江苏省无锡市近十年中考数学试题分类汇编4 数量和位置变化(含解析)

2003-2012年江苏省无锡市中考数学试题分类解析汇编
专题4：数量和位置变化
一、选择题
1. （江苏省无锡市2004年3分）如图中的图象（折线ABCDE ）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s （千米）和行驶时间t （小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法：①汽车共行驶了120千米；②汽车在行驶途中停留了0.5小时；③汽车在整个行驶过程中的平均速度为
3
80
千米/时；④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少.其中正确的说法共有【 】 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个
【答案】A 。

【考点】函数的图象。

【分析】根据图象上的特殊点的实际意义即可作出判断：
由图象可知，汽车走到距离出发点120千米的地方后又返回出发点，所以汽车共行驶了240千米，
故①错；
从1.5时开始到2时结束，时间在增多，而路程没有变化，说明此时汽车在停留，停留了2－1.5=0.5
小时，故②对；
汽车用4.5小时走了240千米，平均速度为：240÷4.5=1603千米/时，故③错； 汽车自出发后3小时至4.5小时，图象是直线形式，说明是在匀速前进，故④错。

所以，4个说法中，正确的说法只有1个。

故选A 。

2. （江苏省无锡市2006年3分）探索规律：根据下图中箭头指向的规律，从2004到2005再到2006，箭头的方向是【 】
【答案】A 。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】根据观察图形可知箭头的方向每4次重复一遍，∵20044501÷=除尽，∴2004所在的位置与图中的4所在的位置相同。

因此从2004到2005再到2006的箭头方向为：
故选A 。

3. （江苏省无锡市2007年3分）任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n s t =⨯（s t ，是正整数，且s t ≤），如果p q ⨯在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p q ⨯是n 的最佳分解，并规定：()p
F n q
=
．例如18可以分解成118⨯，29⨯，36⨯这三种，这时就有31(18)62F ==．给出下
列关于()F n 的说法：（1）1(2)2F =
；（2）3
(24)8
F =；（3）(27)3F =；（4）若n 是一个完全平方数，则()1F n =．其中正确说法的个数是【 】
Ａ．1
Ｂ．2
Ｃ．3
Ｄ．4
【答案】B 。

【考点】新定义，绝对值的概念，求函数值。

【分析】根据定义逐项分析：
（1）2只有一个分解：1×2，∴1
(2)2
F =。

选项正确。

（2）24的分解为：1×24，2×12，3×8，4×6，最佳分解为4×6，∴42
(24)=63
F =。

选项错误。

（3）27的分解为：1×27，3×9，最佳分解为3×9，∴1
(27)3
F =。

选项错误。

（4）n 是一个完全平方数2
a ，它的最佳分解为a ×a ，这种分解中两因数之差的绝对值为0最小， ∴()=1a
F n a
=。

选项正确。

故故选B 。

4. （江苏省2009年3分）如图，在55⨯方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图②中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平移方法中，正确的是【 】
A ．先向下平移3格，再向右平移1格
B ．先向下平移2格，再向右平移1格
C ．先向下平移2格，再向右平移2格
D ．先向下平移3格，再向右平移2格 【答案】D 。

【考点】平移的性质。

【分析】根据图形，对比图①与图②中位置关系可知：平移是先向下平移3格，再向右平移2格。

故选D 。

5. （江苏省2009年3分）下面是按一定规律排列的一列数： 第1个数：
11122-⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)1113234⎛⎫⎛⎫
---⎛⎫-++
+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)11111423456⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-----⎛⎫-++
+++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
； ……
第n 个数：232111(1)(1)(1)111112342n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫
----⎛⎫-++++ ⎪⎪
⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝
⎭．
那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是【 】 A ．第10个数
B ．第11个数
C ．第12个数
D ．第13个数
【答案】A 。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据题意找出规律然后依次解得答案进行比较：
第1个数：
111022-⎛⎫
-+= ⎪⎝⎭
； 第2个数：2311(1)(1)111
1113234326
⎛⎫⎛⎫---⎛⎫-+++=-=-
⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 第3个数：234511(1)(1)(1)(1)111
11111423456424
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎛⎫-+++++=-=-
⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 按此规律，
第1n -个数：232311(1)(1)(1)11211112342222n n
n n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-----⎛⎫-++
++=-=
⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭；
第n 个数：()23
2111(1)(1)(1)1111111123421221n n
n n n n -⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-----⎛⎫-++++=-= ⎪⎪
⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎝⎭。

∵
()()()()()()
2112110221211n n n n n n
>n n n n n n -+-----==+++， ∴n 越大，第n 个数越小，所以选A 。

二、填空题
1. （江苏省无锡市2003年4分）函数y ＝1x 5
-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ； 函数y ＝x 3-中，
自变量x 的取值范围是 ▲ . 【答案】x ≠5；x ≥3。

【考点】函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，分别求解：
函数y ＝
1x 5
-中根据分式的意义可知：x －5≠0，即x ≠5；
函数y ＝x 3-中根据二次根式的意义可知：x －3≥0，即x ≥3。

2. （江苏省无锡市2003年3分）观察下列等式，你会发现什么规律：
1×3＋1＝22；2×4＋1＝32；3×5＋1＝42；4×6＋1＝52；…….请将你发现的规律用仅含字母n （n 为正整 数）的等式表示出来： ▲ . 【答案】()()2
n n 2=n 1+++1。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】∵222
112111 222112 332113 ⨯
++=+⨯++=+⨯++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅（）（）；（）（）；（）（）； ∴第n 个式子为()()2
n n 2=n 1+++1。

3. （江苏省无锡市2004年4分）函数2
y x 4
=-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ；函数y x 5=-中，自变量x 的取值范围是 ▲ 。

【答案】x ≠4；x ≥5。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使
2
x 4
-在实数范围内有意义，必须x -4≠0，解得x ≠4；要使x 5-在实数范围内有意义，必须x －5≥0，解得x ≥5。

4. （江苏省无锡市2005年4分）函数y =3
x 1
-中，自变量x 的取值范围是 ▲ ；函数y =x 3+中，自变量x 的取值范围是 ▲ _.
【答案】x ≠1；x ≥－3。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使
3
x 1
-在实数范围内有意义，必须x －1≠0，解得x ≠1；要使x 3+在实数范围内有意义，必须x ＋3≥0，解得x ≥－3。

5. （江苏省无锡市2005年2分）一跳蚤在一直线上从O 点开始，第1次向右跳1个单位，紧接着第2次向左跳2个单位，第3次向右跳3个单位，第4次向左跳4个单位，……，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处离O 点的距离是 ▲ 个单位.。

【答案】50。

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】由题意可知，如图，第1、2次落点处离O 点的距离是1个单位，第3、4次落点处离O 点的距离是2个单位，第5、6次落点处离O 点的距离是3个单位，以此类推，找出规律，第2n 次落下时，落点处离O 点的距离是n 个单位。

所以，第100次落下时，落点处离O 点的距离是50个单位。

6.（江苏省无锡市2006年4分）函数2
y x 2
=+中，自变量x 的取值范围是 ▲ _；函数y x 3=-中， 自变量x 的取值范围是 ▲ _。

【答案】x ≠－2；x ≥3。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使
2
x 2
+在实数范围内有意义，必须x ＋2≠0，解得x ≠－2；要使x 3-在实数范围内有意义，必须x －3≥0，解得x ≥3。

7.（江苏省无锡市2006年2分）点（2，－1）关于x 轴的对称点的坐标为 ▲ _。

【答案】（－2， 1）。

【考点】关于x 轴对称的点的坐标。

【分析】根据点关于x 轴对称，纵坐标互为相反数，横坐标不变，可得点（2，－1）关于x 轴的对称点的坐标：（－2， 1）。

8. （江苏省无锡市2007年4分）函数2
y x 2
=-中自变量x 的取值范围是 ▲ ，函数y 2x 3=-中自变量x 的取值范围是 ▲ ．
【答案】x ≠2；3x 2
≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使2
x 2
-在实数范围内有意义，必须x －2≠0，解得x ≠2；要使2x 3-在实数范围内有意义，必须2x －3≥0，解得3
x 2
≥。

9. （江苏省无锡市2008年4分）函数2
y=x 1
-中自变量x 的取值范围是 ▲ ； 函数y 2x 4=-中
自变量x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】x ≠1；x 2≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件，要使
2
x 1
-在实数范围内有意义，必须x －1≠0，解得x ≠1；要使2x 4-在实数范围内有意义，必须2x －4≥0，解得x 2≥。

10. ．(江苏省无锡市2011年2分)函数4-=x y 中自变量x 的取值范围是 ▲ ．
【答案】4x ≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，直接得出结果：404x x ≥⇒≥－。

11. （2012江苏无锡2分）函数y=1+2x 4-中自变量x 的取值范围是 ▲ ． 【答案】x 2≥。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件。

【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使2x 4-在实数范围内有意义，必须2x 40-≥， 即x 2≥。

12. （2012江苏无锡2分）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF ，其中C ．D 的坐标分别为（1，0）和（2，0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A ．B ．C ．D ．E 、F 中，会过点（45，2）的是点 ▲ ．
【答案】B 。

【考点】分类归纳（图形的变化类），坐标与图形性质，正多边形和圆，旋转的性质。

【分析】由正六边形ABCDEF中C．D的坐标分别为（1，0）和（2，0），得正六边形边长为1，周长为6。

∴正六边形滚动一周等于6。

如图所示。

当正六边形ABCDEF滚动到位置1，2，3，4，5，6，7时，顶点A．B．C．D．E、F的纵坐标为2。

位置1时，点A的横坐标也为2。

又∵（45－2）÷6=7…1，
∴恰好滚动7周多一个，即与位置2顶点的纵坐标相同，此点是点B。

∴会过点（45，2）的是点B。

三、解答题
1. （江苏省无锡市2004年6分）国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.
①在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置.
②如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q”，使这四个“皇后Q”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q即可）.
【答案】解：①如图，“皇后Q”所在的位置“（2，3）”的意义；“皇后”能控制她所在的3行与2列中的每一个小方格，以及“斜”方向的两条直线上的每一个小方格。

棋盘中不能被该“皇后Q”所控制的四个位置为：
（1，1），（1，3），（2，4），（4，4）。

②作图如上。

【考点】作图—应用与设计作图。

【分析】①根据所给的方法画出Q控制的路线，得到不被控制的点的坐标。

②互相不受控制，那么这四个点应在不在相同的行，相同的列和同一正方形的对角线上。

2. （江苏省无锡市2005年4分）已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位.
（1）将图1中的格点△ABC，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A1B1C1，请你在图1中画出△A1B1C1.
（2）在图2中画出一个与格点△DEF相似但相似比不等于1的格点三角形.
【答案】（1）
（2）答案不唯一。

【考点】作图（平移变换和相似变换）。

【分析】根据平移作图的规律作图即可；做个位似图形即可，相似比可以是1：2等等．（答案不唯一）。

作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步．平移作图的一般步骤为：①确定平移的方向
和距离，先确定一组对应点；②确定图形中的关键点；③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点；④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形。

作位似变换的图形的依据是相似的性质，基本作法是：①先确定图形的位似中心；②利用相似图形的比例关系作出关键点的对应点；③按原图形中的方式顺次连接对应点．要注意有两种情况，图形在位似中心的同侧或在位似中心的两侧。

3. （江苏省无锡市2007年6分）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)
1232
n n n ++++
+=
．
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数
1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是
；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都
按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
【答案】解：（1）67。

（2）图4中所有圆圈中共有12(121)
12312782
++++
+=
=个数， 其中23个负数，1个0，54个正数，
∴图4中所有圆圈中各数的绝对值之和|23||22||1|01254=-+-+
+-+++++
(12323)(12354)27614851761=+++
++++++=+=。

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】（1）12层时最底层最左边这个圆圈中的数是11层的数字个数之和再加1：
1+2+3+…+11+1=6×11+1=67。

（2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数，然后应用公式计算
(1)
1232
n n n +++++=。

4. （2012江苏无锡8分）对于平面直角坐标系中的任意两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），我们把|x 1﹣x 2|+|y 1﹣y 2|叫做P 1、P 2两点间的直角距离，记作d （P 1，P 2）．
（1）已知O 为坐标原点，动点P （x ，y ）满足d （O ，P ）=1，请写出x 与y 之间满足的关系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点P 所组成的图形；
（2）设P 0（x 0，y 0）是一定点，Q （x ，y ）是直线y =ax +b 上的动点，我们把d （P 0，Q ）的最小值叫做P 0到直线y =ax +b 的直角距离．试求点M （2，1）到直线y =x +2的直角距离．
【答案】解：（1）由题意，得|x |+|y |=1。

所有符合条件的点P 组成的图形如图所示：
（2）∵d （M ，Q ）=|x ﹣2|+|y ﹣1|=|x ﹣2|+|x +2﹣1|=|x ﹣2|+|x +1|，
又∵x 可取一切实数，|x ﹣2|+|x +1|表示数轴上实数x 所对应的点到数2和﹣1所对应的
点的距离之和，其最小值为3。

∴点M （2，1）到直线y =x +2的直角距离为3。

【考点】新定义，一次函数综合题，绝对值与数轴的关系。

【分析】（1）根据新定义知|x |+|y |=1，据此可以画出符合题意的图形。

（2）根据新定义知d （M ，Q ）=|x ﹣2|+|y ﹣1|=|x ﹣2|+|x +2﹣1|=|x ﹣2|+|x +1|，然后由绝对值与数轴的
关系可知，|x ﹣2|+|x +1|表示数轴上实数x 所对应的点到数2和﹣1所对应的点的距离之和，其最小值为3。