函数模型及其应用

函数模型及其应用
‖知识梳理‖
1．几种常见的函数模型
| 微点提醒|
1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．
2．充分理解题意，并熟悉掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．
3．易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．
‖易错辨析‖
判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”)
(1)幂函数增长比一次函数增长更快．(×)
(2)在(0，＋∞)内，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xα(α>0)的增长速度．(√)
(3)指数型函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题．(√)
(4)不存在x0，使ax0<x n0<log a x0.(×)
‖自主测评‖
1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()
x 4 5 6 7 8 9 10 y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型 C ．指数函数模型
D ．对数函数模型
解析：选A 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．
2．(教材改编题)一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为图中的( )
答案：B
3．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝1
2x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个
月应生产该商品数量为( ) A ．36万件 B ．18万件 C ．22万件
D ．9万件
解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－1
2(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )
有最大值．
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行驶千米数x (km)之间的函数关系式是________．
解析：由题意可得y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100.
答案：y ＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
0.5x ，0<x ≤100，0.4x ＋10，x >100
5．(教材改编题)某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x 为8万元时，奖励1万元．销售额x 为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y ＝a log 4x ＋b .某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．
解析：依题意得⎩
⎪⎨⎪⎧
a log 48＋
b ＝1，
a log 464＋
b ＝4，
即⎩⎪⎨⎪⎧
32a ＋b ＝1，
3a ＋b ＝4，
解得a ＝2，b ＝－2. 所以y ＝2log 4x －2，当y ＝8时，即2log 4x －2＝8. x ＝1 024(万元) 答案：1 024
…………考点一 函数模型的选择…………………|自主练透型|……………
|典题练全|
1．下表是在某个投资方案中，整理到的投入资金x (万元)与收益y (万元)的统计表.
投入资金x (万元) 1 2 3 4 5 6 收益y (万元)
0.4
0.8
1.6
3.1
6.2
12.3
A ．y ＝ax ＋b
B ．y ＝a ·b x
C ．y ＝ax 2＋bx ＋c
D ．y ＝b log a x ＋c
解析：选B 画出大致散点图如图所示，根据散点图可知选B.
2．某研究所对人体在成长过程中，年龄与身高的关系进行研究，根据统计，某地区未成年人，从1岁到16岁的年龄x (岁)与身高y (米)的散点图如图，则该关系较适宜的函数模型为( )
A ．y ＝ax ＋b
B ．y ＝a ＋log b x
C ．y ＝a ·b x
D ．y ＝ax 2＋b
解析：选B 根据散点图可知，较适宜的函数模型为y ＝a ＋log b x ，故选B.
3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )的影响。

根据近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据得到下面
的散点图．则下列哪个作为年销售量y 关于年宣传费x 的函数模型最适合( )
A ．y ＝ax ＋b
B ．y ＝a ＋b x
C ．y ＝a ·b x
D ．y ＝ax 2＋bx ＋c
解析：选B 根据散点图知，选择y ＝a ＋b x 最适合，故选B.
4．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180 种植成本Q
116
84
116
与上市时间t 的变化关系：
Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________； (2)最低种植成本是________元/100 kg.
解析：因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数
Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨
⎪⎧
a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝0.01，
m ＝80，
所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低
值80元/100 kg. 答案：(1)120 (2)80
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选择函数模型的基本思想
(1)根据数据描绘出散点图；
(2)将散点根据趋势“连接”起来，得到大致走势图象；
(3)根据图象与常见的基本函数的图象进行联想对比，选择最佳函数模型，但必须注意实际意义与基本图形的平移性相结合．
…………考点二 应用已知函数模型解决实际问题…………|重点保分型|…………
|研透典例|
【典例】 已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －
1
20(1＋k 2)x 2(k >0)表示的曲线上，其中k 与
发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．
(1)求炮的最大射程；
(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． [解] (1)在y ＝kx －1
20(1＋k 2)x 2(k >0)中，
令y ＝0，得kx －1
20
(1＋k 2)x 2＝0.
由实际意义和题设条件知x >0，k >0.解以上关于x 的方程得x ＝20k 1＋k 2＝201
k ＋k ≤20
2＝10，当且仅当k ＝1时取等号．
所以炮的最大射程是10千米．
(2)因为a >0，所以炮弹可以击中目标⇔存在k >0，使ka －1
20(1＋k 2)a 2＝3.2成立⇔关于k 的
方程a 2k 2－20ak ＋a 2＋64＝0有正根，
得⎩⎨
⎧
Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0，
k 1
＋k 2
＝20a a 2>0，
k 1k 2
＝a 2
＋64a
2
>0，
解得0<a ≤6.
所以当a 不超过6千米时，炮弹可以击中它.
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已知函数模型求解实际问题的3个步骤
(1)根据已经给出的实际问题的函数模型，分清自变量与函数表达式的实际意义，注意单位名
称，并注意相关量之间的关系．
(2)根据实际问题的需求，研究函数的单调性、最值等，从而得出实际问题的变化趋势和最优问题．
(3)最后回归问题的结论．
|变式训练|
1．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()
A．30元B．60元
C．28 000元D．23 000元
解析：选D设毛利润为L(p)元，则由题意知
L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)
＝(8 300－170p－p2)(p－20)
＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，
所以L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.
令L′(p)＝0，
解得p＝30或p＝－130(舍去)．
当p∈(0,30)时，L′(p)>0；当p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23 000元．
2．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．
解析：根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式，
联立方程组得⎩⎪⎨⎪
⎧
0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，
0.5＝25a ＋5b ＋c ，
消去c 化简得⎩
⎪⎨⎪⎧
7a ＋b ＝0.1，
9a ＋b ＝－0.3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝－0.2，
b ＝1.5，
c ＝－2.
所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2 ＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2 ＝－15⎝
⎛⎭⎫t －1542＋1316， 所以当t ＝15
4＝3.75时，p 取得最大值，
即最佳加工时间为3.75分钟． 答案：3.75
…………考点三 构建函数模型解决实际问题……………|多维探究型|……………
|多角探明|
角度一 构建二次函数模型
【例1】 某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( ) A ．10.5万元 B ．11万元 C ．43万元
D ．43.025万元
[解析] 该公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆， 所以可得利润
y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1
⎝⎛⎭⎫x －2122＋0.1×212
4
＋32. 因为x ∈[0,16]且x ∈N ，
所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元，故选C. [答案] C
角度二构建指数函数、对数函数模型
【例2】(1)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年B．2019年
C．2020年D．2021年
(2)已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A菌的个数，现有以下几种说法：
①P A≥1；
②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；
③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg 2≈0.3)．
则正确的说法有()
A．①②B．②③
C．③D．①③
[解析](1)设第n(n∈N*)年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．
根据题意得130(1＋12%)n－1>200，
则lg[130(1＋12%)n－1]>lg 200，
∴lg 130＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴2＋lg 1.3＋(n－1)lg 1.12>lg 2＋2，
∴0.11＋(n－1)×0.05>0.30，解得n>24
，
5
又∵n∈N*，∴n≥5，∴该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2020年，故选C.
(2)当n A＝1时，P A＝0，故①错误；
若P A＝1，则n A＝10，若P A＝2，则n A＝100，故②错误；
B菌的个数为n B＝5×104，
∴n A＝1010
＝2×105，∴P A＝lg n A＝lg 2＋5.
5×104
又∵lg 2≈0.3，∴5<P A<5.5，故③正确．
[答案] (1)C (2)C
角度三 构建y ＝ax ＋b
x
函数模型
【例3】 某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．求该场多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
[解] 设该场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元．
因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．
从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300
x ＝3x ，即x ＝10
时，y 有最小值．故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少． 角度四 构建分段函数模型
【例4】 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)． (1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？
[解] (1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x ≥2.3，因为x 为整数，所以3≤x ≤6. 当x >6时，y ＝[50－3(x －6)]x －115＝－3x 2＋68x －115.
令－3x 2＋68x －115>0，有3x 2－68x ＋115<0，结合x 为整数得6<x ≤20.
故y ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )，
－3x 2＋68x －115(6<x ≤20，x ∈Z ).
(2)对于y ＝50x －115(3≤x ≤6，x ∈Z )， 显然当x ＝6时，y max ＝185，
对于y ＝－3x 2＋68x －115＝－3⎝⎛⎭⎫x －3432＋811
3(6<x ≤20，x ∈Z )，当x ＝11时，y max ＝270. 因为270>185，
所以当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多. 『名师点津』………………………………………………|品名师指点迷津|
构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制．
|变式训练|
1．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为( )
A ．上午10：00
B ．中午12：00
C ．下午4：00
D ．下午6：00
解析：选C 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ， 把(4,320)代入，得k 1＝80，所以y ＝80x .
当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧
k 2＝－20，
b ＝400.所以y ＝400－20x .
所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎨⎧
0≤x ≤4，80x ≥240或⎩⎪⎨⎪⎧
4<x ≤20，
400－20x ≥240.
解得3≤x ≤4或4<x ≤8，所以3≤x ≤8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00.
2．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100
x －38(万元)．每
件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解：(1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元， 依题意得，当0<x <8时，
L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫13x 2＋x －3＝－1
3
x 2＋4x －3；
当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝
⎛⎭⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎨⎧ －13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝⎛⎭⎫x ＋100x ，x ≥8.
(2)当0<x <8时，L (x )＝－13
(x －6)2＋9. 此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9万元，
当x ≥8时，L (x )＝35－⎝
⎛⎭⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x ＝35－20＝15， 此时，当且仅当x ＝100x
， 即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元，
因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．。