1998年考研数学一真题及答案

1998 年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)
(1) 2
2
lim
x x
→= . (2) 设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z
x y
∂=∂∂ .
(3) 设L 为椭圆
22
1,43
x y +=其周长记为a ,则22(234)L xy x y ds ++=⎰ . (4) 设A 为n 阶矩阵,0A ≠,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值λ,
则*2
()A E +必有特征值 . (5) 设平面区域D 由曲线1y x
=
及直线2
0,1,y x x e ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为 _ .
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.)
(1) 设()f x 连续,则220
()x
d tf x t dt dx -=⎰ ( ) (A) 2
()xf x (B) 2
()xf x - (C) 2
2()xf x (D) 2
2()xf x - (2) 函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是 ( )
(A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0 (3) 已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2
,1y x
y x α∆∆=
++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于 ( ) (A) 2π (B) π (C) 4
e π (D) 4
e ππ
(4) 设矩阵1112223
3
3a b c a b c a b c ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
是满秩的,则直线333
121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线
111
232323
x a y b z c a a b b c c ---==--- ( )
(A) 相交于一点 (B) 重合 (C) 平行但不重合 (D) 异面
(5) 设A B 、是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有( )
(A) (|)(|)P A B P A B = (B) (|)(|)P A B P A B ≠ (C) ()()()P AB P A P B = (D) ()()()P AB P A P B ≠
三、(本题满分5分)
求直线11
:
111
x y z L --==
-在平面:210x y z ∏-+-=上的投影直线0L 的方程,并求0L 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.
四、(本题满分6分)
确定常数λ,使在右半平面0x >上的向量4
22
4
2(,)2()()A x y xy x y i x x y j λ
λ
=+-+为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,)u x y .
五、(本题满分6分)
从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y (从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为m ,体积为B ,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0)k k >.试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式()y =y v .
六、(本题满分7分)
计算
212222
(),()
axdydz z a dxdy x y z ∑
++++⎰⎰
其中∑
为下半球面z =,a 为大
于零的常数.
七、(本题满分6分)
求2sin sin sin lim .1112n n n n n n n πππ→∞⎛⎫ ⎪++⋅⋅⋅+ ⎪+ ⎪
++⎝
⎭
八、(本题满分5分)
设正项数列{}n a 单调减少,且1
(1)n
n n a ∞=-∑发散,试问级数1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑是否收敛？并说明理由.
九、(本题满分6分)
设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.
(1) 试证存在0(0,1)x ∈,使得在区间[]00,x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间[]0,1x 上以()y f x =为曲边的梯形面积. (2) 又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()
(),f x f x x
'>-证明(1)中的0x 是唯一的.
十、(本题满分6分)
已知二次曲面方程2
2
2
2224x ay z bxy xz yz +++++=,可以经过正交变换
x y P z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
化为椭圆柱面方程2
2
44ηζ+=,求,a b 的值和正交矩阵P .
十一、(本题满分4分)
设A 是n 阶矩阵,若存在正整数k ,使线性方程组0k
A x =有解向量α,且1
0k A α-≠, 证明：向量组1,,,k A A ααα-是线性无关的.
十二、(本题满分5分)
已知线性方程组
1111221,222112222,221122,220,0,()0n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x I a x a x a x ++⋅⋅⋅+=⎧⎪
++⋅⋅⋅+=⎪⎨⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪⎪++⋅⋅⋅+=⎩
的一个基础解系为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,)T T T n n n n n n b b b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅,试写出线性方程组
1111221,222112222,221122,220,0,
()0n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y II b y b y b y ++⋅⋅⋅+=⎧⎪
++⋅⋅⋅+=⎪⎨
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪
⎪++⋅⋅⋅+=⎩
的通解,并说明理由.
十三、(本题满分6分)
设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为
1
2
的正态分布,求随机变量X Y -的方差.
十四、(本题满分4分)
从正态总体2
(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大？
附表：标准正态分布表2
2
()t z
z dt -Φ=
⎰
十五、(本题满分4分)
设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？并给出检验过程. 附表：t 分布表
{()()}p P t
n t n p ≤=
1998年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】14
-
【解析】方法1：用四则运算将分子化简,再用等价无穷小替换,
原式
2
2
x
→=
2
4
x →-=
)2
2
1lim
4x x →=
22
201121
1
2lim 24
x x
x x →
-- =-.
方法2：采用洛必达法则.
原式)
()0
2
2
lim
x
x →'
'
洛0
x →=
x →=0
lim 4x x →=0
x → 洛 14
==-.
方法3：将分子按佩亚诺余项泰勒公式展开至2
x 项,
()22111128x x o x =+
-+()22211
128x x o x =--+, 从而 原式()()222212201111
1122828lim x x x o x x x o x x →+-++--+-= ()()22212201
4lim x x o x o x x
→-++=1
4=-. (2)【答案】()()()yf xy x y y x y ϕϕ'''''++++
【分析】因为1
()(),,z f xy y x y f x
ϕϕ=
++具有二阶连续导数,利用混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关,先求
z x ∂∂或z y
∂∂均可,但不同的选择可能影响计算的繁简. 方法1：先求
z x
∂∂. 211()()()()()z y f xy y x y f xy f xy y x y x x x x x ϕϕ∂∂⎡⎤
''=++=-+++⎢⎥∂∂⎣⎦
, 2221()()()11()()()()()
11
()()()()()
()()().
z y f xy f xy y x y x y y x x y
f xy x f xy f xy x x y y x y x x x
f xy f xy yf xy x y y x y x x
yf xy x y y x y ϕϕϕϕϕϕϕ∂∂⎛⎫
''=-+++ ⎪∂∂∂⎝⎭
'''''''=-++++++'''''''=-++++++'''''=++++ 方法2：先求
z y
∂∂. 11
()()()()()
()()(),z f xy y x y f xy x x y y x y y y x x
f xy x y y x y ϕϕϕϕϕ∂∂⎡⎤''=++=++++⎢⎥∂∂⎣⎦''=++++ []
22()()()()()().
z z f xy x y y x y x y y x x
yf xy x y y x y ϕϕϕϕ∂∂∂
''==++++∂∂∂∂∂'''''=++++ 方法3：对两项分别采取不同的顺序更简单些：
()[][][]21()()1()()()()()()().
z f xy y x y x y x y x y x f xy x y x y x x y f xy y x y x y
yf xy x y y x y ϕϕϕϕϕ⎡⎤∂∂∂∂∂⎛⎫⎡⎤
=++ ⎪⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎣⎦
⎣⎦∂∂
⎡⎤''=++⎢⎥∂∂⎣⎦∂∂
''=++∂∂'''''=++++ 评注：本题中,,f ϕ中的中间变量均为一元,因此本题实质上是一元复合函数的求导,只要注意到对x 求导时,y 视为常数；对y 求导时,x 视为常数就可以了. (3)【答案】12a
【解析】L 关于x 轴(y 轴)对称,2xy 关于y (关于x )为奇函数20L
xyds ⇒
=⎰.
又在L 上,
22
222213412(34)1212.43
L L x y x y x y ds ds a +=⇒+=⇒+==⎰⎰
因此, 原式2
22(34)12L
L
xyds x
y ds a =
++=⎰⎰.
【相关知识点】对称性：平面第一型曲线积分
(),l
f x y ds ⎰,设(),f x y 在l 上连续,如果l 关
于y 轴对称,1l 为l 上0x ≥的部分,则有结论：
()()()()12,,,,0,l l
f x y ds f x y x f x y ds f x y x ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰
关于为偶函数,
，
关于为奇函数. 类似地,如果l 关于x 轴对称,2l 为l 上0y ≥的部分,则有结论：
()()()()22,,,,0,l l
f x y ds f x y y f x y ds f x y y ⎧ ⎪=⎨ ⎪⎩⎰⎰
关于为偶函数,，
关于为奇函数. (4)【答案】 2
1A λ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
【解析】方法1：设A 的对应于特征值λ的特征向量为ξ,由特征向量的定义有
,(0)A ξλξξ=≠.
由0A ≠,知0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),将上式两端左乘A *
,得
A A A A A ξξλξλξ***===,
从而有 *
,A
A ξξλ
=
(即A *的特征值为
A
λ
).
将此式两端左乘A *,得
()
2
2
**A
A A A ξξξλλ⎛⎫== ⎪⎝⎭
.
又E ξξ=,所以
()()
22
*1A A E ξξλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,故*2()A E +的特征值为2
1A λ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭.
方法2：由0A ≠,A 的特征值0λ≠(如果0是A 的特征值0A ⇔=),则1
A -有特征值
1
λ
,
O
1 2
A *的特征值为A
λ；*2()A E +的特征值为2
1A λ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
.
【相关知识点】1.矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n
维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.
由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1
A αλα-=. 因为0α≠,故0λ≠,于是有1
1A
ααλ-=.按特征值定义知1
λ
是1A -的特征值.
若AX X λ=,则()()A kE X AX kX k X λ+=+=+.即若λ是A 的特征值,则
A kE +的特征值是k λ+.
2.矩阵A 可逆的充要条件是0A ≠,且1
1A
A A
-*
=
. (5)【答案】
14
【解析】首先求(,)X Y 的联合概率密度(,)f x y .
21(,)|1,0D x y x e y x ⎧
⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩
⎭,
区域D 的面积为2
2
11
1ln 2.e e D S dx x x
=
==⎰
1
,
(,),(,)2
0, x y D f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他.
其次求关于X 的边缘概率密度.
当1x <或2
x e >时,()0X f x =；
当2
1x e ≤≤时,10
11()(,)22x X f x f x y dy dy x
+∞
-∞
===⎰
⎰
. 故1
(2).4
X f =
二、选择题(本题共5小题,每小题3分,共15分.) (1)【答案】(A)
【解析】为变限所定义的函数求导数,作积分变量代换2
2
,u x t =-
2:0:0t x u x →⇒→,()222du d x t tdt =-=-1
2dt du t
⇒=-
,
2
2
202222
0001()()211()(),22x
x x
x tf x t dt u x t tf u dt t f u du f u du ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭=-=⎰⎰⎰⎰
()222
00
22221()()211
()()2(),22
x x d d tf x t dt f u du dx dx f x x f x x xf x -='=⋅=⋅=⎰⎰
选(A).
【相关知识点】对积分上限的函数的求导公式：若()
()
()()t t F t f x dx βα
=⎰,()t α,()t β均一阶
可导,则[][]()()()()()F t t f
t t f t ββαα'''=⋅-⋅.
(2)【答案】(B)
【解析】当函数中出现绝对值号时,就有可能出现不可导的“尖点”,因为这时的函数是分段函数.22()(2)1f x x x x x =---,当0,1x ≠±时()f x 可导,因而只需在0,1x =±处考察()f x 是否可导.在这些点我们分别考察其左、右导数.
由 2222
2
2
22(2)(1),1,
(2)(1),
10,()(2)(1),01,(2)(1),
1,
x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x x x ⎧---<-⎪----≤<⎪=⎨---≤<⎪⎪---≤⎩
⇒ ()()22111(2)(1)0
(1)lim lim 011
x x f x f x x x x f x x -
--→-→-------'-===++, ()()22111(2)(1)0
(1)lim lim 011
x x f x f x x x x f x x +++→-→-------'-===++,
即()f x 在1x =-处可导.又
()()22000(2)(1)0
(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x ---→→-----'===,
()()22000(2)(1)0
(0)lim lim 2x x f x f x x x x f x x
++
+→→-----'===-, 所以()f x 在0x =处不可导.
类似,函数()f x 在1x =处亦不可导.因此()f x 只有2个不可导点,故应选(B).
评注：本题也可利用下列结论进行判断：
设函数()()f x x a x ϕ=-,其中()x ϕ在x a =处连续,则()f x 在x a =处可导的充要条件是()0a ϕ=. (3)【答案】(D) 【解析】由2,1y x y x α∆∆=
++有2.1y y x x x
α
∆=+∆+∆
令0,x ∆→得α是x ∆的高阶无穷小,则0
lim
0x x
α
∆→=∆,
0lim
x y x ∆→∆∆20lim 1x y x x α∆→⎛⎫=+ ⎪+∆⎝⎭
200lim lim 1x x y x x α∆→∆→=++∆21y x =+ 即
2
1dy y dx x =
+. 分离变量,得
2
,1dy dx y x =+ 两边积分,得 ln arctan y x C =+,即arctan 1.x
y C e =
代入初始条件(0),y π=得()arctan0
110.y C e C π===所以,arctan x y e π=.
故 arctan 1
(1)x
x y e
π==arctan1
e
π=4.e π
π=
【相关知识点】无穷小的比较：
设在同一个极限过程中,(),()x x αβ为无穷小且存在极限 ()
lim ()
x l x αβ=, (1) 若0,l ≠称(),()x x αβ在该极限过程中为同阶无穷小； (2) 若1,l =称(),()x x αβ在该极限过程中为等价无穷小,记为()
()x x αβ；
(3) 若0,l =称在该极限过程中()x α是()x β的高阶无穷小,记为()()()x o x αβ=. 若()
lim
()
x x αβ不存在(不为∞),称(),()x x αβ不可比较. (4)【答案】(A) 【解析】设3331121212:
x a y b z c L a a b b c c ---==---,111
2232323
:x a y b z c L a a b b c c ---==---,题设矩阵
1112223
3
3a b c a b c a b c ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则由行列式的性质,可知 111121212
2222323
233
3
3
3
3
3
12230a b c a a b b c c a b c a a b b c c a b c a b c ------≠行减行，行减行, 故向量组121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---线性无关,否则由线性相关的定义知,一定存在12,k k ,使得11212122232323(,,)(,,)0k a a b b c c k a a b b c c ---+---=,这样上面行列式经过初等行变换值应为零,产生矛盾.
121212(,,)a a b b c c ---与232323(,,)a a b b c c ---分别为12,L L 的方向向量,由方向向
量线性相关,两直线平行,可知12,L L 不平行.
又由
333
121212
x a y b z c a a b b c c ---==---得
333
121212
111x a y b z c a a b b c c ----=-=----,
即
()()()
312312312121212
x a a a y b b b z c c c a a b b c c ---------==
---. 同样由
111232323
x a y b z c a a b b c c ---==---,得
111
232323
111x a y b z c a a b b c c ---+=+=+---,
即 ()()()
123323323232323
x a a a y b b b z c c c a a b b c c -+--+--+-==
---, 可见12,L L 均过点()213213213,,a a a b b b c c c ------,故两直线相交于一点,选(A). (5)【答案】C
【分析】由题设条件(|)(|)P B A P B A =,知A 发生与A 不发生条件下B 发生的条件概率相等,即A 发生不发生不影响B 的发生概率,故,A B 相互独立.而本题选项(A)和(B)是考虑(|)P A B 与(|)P A B 是否相等,选项(C)和(D)才是事件A 与B 是否独立.
【解析】由条件概率公式及条件(|)(|),P B A P B A =知
{}{}{}{}
{}{}
{}1P AB P AB P B P AB P A P A P A
-==
-, 于是有 {}{}{}{}{}1P AB P A P A P B P AB -=⋅-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, 可见 {}{}{}P AB P A P B =. 应选(C).
【相关知识点】条件概率公式：{}{}
{}
|P AB P B A P A =.
三、(本题满分5分)
【解析】方法1：求直线L 在平面∏上的投影0L ：
方法1：先求L 与∏的交点1N .以1,:,1x t L y t z t =+⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
代入平面∏的方程,得
(1)2(1)101t t t t +-+--=⇒=.
从而交点为1(2,1,0)N ；再过直线L 上点0(1,0,1)M 作平面∏的垂线11
:
112
x y z L --'==
-,即1,
,12.x t y t z t =+⎧⎪
=-⎨⎪=+⎩
并求L '与平面∏的交点2N ：
1
(1)()2(12)103
t t t t +--++-=⇒=-,
交点为2211
(,,)333
N .
1N 与2N 的连接线即为所求021:
421
x y z
L --==-. 方法2：求L 在平面∏上的投影线的最简方法是过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求投影线就是平面∏与0∏的交线.平面0∏过直线L 上的点(1,0,1)与不共线的向量(1,1,1)l =- (直线L 的方向向量)及(1,1,2)n =-(平面∏的法向量)平行,于是0∏的方程是
111110112
x y z ---=-,即3210x y z --+=. 投影线为 0210,
:3210.x y z L x y z -+-=⎧⎨--+=⎩
下面求0L 绕y 轴旋转一周所成的旋转曲面S 的方程.为此,将0L 写成参数y 的方程：
2,1
(1).2
x y z y =⎧⎪
⎨=--⎪⎩ 按参数式表示的旋转面方程得S 的参数方程为
,
,
.x y y z θθ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪⎩
消去θ得S 的方程为()2
2
2
2
12(1)2x z y y ⎡⎤+=+--⎢⎥⎣⎦
,即222
4174210.x y z y -++-=
四、(本题满分6分)
【解析】令42(,)2(),P x y xy x y λ=+2
4
2(,)(),Q x y x x y λ
=-+则(,)((,),(,))A x y P x y Q x y =在单联通区域右半平面0x >上为某二元函数(,)u x y 的梯度Pdx Qdy ⇔+在0x >上∃原函数(,)u x y ⇔
,0.Q P
x x y
∂∂=>∂∂ 其中,
42242132()()4Q
x x y x x y x x
λλλ-∂=-+-+⋅∂, 424212()2()2P
x x y xy x y y y
λλλ-∂=+++⋅∂. 由
Q P
x y
∂∂=∂∂,即满足 4224213424212()()42()2()2x x y x x y x x x y xy x y y λλλλλλ---+-+⋅=+++⋅,
424()(1)01x x y λλλ⇔++=⇔=-.
可见,当1λ=-时,所给向量场为某二元函数的梯度场.
为求(,)u x y ,采用折线法,在0x >半平面内任取一点,比如点(1,0)作为积分路径的起点,则根据积分与路径无关,有
2(,)
42
(1,0)
2(,)x y xydx x dy
u x y C x y -=++⎰
2
4421
0200x
y x x dx dy C x x y
⋅-=
++++⎰⎰(折线法) 2
42
y
x dy C x y -=
++⎰
2
2
42(1)
y
x dy C y x x -=
+⎛⎫+ ⎪⎝⎭
⎰
(第一类换元法)
22
22220
04
221(1)(1)
y
y x x y y d C d C x x y y x x x ⋅⎛⎫⎛⎫
=-
+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎰
⎰ 2
arctan y
C x =-+(基本积分公式) 其中C 为任意常数.
【相关知识点】1.二元可微函数(,)u x y 的梯度公式：u u gradu i +j x y
∂∂=
∂∂. 2.定理：设D 为平面上的单连通区域,函数()P x,y 与(,)Q x y 在D 内连续且有连续的一阶偏导数,则下列六个命题等价：
(1)
,(,)Q P
x y D x y
∂∂≡∈∂∂； (2) 0,L
Pdx Qdy L +=⎰为D 内任意一条逐项光滑的封闭曲线；
(3)
LAB
Pdx Qdy +⎰
仅与点,A B 有关,与连接,A B 什么样的分段光滑曲线无关；
(4) 存在二元单值可微函数(,)u x y ,使
du Pdx Qdy =+
(即Pdx Qdy +为某二元单值可微函数(,)u x y 的全微分； (5) 微分方程0Pdx Qdy +=为全微分方程；
(6) 向量场P +Q i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度u P +Q =grad i j .
换言之,其中任一组条件成立时,其它五组条件皆成立.当条件成立时,可用试图法或折线法求函数(,)u x y .
五、(本题满分6分)
【解析】先建立坐标系,取沉放点为原点O ,铅直向下作为Oy 轴正向,探测器在下沉过程中受重力、浮力和阻力的作用,其中重力大小：mg ,浮力的大小：F B ρ=-浮；阻力：kv -,则由牛顿第二定律得
20
2,0,0.t t d y
m mg B g kv y v
dt
ρ===--== (*)
由22,dy d y dv dv dy dv dy v v v dv dt dt dt dy dt dy
===⋅==,代入(*)得y 与v 之间的微分方程
1
0,0y dy mv mg B kv v dv ρ-=⎛⎫
=--= ⎪⎝⎭
.
分离变量得 mv
dy dv mg B kv ρ=
--,
两边积分得 mv
dy dv mg B kv ρ=
--⎰
⎰,
2222
()()()
Bm m g Bm m g mv k k k k y dv mg B kv m Bm m g mg B kv k k k dv mg B kv m g Bm m k dv
k mg B kv m m mg B dv dv
k k mg B kv ρρρρρρρρρρ+--+
=------+=--⎛⎫- ⎪
=-+ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭-=-+--⎰
⎰
⎰⎰⎰
1
()()()()
m mg B m k v d mg B kv k k mg B kv ρρρ-⋅-=-+----⎰ (第一类换元法) 2
()ln()m m mg B v mg B kv C k k ρρ-=-
---+.
再根据初始条件0|0,y v ==即
22
()()
ln()0ln()m mg B m mg B mg B C C mg B k k
ρρρρ---
-+=⇒=-. 故所求y 与v 函数关系为
()2ln .m mg B m mg B kv y v k k mg B ρρρ-⎛⎫--=-- ⎪-⎝⎭
六、(本题满分7分)
【解析】方法1：本题属于求第二类区面积分,且不属于封闭区面,则考虑添加一平面使被积区域封闭后用高斯公式进行计算,但由于被积函数分母中包含1
2222()x y z ++,因此不能立
即加、减辅助面222
1:0
x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,宜先将曲面方程代入被积表达式先化简：
22
12222
()1().()
axdydz z a dxdy I axdydz z a dxdy a x y z ∑
∑
++==
++++⎰⎰
⎰⎰ 添加辅助面222
1:0
x y a z ⎧+≤∑⎨=⎩,其侧向下(由于∑
为下半球面z =侧,而高斯公式要求是整个边界区面的外侧,这里我们取辅助面的下侧,和∑的上侧组成整个边界区面的内侧,前面取负号即可),由高斯公式,有
11
22
2
2
11()()()1()().D I axdydz z a dxdy axdydz z a dxdy a a z a ax dV a dxdy a x z ∑+∑∑Ω=
++-++⎛⎫⎡⎤∂+⎛⎫∂⎣⎦ ⎪=-+-- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
第一个积分前面加负号是由于我们取边界区面的内侧,第二个积分前面加负号是由于
1∑的方向向下；另外由曲面片1∑在yoz 平面投影面积为零,则1
0axdydz ∑=⎰⎰,而1∑上0z =,
则()2
2z a a +=.
21(2())D I a z a dV a dxdy a Ω
⎛
⎫=-+++ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰,
其中Ω为∑与1∑所围成的有界闭区域,D 为1∑在xoy 面上的投影222{(,)|}D x y x y a =+≤. 从而,
2
203
22001321232.3
D a I a dv zdv a dxdy a a a d rdr a a a ππθπΩΩ⎛⎫=--+ ⎪
⎝⎭
⎛⎫=-⋅-+⋅ ⎪⎝⎭
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
第一个积分用球体体积公式；第二个用柱面坐标求三重积分；第三个用圆的面积公式
.
()
204
2
40024
220024230022422444
04
11222112()21
()1122242412a a a a
I a d r z dr a a a d r a r dr a a d a r r dr
a
a r r a a a a a a a a a a ππππθππθπθππππππ⎛⎫⎛=--+ ⎪
⎝⎝⎭
⎛⎫⎛⎫=---- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
=
-+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+⋅-=-+⋅- ⎪
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭=-+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰4342
a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 方法2：逐项计算：
22
1
2
2
22
212()1()()1
().
axdydz z a dxdy
I axdydz z a dxdy a x y z xdydz z a dxdy I I a ∑
∑
∑
∑
++==
++++=++=+⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰
其中
,
12,
Dyz Dyz
Dyz
I xdydz ∑
==-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰
第一个负号是由于在x 轴的正半空间区域∑的上侧方向与x 轴反向；第二个负号是由于被积
函数在x 取负数.
yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|,0}yz D y z y z a z =+≤≤,用极坐标,得
210
22
03223320
212()2
222
()(0),
333a
I d a r a r a a ππ
θππππ=-=-⋅-
-=-=-=-⎰⎰
⎰
(
2
222220
0230
23000422
30
044
411()1(22)2(22)2222123422(3Dxy
a a a a a a a I z a dxdy a dxdy
a a d a r rdr
a a r r dr a a rdr a r dr a r a r a a a a a a a
π
θπππ
π∑=+=-=-=-⎡⎤=--⎢
⎥⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥
=-⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
=
--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰3),
46
a π=
其中yz D 为∑在yoz 平面上的投影域222{(,)|}yz D y z y z a =+≤.故312.2
I I I a π
=+=-
【相关知识点】高斯公式：设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面∑所围成,函数
(,,)P x y z 、(,,)Q x y z 、(,,)R x y z 在Ω上具有一阶连续偏导数,则有
,P Q R dv Pdydz Qdzdx Rdxdy x y z Ω∑
⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰ 或
()cos cos cos ,P Q R dv P Q R dS x y z αβγΩ∑
⎛⎫∂∂∂++=++ ⎪∂∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰⎰⎰
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧,cos α、cos β、cos γ是∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦.上述两个公式叫做高斯公式.
七、(本题满分6分)
【分析】这是n 项和式的极限,和式极限通常的方法就两种：一、把和式放缩,利用夹逼准则求极限；二、把和式转换成定积分的定义形式,利用定积分求极限.这道题,把两种方法结合到一起来求极限.
当各项分母均相同是n 时,n 项和式
2sin sin
sin n n n n n x n
n
n
π
ππ=
+
++
是函数sin x π在[0,1]区间上的一个积分和.于是可由定积分
1
sin xdx π⎰求得极限lim n
n x
→∞
.
【解析】由于
sin
sin sin ,1,2,,11i i i n n n i n n n n i
πππ
≤≤=⋅⋅⋅++,
于是,
1
11sin
sin sin 11n
n n
i i i i i i n n n n n
n i
πππ
===≤≤++∑
∑∑.
由于 1011
sin
12lim
lim sin sin n
n
n n i i i i n xdx n n n π
πππ→∞
→∞=====∑
∑⎰,
101
11sin
112
lim lim sin lim sin sin 11n
n n
n n n i i i i n i i n xdx n n n n n n π
ππππ→∞
→∞→∞===⎡⎤=⋅===⎢⎥++⎣⎦
∑
∑∑⎰根据夹逼定理知,1
sin
2lim
1n
n i i n n i
π
π→∞
==+∑
. 【相关知识点】夹逼准则：若存在N ,当n N >时,n n n y x z ≤≤,且有lim lim n n n n y z a →+∞
→+∞
==,则lim n n x a →+∞
=.
八、(本题满分5分)
【解析】方法1：因正项数列{}n a 单调减少有下界0,知极限lim n n a →∞
存在,记为a ,则n a a ≥且
0a ≥.
又
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑发散,根据莱布尼茨判别法知,必有 0a >(否则级数1
(1)n n n a ∞
=-∑收敛).
又正项级数{}n a 单调减少,有11,11n
n
n a a ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪
++⎝
⎭⎝⎭而1
011a <<+,级数11()1n n a ∞
=+∑收敛.根据正项级数的比较判别法,知级数
1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑也收敛. 方法2：同方法1,可证明lim 0n n a a →∞=>.令1,1n
n n b a ⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
则
11
lim
1,11n n n
a a →∞==<++
根据根值判别法,知级数
1
1(
)1
n
n n a ∞
=+∑也收敛. 【相关知识点】1.交错级数的莱布尼茨判别法：
设交错级数
1
1
(1)
n n n u ∞
-=-∑满足：
(1)1,1,2,
;n n u u n +≥= (2)lim 0.n n u →∞
=
则
1
1
(1)
n n n u ∞
-=-∑收敛,且其和满足111
0(1),n n n u u ∞
-=<-<∑余项1.n n r u +<
反之,若交错级数
1
1
(1)
n n n u ∞
-=-∑发散,只是满足条件(1),则可以反证说明此级数一定不满足
条件(2)lim 0n n u →∞
=,所以有lim 0.n n u →∞
>(否则级数
1
1
(1)
n n n u ∞
-=-∑收敛)
2.正项级数的比较判别法：
设
1
n n u ∞=∑和1
n n v ∞
=∑都是正项级数,且lim
,n
n n
v A u →∞=则
(1)当0A <<+∞时,
1n
n u
∞
=∑和
1
n
n v
∞
=∑同时收敛或同时发散；
(2)当0A =时,若
1
n
n u
∞
=∑收敛,则
1
n
n v
∞
=∑收敛；若
1
n
n v
∞
=∑发散,则
1
n
n u
∞
=∑发散；
(3)当A =+∞时,若1
n
n v
∞
=∑收敛,则
1
n
n u
∞
=∑收敛；若
1
n
n u
∞
=∑发散,则
1
n
n v
∞
=∑发散.
3.根值判别法：
设0n u >,则当
1
11, 1, lim 0,1, .n n n n n n n u u u ρ∞
=∞
→∞
=⎧
<⎪⎪
⎪
=>≠⎨⎪
⎪=⎪⎩
∑∑时收敛，
时发散，且时此判别法无效
九、(本题满分6分)
【解析】(1)要证0(0,1)x ∃∈,使0
1
00()()x x f x f x dx =
⎰
；令1
()()()x x xf x f t dt ϕ=-⎰,要证
0(0,1)x ∃∈,使0()0x ϕ=.可以对()x ϕ的原函数0
()()x x t dt ϕΦ=⎰使用罗尔定理：
(0)0Φ=,
1111
11
11000(1)()()(())()()()0,x
x x x x dx xf x dx f t dt dx
xf x dx x f t dt xf x dx ϕ==Φ==-⎡⎤
=-+=⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰分部
又由()f x 在[0,1]连续()x ϕ⇒在[0,1]连续,()x Φ在[0,1]连续,在(0,1)可导.根据罗尔定理,0(0,1)x ∃∈,使00()()0x x ϕ'Φ==.
(2) 由()()()()()2()0x xf x f x f x xf x f x ϕ'''=++=+>,知()x ϕ在(0,1)内单调增,故(1)中的0x 是唯一的.
评注：若直接对()x ϕ使用零点定理,会遇到麻烦：
1
(0)()0,(1)(1)0f t dt f ϕϕ=-≤=≥⎰.
当()0f x ≡时,对任何的0(0,1)x ∈结论都成立；
当()f x ≡0时,(0)0,ϕ<但(1)0ϕ≥,若(1)0ϕ=,则难以说明在(0,1)内存在0x .当直接对()x ϕ用零点定理遇到麻烦时,不妨对()x ϕ的原函数使用罗尔定理. 【相关知识点】1.罗尔定理：如果函数()f x 满足 (1) 在闭区间[,]a b 上连续； (2) 在开区间(,)a b 内可导；
(3) 在区间端点处的函数值相等,即()()f a f b =, 那么在(,)a b 内至少有一点ξ(a b ξ<<),使得()0f ξ'=.
十、(本题满分6分)
【解析】经正交变换化二次型为标准形,二次型矩阵与标准形矩阵既合同又相似.由题设知,
二次曲面方程左端二次型对应矩阵为111111b A b a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,则存在正交矩阵P ,使得 1000010004P AP -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
B 记,
即A B 与相似.
由相似矩阵有相同的特征值,知矩阵A 有特征值0,1,4.从而,
2
11014,
3, 1.(1)0.a a b A b B ++=++⎧⎪⇒==⎨=--==⎪⎩
从而,111131.111A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
当10λ=时,
()1110131111E A ---⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦
1(1)23⨯-行分别加到，行111020000---⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 于是得方程组(0)0E A x -=的同解方程组为1232
0,
20.x x x x ---=⎧⎨-=⎩
(0)2r E A -=,可知基础解系的个数为(0)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,
选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为1(1,0,1).T
α=-
当21λ=时,
()011121110E A --⎡⎤⎢⎥-=---⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
3(1)2⨯-加到行011011110--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
1(1)2⨯-行加到行011000110--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
23，行互换
011110000--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 于是得方程组()0E A x -=的同解方程组为23120,
0.
x x x x --=⎧⎨
--=⎩
()2r E A -=,可知基础解系的个数为()321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,
选1x 为自由未知量,取11x =,解得基础解系为2(1,1,1).T
α=-
当34λ=时,
()3114111113E A --⎡⎤⎢⎥-=--⎢⎥
⎢⎥--⎣⎦
12，行互换111311113--⎡⎤
⎢⎥--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ 1行的3,(-1)倍分别加到2，3行111024024--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦23行加到行111024000--⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
,
于是得方程组(4)0E A x -=的同解方程组为123230,
240.
x x x x x -+-=⎧⎨
-=⎩
(4)2r E A -=,可知基础解系的个数为(4)321n r E A --=-=,故有1个自由未知量,
选2x 为自由未知量,取22x =,解得基础解系为3(1,2,1).T
α=
由实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交,可知123,,ααα相互正交. 将123,,ααα单位化,得
111222333,,.
T
T
T
αηααηααηα===
===
因此所求正交矩阵为0
P ⎡⎢⎢⎢
=⎢⎢⎢⎢⎣
. 评注：利用相似的必要条件求参数时,
ii
ii
a b
=∑∑是比较好用的一个关系式.亦可用
E A E B λλ-=-比较λ同次方的系数来求参数.
【相关知识点】1.特征值的性质：
1
1
n
n
i ii
i i a
λ===∑∑
2.相似矩阵的性质：若矩阵A B 与相似,则A B =.
十一、(本题满分4分)
【解析】用线性无关的定义证明.
设有常数011,,,,k λλλ-⋅⋅⋅使得
10110.
()k k A A λαλαλα--++⋅⋅⋅+=*
两边左乘1k A -,则有
()110110k k k A A A λαλαλα---++⋅⋅⋅+=,
即 12(1)
0110k k k k A A A
λαλαλα---++⋅⋅⋅+=. 上式中因0k A α=,可知(
)
211
0k k A A αα-+===,代入上式可得100.k A λα-=
由题设1
0k A
α-≠,所以00.λ=
将00λ=代入()*,有1
110k k A A λαλα--+⋅⋅⋅+=.
两边左乘2k A -,则有 ()2
11
1
0k k k A A A λαλ
α---+⋅⋅⋅+=,
即123
110k k k A A λαλα---+⋅⋅⋅+=.
同样,由0k
A α=,()211
0k k A A αα-+=
=,可得110.k A λα-=
由题设1
0k A
α-≠,所以10.λ=
类似地可证明210,k λλ-=⋅⋅⋅==因此向量组1
,,,k A A ααα-⋅⋅⋅是线性无关的. 【相关知识点】向量组线性相关和线性无关的定义：存在一组不全为零的数12m k ,k ,
,k 使
11220m m k k k ααα+++=,则称12m ,,,ααα线性相关；否则,称12m ,,,ααα线性无关．
十二、(本题满分5分) 【解析】()II 的通解为
1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,
其中,111121,2(,,,),
T
n a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,
12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.
理由：可记方程组22()0,()0,n n n n I A X II B Y ⨯⨯==()I ,()II 的系数矩阵分别记为,A B ,由
于B 的每一行都是20n n A X ⨯=的解,故0T AB =.T
B 的列是()I 的基础解系,故由基础解系
的定义知,T B 的列向量是线性无关的,因此()r B n =.故基础解系所含向量的个数
2()n n r A =-,得()2r A n n n =-=.因此,A 的行向量线性无关.
对0T
AB =两边取转置,有(
)
0T
T T AB
BA ==,则有T A 的列向量,即A 的行向量是
0BY =的线性无关的解.
又()r B n =,故0BY =基础解系所含向量的个数应为2()2n r B n n n -=-=,恰好等于A 的行向量个数.故A 的行向量组是0BY =的基础解系,其通解为
1122n n k k k ξξξ++⋅⋅⋅+,
其中,111121,2(,,,),
T
n a a a ξ=⋅⋅⋅221222,2(,,,),,T n a a a ξ=⋅⋅⋅12,2(,,,)T n n n n n a a a ξ=⋅⋅⋅,
12,,,n k k k ⋅⋅⋅为任意常数.
十三、(本题满分6分)
【分析】把X Y -看成一个随机变量,根据独立正态随机变量的线性组合必然为正态分布的性质,可以知道N(0,1)X Y
-,这样可以简化整题的计算.
【解析】令Z X Y =-,由于,X Y 相互独立,且都服从正态分布,因此Z 也服从正态分布,且
()()()0E Z E X E Y =-=,11
()()()122
D Z D X D Y =+=
+=. 于是,(0,1)Z X Y N =-~.
()()
()()()()
()
2
22
2
2
()1.
D X Y D Z
E Z
E Z D Z E Z E Z
E Z
-==-=+-=-
而
222
2
z z E Z z dz ze dz +∞
+∞
-
--∞
=
=
⎰
22
2
2
20
2z z z e
d e
+∞
+∞
-
-⎡⎤⎛⎫=
=-=⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦ 故2
1.D X Y π
-=-
【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,
22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,
其中,,a b c 为常数.
2.方差的定义：2
2
()DX EX EX =-.
3.随机变量函数期望的定义：若()Y g X =,则()()EY g x f x dx +∞
-∞
=⎰
.
十四、(本题满分4分) 【解析】由题知：2
12,,
,~(3.4,6)n X X X N ,1
1n
n i i X X n ==∑,各样本相互独立,根据独立
正态随机变量的性质,2
11~(,)n n i i X X N n μσ==∑.其中11n n i i EX E X n μ=⎛⎫== ⎪⎝⎭
∑,
2
11n n i i DX D X n σ=⎛⎫
== ⎪⎝⎭
∑.
根据期望和方差的性质,
11
222222111
11 3.4 3.4,
111
66.
n n
n i i i i n n n
n i i i i i i n EX E X EX n n n n DX D X D X DX n n n n n μσ=====⎛⎫===== ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑
所以,2
116~(3.4,)n n i i X X N n n ==∑.把n X 标准化
,~(0,1)X U N =. 从而,
{
}{}
{}{
}
1.4X 5.4 1.4 3.4X 3.4 5.4 3.4
2X 3.42X 3.42210.95,P P P P P <<=-<-<-=-<-<=-<=<=Φ-≥⎝⎭⎪⎩
⎭
故0.975,Φ≥⎝⎭
查表得到 1.96,3≥即()2
1.96334.57,n ≥⨯≈所以n 至少应取35. 【相关知识点】1.对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态
分布.
若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有
()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++,
22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,
其中,,a b c 为常数. 2.若2
~(,)Z N u σ,则~(0,1)Z u
N σ
-
十五、(本题满分4分)
【解析】设该次考试的考生成绩为X ,则2
~(,)X N μσ,设X 为从总体X 抽取的样本容量为n 的样本均值,S 为样本标准差,则在显著性水平0.05α=下建立检验假设：
001:70,:70,H H μμμ==≠
由于2
σ未知,故用t 检验.
选取检验统计量,
X T =
= 在070μμ==时,2
~(70,),~(35).X N T t σ 选择拒绝域为{}
R T λ=≥,其中λ满足：
{}0.05P T λ≥=,即{}0.9750.975,(35) 2.0301.P T t λλ≤===
由0 36,66.5,70,15,n x s μ====可算得统计量T 的值：
1.4
2.0301t =
=<.
所以接受假设0:70H μ=,即在显著性水平0.05下,可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.。