高考数学总复习7.1不等关系与不等式课件文新人教B版

1 【答案】 a＜2ab＜2＜a2＋b2＜b
题型一
比较两个数(式)的大小
【例1】 (1)(2016· 长春模拟 )已知实数 a， b，c满足 b＋c
＝ 6－ 4a＋ 3a2 ， c － b＝ 4－ 4a＋ a2 ，则 a， b， c 的大小关系
是( ) B．a＞c≥b D．a＞c＞b
A．c≥b＞a C．c＞b＞a
【答案】 (1)A
(2)B
【方法规律】 比较大小的常用方法
(1)作差法：
一般步骤：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关 键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式 变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时 也可以先平方再作差．
(2)作商法：
一般步骤：①作商；②变形；③判断商与 1的大小；④
§7.1
不等关系与不等式
[考纲要求]
1.了解现实世界和日常生活中的不等关系；
2.了解不等式(组)的实际背景；3.掌握不等式的性质及应用．
2．不等式的基本性质
(2)有关分数的性质 若 a>b>0，m>0，则 b b＋m b b－m ①a< ；a> (b－m>0)． a ＋m a－m a a＋m a a－m ②b> ；b< (b－m>0)． b ＋m b－m
【答案】 C
题型三
不等式性质的应用
【例3】 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围
是________，3x＋2y的取值范围是________．
【解析】 ∵－1＜x＜4，2＜y＜3. ∴－3＜－y＜－2， ∴－4＜x－y＜2. 由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，
2≤f(1)≤4，则f(－2)的取值范围是________． 【易错分析】 解题中多次使用同向不等式的可加性， 先求出 a ， b 的范围，再求 f( － 2) ＝ 4a － 2b的范围，导致变 量范围扩大．
【解析】 方法一 设 f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)(m、 n 为待定系 数)，则 4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)， 即 4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，
结论． (3) 函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数 的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．
跟踪训练 1 (1)已知
2 x 1 2 x∈R， m＝(x＋1) x ＋2＋1 ， n＝ x＋2(x
＋x＋1)，则 m，n 的大小关系为( A．m≥n C．m≤n
【解析】 只有在 a ＞ b ＞ 0 时， A 才有意义， A 错； B 选
项需要 a ， b 同正或同负， B 错； C 只有 a ＞ 0 时正确；因为
a≠b，所以D正确． 【答案】 D 【方法规律】 解决此类问题常用两种方法：一是直接 使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误 答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注 意前提条件．
构造函数y＝xc，
∵c＜0，∴y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，
又a＞b＞1，∴ac＜bc，知②正确； ∵a＞b＞1，c＜0，∴a－c＞b－c＞1， ∴logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)，知③正确． 【答案】 (1)C (2)D
易错警示系列7
不等式变形中扩大变量范围致误
【典例】 设 f(x) ＝ ax2 ＋ bx ， 若 1≤f( － 1)≤2 ，
＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0，
即x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 【答案】 ①③④
1 5． (教材改编)若 0＜a＜b， 且 a＋b＝1， 则将 a， b， 2ab， 2， a2＋b2 从小到大排列为________．
【解析】 ∵0＜a＜b 且 a＋b＝1， 1 ∴a＜2＜b＜1，∴2b＞1 且 2a＜1， ∴a＜2b·a＝2a(1－a)＝－2a2＋2a
)
B．m＞n D．m＜n
(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
【解析】
2 x (1)m＝(x＋1)x ＋2＋1
2
x ＝(x＋1)(x ＋x－2＋1) x ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－2(x＋1)，
2
1 2 (x ＋x＋1) x ＋ n＝ 2 1 2 ＝x＋1－2(x ＋x＋1)
m＋n＝4， m＝3， 于是得 解得 n－m＝－2， n＝1.
∴1＜3x＋2y＜18.
【答案】 (－4，2) (1，18)
探究 1
将本例条件改为－ 1 ＜x＜ y ＜ 3，求x － y的Leabharlann Baidu值
范围．
【解析】 ∵－1＜x＜3，－1＜y＜3， ∴－3＜－y＜1， ∴－4＜x－y＜4.① 又∵x＜y，∴x－y＜0，② 由①②得－4＜x－y＜0.故x－y的取值范围为(－4，0)．
【解析】 (1)(特值法)取 a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知 A，B，D 项均不正确； |b| |b|＋1 C 项，|a|＜ ⇔|b|(|a|＋1)＜|a|(|b|＋1) |a|＋1 ⇔|a||b|＋|b|＜|a||b|＋|a|⇔|b|＜|a|， ∵a＜b＜0，∴|b|＜|a|成立，故选 C. 1 1 (2)由不等式性质及 a＞b＞1 知a＜b， c c 又 c＜0，所以a＞b，①正确；
②(x－2)(x－4)－(x－3)2＝x2－6x＋8－(x2－6x＋9)
＝－1＜0， 即(x－2)(x－4)＜(x－3)2. ③当x＞1时，x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1) ＝(x－1)(x2＋1)＞0， 即x3＞x2－x＋1. ④x2＋y2＋1－2(x＋y－1)＝(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)＋1
跟踪训练 2 (2016· 四川绵阳中学段考)下列四个命题， 其中正 确的命题有( )
①若 a＞|b|，则 a2＞b2；②若 a＞b，c＞d，则 a－c＞b－d； c c ③若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd；④若 a＞b＞0，则a＞b. A．3 个 C．1 个 B．2 个 D．0 个
【解析】 ①若 a＞|b|，则 a2＞b2，正确；②若 a＞b，c＞d， 则 a－c＞b－d，错误，如 3＞2，－1＞－3，而 3－(－1)＝4＜5 ＝2－(－3)；③若 a＞b，c＞d，则 ac＞bd，错误，如 3＞1，－2 1 1 ＞－3，而 3×(－2)＜1×(－3)；④若 a＞b＞0，则a＜b，当 c＞0 c c 时，a＜b，④错误．∴正确的命题只有 1 个．故选 C.
是(
)
B．a3＋b3＞0 D．a＋b＜0
A．a－b＞0 C．a2－b2＜0
【解析】 由a＋|b|＜0知，a＜0，且|a|＞|b|， 当b≥0时，a＋b＜0成立， 当b＜0时，a＋b＜0成立，∴a＋b＜0成立． 【答案】 D
4．(教材改编)下列各组代数式的关系正确的是
________．
①x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9； ②(x－3)2＜(x－2)(x－4)； ③当x＞1时，x3＞x2－x＋1； ④x2＋y2＋1＞2(x＋y－1)． 【解析】 ①2x2＋5x＋9－(x2＋5x＋6)＝x2＋3＞0， 即x2＋5x＋6＜2x2＋5x＋9.
跟踪训练 3 (1)(2016· 三明模拟)若 a＜b＜0，则下列不等式一 定成立的是( 1 1 A. ＞ a－b b |b| |b|＋1 C.|a|＜ |a|＋1 ) B．a2＜ab D．an＞bn
(2)设 a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论： c c ①a＞b；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是( A．① C．②③ B．①② D．①②③ )
【答案】 (1)×
(2)×
(3)×
(4)×
(5)√
1．设 a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是( 1 1 A.a＞b C．|a|＞－b 1 1 B. ＞ a －b a D. －a＞ －b
)
【解析】由题设得 a＜a－b＜0， 所以有 1 ＞a不成立．
1 1 1 ＜a成立， 即 a－b a－b
【答案】 B
2．(教材改编)下列四个结论，正确的是( ①a＞b，c＜d⇒a－c＞b－d； ②a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac＞bd； 3 3 ③a＞b＞0⇒ a＞ b； 1 1 ④a＞b＞0⇒a2＞b2.
)
A．①②
C．①④ 【答案】 D
B．②③
D．①③
3 ．若 a ， b ∈ R ，若 a ＋ |b| ＜ 0 ，则下列不等式中正确的
探究2
若将本例条件改为“－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜
3”，求3x＋2y的取值范围．
【解析】 设 3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
m＋n＝3， 则 m－n＝2，
5 m＝2， ∴ 1 n ＝2 ，

5 1 即 3x＋2y＝2(x＋y)＋2(x－y)， 又－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3， 5 5 1 3 ∴－2＜2(x＋y)＜10，1＜2(x－y)＜2， 3 5 1 23 ∴－2＜2(x＋y)＋2(x－y)＜ 2 ， 3 23 即－2＜3x＋2y＜ 2 . 故 3x＋2y
916 ＝8
1 16 9 16 ＝ ， 2 8 2
∵ 8
9
9 16 ＜1， ∈(0，1)，∴ 2 8 2
∵1816＞0，1618＞0， ∴1816＜1618.即 a＜b.
【答案】 (1)B (2)a＜b
题型二
不等式的性质
【例 2】 (2016· 山东齐鲁名校第二次联考)已知 a＞b，则下 列不等式中恒成立的是( A．ln a＞ln b C．a2＞ab ) 1 1 B.a＜b D．a2＋b2＞2ab
1 2 ＝(x＋1)(x ＋x＋1)－2(x ＋x＋1)，
2
2 x 1 2 ∴m－n＝(x＋1) x ＋2＋1 － x＋2(x ＋x＋1)
1 2 1 ＝2(x ＋x＋1)－2x(x＋1) 1 ＝2＞0. 则有 x∈R 时，m＞n 恒成立．故选 B. a 1816 1816 1 (2)b＝1618＝16 162
【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)a>b⇔ac2>bc2.( ) ) ) ) )
1 1 (2)a>b⇔a＜b(ab≠0)．( (3)a＞b，c＞d⇒ac＞bd.( 1 1 (4)若a＜b＜0，则|a|＞|b|.(
1 1 (5)若 a3＞b3 且 ab＜0，则a＞b.(
3 23 的取值范围为－2， 2 .
【方法规律】 由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)
的取值范围，可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y) ＋ ng(x， y)( 或其他形式 ) ，通过恒等变形求得 m ， n的值，再利 用不等式的同向可加和同向同正可乘的性质求得 F(x，y)的取值 范围．
ln 3 ln 4 ln 5 (2)若 a＝ 3 ，b＝ 4 ，c＝ 5 ，则( A．a＜b＜c C．c＜a＜b B．c＜b＜a D．b＜a＜c
)
【解析】 (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又 b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a
2
12 3 －a＋1＝a－2 ＋4＞0，
∴b＞a，∴c≥b＞a.
b 3ln 4 (2)方法一 易知 a，b，c 都是正数，a＝4ln 3 ＝log8164＜1， 所以 a＞b； b 5ln 4 c ＝4ln 5＝log6251 024＞1， 所以 b＞c.即 c＜b＜a.
1－ln x ln x 方法二 对于函数 y＝f(x)＝ x ，y′＝ x2 ， 易知当 x＞e 时，函数 f(x)单调递减． 因为 e＜3＜4＜5，所以 f(3)＞f(4)＞f(5)， 即 c＜b＜a.
12 1 1 ＝－2a－2 ＋2＜2.
1 即 a＜2ab＜2， 1 1 又 a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab＞1－2＝2， 1 即 a2＋b2＞2， a2＋b2－b＝(1－b)2＋b2－b＝(2b－1)(b－1)， 又 2b－1＞0，b－1＜0，∴a2＋b2－b＜0， ∴a2＋b2＜b， 1 综上，a＜2ab＜2＜a2＋b2＜b.