运筹学 图解法

x1 = 125
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2x1 + x2 = 600
(250,100)x1 + x2 = 350
•
• • • • •
x1
的交点处, 2x1 + x2 = 600的交点处 即点 (250,100) 目标函数达到最小值。 处, 目标函数达到最小值。 即购买 A原料 吨， B原料 吨，可使 原料250吨 原料100吨 原料 原料 成本最小。 成本最小。
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Q3 Q2
Q1
x1
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二、线性规划解其他的情况 1.无穷多最优解 将上例中的目标函数变为 max z＝2x1＋4x2 ＝ 则Q2Q3线段上的任意点都使 目标函数值z达到最大 达到最大， 目标函数值 达到最大，即该 问题有无穷多最优解。 问题有无穷多最优解。
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x1
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3.无可行解 无可行解
max z＝2x1＋3x2 ＝ s.t. 2x1＋2x2≤12 x1 ＋ x2 ≥ 8 x1,，x2 ≥0 ， 原因： 原因：约束条件之间相互矛盾
x
2
6
8
x1
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目标函数最小化的线性规划问题： 三、目标函数最小化的线性规划问题：
的吨数， 解： 设 x 1为购进原料 的吨数， x 2 为购进原料 的吨数， 为购进原料A的吨数 的吨数， 为购进原料B的吨数 可以得到线性规划模型如下： 可以得到线性规划模型如下：
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x2
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目标函数： 目标函数： min f = 2 x 1 + 3 x 2 , 约束条件： 约束条件： x 1 + x 2 ≥ 350 , x 1 ≥ 125 , 2 x 1 + x 2 ≤ 600 , x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0. 解：（写出前四个步骤） 在直线 x1 + x2 = 350 与直线
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第二节 图解法
◆图解法步骤 ◆可行解及可行解集的特性 ◆线性规划问题解的特点 ◆单纯形法的思路
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一 、图解法步骤 ◆建立坐标系 ◆找出可行域 ◆绘出目标函数图形 ◆求出最优解
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的数学模型如下： 例1.2的数学模型如下： 的数学模型如下 ♦ max z＝2x1＋3x2 ＝ ＋ ♦ 2x1＋2x2≤12 (1) ＋ x 2 ♦ x1 ＋2x2 ≤8 (2) ♦ 4 x1 ≤16 (3) ♦ 4x2 ≤12 (4) ♦ x1,，x2 ≥0 (5) ， Q4 ♦ 解：最优解为 2)，最优值为 最优解为(4, ， 14。即企业生产Ⅰ、Ⅱ产品最 。即企业生产Ⅰ 佳方案是： 生产4件产品 件产品Ⅰ 佳方案是： 生产 件产品Ⅰ，2 件产品Ⅱ 能获取利润14元 件产品Ⅱ，能获取利润 元。
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250 + 100 = 350(吨 )
的总量为： 购买的原料A与原料B的总量为：
所需工时为： 时 所需工时为： 2× 250 + 1×100 = 600(小 ) 的购进量250 250吨比 的最底限125 125吨多购进了 原料A的购进量250吨比A的最底限125吨多购进了
某公司由于生产需要，共需要A 两种原料至少350吨 例 某公司由于生产需要，共需要 、B两种原料至少 吨 两种原料至少 两种原料有一定替代性），其中A原料至少购进 吨 （A、B两种原料有一定替代性），其中 原料至少购进 两种原料有一定替代性），其中 原料至少购进125吨。但 由于A 两种原料的规格不同， 由于 、B两种原料的规格不同，各自所需要的加工时间也是不同 两种原料的规格不同 原料需要2个小时 原料需要1小时 的，加工每吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需要 小时，而 加工每吨 原料需要 个小时，加工每吨B原料需要 小时， 公司共有600个加工小时。又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨 个加工小时。又知道每吨 原料的价格为 万元， 原料的价格为2万元 公司共有 个加工小时 B原料的价格为 万元，试问在满足生产需要的前提下，在公司加 原料的价格为3万元 试问在满足生产需要的前提下， 原料的价格为 万元， 两种原料， 工能力范围内，如何购买 工能力范围内，如何购买A、B两种原料，使得购进成本最低？ 两种原料 使得购进成本最低？
250 −125 = 125(吨 )
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图解法分析（对单纯形法的启示） 四、图解法分析（对单纯形法的启示） 求解线性规划问题解情况有：唯一最优解、 ◆求解线性规划问题解情况有：唯一最优解、无穷多 最优解、无界解、无可行解。 最优解、无界解、无可行解。 若线性规划问题可行域存在，则可行域是一个凸集。 ◆若线性规划问题可行域存在，则可行域是一个凸集。 若线性规划问题的最优解存在， ◆若线性规划问题的最优解存在，则最优解或最优解 之一（无穷多解时）一定能够在可行域（凸集） 之一（无穷多解时）一定能够在可行域（凸集）的 某顶点找到。 某顶点找到。 解题思路：找到凸集的任一顶点，计算目标函数值； ◆解题思路：找到凸集的任一顶点，计算目标函数值； 比较相邻顶点的目标函数值是否比这个更优， 比较相邻顶点的目标函数值是否比这个更优，如果 则该点就是最优解或之一，否则转到更优顶点； 否，则该点就是最优解或之一，否则转到更优顶点； 重复，直到找到使函数值达到最优顶点。 重复，直到找到使函数值达到最优顶点。
x
2
Q3 Q4 Q2
Q1
x1
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2.无界解（或无最优解） 无界解（或无最优解） 无界解
的数学模型如下： 例2的数学模型如下： 的数学模型如下 max z＝2x1＋3x2 ＝ x s.t. 4 x1 ≤16 x1,，x2 ≥0 ， 若上例中的约束条件只考 虑(3)和(5)时，问题具有无界解。 和 时 问题具有无界解。 原因： 原因：建立实际问题的数学模 型时漏了某些必要的资源约束。 型时漏了某些必要的资源约束。