人教版数学八年级下册 勾股定理的应用(导学案)

17.1 勾股定理
投我以桃，报之以李。

《诗经·大雅·抑》
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第2课时勾股定理的应用
一、新课导入
1.导入课题
前面我们学习了勾股定理的意义，它具有广泛的实际应用，下面我们试用它来解决几个问题.
2.学习目标
（1）能应用勾股定理计算直角三角形的边长.
（2）能应用勾股定理解决简单的实际问题.
3.学习重、难点
重点：运用勾股定理求直角三角形的边长.
难点：从实际问题中构造直角三角形解决生产、生活中的有关问题.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P25例1.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：思考木板通过门框的方式有几种，并对照数据分析木板能否通过.
（4）自学参考提纲：
①因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于1m，所以木板横着不能从门框内通过.因为木板的宽为2.2m，长为3m，都大于2m，所以木板竖着也不能从门框内通过.所以试试斜着能否通过，对角线AC是斜着通过的最大长度，因此必须先求出AC长，再与木板的宽比较.
②在Rt△ABC中，根据勾股定理：
AC2=AB2+BC2=12+22=5，
因此5 2.24AC =≈. 因为AC ≈2.24(>)2.2，所以木板能斜着从门框内通过. 2.自学：学生结合自学提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否分析出木板穿过门框的途径有哪些.
②差异指导：指导寻找木板通过门框的途径；木板斜着通过需要怎样斜放时间隙是最大的.
（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化
（1）归纳解题思路：把实际问题转化成长方形ABCD 的问题，再把长方形ABCD 转化成Rt △ABC ，运用勾股定理计算，求解.
（2）练习：在上述问题中，若薄木板长3m ，宽1.5m ，木板能否从门框内通过？为什么？
1.自学指导
（1）自学内容：教材P25例2.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：思考图中的实际问题实质是直角三角形的问题，所以应从直角三角形来分析解决问题的办法.
（4）自学提纲：
①由梯子的原来位置构成的Rt △AOB ，可求得OB=1.
②由梯子顶端下滑至C 的位置时，又构成Rt △COD ，且CD 长不变，OC=1.9，由勾股定理可求得OD ≈1.77.
③可看出，BD=OD-OB ，求BD ，必先求出OB 、OD ，在Rt △AOB 中，
222222.6 2.4 1.OB AB OA OB =-=-=，
在Rt △COD 中，()2
2222 2.6 2.40.5 1.77OD CD OC OD =-=--≈，.
BD=OD-OB ≈0.77.
梯子的顶端A 沿墙下滑0.5米，梯子的底端B 外移0.77米.
2.自学：学生结合自学提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否理解题意，梯子位置变化前后，什么不变，什么在变，学生是否清楚.
②差异指导：由线段和差关系如何表示BD；梯子与墙面地面构成什么图形.
（2）生助生：学生相互交流，帮助研讨.
4.强化：学会将实际问题转化为数学问题，建立几何模型求解.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P26到P27练习以上的内容.
（2）自学时间：8分钟.
（3）自学方法：动手尝试作直角三角形中，由已知两边长去求第三边长.
（4）自学提纲：
①教材P26思考中的证明：先用勾股定理证得BC=B′C′，再用SSS公理判定△ABC≌△AB′C′.
②长为13的线段是直角边为正整数3，2的直角三角形的边长.
③在数轴上画出表示13的点，方法如下：在数轴上找到点A，使OA=3，
作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=2，以原点O为圆心，OB为
半径画弧与数轴的正半轴的交点C，点C即为表示13的点.
④完成27练习题.
2.自：请同学们结合自学提纲进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生看书、动手中存在的问题障碍.
②差异指导：指导学生分析作图方法及依据.
(2)生助生：学生相互研讨疑难之处.
4.强化
(1)尺规作图方法.
(2)总结在数轴上作出表示无理数的点的步骤.
三、评价
1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍自己在学习中的探索方法、收获和惑..
2.教师对学生的评价：
（1）表现性评价：点评学生课堂学习的积极态度、成果及不足.
（2）纸笔评价：课堂评价检测.
3.教师的自我评价（教学反思）.
本课时的教学内容是用勾股定理解决简单的实际问题，运用到的思想是数形结合的思想.在实际生活中，很多问题需要用到勾股定理去解决.因此在解决此类问题时，先要将它转化为数学问题，就本课时而言，关键是要通过构造直角三角形来完成，所以教师在教学时，应注意教学生如何构造直角三角形，找出已知的两个量，并让学生动手画出图形，教师再给予适时点拨.此处，教师还应关注学生所用语句的规范性，尽量让学生用数学语言来描述.
(时间：12分钟满分：100分)
一、基础巩固（50分）
1.(20分)求出下列直角三角形中未知的边.
答案：AC= 8 AB=17 BC=1,AC=3BC=2,AC=2
2.(10分)直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形面积为7和8，则以斜边为边长的正方形的面积为15.
3.(10分)如图，池塘边有两点A,B，点C是与BA方向成直角的AC方向上的一点，现测得CB=60m,AC=20m.求A，B两点间的距离(结果取整数).
()
2222
=-=-=≈
解：
AB BC AC m
602040257
第3题图第4题图
4.(10分)如图，在平面直角坐标系中有两点A(5，0)和B(0，4)，求这两点间的距离.
2222
解：
=+=+=
AB OA OB
5441
二、综合运用（20分）
5.(10分)如图，∠BAC=90°,AD⊥BC,BC=4cm,∠B=60°,求AD,BD的长. 解：∵在Rt△ABC中∠B=60°，
∴AB=12BC=2(cm).
在Rt△ABD中，∠ADB=90°,∠B=60,∴BD=1
2
AB=1(cm),223
AD AB BD
=-=(cm).
6.(10分)在数轴上作出表示20的点.
点A即为表示20的点.
三、拓展延伸（30分）
7.(15分)印度数学家什迦罗(1141年-1225年)曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可见，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边；
渔人观看忙向前，花离原位二尺远；诸君帮忙算一算，湖水如何知深浅？”请用学过的知识回答这个问题.(如图)
解：设水深为h尺.
由题意得：AC=12,BC=2,OC=h,∴OB=OA=OC+AC=h+1
2
.
由勾股定理得：OB2=OC2+BC2,即(h+1
2
)2=h2+22,
解得h=15
4
.∴水深
15
4
尺
8.(15分)有5个边长为1的正方形，排列成如下图形式，请把它适当分割后拼接成一个大正方形.(用虚线标示分割线，并简要写出分割拼接法).
将五个小正方形按图1中虚线剪切为四个全等的直角三角形和一个小正方形，按图2的摆法拼接，则
可得到一个面积为5的大正方形.
【素材积累】
海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

他曾尝试吃过蚯蚓、蜥蜴，在墨西哥斗牛场亮过相，闯荡过非洲的原始森林，两次世界大战都上了战场。

第一次世界大战时，19岁的他见一意大利士兵负伤，便冒着奥军的炮火上去抢救，结果自己也被炸伤了腿，但他仍背着伤员顽强前进。

突然间，炮击停止，探照灯大亮，海明威终于回到阵地。

原来是他的英勇行为感动了奥军将领，下令放他过去。