2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)4-3 利用递推公式求通项(精练)(解析版)

4.3 利用递推公式求通项（精练）（基础版）

1．（2022·陕西·无高三阶段练习）若数列{}n a 满足11lg 1n n a a n +⎛⎫

-=+ ⎪⎝⎭

且11a =，则数列{}n a 的第100项为

（ ） A ．2 B ．3 C ．1lg99+ D ．2lg99+

【答案】B

【解析】由题意，因为()111lg 1lg

lg 1lg n n n a a n n n n ++⎛⎫

-=+==+- ⎪⎝⎭

， 所以10099lg100lg99a a -=-， ⋯⋯32lg3lg2a a -=-， 21lg2lg1a a -=-，

以上99个式子累加得1001lg100a a -=， 100lg10013a =+=． 故选：B ．

2．（2022·四川·树德中学）已知数列{}n a 满足128a =，12n n a a n +-=，则n

a n

的最小值为（ ） A ．

29

3

B ．471-

C ．

485

D ．

274

【答案】C

【解析】因为12n n a a n +-=，所以()121n n a a n --=-，()1222n n a a n ---=-，，2121a a -=⋅，1n -式相加可

得()()()()

()11112121212

n n n a a n n n +---=++

+-=⋅

=-，

所以228n a n n =-+，28

12281471n a n n n

=+-≥-=-，当且仅当27n =取到，但*n N ∈，()275,6∈，所以5n =时5284851555a =+-=，当6n =时，6282961663a =+-=，4829

53<，所以n a n 的最小值为485

.

故选：C

3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 满足13a =，()111n n a a n n +=++，则n a =（ ）A ．1

4n

+

B ．1

4n

-

C ．1

2n

+

D ．1

2n

-

题组一 累加法

【答案】B

【解析】由题意可得()1111

11

n n a a n n n n +-==-++，

所以21112a a -=-

，321123a a -=-，…，111

1n n a a n n

--=

--， 上式累加可得()()()121321--=-+-++-n n n a a a a a a a a

111

11111223

1=-+-+

+

-=--n n n

， 又13a =，所以1

4=-n a n

.

故选：B .

4．（2022·全国·高三专题练习）数列{}n a 满足11a =，且11n n a a a n +=++（*n ∈N ），则122017

111a a a ++⋅⋅⋅+=（ ） A ．

2017

1009

B ．

4032

2017

C ．

4028

2015

D ．

2015

1008

【答案】A

【解析】∵11n n a a n +-=+，111n n a a n --=-+，…，2111a a -=+， ∵()1112

n n n a a n ++-=+，即()

1112

n n n a

n ++=

++， ∵()()

1122

n n n n n a n -+=

+=

，2n ≥． ∵11a =符合上式，

∵()

12n n n a +=

． ∵11121n a n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 122017111111112122320172018a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⨯-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 1212018⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭，

20171009

=． 故选：A ．

5．（2022·全国·高三专题练习）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ，则通项公式a n ＝________．【答案】2n －1

【解析】由题意得a n ＋1－a n ＝2n ，把n ＝1，2，3，…，n －1(n ≥2)代入，得到(n －1)个式子，累加即可得(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(an －an －1)＝2＋22

＋23

＋…＋2n －1

，所以(

)1

121212

n n a a ---=

-，即a n －a 1＝2n －2，所以

a n ＝2n －2＋a 1＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝1也符合上式，所以a n ＝2n －1．故答案为：2n －1 6．（2022·全国·高三专题练习）已知110,21n n a a a n +==+-，求通项n a = .

【答案】()()

2

*1n a n n N =-∈

【解析】 121n n a a n +-=-，∴ 211a a -=，323a a -= ，435a a -=，

123n n a a n --=- ()2n ≥，以上各式相加得1n a a -()()2

1357...231n n =+++++-=-()2n ≥，

又10a =，所以()21n a n =- ()2n ≥，而10a =也适合上式， ∴ ()()

2

*

1n a n n N =-∈.

7．（2022·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足()

*11

2,22

n n n a a a n n +-+=+∈N . (1)求证：{}1n n a a +-是等差数列； (2)若121,2a a ==，求{}n a 的通项公式.

【答案】(1)证明见解析(2)2

254n a n n =-+

【解析】(1)由题1124n n n a a a +-+=+，即114n n n n a a a a +--=-+，{}1n n a a +∴-是公差为4的等差数列. (2)()()211211,42472n n a a a a a a n n n --=∴-=-+-=-

12411n n a a n ---=-⋯⋯，累加可得

()()()()()214711474111253

22

n n n a a n n n n n

-+--=-+-+

+=

=-+()2

2542n a n n n =-+，当1n =时1

a 也满足上式2

254n a n n ∴=-+.

1．（2022·全国·高三专题练习）在数列{an }中，a 1=1，111n n a a n -⎛⎫

=- ⎪⎝⎭

(n ≥2)，求数列{an }的通项公式.

【答案】1

n a n

=

【解析】因为a 1=1，111n n a a n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(n ≥2)，所以-11n n a n a n -=，所以1232112321n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -----=

⋅⋅⋅⋯⋅⋅⋅123··12n n n n n n ---=

--·…·21·32·1=1

n

. 题组二 累乘法