《函数的奇偶性及周期性》学案

《函数的奇偶性及周期性》学习任务单
1．与函数的奇偶性有关的一些结论：
①函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．
. ②)(x f 是奇函数()
()()()()01()
f x f x f x f x f x f x -⇔-=-⇔-+=⇔=-. ③)(x f 是偶函数()
()()()()01()
f x f x f x f x f x f x -⇔-=⇔--=⇔=. ④奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f .
⑤在关于原点对称的单调区间内：
（ⅰ）奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； （ⅱ）奇函数有相反的最值（极值），偶函数有相同的最值（极值）； ⑥)(x f 是偶函数⇔(||)()f x f x =.
⑦若()f x 与()g x 同奇（偶），则()f x ±()g x 为奇（偶）函数，()()f x g x ⋅和()
()
f x
g x 为偶函数； ⑧若()f x 与()g x 一奇一偶，则()f x ()g x 和
()
()
f x
g x 为奇函数； ⑨定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式； ⑩复合函数(())f g x 的奇偶性：两奇则奇，一偶则偶。

2．与函数的周期性有关的一些结论：
①函数()f x 的周期是T ⇔()f x T +=()f x ；
②若非零常数T 是函数()f x 的周期，则非零常数T 的非零整数倍（nT n Z ∈，，且0)n ≠也是函数()f x 的周期；
③)()(a x f a x f -=+或)0)(()2(>=-a x f a x f ⇒)(x f 的周期为a 2； ④()()f x a f x b +=+ ⇒)(x f 的周期为a b -； ⑤()f x 对x R ∈时,()()f x a f x +=-或1()
()f x f x a +=或1()
()f x f x a +=-
⇒()f x 的周期为2||a ；
3．与函数的对称性有关的一些结论：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =成轴对称⇔()()f a x f a x -=+。

特别地，当0a =时，函数
()y f x =为偶函数；
②函数()y f x =的图象关于点()a ，0成中心对称⇔()()f a x f a x -=-+。

特别地，当0a =时，函数()y f x =为奇函数；
③函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称⇔()()2f a x f a x b -++=。

特别地，当0a =且
0b =时，函数()y f x =为奇函数；
④若()y f x =对x R ∈时,()()f a x f b x +=-恒成立,则()y f x =图像关于直线2
a b x +=对称；
⑤若函数()f x a +是偶函数，则函数()f x 关于x a =对称； ⑥若函数()f x a +是奇函数，则函数()f x 关于(),0a 对称；
4．与函数的对称性及周期性有关的一些结论：
①()f x 是偶函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为2||a ；
②()f x 奇函数,其图像又关于直线x a =对称⇒()f x 的周期为4||a ； ③()f x 关于点(,0)a ,(,0)b ()a b ≠对称⇒()f x 的周期为2||a b -；
④()f x 的图象关于直线x a =,()x b a b =≠对称⇒函数()f x 的周期为2||a b -； ⑤()f x 的图象关于点)0,(a 中心对称，直线b x =轴对称⇒)(x f 周期为4b a -。

5. 命题中常见的奇偶函数：
题组一：证明下列函数的奇偶性
1.()22x
x
f x -=+ 2.()2+1
21
x x f x =-
3. ()11212x f x =-+
4. ()(ln f x x =
5. ()()1
ln 12
x f x e x =+-
题1（2014年全国理科数学（新课标Ⅰ））设函数()f x ，()g x 的定义域为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是（ ） A ．()()f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x 是奇函数 C ．()()f x g x 是奇函数
D ．()()f x g x 是奇函数
题2（2020年全国新课标Ⅱ文科）设函数3
31
()f x x x
=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
题3（2020年全国（理科）（新课标Ⅱ））设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x （ ） A ．是偶函数，且在1
(,)2
+∞单调递增
B ．是奇函数，且在11
(,)22
-
单调递减 C ．是偶函数，且在1
(,)2-∞-单调递增
D ．是奇函数，且在1
(,)2
-∞-单调递减
题4（2017年全国文科数学（新课标1卷））已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则（ ） A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减
C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称
D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称
题5（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数1()1x
f x x
-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --
B ．()11f x -+
C ．()11f x +-
D ．()11f x ++
题组三：
题1（2021年全国新高考Ⅰ⋅13）已知函数()()
322x x
f x x a -=⋅-是偶函数，则a =________
题2（新教材数学第一册习题4.5拓展）对于函数()()2
21
x
f x a a R =-∈+是否存在实数a 使函数()f x 为奇函数？
题3（2015年全国Ⅰ理⋅13）若函数()(
ln f x x x =为偶函数，则a =________
题4（2014年湖南理⋅15）若函数()(
)()3ln 1x
f x e ax x R =++∈为偶函数，则a =________
题1（2017年全国Ⅱ文⋅14）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当(),0x ∈-∞时，()322f x x x =+，则()2f =________
题2（2019年全国Ⅱ理⋅14）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()ax f x e =-，若()ln 28f =，则
a =________
题3（2019年全国Ⅱ文⋅6）设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()1x f x e =-，则当0x <时，()f x =________
题组五：
题1（2004年全国Ⅰ理⋅2）已知函数()1lg 1x
f x x
-=+，若()f a b =，则()f a -=________ 题2（2018全国Ⅲ文⋅16）已知函数(
))
ln 1f x x =+，()4f a =，则()f a -=________；
题3（2013辽宁文⋅7）已知函数(
))
ln 31f x x =+，则()1lg 2lg 2f f ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
________；
题组六：
题1（2012全国新课标文⋅16）设函
最大值为M ,最小值为m ,则
M m +=________
题2若关于x 的函数（0t >）的最大值为M ,最小值为N ,且4M N +=,则实数t 的值为________
题组七：
题1（2020佛山一模⋅10）已知函数()1
2121
x
f x x =+++，且()
()223f a f a +>，则a 的取值范围是（ ） A ．()
(),31,-∞-+∞
B ．()(),20,-∞-+∞
C ．()2,0-
D ．()1,3-
题2（2017全国Ⅱ文⋅12）已知函数)( )(R x x f ∈满足)2()(x f x f -=，若函数322
--=x x y 与
)(x f y =图像的交点为),(,),,(),,(2211m m y x y x y x ⋯，则1
m
i i x ==∑（ ）
A.0
B.m
C.m 2
D.m 4
题3（2016全国Ⅱ理⋅12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1
x y x
+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1m
i i i x y =+=∑（ ）
A.0
B.m
C.2m
D.4m
题4（2011全国课标理⋅12）函数1
1
y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横 坐标之和等于 A ．2 B ．4
C ．6
D ．8
题组八：
题1（2014年全国文科数学（全国Ⅱ卷）偶函数()y f x =的图像关于直线2x =对称，()33f =，则()1f -=________．
题2（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若
1133
f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．53-
B ．13
-
C ．
13
D ．
53
题3（2018年全国理数（全国卷II ））已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
题4（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()
2f x +为偶函数，当[]
1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．9
4
-
B ．32
-
C ．
74
D ．
52
题5（2019年全国（理科）（新课标Ⅱ））设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8
()9
f x ≥-
，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．5,2⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦ D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦。