高中数学1[1].3.1函数的单调性课件新人教版必修1

0
y
x1 x2
x
因此在f(x)在（0,+∞）上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着增大。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（0,+∞）上是增函数。
函数 f(x)=x2 :
在(-∞,0)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12> x22 即对任意 x1 < x2，都有 f(x1) > f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(-∞,0)上是减函数。
y
y 1 x
y
y
y
o
x
在(-∞,0) 和(0,+∞) 是减函数
y
1 x
o
在(-∞,0) 和(0,+∞) x 是增函数
b , 在 2a
b y ax 2 bx c ， y 在 2a (a 0)
y y ax 2 bx c
判断题： 1 （1）已知f(x)= ，因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)是 x 增函数。 （2）若函数f(x)满足f (2)<f(3),则函数f(x)在区间[2，3] 上为增函数。 （3）若函数f(x)在区间(1，2]和(2，3)上均为增函数， 则函数f(x)在(1，3)上为增函数。
1 （4）因为函数f(x)= x 在区间（-∞，0）和（0，+∞） 上都是减函数，所以f(x)= 1 在（-∞，0）∪（0，+∞） x 上是减函数。
(a 0)
o
x
增函数 b , 在 2a 减函数
o
增函数 b - x 在 - ， 2a 减函数
例2 证明函数 f ( x)
对任意 x1,x2 证明 : 则：
x 在区间[0，+∞）上为增函数。
[0，+∞） ,且x1 < x2，
取值 作差
函数的基本性质
1.3.1函数的单调性
思考1：观察下列各个函数的图象，并说说它 们分别反映了相应函数的哪些变化规律
复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法。下面，我们 2 将按照列表、描点、连线等步骤画出函数 y x 的图象。
（1）列表
x y
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
y
4
y x2
（2）描点 （3）连线（用光滑的曲线连接）
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2)
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的 一般步骤：
1 取 值 ： 设 任 意 两 个 实 数 x1 、 x2 有 ， x1 ， x2∈D，且x1<x2； 2 作差：f(x1)－f(x2)； 3 变形：通常是因式分解和配方； 4 定号：即判断差f(x1)－f(x2)的正负； 5 下结论：即指出函数f(x)在给定的区间D上的 单调性．
得到
1 -2 -1
0
y x 的图象如图所示。
2
1 2
x
引入：从函数的图象看到
图象在y轴的右侧部分是上升的， 也就是说，当x在区间[0，+ )上 取值时，随着x的增大,相应的y值 也随着增大， 这时我们就说函数 2 y=f(x)= x 在[0,+ )上是增函数。 图象在y轴的左侧部分是下降的， 也就是说， 当x在区间（- ，0） 上取值时，随着x的增大，相应的 y值反而随着减小，这时我们就说 -2 2 函数y=f(x)= x 在(- ,0)上是减 函数。
1.增函数、减函数的定义； 2.图象法判断函数的单调性： 增函数的图象从左到右 上升
减函数的图象从左到右 下降
3.利用定义证明函数单调性的步骤: 设值 作差 变形 定号 得出结论
课本上习题1.3A组：1 , 2 题
数与形,本是相倚依, 焉能分作两边飞; 数无形时少直觉, 形少数时难入微; 数形结合百般好, 隔离分家万事休; 切莫忘,几何代数统一体, 永远联系莫分离. ——华罗庚
2 2 2 2
2
2
x1 x2
2
2
2 2
x1 1 x2 1
( x1 x2 )
( x1 x2 )
2 2
( x1 x2 ) ( x1 x2 )
( x1 x2 ) ( x1 1 x2 1) x1 1 x2 1 ( x1 x1 1) ( x2 x2 1) x1 1 x2 1
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
从左至右，图象上升
从左至右，图象下降
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 数量 特征 当x1＜x2时， f(x1) < f(x2) 当x1＜x2时， f(x1) > f(x2)
f(x1) x2 x o x1
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
I 当x <x 时，都有 f (x )
对任意的 x1,x2
1 2 1
如果对于属于定义域A内某个区间I，
>
f(x 2 )，
那么就说在f(x)这个区间上是单调增 那么就说在f(x)这个区间上是单调 函数，I称为f(x)的单调 增 区间. 减函数，I称为f(x)的单调 减 区间. 单调区间
单调性与单调区间：
y
f ( x1 )
f ( x2 )
x1 x20
x
因此在f(x)在（-∞，0）上, 当x增大时, 函数值y 相应地随着减小。这与观察图象所得结果是一致的。 所以f(x)在（-∞，0）上是减函数。
增函数与减函数：
y 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2 时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是 增函数。 y 如果对于定义域I内某个区间D上的任意 两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1＜x2 时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间D上是 减函数。 y=f(x) f(x1) f(x ) 2 x2 x o x1 y=f(x) f ( x2 )


2 x1 x2 x1 x2 0, x1 x2 2， x1 x2 2 0 f ( x1 ) f ( x2 ) 0，即f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f ( x) x 在（ 2， ）上是增函数 x
例6：证明函数 f ( x) x3 x 在R上是增函数。 证明：任取 x1 , x2 R, 且x1 x2
x2 2 3 2 而（x1 ） x2 1 0 2 4 f ( x1 ) f ( x2 ) 0,即f ( x1 ) f ( x2 ) f ( x) x 3 x在R上是增函数。
例7：证明函数 f ( x) x 2 1 x 在其定义域内 是减函数。
例7：证明函数 f ( x) x 2 1 x 在其定义域内 是减函数。
则f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 x1 ) ( x2 x2 ) （x1 x2 ） ( x1 x2 )
3 3
3
3
（x1 x2） ( x1 x1x2 x2 ) ( x1 x2 )
2
2
( x1 x2 )(x1 x1x2 x2 1)
， 证明： f ( x)的定义域为
设任意的x1 , x2 f (,),且x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 1 x1 ) ( x2 1 x2 )
( x1 1 x2 1) ( x1 x2 ) ( x1 x2 )(x1 x2 ) x1 1 x2 1
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或 减函数，那么就说函数在这一区间上具 有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x) 的单调区间。
注意： ⑴函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间 而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些 区间上不是增函数; ⑵函数的单调区间是其定义域的子集。
例1：下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)， 根据图像说出函数的单调区间以及每一单调 区间上，它是增函数还是减函数？
f ( x1 ) f ( x 2 )
x1
x2

由0≤
x1 x2 x1 x2
x1 x2 0
变形
定号
x1 < x2 得
x1 x2 0
于是 f(x1)-f(x2)＜0。 所以函数f ( x)
即 f(x1)＜f(x2)
x 在区间[0，+∞）上为增函数。下结论
三．判断函数单调性的方法步骤
y
4
1 -1
O
x
1 2
思考：
那么应该如何用数学语言来描述并给出 增函数与减函数的定义呢？
函数 f(x)=x2 :
在(0,+∞)上任取 x1、x2 , 则f(x1)= x12 , f(x2)= x22 对任意 x1 < x2 , 都有 x12< x22 即对任意 x1 < x2 ， 都有 f(x1) < f(x2) ∴函数 f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函数。 f ( x2 ) f ( x1 )
2 2 x 2 3 2 ( x1 x2 ) x1 x1 x2 x2 1 2 4
2
2
x2 2 3 2 ( x1 x2 ) ( x1 ) x2 1 2 4
x1 x2
x1 x2 0
由此得出单调增函数和单调减函数的定义. y y
f(x2) f(x1) f(x1) f(x2) x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.
x1 O x2 x 设函数y=f(x)的定义域为A,区间I A.ห้องสมุดไป่ตู้
如果对于属于定义域A内某个区间I，
对任意的 x1,x2
I
当x1<x2时，都有f(x1 ) < f(x2 )，
2 ） 例5：证明函数 f ( x) x 在（ 2， 上是增函数。 x
证明：任取 x1, x2 2, ，且x1 x2
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 2 2 ) ( x2 ) x1 x2 2 2 2( x2 x1 ) （x1 x2） ( ) （x1 x2） x1 x2 x1 x2 2 x x 2 （x1 x2） (1 ) （x1 x2） ( 1 2 ) x1 x2 x1 x2
解：函数y=f(x)的单调区间有 [-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5]
其中y=f(x)在区间[-5,-2), [1,3)是减函数， 在区间[-2,1), [3,5] 上是增函数。
y kx b(k 0) 在(-∞,+∞) y kx b(k 0) 在(∞,+∞)是 是减函数 o x o x 增函数
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大
从左至右，图象下降
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象
f(x1)
·
x1
·
x2 x
y f(x1) f(x2)
y=f(x)
·
x1
·
x2 x
0
0
图象 特征
数量 特征
从左至右，图象上升
y随x的增大而增大
在区间I内
y
在区间I内
y=f(x)
f(x2)
图 象