第一章 集合易错题(1)(含答案及解析)-苏教版人教版必修1高一数学上册同步培优训练

专题03 集合中的易错题（1）
（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分
一、选择题：
1.下列五个写法，其中错误
．．写法的个数为()
①{0}∈{0,2，3}；②⌀≠⊂{0}；③{0,1，2}⊆{1，2，0}；④N∈R；⑤0∩⌀=⌀；
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()
A. 1
3⩽m<3
2
B. m⩾0
C. m⩾3
2
D. 1
3
<m<3
2
3.若集合A={x∈N|x≤√2020}，a=2√2，则下列结论正确的是()
A. {a}⊆A
B. a⊆A
C. {a}∈A
D. a∉A
4.已知集合A={x||x|<3,x∈N}，集合B={−1,0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为()
A. {1,2}
B. {0,1，2}
C. {−1,1，2}
D. {−1,0，1，2}
5.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5，6}，则满足条件的A的个数为()
A. 16
B. 15
C. 8
D. 7
6.下列所给的关系式正确的个数是()
①0⊆N；②π∈Q；③{a}⊆{a,b,c,d}；④⌀∈R．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、多选题
7.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法
中不正确的是
A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
8.已知x，y，z为非零实数，代数式x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()
A. 0∉M
B. 2∈M
C. −4∈M
D. 4∈M
三、单空题
9.已知集合A={x|−2<x<5},B={x|p+1<x<2p−1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是______．
10.A={x|x2=1}，B={x|mx=1}，若A∪B=A，则m的取值集合为_____．
11.下列表示正确的是
①{0}=⌀，②{2}∈{x2−3x+2=0}③0∈{0}④C U(A⋂B)=(C U A)⋂(C U B)
12.已知全集U=R，集合A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，那么集合(∁U A)∩B=____________．
四、解答题
13.已知全集U={x∈N|x<6}，集合A={1,2,3}，B={2,4}.求：
(1)A∩B，C U(A⋃B)；
(2)设集合C=x{|−a⩽x⩽2a−1}且C U(A⋃B)⊆C，求a的取值范围；
14.已知A={x|3⩽x⩽5}，B={x|2a⩽x⩽a+3}，全集U=R．
(1)当a=1时，求A∩B和A∪B；
(2)若B⊆(C U A)，求实数a的取值范围．
15.设A={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，B={x|x(x+4)(x−1
2
)=0,x∈Z}.若A⊆A∩B，求a的取值范围．
专题03 集合中的易错题（1）
（满分120分时间：60分钟）班级姓名得分
一、选择题：
16.下列五个写法，其中错误
．．写法的个数为()
①{0}∈{0,2，3}；②⌀≠⊂{0}；③{0,1，2}⊆{1，2，0}；④N∈R；⑤0∩⌀=⌀；
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素．
据“∈”于元素与集合；“∩”用于集合与集合间；判断出①④⑤错，集合是它本身的子集，⌀是非空集合的真子集判断出②④
的对错．
【解答】
解：对于①，“∈”是用于元素与集合的关系，故①错，
对于②，⌀是任意非空集合的真子集，故②对，
对于③，集合是它本身的子集，故③对，
对于④，“∈”是用于元素与集合的关系，故④错，
对于⑤，因为∩是用于集合与集合的关系的，故⑤错，
故选C．
17.已知集合A=(1,3)，集合B={x|2m<x<1−m}.若A∩B=⌀，则实数m的取值范围是()
A. 1
3⩽m<3
2
B. m⩾0
C. m⩾3
2
D. 1
3
<m<3
2
【答案】B 【解析】【分析】
本题考查集合的包含关系判断与应用，交集及其运算等基础知识， 分类讨论m 的取值，得出使A ∩B =Ø成立时m 的取值范围． 【解答】
解：由A ∩B =Ø，得：
①若2m ≥1−m ，即m ≥1
3时，B =Ø，符合题意； ②若2m <1−m ，即m <1
3时，需{
m <1
31−m ≤1或{m <
1
32m ≥3
, 解得0≤m <1
3， 综合可得m ≥0，
∴实数m 的取值范围是m ≥0． 故选B ．
18. 若集合A ={x ∈N|x ≤√2020}，a =2√2，则下列结论正确的是( )
A. {a}⊆A
B. a ⊆A
C. {a}∈A
D. a ∉A
【答案】D 【解析】 【分析】
本题考查元素和集合的关系，集合和集合的关系． 【解答】
解：因为a =2√2不是自然数，而集合A 是不大于√2020的自然数构成的集合， 所以a ∉A ． 故选D ．
19. 已知集合A ={x||x|<3,x ∈N}，集合B ={−1,0，1，2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A. {1,2}
B. {0,1，2}
C. {−1,1，2}
D. {−1,0，1，2}
【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查用venn图表示集合的交集运算，
易知图中阴影部分对应的集合为A∩B．
【解答】
解：A={x||x|<3,x∈N}={x|−3<x<3,x∈N}={0,1,2}，
易知图中阴影部分对应的集合为A∩B，A∩B={0,1,2}，
故选B．
20.已知集合{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5，6}，则满足条件的A的个数为()
A. 16
B. 15
C. 8
D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意A中必须有1，2这两个元素，因此A的个数应为集合{3,4，5，6}的子集的个数．
【解答】
解：∵{1,2}⊆A⊆{1,2，3，4，5}，
∴集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有3，4，5，6．
因此满足条件的集合A为{1,2}，{1,2，3}，{1,2，4}，{1,2，5}，{1,2，6}，{1,2，3，4}，{1,2，3，5}，{1,2，3，6}，{1,2，4，5}，{1,2，4，6}，{1,2，5，6}，{1,2，3，4，5}，{1,2，3，4，6}，
{1,2，3，5，6}，{1,2，4，5，6}，{1,2，3，4，5，6}共16个．
故选A．
21.下列所给的关系式正确的个数是()
①0⊆N；②π∈Q；③{a}⊆{a,b,c,d}；④⌀∈R．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了集合与元素、集合与集合的关系，
【解答】
解：①0⊆N，0为集合N的一个元素，0∈N，故①错误，
②π∈Q，因为π为无理数，π∉Q，故②错误，
③{a}⊆{a,b,c,d}，因为集合{a}是集合{a,b,c,d}的子集，故③正确，
④⌀∈R，因为ϕ为R 的子集，故④错误．
故选A．
二、多选题
22.给定数集M，若对于任意a，b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列说法
中不正确的是
A. 集合M={−4,−2,0,2,4}为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合M={n|n=3k,k∈Z}为闭集合
D. 若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合
【答案】ABD
【解析】
【分析】
本题考查集合中的新定义问题，考查分析问题、解决问题的能力，
根据闭集合定义逐一判断即可．
【解答】
解：A.当集合M={−4,−2,0,2,4}时，2,4∈M，而2+4∉M，所以集合M不为闭集合．
B.设a,b是任意的两个正整数，则a+b∈M，但a−b不一定属于M，所以正整数集不为闭集合．
C.当M={n|n=3k,k∈Z}时，设a=3k1,b=3k2,k1,k2∈Z，则a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=
3(k1−k2)∈M，
所以集合M是闭集合．
D.设A1={n|n=3k,k∈Z}，A2={n|n=2k,k∈Z}由C可知，集合A1，A2为闭集合，2,3∈(A1∪A2)，而(2+3)∉(A1∪A2)，此时A1∪A2不为闭集合．
所以说法中不正确的是ABD．
故选ABD．
23.已知x，y，z为非零实数，代数式x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是()
A. 0∉M
B. 2∈M
C. −4∈M
D. 4∈M 【答案】CD
【解析】
【分析】
本题考查集合中元素的性质、集合与元素的关系，注意题意中x、y、z的位置有对称性，即代数式的值只与x、y、z中有几个为负数有关，与具体x、y、z中谁为负无关．
根据题意，分析可得代数式x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
的值与x、y、z的符号有关；按其符号的不同分4种情况讨论，
分别求出代数式在各种情况下的值，即可得M，分析选项可得答案．【解答】
解：根据题意，分4种情况讨论；
①x、y、z全部为负数时，则xyz也为负数，则x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
=−4，
②x、y、z中有一个为负数时，则xyz为负数，则x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
=0，
③x、y、z中有两个为负数时，则xyz为正数，则x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
=0，
④x、y、z全部为正数时，则xyz也正数，则x
|x|+y
|y|
+z
|z|
+|xyz|
xyz
=4；
则M={4,−4,0}，
分析选项可得CD符合．
故选CD．
三、单空题
24.已知集合A={x|−2<x<5},B={x|p+1<x<2p−1}，A∪B=A，则实数p的取值范围是______．【答案】(−∞,3]
【解析】
【分析】
本题考查了集合的并集以及集合中的参数取值问题，集合的包含关系，考查了分类讨论的思想及转化的思想，解题的关键是根据题设条件对集体B分类讨论，解出参数p的取值范围．由题意，由A∪B=A，可得B⊆A，再由A={x|−2<x<5}，B={x|p+1<x<2p−1}，分B=⌀，B≠⌀两类解出参数p的取值范围即可得到答案．
【解答】
解：由A∪B=A，可得B⊆A，
又A={x|−2<x<5}，B={x|p+1<x<2p−1}，
若B=⌀，即p+1≥2p−1得p≤2，显然符合题意；
若B ≠⌀，即有p +1<2p −1，得p >2时， 有{p +1≥−22p −1≤5，解得−3≤p ≤3， 故有2<p ≤3，
综上可知，实数p 的取值范围是(−∞,3]． 故答案为(−∞,3]．
25. A ={x|x 2=1}，B ={x|mx =1}，若A ∪B =A ，则m 的取值集合为_____．
【答案】{−1,0，1} 【解析】 【分析】
本题考查集合的求法，考查并集、子集等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，
当m =0时，B =⌀，A ∪B =A 成立；当m ≠0，B ={1
m }，由A ∪B =A ，得B ⊂A ，从而1
m =−1或1
m =1，由此能求出m 的取值的集合． 【解答】
解：∵集合A ={x|x 2=1}={−1,1}，B ={x|mx =1}，且A ∪B =A ， ∴当m =0时，B =⌀，A ∪B =A 成立； 当m ≠0，B ={1
m }，由A ∪B =A ，得B ⊂A ， ∴1
m =−1或1
m =1， 解得m =−1或m =1．
综上，m 的取值的集合为{−1,0，1}． 故答案为{−1,0，1}．
26. 下列表示正确的是
①{0}=⌀，②{2}∈{x 2−3x +2=0} ③0∈{0}④C U (A⋂B)=(C U A)⋂(C U B) 【答案】③ 【解析】 【分析】
本题考查集合与集合之间的关系、元素与集合之间的关系的应用，
由集合与集合之间的关系、元素与集合之间的关系进行判断即可．
【解答】
解：①{0}⫌⌀，所以错误；
②{2}∈{x2−3x+2=0}集合之间关系，首先符号错误，其次{x2−3x+2=0}中就一个元素x2−3x+ 2=0，所以错误；
③0∈{0}，正确；
④取U={1,2，3}，A={1,2}，B={1}，
则C U(A∩B)={2,3},(C U A)∩(C U B)={3}，所以错误．
故答案为③．
27.已知全集U=R，集合A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，那么集合(∁U A)∩B=____________．【答案】(0,1]
【解析】
【分析】
本题考查了函数的定义域，指数函数的值域，以及交集的运算，
先化简集合A和B，然后求集合A的补集，再根据两个集合的交集的意义求解．
【解答】
解：∵A={x|y=√−x}，B={y|y=1−x2}，
∴A={x|x≤0}，B={y|y≤1}
∴∁U A={x|x>0}，(∁U A)∩B={y|0<y≤1}
(∁U A)∩B=(0,1]．
故答案为(0,1]．
四、解答题
28.已知全集U={x∈N|x<6}，集合A={1,2,3}，B={2,4}.求：
(1)A∩B，C U(A⋃B)；
(2)设集合C=x{|−a⩽x⩽2a−1}且C U(A⋃B)⊆C，求a的取值范围；
【答案】解：(1)因为A={1,2,3}，B={2,4}，
所以A ∩B ={2}，A ∪B ={1,2，3，4}， 因为U ={x ∈N|x <6}={0,1,2,3,4,5} ∴C U (A ∪B)={0,5}； (2)∵C U (A ∪B)⊆C ， ∴{−a <0
2a −1⩾52a −1>−a , 解得a ≥3． 故a ≥3． 【解析】略
29. 已知A ={x|3⩽x ⩽5}，B ={x|2a ⩽x ⩽a +3}，全集U =R ．
(1)当a =1时，求A ∩B 和A ∪B ； (2)若B ⊆(C U A)，求实数a 的取值范围． 【答案】 解：(1)当a =1时，B ={x|2⩽x ⩽4}， A ∩B ={x|3⩽x ⩽4} A ∪B ={x|2⩽x ⩽5}， (2)C U A ={x|x <3或x >5}
当B =⌀时，2a >a +3,a >3符合题意， 当B ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3<3，或{
2a ≤a +3
2a >5, 解得a <0或5
2<a ≤3， 所以a ∈(−∞,0)∪(5
2,+∞)．
【解析】本题考查集合中的参数取值问题，属于集合包含关系的运用，求解本题关键是理解包含关系的意义，本题中有一易错点，在第二小问中空集容易因为忘记讨论B 是空集导到失分，这是一个很容易失分的失分点，切记．
(1)当a =1时，先求出集合B ，再根据交集的定义求集合A ∩B 和A ∪B 即可；
(2)若B ⊆(C U A)，求实数a 的取值范围进要注意B 是空集的情况，故此题分为两类求，是空集时，不是空集时，比较两个集合的端点即可．
)=0,x∈Z}.若A⊆A∩B，求a的取值30.设A={x|x2+2(a+1)x+a2−1=0}，B={x|x(x+4)(x−1
2
范围．
【答案】解：B={−4,0}，由A⊆A∩B知：A=A∩B，即：A⊆B，
①当A=⌀时，方程x2+2(a+1)x+a2−1=0无解，
即Δ=4(a+1)2−4(a2−1)<0，解得：a<−1；
②当A为单元素集时，Δ=4(a+1)2−4(a2−1)=0，
即a=−1，此时A={0}满足题意；
③当A={−4,0}时，−4和0是关于x的方程x2+2(a+1)x+a2−1=0的两根，∴a=1．
综上所述：a≤−1或a=1．
【解析】本题考查了子集、交集的定义及其运算，考查了分类讨论思想．
先求得集合B，由A⊆A∩B知：A=A∩B，即：A⊆B，利用分类讨论方法分别求得集合A=⌀，集合A为单元素集和A={−4,0}时a的范围，再综合即可．
11。