1-3 圆周运动

1 – 3 圆周运动 平面极坐标 设一质点在 Oxy 平面内 运动, 运动,某时刻它位于点 A .矢 矢 径 为 θ . 于是质点在点 A 的位 置可由 A(r ,θ ) 来确定 .
物理学教程 第二版) (第二版)
y
A
v r
与
x
轴之间的夹角
o
θ
v r
x
x = r cos θ y = r sin θ
为坐标的参考系为平面极坐标系 以 ( r ,θ ) 为坐标的参考系为平面极坐标系 . 它与直角坐标系之间的变换关系为
ρ = ds 曲率半径 . 其中 dθ
v dv v v2 v a = et + en dt ρ
v a
v an
v at
v v a 与 a t的夹角 an tan = at
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 第二版) (第二版)
讨论
对于作曲线运动的物体, 对于作曲线运动的物体,以下几种说法中哪一种 是正确的: 是正确的: (A)切向加速度必不为零; )切向加速度必不为零; (B)法向加速度必不为零(拐点处除外); )法向加速度必不为零(拐点处除外); (C)由于速度沿切线方向,法向分速度必为零, )由于速度沿切线方向,法向分速度必为零, 因此法向加速度必为零; 因此法向加速度必为零; (D)若物体作匀速率运动,其总加速度必为零; )若物体作匀速率运动,其总加速度必为零; (E)若物体的加速度 ) 匀变速率运动 .
物理学教程 第二版) (第二版)
v v v v = vt + vn v v v t v n v a = lim + lim t → 0 t t → 0 t v
2
v v v2
v en
o
et
v v1
v v t dv v v lim = et = a t et t → 0 t dt v v dv v v a= = a t e t + a n en dt
第一章 质点运动学
v n v v v lim = en = a n en t → 0 t r
θ
v r
v v2
v v v v n v v vt v1
θ
1 – 3 圆周运动 切向加速度(速度大小变化引起) 切向加速度(速度大小变化引起) dv = rα = d 2s at = dt dt 2 法向加速度(速度方向变化引起) 法向加速度(速度方向变化引起)
2
1 – 3 圆周运动 四 角加速度 匀变角加速圆周运动公式 角加速度 切向加速度
物理学教程 第二版) (第二版)
at = d v = r α dt
dω α= dt
常量, 若 α = 常量,t = 0 时,θ = θ0,ω = ω0 ,可求 匀变角加速圆周运动公式. 匀变角加速圆周运动公式.
ω = ω 0+ α t
物理学教程 第二版) (第二版)
圆周运动加速度 圆周运动加速度
v an = vω = ω r = r
2
2
et v v v1 en θ o v r
v v2
v v2 v
v v v a = a t e t + a n en 2 dv v v v = et + en dt r 2 a = a t2 + a n
第一章 质点运动学
v a
为恒矢量, 为恒矢量,它一定作
1 – 3 圆周运动
物理学教程 第二版) (第二版)
讨论 质点作半径为R的变速圆周运动的加 例 质点作半径为 的变速圆周运动的加 速度大小为: 速度大小为:
dv (1) ) dt
(3) dv + v ) dt R
第一章 质点运动学
(2) )
2
v R
第一章 质点运动学
�
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 一 圆周运动的角速度和角加速度 角坐标
物理学教程 第二版) (第二版)
d θ (t ) 角速度 ω (t ) = dt
速率
θ (t )
y
B
v = lim s = r lim θ t→0 t t→0 t
r
o
θ百度文库
A
θ
x
dω 角加速度 α = dt
第一章 质点运动学
物理学教程 第二版) (第二版)
v r a n θ
o
v a
β
v at
dv at = dt
v vB
分离变量有
∫v
vB
A
dv =
∫0 a t dt
t
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 已知: 已知:v A = 1940km h
1
物理学教程 第二版) (第二版)
vB = 2192km h 1
AB = 3.5km vB v A vB t 2 at = = 23 .3m s dv = ∫ a t dt ∫v A 0 t 2 vB an = = 106 m s 2 在点 B 的法向加速度 r v vA A 在点 B 的加速度
v v2 v v dv v 2 a= = en = ω r en dt r
第一章 质点运动学
v ds v v v v= et = vet = rω et dt
v vB
v r
o v v
θ
en r
v vA v et
法向单 位矢量
v v v vA v vB θ
1 – 3 圆周运动 三 变速圆周运动 切向加速度和法向加速度
1 2 θ = θ 0 + ω 0t + α t 2 2 2 ω = ω0 + 2α (θ θ 0 )
第一章 质点运动学
注意: 注意:仅 适用于角加速 度为恒量情况. 度为恒量情况
1 – 3 圆周运动 例2 如图一超音速歼击机在高空 A 时的水平速率 为 1940 km/h , 沿近似于圆弧的曲线俯冲到点 B ,其速率 其速率 为 2192 km/h , 所经历的时间为 3s , 设圆弧 AB 的半径 约为 3.5km , 且飞机从 A 到 B 的俯冲过程可视为匀变 若不计重力加速度的影响, 速率圆周运动 , 若不计重力加速度的影响 求 (1) 飞机 的加速度; 飞机由点A 在点 B 的加速度 (2)飞机由点 到点 所经历的路程 . 飞机由点 到点B v 解(1)因飞机作匀变速率 ) vA A 运动所以 at 和 α 为常量 . B
v (bt ) an = = r r 2 4 b t 2 2 12 12 = b ( 2 + 1) (3) a = ( a t + a n ) ) r 2 4 at b t 1 2 tan = = ( 2 + 1) a r
dv =b (2) at = ) dt
第一章 质点运动学
ds d 1 2 解:(1) v = = ( bt ) = bt ) dt dt 2 2
2
dv 2 v 2 2 (4) ( ) + ( ) ) dt R
1 – 3 圆周运动
物理学教程 第二版) (第二版)
的圆周运动. 例1 设有一个质点作半径为 r 的圆周运动 质点沿 圆周运动所经历的路程与时间的关系为 s = bt2/2, 并设 b 为一常量 求(1)此质点在某一时刻的速率 为一常量, )此质点在某一时刻的速率; (2)法向加速度和切向加速度的大小 (3)总加速度 )法向加速度和切向加速度的大小;( )总加速度.
v v v v n v v vt v1
θ
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动
物理学教程 第二版) (第二版)
v v v a = at et + an en
切向加速度
Qan > 0 ∴0 < β < π
v v a 与 et 夹角 β = tan 1 an a
t
y
v v
v β en
β
at = d v = r α dt > 0, 0 < β < π , v 增大 2 = 0, β = π , v ≡ 常量 at 2 < 0, π < β < π, v 减小 2
t = 3s
v r a n
B
θ
o
v a
β
v at
v a 与法向之间夹角 β 为
v vB
a=
2 at
2 + an
= 109m s
2
at o β = arctan = 12 . 4 an
第一章 质点运动学
1 – 3 圆周运动 已知: 已知: v A = 1940km h
1
物理学教程 第二版) (第二版)
v = ds dt
v (t ) = r ω (t )
1 – 3 圆周运动 二 匀速率圆周运动
物理学教程 第二版) (第二版)
v v v v r = t r t v v v2 v = 加速度大小 a = lim t →0 t r v v t → 0, θ → 0, v ⊥ v v v v r = v r
vB = 2192km h
1
v 所转过的角度θ 为 (2)在时间 t 内矢径 r )
A
t = 3s
AB = 3.5km
v vA
B
β
1 2 θ = ω At + αt 2
飞机经过的路程为
v r a n θ
o
v at
1 2 s = rθ = v At + a t t 2
v vB
代入数据得
v a
s = 1722 m
第一章 质点运动学
v a
v et
v o a v a
x
1 – 3 圆周运动 对于一般的曲线运动
物理学教程 第二版) (第二版)
v ds v v = et dt
利用自然坐标, 一切运动可以 利用自然坐标 根据切向,法向加速度来分类: 根据切向,法向加速度来分类: a n= 0 a n= 0 an ≠ 0 an ≠ 0 at= 0 at ≠ 0 at = 0 at ≠ 0 匀速直线运动 变速直线运动 匀速曲线运动 变速曲线运动