2 sin2 t
0
r2
dt
2
0 d t 2π.
y
L
D
D1
O
x
l : x2 y2 r2
当奇点(0,0) D时,若不注意是否满足P202定理 1
的条件而直接使用格林公式, 则
y2)
,
Q( x,
y)
x 2( x2
y2)
.
O
lD
x
P y
x2 2( x2
y2 y2 )2
Q 在D内 不 连 续,(0,0)是 奇 点. x
D上 不 能 用 格 林 公 式(见P202定 理1条 件).
在D内 作 小 圆 周l : x2 y2 r 2方 向 逆 时 针(如 图).
L
(1)当(0,0) D时, Q , P 在D上连续, x y
L D
可 以 用 格 林 公 式(. ∵满足P202定理1的条件)
xdy ydx Q P
O
x
L
x2 y2
( )dxdy 0. D x y；.
12
(2)当(0,0) D时,
Q , P 在D上不连续( 有奇点), D上不能用格林公式.
L BA
BA
x
A(1,0)
1
( y 0)dxdy xdx 1 D
x x,
BA
:
y
0,
1
d sin d 0
0
0
；.
2. 3
x从 1变 1.
9
格林公式 P202公 式(1)
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
课堂练习 计算 ( x y)dx (2x y)dy,其中L是以 L
格林公式及其应用
一、格林公式 二、平面曲线积分与路径无关的条件 三、二元函数的全微分求积
；.
1
一、格林公式
1.单(复)连通区域及其边界曲线的正向 设D为 平 面 区 域, 如 果D内 任 意 一 条 闭 曲 线 所 围 的 部 分 都 属 于D,则 称D是 平 面单 连 通 区 域, 否 则 称 为复 连 通 区 域.
若D上有P、Q的偏导数不连
上述等式称为格林公式. 续的点,则不能用格林公式.
；.
4
格 林 公 式L
Pd x
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
证 (1) D是单连通区域时(如图)
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
b
a
L21
:
x y
x,
12(
x
),,xx从从ab变变到到ba..
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2 ( x)]dx y
；.
(1,0) x
8
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
dxdy
例3 计算 I xdx xydy, L是上半圆周y L
从A(1,0)到B(1,0)的 一 段.
y
1 x2
解 加 水 平 直 线BA使 之 封 闭(如 图).
I L xdx xy dy
D B(1,0) O
xdx xydy xdx xydy
x, 0,
x从0变到1.
BA
:
x y
1, y,
y从 0变 到1.
(2xy 2xy)dxdy
1
( sin x)dx
1
ydy
0
0
D
0
cos x
1 0
1 2
1
y
2
；0.
1 cos1. 2
11
(3)计算曲线 L 所围区域 D 内有奇点的曲线积分
例4 计 算
L
xdy x2
x y
(不 满 足P 202定 理1的 条 件)
在D内作小圆周l : x2 y2 r 2方向逆时针(如图).
设L与l 共同围成的复连通区域为D1 .
Q x
,
P y
在
复
连
通
域D1上
连
续,
Pdx Qdy (Q P )dxdy
Ll
D1 x y
Pdx Qdy Pdx Qdy 0,
物线 x y2上由点A(1,1)到O(0,0)的一段弧.
解 为计算上简便,加辅助线常选水平和垂直的直线.
加 水 平 直 线OB和 垂 直 直 线BA
y L A(1,1)
使 之 封 闭, 所 围 区 域 为D(如 图).
D
x
原式
LOB BA
OB
BA
O(0,0)
B(1,0)
OB
:
x y
xoy面上该曲线积分与路径无关.
2xydx x2dy 0.
L
；.
22
例6 计算 2xydx x2dy, 其中L为从O(0,0)到 A(1,1)
都 在G 内,
又因为P y
Q x
,
根据格林公式有
Q P
C
Pdx
Qdy
(
D
x
y
)dxdy
0.
必要性(反证法)
假 设M0 G 使
Q xM0ຫໍສະໝຸດ P y,M0
不 妨 设
Q x
P y
M0
0.又又由由；条. 条件件可知知QxQx、PyPy在在点点MM0连0连续 20续, ,
lim ( MM0
对 ,
2
格林
Pdx Qdy
公式
U
( Q P )dxdy x y
2
U
dxdy
0.
2
这 与 沿G 内 任 意 闭 曲 线 的 曲 线 积分 都 为 零 矛 盾.
；.
21
例5 设 L 是任意一条分段光滑的闭曲线，证明
2xydx x2dy 0.
L
证
令P 2xy, Q x2,
Q P 2x, x y
1
( x)]}dx;
类似可证
O
L
a
Qd y
D
Q x
b dxdy.
x
故 格 林 公 式 成 立.
；.
5
(2) D是复连通区域时(如图) (书中未证,P205例4用到)
将D沿辅助线AB割开, 得到以L1 BA L2 AB为
正向边界的单连通区域.由(1)知
P( x, y)dx Q( x, y)dy
x y
a, y,
y从y1变到y2 .
P( x, y)dx y2P(a, y) da y2P(a, y) 0d y 0.
L
y1
y1
一般, L是垂直直线时, L Pdx 0;
L是水平直线时,L Qdy 0.
下面内容中反复；用. 到这一结论.
17
二、平面曲线积分与路径无关的条件
设A、B为 平 面 开 区 域G内 任 意 两 点, L1、L2是G内 从 点A到 点B的 任 意 两
；.
D L
D
L2 L1
3
注意,D可以是单连通域也可以是复连通域.
2.格林公式
定 理1 设 闭 区 域D由 分 段 光 滑 的 曲 线L所 围 成, 函 数P( x, y),Q( x, y)在D上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数,
则有
L
Pd x
Qdy
D
Q x
P y
dxdy,
其 中L 是 D 的 正 向 边 界 曲 线.
15
作业: P200 7(1)(2). P213 1(1),2(1),3,5.
本周五上习题课
；.
16
P200.1题 : 设L为xoy面内直线 x a上的一段,证明:
L P( x, y)dx 0.
解 设L是垂直直线 x a上从(a, y1 )到(a, y2 )一段.
看
成
参
数 方 程, 则L
:
ydx y2
,
其
中L为
一
条
无
重
点,
分
段
光
滑 且 不 经 过 原 点 的 连 续闭 曲 线,方 向 逆 时 针.
解
y P(x, y) x2 y2 ,
x Q( x, y) x2 y2 .
P y
y2 x2 ( x2 y2 )2
Q 在(0,0)处不连续, 称(0,0)是奇点. x
设L所围成的平面区域为D. y
有 一 阶连 续 偏 导数, 则 曲 线积 分L Pdx Qdy 在G
内 与 路 径 无 关( 或 沿G 内 任 意 闭 曲 线 的 曲 线 积分
为 零 )的 充 分必 要 条 件是P Q 在G 内 恒 成立. y x
证 充分性. G 是单连通域, 在G内任取一条闭曲
线
C , C所 围 成 的 区 域D
L1 BA L2 AB
L1
D
(
Q x
P y
)dxdy成
立.
L2 A D
B
又 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0.
BA
AB
BA
BA
BA AB
要证 PP((xx,,yy))ddxxQQ((xx,,yy))ddyy (Q P)dxdy.
LL11LL22
( Q
P
x DL1 L2
D1上
0,
能 D
用
格林 y
D1
公 L
式.
L
l
Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy
Ol
x
L
l
l
Pdx Qdy
Pdx
Qdy.
曲线L上的积分可以化成同
；方. 向的小圆周 l 上的积分.
13
L
l
曲线L上的积分可以化成同方向的小圆周 l 上的积分.
L
xdy x2
y
BA AB
)dxdy. 证D毕为复. 连通区域
L1 BA L2 AB
D x y
D为；复. 连通区域
6
L
P(
x,
y)dx
Q(
x,
y)dy
D
Q x
P y
dxdy
3.格林公式的简单应用 顺便说一下格林公式的记忆方法 (1)计算平面区域的面积
L ydx xdy [1 (1)]dxdy 2 dxdy,
(0,0), (3,0), (3,2)为 顶 点 的 三 角 形 区 域 的正 向 边 界.
解 设L所 围 区 域 为D, 根 据 格 林 公 式
L ( x y)dx (2x y)dy
2 (1) dxdy
D
3 dxdy 9.
D
；.
y
(3,2)
D
(0,0)
(3,0) x
10
课堂练习 求 ( xy2 sin x)dx x2 ydy其中L为抛 L
1
D
D
ydx xdy 是L所围区域D的 面 积.
2L
例1 求椭圆x a cos , y b sin 所围成图形的面积A.
解
1
A
2
L
ydx
xdy
1
2π
bsin d(a cos ) a cos d(b sin )
20
1 ab
2π
d
πab.
20
；.
7
L
Pdx
Qdy
D
Q x
P y
ydx xdy 2( x2 y2 )
用P 205第810
行的方法得
l
ydx xdy 曲线L上的积分可以化成同 2( x 2 y 2 ) 方向的小圆周 l 上的积分.
( 小 圆)
2 0
r
2
s
in2 t 2r 2
r
2
cos
2
t
d
t
π.
；.
l
:
x y
r r
scionstt,,t从0变到2
.
格林公式的简单应用顺便说一下格林公式的记忆方法正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算由格林公式得所围区域为qdypdx是上半圆周计算xydyxdx如图使之封闭加水平直线badyxyxdxbabaxydyxdxxydyxdxqdypdx正向边界为顶点的三角形区域的是以其中计算根据格林公式所围区域为qdypdxp202公式格林公式obbabaob如图所围区域为使之封闭和垂直直线加水平直线baobdxdyxyxyydy课堂练习直的直线加辅助线常选水平和垂为计算上简便11方向逆时针闭曲线滑且不经过原点的连续分段光为一条无重点其中计算满足p202定理1的条件12如图方向逆时针内作小圆周的条件定理不满足上不能用格林公式上连续在复连通域dqdypdx曲线l上的积分可以化成同方向的小圆周有奇点上不连续公式的条件而直接使用格林定理若不注意是否满足课堂练习p2143条件定理如图方向逆时针内作小圆周cossi是奇点内不连续曲线l上的积分可以化成同方向的小圆周上的积分