【备战2016】(湖北版)高考数学分项汇编 专题03 导数(含解析)理

专题3 导数
一．选择题
1.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】若f(x)=2
1ln(2)2
x b x -++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是 （ ）
A.[-1，+∞]
B.（-1，+∞）
C.（-∞，-1）
D.（-∞，-1）
2. 【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷9】设球的半径为时间t 的函数()R t 。

若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）
A.成正比，比例系数为C
B. 成正比，比例系数为2C
C.成反比，比例系数为C
D. 成反比，比例系数为2C
3.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其它元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变。

假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量M(太贝克/年)与时间t(单位：年)满足函数关系：()30
02
t M t M -=，其中M 0为t=0时铯137的含量，已知t=30
时，铯137含量的变化率为-10ln2(太贝克/年)，则M （60）=（ ） A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克 C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克 【答案】A 【解析】
试题分析：()3001
2ln 230
t M t M -'=-，因为t=30时，铯137含量的变化率为-10ln2， 所以()3030001
3010ln 22ln 260030
M M M -'=-=-⇒=，故()2606002150M -=⨯=.
4.【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷3】已知二次函数()y f x =的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为（ ）
A ．2π
5
B ．
43 C ．3
2
D ．
π2
5. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷7】一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度()25
731v t t t
=-+
+（t 的单位：s ，v 的单位：/m s ）行驶至停止。

在此期间汽车继续行驶的距离（单位;m ）是（ ） A. 125ln5+ B. 11
825ln 3
+ C. 425ln5+ D. 450ln 2+ 【答案】C 【解析】
试题分析：令 ()257301v t t t =-+=+，则4t =。

汽车刹车的距离是402573425ln51t dt t ⎛⎫
-+=+ ⎪+⎝⎭
⎰，故选C.
6. 【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷10】已知a 为常数，函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）
A. 121
()0,()2
f x f x >>- B. 121()0,()2f x f x <<- C. 121()0,()2f x f x ><- D. 121
()0,()2f x f x <>-
7. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷6】若函数)(x f 、)(x g 满足⎰
-=1
1
0)()(dx x g x f ，则
称)(x f 、)(x g 在区间]1,1[-上的一组正交函数，给出三组函数：①x x g x x f 2
1
cos )(,21sin
)(==；②1)(,1)(-=+=x x g x x f ；③2)(,)(x x g x x f ==.其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
二．填空题
1.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷14】已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4
f π
的值
为 . 【答案】1
【解析】
试题分析：因为'()'()sin cos 4f x f x x π=-⋅+所以'()'()sin
cos
44
4
4
f f πππ
π
=-⋅+
'()14f π⇒=，故()'()cos sin ()144444
f f f πππππ
=+⇒=.
三．解答题
1.【2006年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷】设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点.
（Ⅰ）、求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）、设0a >，225()()4
x
g x a e =+。

若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.
2.【2008年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷20】水库的蓄水量随时间而变化，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，根据历年数据，某水库的蓄水量（单位：亿立方米）关于t的近似函数关系式为
V（t）=
1
2
(1440)50,010, 4(10)(341)50,1012.
x
t t e t
t t t
⎧⎪
-+-+≤
⎨
⎪--+≤
⎩
（Ⅰ）该水库的蓄求量小于50的时期称为枯水期.以i-1＜t＜t表示第1月份（i=1,2,…,12）,同一年内哪几个月份是枯水期？
（Ⅱ）求一年内该水库的最大蓄水量（取e=2.7计算）.
【解析】（Ⅰ）①当0＜t10时，V(t)=(-t2+14t-40)，
化简得t2-14t+40>0,
解得t＜4，或t＞10，又0＜t10，故0＜t＜4.
②当10＜t12时，V（t）＝4（t-10）（3t-41）+50＜50,
化简得（t-10）（3t-41）＜0,
解得10＜t＜，又10＜t12,故 10＜t12.
综合得0<t<4,或10<t12,
故知枯水期为1月，2月，，3月，4月，11月，12月共6个月.
(Ⅱ)(Ⅰ)知：V(t)的最大值只能在（4，10）内达到. 由V ′（t ）=
令V ′(t)=0,解得t=8(t=-2舍去).
当t 变化时，V ′(t) 与V (t)的变化情况如下表：
(4,8) 由上表，V(t)在t ＝8时取得最大值V(8)＝8e2+50-108.52(亿立方米). 故知一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米.
考点：本小题主要考查函数、导数和不等式等基本知识，考查用导数求最值和综合运用数学知识解决实际问题能力.
3.【2009年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】在R 上定义运算()()1
:43
p q p c q b bc ⊗⊗=---+（b 、c 为实常数）。

记()2
12f c χχ=-，()22f b χχ=-，R χ∈.令()()()2
1f
f f χχχ=⊗.
()I 如果函数()f χ在1χ=处有极什4
3
-
,试确定b 、c 的值； ()II 求曲线()y f χ=上斜率为c 的切线与该曲线的公共点；
()III 记()()()|11g x f x x '=
-≤≤的最大值为M .若M k ≥对任意的b 、c 恒成立，试示k 的最大值。

【解析】（I ）()()()()()2
232
111x -3c x-3b +4bc=-x +bx +cx+bc 33
f
f f χχχ=⊗=-
2'()2f x x bx c =-++ ，由()f x 在1x =处有极值4
3
-
可得'(1)12014(1)33f b c f b c bc =-++=⎧⎪⎨=-+++=-⎪⎩
解得1,1b c =⎧⎨
=-⎩或1
3
b c =-⎧⎨
=⎩ 若1,1b c ==-，则22
'()21(1)0f x x x x =-+-=--≤，此时()f x 没有极值；
若1,3b c =-=，则2
'()23(3)(1)f x x x x x =--+=-+- 当x 变化时，()f x ，'()f x 的变化情况如下表：
∴当1x =时，()f x 有极大值3
-，故1b =-，3c =即为所求.
考点：本小题主要考查函数、函数的导数和不等式等基础知识，考查综合运用数学知识进行推理论证的能力和分类讨论的思想.
4. 【2010年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷17】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C （单位：万元）与隔热层厚度x （单位：cm ）满足关系：C （x ）=
(010),35
k
x x ≤≤+若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

设f （x ）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。

（Ⅰ）求k 的值及f(x)的表达式。

（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值。

当隔热层修建5cm 厚时， 总费用达到最小值为70万元.
考点：本题主要考察函数、导数等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力. 5.【2011年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】
（Ⅰ）已知函数()()ln 1,0,f x x x x =-+∈+∞求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）设(),1,2,,k k a b k n = 均为正数，证明：
（1）若112212n n n a b a b a b b b b +++≤+++ ，则12121n
b b
b
n a a a ≤
（2）若121n b b b +++= ，则
1222212121
n b b b n n b b b b b b n
≤≤+++ 。

6．【2012年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】
（Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值； （Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.
7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】设n 是正整数，r 为正有理数. （I ）求函数()
()1
()111(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值；
（II ）证明：
()
()1
1
11
111
1
r r r r r n n n n n r r ++++--+-<<
++；
（III ）设x R ∈，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，4π=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥
.
令S =+++的值.
（参考数据：4
380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43
126631.7≈）
【证明】（I ）()()()()()()111111r r
f x r x r r x ⎡⎤'=++-+=++-⎣⎦
()f x ∴在()1,0-上单减，在()0,+∞上单增。

min ()(0)0f x f ∴==
（III ）由（II ）可知：当*
k N ∈时，()()4144433
333331144k k k k k ⎡⎤⎡⎤--<<+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
()444125433
338133112580210.22544k S k k =⎡⎤⎛⎫∴>--=-≈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭∑
()444125433338133112681210.944k S k k =⎡⎤⎛⎫<+-=-≈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
∑ 211S ∴=⎡⎤⎢⎥.
8.【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷22】π为圆周率，⋅⋅⋅=71828.2e 为自然对数的底数. （1）求函数x
x
x f ln )(=
的单调区间； （2）求3e ，e 3，πe ，e π，π3，3
π这6个数中的最大数与最小数；
（3）将3e ，e 3，πe ，e π，π3，3
π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.
由①得，3024.3)88.02(7.2)1
.371
.22(7.2)2(ln >=-⨯>-
⨯>-
>π
πe
e e ， 即3ln >πe ，亦即3
ln ln e e >π，所以e e π<3，
又由①得，ππ
π>->-
>e e
636ln 3，即ππ>ln 3，所以3ππ>e ，
综上所述，π
π
ππ333
3
<<<<<e e e
e
，即6个数从小到大的顺序为e 3，3e ，e π，πe ，3π，π3.
考点：导数法求函数的单调性、单调区间，对数函数的性质，比较大小.
9. 【2015高考湖北，理22】已知数列{}n a 的各项均为正数，1
(1)()n n n b n a n n +=+∈N ，e 为自然对数的底
数．
（Ⅰ）求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1
(1)n n
+与e 的大小；
（Ⅱ）计算
11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n
b b b a a a 的公式，并给出证明； （Ⅲ）令1
12()n
n n c a a a = ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：n n eS T <.
【答案】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞. 1
(1)e n n +<；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）
详见解析.
【解析】（Ⅰ）()f x 的定义域为(,)-∞+∞，x e x f -='1)(. 当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减.
故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞.
当0x >时，()(0)0f x f <=，即x e x <+1.
令1
x n =，得n e n
1
11<+，即e n n <+)11(. ①
（Ⅱ）
1111
1(1)1121
b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=；
23331233121231231
33(1)(31)43
b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=. 由此推测：
1212(1).n n
n
b b b n a a a =+ ②
下面用数学归纳法证明②.
（1）当1n =时，左边=右边2=，②成立.。