江苏省苏州市第五中学高考数学总复习 第2讲 排列与组

连号，那么不同的分法种数是 4A44＝96 种．
(√)
• [感悟·提升]
• 1．一个区别 排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无 序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果 与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序．
• 2．求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有 序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”
A44＝72 种．
(√)
(5)(教材习题改编)由 0,1,2,3 这四个数字组成的四位数中，有
重复数字的四位数共有 3×43－A34＝168(个)．
(×)
(6)(2013·北京卷改编)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全
部分给 4 人，每人至少 1 张，如果分给同一人的 2 张参观券
• 辨析感悟 • 1．排列与组合的基本概念、性质 • (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列． (×) • (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. (√)
(3)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．
(×)
2．排列与组合的应用
(4)5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有 A55－A22
• 【训练1】 (1)(2014·济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家， 若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为________(结果可不 化简)．
• (2)(2013·四川卷改编)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出 两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的 个数是________．
解析 (1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这 3 家，所以 有(3！)4 种． (2)由于 lg a－lg b＝lgab(a>0，b>0)， ∴lgab有多少个不同的值，只需看ab不同值的个数． 从 1,3,5,7,9 中任取两个作为ab有 A25种，又13与39相同，31与93相同， ∴lg a－lg b 的不同值的个数有 A25－2＝18. • 答案 (1)(3！)4 (2)18
• 考点二 组合应用题 • 【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，
并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某种活动， 依下列条件各有多少种选法？
• (1)只有一名女生； • (2)两队长当选； • (3)至少有一名队长当选； • (4)至多有两名女生当选； • (5)既要有队长，又要有女生当选．
• 第2讲 排列与组合
• 知识梳理 • 1．排列与组合的概念
名称
定义
排列 组合
从n个不同元素 按照 一定的顺序 排成一列
中取出m(m≤n)
个不同元素
合成一组
• 2.排列数与组合数
• 的个(数1)，从叫n做个从不n个同不元同素元素中中取取出出mm(个m元≤素n) 的个排元不列素同数排的．列所 有
• (2) 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m≤n) 个 元 素 的 所 有 的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数不．同组合
(5)分两类：第一类女队长当选：C412；第二类女队长不当选：
C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44.
故选法共有：
C412＋C14·C37＋C24·C27＋C34·C17＋C44＝790(种)． •规律方法 组合问题常有以下两类题型变化 •(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先 将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些 元素剔除，再从剩下的元素中去选取． •(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复 杂时，逆向思维，间接求解．
• 3．排列数、组合数的公式及性质
(1)Amn ＝ n(n－1)(n－2)…(n－m＋1) ＝n－n！m！
公
式
(2)Cmn ＝AAmmnm＝nn－1n－m2！…n－m＋1＝
n！ m！n－m！
(n，m∈N*，且 m≤n)．特别地 C0n＝1. 性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ(1)0！＝ 1 ；Ann＝ n！. 质 (2)Cmn ＝Cnn－m；Cmn＋1＝ Cnm＋Cmn －1 .
• 考点一 排列应用题 • 【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排． • (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ • (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ • (3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的
排法？
解 (1)3 个女同学是特殊元素，共有 A33种排法；由于 3 个女同 学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与 4 个男同学排 队，应有 A55种排法． 由分步乘法计数原理，有 A33A55＝720 种不同排法． (2)先将男生排好，共有 A44种排法，再在这 4 个男生的中间及两 头的 5 个空档中插入 3 个女生有 A35种方法． 故符合条件的排法共有 A44A35＝1 440 种不同排法．
解 (1)一名女生，四名男生．故共有 C15·C48＝350(种)． (2)将两队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C22·C311＝ 165(种)． (3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共 有：C12·C411＋C22·C311＝825(种)或采用排除法：C513－C511＝825(种)． (4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没 有女生．故选法为： C25·C38＋C15·C48＋C58＝966(种)．
(3)先排甲、乙和丙 3 人以外的其他 4 人，有 A44种排法；由于甲、
乙要相邻，故先把甲、乙排好，有 A22种排法；最后把甲、乙排
好的这个整体与丙分别插入原先排好的 4 人的空档及两边有 A25
种排法．
总共有 A44A22A25＝960 种不同排法. •规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分 析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先 原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于 分类过多的问题可以采用间接法． •(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题 采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法．
• 【训练2】 若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数， 其和为偶数，则不同的取法共有________．