2015中考数学必做压轴题

2015中考数学必做压轴题

1。某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.

活动情境：

如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠（折痕EG分别与AB、DC 交于点E、G），使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF 与EG交于点P．

所得结论：

当点F与AD的中点重合时：（如图1)甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：

甲：△AEF的边AE= cm，EF= cm;

乙：△FDM的周长为16 cm；

丙:EG=BF。

你的任务：

【小题1】填充甲同学所得结果中的数据；

【小题2】写出在乙同学所得结果的求解过程;

【小题3】当点F在AD边上除点A、D外的任何一处(如图2)时：

①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论;

②丙同学的结论还成立吗?若不成立，请说明理由,若你认为成立,先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积)与x(AF=x)的函数关系式，并问当x为何值时，

S最大？最大值是多少？

答案解析：

【小题1】AE= 3 cm，EF= 5 cm;设AE=x,则EF=8－x，AE=4，∠

A=90°,，x=3,∴AE=”3”cm，EF=”5" cm。

【小题2】解：如答图1，∵∠MFE=90°,∴∠DFM+∠AFE=90°，

又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，,，

∴△FMD的周长=4++=16.…

【小题3】①乙的结果不会发生变化

理由：如答图2,设AF=x,EF=8－AE,,∴AE=4－，

同上述方法可得△AEF∽△DFM，=x+8，FD=8－x，

则，=16.

②丙同学的结论还成立

证明：如答图2，∵B、F关于GE对称，∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K,∴∠FBE=∠KGE，

在正方形ABCD中，GK=BC=AB,∠A=∠EKG=90°,∴△AFB≌△KEG,∴FB=GK.由上述可知AE=4－，△AFB≌△KEG,∴AF=EK=x，AK="AE+EK=AF+AE”=4－+x,S=×8=0。5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x)=

S =,(0﹤x﹤8)

当x=4,即F与AD的中点重合时，,=24。

2。如图,已知抛物线与x轴的交点为A、D（A在D的右侧）,与

y轴的交点为C。

（1）直接写出A、D、C三点的坐标;

（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MD+MC的值最小，并求出点M的坐

标;

（3）设点C关于抛物线对称的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、

B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由.

答案解析

（1)A（4，0) 、D（－2，0）、C(0，－3）；（2）连接AC,则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，M （1，)；（3）存在，（－2，0)或(6，6）。

试题分析：（1)在中令，解得，

∴A（4,0）、D(－2，0）。

在中令，得，∴C（0，－3）.

（2）连接AC，根据轴对称的性质，AC与抛物线的对称轴交点M即为所求，从而应用待定系数法求出AC的解析式,再求出抛物线的对称轴,即可求得点M的坐标。

（3）分BC为梯形的底边和BC为梯形的腰两种情况讨论即可.

试题解析:(1）A(4，0) 、D（－2，0）、C（0，－3)

(2）如图,连接AC，则AC与抛物线的对称轴交点M即为所求.

设直线AC的解析式为,则，解得。

∴直线AC的解析式为.

∵的对称轴是直线，

把x=1代入得

`∴M(1,）.

（3）存在,分两种情况：

①如图，当BC为梯形的底边时，点P与D重合时，四边形ADCB是梯形，此时点P为（－2，0）。

②如图，当BC为梯形的腰时,过点C作CP//AB,与抛物线交于点P，

∵点C，B关于抛物线对称，∴B（2，－3）

设直线AB的解析式为,则，解得。

∴直线AB的解析式为.

∵CP//AB，∴可设直线CP的解析式为.

∵点C在直线CP上，∴。

∴直线CP的解析式为。

联立，解得，

∴P（6,6)。

综上所述，在抛物线上存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形,点P的坐标为（－2，0）或(6，6)。

3。

如图1,在等腰梯形ABCD中，AD//BC，E是AB的中点,过点E作EF//BC交CD于点F,AB＝4,BC＝6,∠B＝60°．（1）求点E到BC的距离;

（2）点P为线段EF上的一个动点,过点P作PM⊥EF交BC于M,过M作MN//AB 交折线ADC于N，连结PN,设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2）,△PMN的形状是否发生改变？若不变,求出△PMN的周长；若改变，请说明理由;

②当点N在线段DC上时（如图3)，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形?若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 图3

E点做辅助线垂直BC，交BC于G点，EG即为E点到BC的距离：

EG=BE＊sin∠B=1/2AB*sin60º=√3

(2)①不变

PM=EG, MN=AB

做辅助线NH⊥EF，交EF于H点，设N交EF于K点,可以得出，⊿PMK≌⊿HNK, PK=KH

PM⊥EF

∴PM²+PK²=MK²=BE²=4

∴PK=1

PN²=NH²+PH²=EG²+（2PK)²=3+4=7

PN=√7

⊿PMN的周长=PN+PM+MN=√7+√3+4

②辅助线NO⊥BC，交BC于O点，MN于EF交于K点，NO与EF交于H点

依题意，PN=PM=√3

AB=4,BC=6,∠B=60º,

∴AD=2，EF=4

MN∥AB,

MN=NC，∠PMC=90º，∠NMC=60º

∴∠PMN=∠PNM=30º

KH=HF,

PK=EF—KH—HF-EP

PK=MK＊sin∠PMN=2＊1/2=1

∠PMN=∠PNM=30º，

∴∠MNO=30º，

∴∠PNO=60º

∴PH=PN＊sin60º=3/2

∴KH=PH—PK=3/2—1=1/2