湖南省2020年中考数学暨初中学业水平考试模拟卷(含答案)

湖南省2020年中考数学暨初中学业水平考试模拟卷
(本试卷满分150分，考试时间120分钟)
班级：________姓名：________得分：________
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)
1．－2 020的绝对值的相反数是（ A ）
A．－2 020 B．2 020 C.1
2 020D．－1
2 020
2．下列图案中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ C ）
3．目前世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04 m，将0.000 000 04用科学记数法表示为4×10n，则n是（ B ）
A．8 B．－8 C．－9 D．－7
4．如图是由7个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数．这个几何体的左视图是（ C ）
5．下列计算正确的是（ D ）
A．2x2y＋3xy＝5x3y2B．(－2ab2)3＝－6a3b6
C．(3a＋b)2＝9a2＋b D．(3a＋b)(3a－b)＝9a2－b2
6．学校举行图书节义卖活动，将所售款项捐给其他贫困学生．在这次义卖活动中，某班级售书情况如下表：
售价3元4元5元6元
数目14本11本10本15本
下列说法正确的是（ A ）
A．该班级所售图书的总收入是226元
B．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，中位数是4
C．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，众数是15
D．在该班级所售图书价格组成的一组数据中，方差是2
7．下列判定错误的是（ B ）
A．平行四边形的对边相等
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形
8．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点，已知FG＝2，则线段AE的长度为（ D ）
A．6
B．8
C．10
D．12
9．用1块A型钢板可制成2块C型钢板和1块D型钢板；用1块B型钢板可制成1块C型钢板和3块D型钢板．现准备购买A，B型钢板共100块，并全部加工成
C ，
D 型钢板．要求C 型钢板不少于120块，D 型钢板不少于250块，出售C 型钢板每块利润为100元，D 型钢板每块利润为120元．若童威公司将C ，D 型钢板全部出售，则获利最大的购买方案为（ A ）
A ．购买A 型钢板20块，
B 型钢板80块
B ．购买A 型钢板21块，B 型钢板79块
C ．购买A 型钢板24块，B 型钢板76块
D ．购买A 型钢板25块，B 型钢板75块
10．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧x 2＋x ＋13>0，3x ＋5a ＋4>4（x ＋1）＋3a
恰有三个整数解，则a 的取
值范围是（ B ）
A ．1≤a<32
B ．1<a ≤32
C ．1<a<32
D ．a ≤1或a>32
第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)
11．因式分解：x 3y ＋2x 2y ＋xy ＝ xy(x ＋1)2 .
12．关于x 的分式方程2x ＋3x －a
＝0的解为x ＝4，则常数a 的值为10 . 13．若（x －2）2＝2－x ，则x 的取值范围为 x ≤2 .
14．已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为s 2甲，s 2乙，
则s 2甲 > (选填“>”“＝”或“<”)s 2乙.
15．如图，以正方形ABCD 的AB 边向外作正六边形ABEFGH ，连接DH ，则∠ADH ＝ 15 度．
16．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，将△ABC 绕顶点C
逆时针旋转得到△A′B′C ，AC 与A′B′相交于点P ，则CP 的最小值为 245
. 17．如图，Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，顶点A ，B 分别在反比例函数y ＝1x (x>0)
与y ＝－5x (x<0)的图象上，则tan ∠BAO 的值为 5.
18．我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，从图中取一列数：1，3，6，10，…，记a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，…，那么a 4＋a 11－2a 10＋10的值是 －24 .
三、解答题(本大题共8小题，共78分)
19．(8分)计算：2sin 30°－(π－2)0＋|3－1|＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12－2. 解：原式＝2×12
－1＋3－1＋4＝3＋ 3. 20．(8分)先化简再求值⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－1÷2a 2－1
，然后从－2≤a<2中选出一个合适的整数
作为a 的值代入求值． 解：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a a －1－1·（a ＋1）（a －1）2 ＝a －a ＋1a －1
·（a ＋1）（a －1）2＝a ＋12. 当a ＝－2时，原式＝－2＋12＝－12
. 21．(8分)如图是某区域的平面示意图，码头A 在观测站B 的正东方向，码头A 的北偏西60°方向上有一小岛C ，小岛C 在观测站B 的北偏西15°方向上，码头A 到小岛C 的距离AC 为10海里．
(1)填空：∠BAC ＝ 度，∠C ＝ 度；
(2)求观测站B 到AC 的距离BP(结果保留根号)．
解：(1)30；45；
(2)设BP ＝x 海里．由题意得BP ⊥AC ，
∴∠BPC ＝∠BPA ＝90°.
∵∠C ＝45°，∴∠CBP ＝∠C ＝45°，
∴CP ＝BP ＝x.在Rt △ABP 中，∠BAC ＝30°，
∴∠ABP ＝60°，∴AP ＝tan ∠ABP ·BP ＝tan 60°·BP ＝3x ，
∴3x ＋x ＝10，解得x ＝5 3－5，∴BP ＝5 3－5.
答：观测站B 到AC 的距离BP 为(5 3－5)海里．
22．(10分)某市制米厂接到加工大米任务，要求5天内加工完220吨大米，制米厂安排甲、乙两车间共同完成加工任务，乙车间加工中途停工一段时间维修设备，然后改变加工效率继续加工，直到与甲车间同时完成加工任务为止．设甲、乙两车间各
自加工大米数量y(吨)与甲车间加工时间x(天)之间的关系如图①所示，未加工大米w(吨)与甲加工时间x(天)之间的关系如图②所示，请结合图象回答下列问题：
(1)甲车间每天加工大米 吨，a ＝ ；
(2)求乙车间维修设备后，乙车间加工大米数量y(吨)与x(天)之间的函数关系式；
(3)若55吨大米恰好装满一节车厢，那么加工多长时间装满第一节车厢？再加工多长时间恰好装满第二节车厢？
① ②
解：(1)20；15；
(2)设y ＝kx ＋b ，把(2，15)，(5，120)代入得
⎩⎪⎨⎪⎧15＝2k ＋b ，120＝5k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝35，b ＝－55，∴y ＝35x －55(2≤x ≤5)． (3)①当0<x ≤1时，20＋15＝35<55(未装满)；
②当1<x ≤2时，20x ＋15＝55；
③当2<x ≤5时，20x ＋35x －55＝110，x ＝3，3－2＝1(天)．
∴加工2天可装满第一节车厢，再加工1天可装满第二节车厢．
23．(10分)如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC ，BC 是⊙O 的弦，OE ∥AC 交BC 于E ，过点B 作⊙O 的切线交OE 的延长线于点D ，连接DC 并延长交BA 的延长线于点F.
(1)求证：DC 是⊙O 的切线；
(2)若∠ABC ＝30°，AB ＝8，求线段CF 的长．
解：(1)证明：连接OC，∵OE∥AC，
∴∠1＝∠2.∵AB为⊙O的直径，
∴∠1＝∠2＝90°，∴OD⊥BC.
由垂径定理得OD垂直平分BC，
∴DB＝DC，∴∠DBE＝∠DCE.
又∵OC＝OB，∴∠OBE＝∠OCE，
∴∠DBE＋∠OBE＝∠DCE＋∠OCE，即∠DBO＝∠OCD. ∵DB为⊙O的切线，OB为半径，∴∠DBO＝90°，
∴∠OCD＝∠DBO＝90°，即OC⊥DC.
∵OC是⊙O的半径，∴DC是⊙O的切线．
(2)在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，∴∠3＝60°.
又OA＝OC，∴△AOC为等边三角形，
∴∠COF＝60°.在Rt△COF中，tan∠COF＝CF
OC＝3，∴CF＝4 3.
24．(10分)如图，已知直线AB与抛物线C：y＝ax2＋2x＋c相交于点A(－1，0)和点B(2，3)两点．
(1)求抛物线C的函数表达式；
(2)若点M是位于直线AB上方抛物线上的一动点，以MA，MB为相邻的两边作平行四边形MANB，当平行四边形MANB的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S及点M的坐标；
(3)在抛物线C的对称轴上是否存在定点F，使抛物线C上任意一点P到点F的距
离等于到直线y ＝174的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)∵y ＝－x 2＋2x ＋3.
(2)过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点N ，
设点M 的坐标为()m ，－m 2＋2m ＋3，
由题意求得直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，
则点N 的坐标为(m ，m ＋1)，∵点M 位于直线AB 上方，
∴MN ＝MH －HN ＝－m 2＋2m ＋3－(m ＋1)＝－m 2＋m ＋2， ∴S △MAB ＝S △MAN ＋S △MBN ＝－32×⎝ ⎛⎭
⎪⎫m －122＋278， ∴当m ＝12时，△MAB 的面积的最大值是278
， ∴所求平行四边形的最大面积为274，此时点M 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，154. (3)存在定点F ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1，154满足条件．理由：设F(1，b)，P(x ，y)， 由图可知P 到直线y ＝
174的距离PQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪174－y ，PF 2＝(x －1)2＋(b －y)2.∵PF 2＝PQ 2，∴(x －1)2＋(b －y)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫174－y 2. ∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴(x －1)2＝4－y ，
∴4－y ＋(y －b)2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫174－y 2，∴4＋b 2－(2b ＋1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1742－172y ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧4＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1742，2b ＋1＝172，
解得b ＝154，∴存在定点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，154满足条件． 25．(12分)为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸．在一天的抽检结束后，检测员将测得的15个数据按从小到大的顺序整理成如下表格：
按照生产标准，产品等次规定如下：
注：在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品(含特等品)计算在内．
(1)已知此次抽检的合格率为80%，请判断编号为⑮的产品是否为合格品，并说明理由．
(2)已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为9 cm.①求a 的值；②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm ，另一组尺寸不大于9 cm ，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽取到的2件产品都是特等品的概率．
解：(1)∵抽检的合格率为80%，∴合格品有15×80%＝12(个)，∴非合格品有3个．而从编号①至编号⑭对应的产品中，只有编号①与编号②对应的产品为非合格品，
∴编号为⑮的产品不是合格品．
(2)①从编号⑥到编号⑪对应的6个产品为优等品，中间两个产品的尺寸数据分别
为8.98和a ，8.98＋a 2
＝9，∴a ＝9.02. ②在优等品当中，编号⑥，⑦，⑧对应的产品尺寸不大于9 cm ，分别记为A 1，A 2，A 3；编号⑨，⑩，⑪对应的产品尺寸大于9 cm ，分别记为B 1，B 2，B 3，其中的特等品为A 2，A 3，B 1，B 2.根据题意列表如下：
∵由上表可知共有9种等可能的结果，其中2件产品都是特等品的结果有4种，
∴抽取到的2件产品都是特等品的概率为49
.
26．(12分)已知矩形ABCD 中，AB ＝5 cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP ＝2 5 cm.如图1，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿A →B →C 匀速运动(不包含点
C)．设动点M 的运动时间为t(s)，△APM 的面积为S ()cm 2，S 关于t 的函数图象如图2所示．(假设当点M 与点A 重合时，S ＝0)
(1)动点M 的运动速度为 cm/s ，BC 的长度为 cm ；
(2)如图3，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上按原来的速度和路线匀速运动，同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿D →C →B 匀速运动，设动点N 的运动速度为v (cm/s)．已知两动点M ，N 经过时间x(s)后在线段BC 上相遇(不包含点C)，动点M ，N 相遇后立即同时停止运动，记此时△APM 与△DPN 的面积分别为S 1()cm 2，
S 2()cm 2.
①求动点N 的运动速度v 的取值范围；
②试探究S 1·S 2是否存在最大值．若存在，求出S 1·S 2的最大值并确定运动时间x 的值；若不存在，请说明理由．
图1 图2 图3
解：(1)2；10；
(2)①∵动点M ，N 相遇后停止运动，
∴动点M 和动点N 运动的距离之和为AB ＋BC ＋DC ＝20(cm)．
又∵动点M ，N 的运动速度分别是2 cm/s ，v cm/s ，且两个动点的运动时间均为x s ，∴2x ＋x v ＝20，∴v ＋2＝20x
. ∵动点M ，N 在线段BC 上相遇(不包含点C)，
∴5≤2x<15，解得52≤x<152
. 设y ＝20x ，由反比例函数的图象和性质得83
<y ≤8， 即83<v ＋2≤8，∴23
<v ≤6. ∴动点N 的运动速度v 的取值范围为23
<v ≤6. ②存在．如图3，过点P 作PQ ⊥AD 于点Q ，延长QP 交BC 于点H.
∵AD ＝10，CD ＝5，∴AC ＝5 5.
∵PQ ⊥AD ，∠ADC ＝90°，∴PQ ∥CD.
又∵∠PAQ ＝∠CAD ，∴△APQ ∽△ACD ，
∴AP AC ＝PQ CD ＝AQ AD
，∴PQ ＝2，AQ ＝4，∴PH ＝3，DQ ＝6. ∵动点M ，N 在线段BC 上相遇(不包含点C)，
S 1＝S △ABC －S △MPC －S MAB ＝12×10×5－12×3×(15－2x)－12
×(2x －5)×5＝－2x ＋15，
S 2＝S △DCP ＋S △MCP －S △DCM ＝12×5×6＋12×3×(15－2x)－12
×5×(15－2x)＝2x ， ∴S 1·S 2＝(－2x ＋15)×2x ＝－4x 2
＋30x ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1542＋2254. ∵52≤x<152，∴当x ＝154时，S 1·S 2取得最大值，最大值为2254.。