人工智能第2章(知识表示方法3-谓词逻辑)

如果 P 和 Q 是合适公式，则由这两个合适公 式构成的合适公式的真值表与前面介绍的真值 表相同。
如果两个合适公式的真值表相同，则我们称这
两个合适公式是等价的，可以用“”来表示。
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对于命题合适公式和谓词合适公式有下列等价关系：
①否定之否定： ～（～P） 等价于 P
② P∨Q 等价于 ～PQ
设有一非空有限公式集合中各个公式的第一个符号同时向右比较直到发现第一个彼此不尽相同的符号为止从中的各个公式中取出那些以第一个不一致符号开始的最大的最大的子表达式子表达式为元素组成一个集合为非空有限表达式集合则可以按下列步骤求出mgu
人工智能
Artificial Intelligence (AI)
许建华 xujianhua@ 南京师范大学计算机科学与技术学院
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注意：
置换的合成满足结合律，不满足交换律。
(s1s2)s3 = s1(s2s3) s1s2 ≠ s2s1
(满足结合律） （不满足交换律）
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例： s1={z/x , w/y} s2={A/y} s1s2={z/x , w/y , A/y}={z/x , w/y} s2s1={A/y, z/x , w/y}={A/y , z/x}
一阶谓词：只允许对变量施加量词，不允许对
谓词和函数施加量词。
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2.3.2 谓词公式
1、谓词公式的定义 利用连词和量词可以将原子（谓词）公式组成复 合谓词公式，称之为分子谓词公式、谓词合适公 式、谓词公式、合适公式。
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（谓词）合适公式 的（递归）定义：
①原子（谓词）公式是合适公式。
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2、合一
当某一个置换 s 作用于表达式集合 {Ei} 的每一个元 素，此时我们用 {Ei}s 来表示置换例子的集合。如 果存在一个置换 s ，使得
E1s = E2s = … = Eis = …
则我们称表达式集合 {Ei} 是可合一的，并称 s 为
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置 换 的 合 成 ： 设 θ＝{t1/x1, …,tn/xn} 和 λ＝
{s1/y1, …,sm/ym}是两个置换，则θ和λ的合成是如下置 换：
{t1λ/x1 ,…, tiλ/xi ,…, tnλ/xn, s1/y1, …, sn/ym }
其中，若yj 是 {x1,…,xn} 之一者消去，对于任何 tjλ=xj 者消去，并记成θλ。
原子公式：P(x, a, f(x,a))
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2、连词和量词 联结词（连词）就是命题逻辑中的五个，它们的 含义也是一样的。
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两个量词：
①全称量词，记作“x”,含义是 “对每一个x” 或“对一切x”。 All
E A
②存在量词，记作“x”，含义是 “存在某个
x” 、“有一个x” 或者 “某些x”。 Exist
分析的一种形式化（数学）语言
人工智能中的谓词逻辑法是指用一阶谓词
来描述问题求解和定理证明（限于本课程）
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2.3.0 命题逻辑的复习 1、命题逻辑的基本概念
命题 是能够判断真或假的陈述句
通常用大写字母来表示，如A, B, P, Q等
命题的真假值一般用 T 或 F 来表示
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例如：雪是黑的 命题逻辑具有较大的局限性，不合适于表达 比较复杂的问题。
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例：
所有科学都是有用的（假设1）。
数理逻辑是科学（假设2）。
所以，数理逻辑是有用的（结论）。
很明显，我们无法用两个假设推断出结论。
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谓词逻辑是命题逻辑的扩充和发展。它将一个原 子命题分解成客体和谓词两个组成部分。
如果函数有 n 个个体，称之为 n 元函数，并约定 0 元函数就是常量。常量习惯上用小写字母来表 示，如a, b, c。
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项的定义：
①常量是项 ②变量是项 ③如果 f 是n元函数，且t1 ,…, tn(n≥1)是项，则
f (t1 ,…, tn)也是项 ④所有的项都必须是有限次应用上述规则产生的
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论域：由个体组成的集合。
（个体）变量：定义在某一个论域上的变量。用
x, y, z 来表示。
函数（或函词）：以个体为变量，以个体为值的
函数。一般用小写字母来表示，例如 f(x), f(x,a)。
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如果谓词有 n 个变量，称之为 n 元谓词，并约定 0 元谓词就是命题（谓词的特例）。
③狄.摩根定律 ～（P∨Q）等价于 ～P∧～Q ～（P∧Q）等价于 ～P∨～Q
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④分配律
P∧(Q∨R) 等价于 (P∧Q)∨(P∧R) P∨(Q∧R) 等价于 (P∨Q)∧(P∨R) ⑤交换律
P∧Q 等价于 Q∧P P∨Q 等价于 Q∨P
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⑥结合律 (P∧Q)∧R 等价于 P∧(Q∧R) (P∨Q)∨R 等价于 P∨(Q∨R)
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例：任何整数或者为正或者为负。
数学表达：对于所有的 x，如果 x 是整数，则 x 或 者为正、或者为负。
记作： I(x)：“ x 是整数”。
P(x)：“ x 是正数”。
N(x)：“ x 是负数”。
谓词公式：
（x）（I(x) (P(x) ∨ N(x))）
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2、合适公式的性质
②若 A 是合适公式，则 ～A 也是合适公式。
③若 A 和 B 是合适公式，则 A∧B 、A∨B 、 AB 、AB 也是合适公式。
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④若 A 是合适公式， x 为 A 的自由变元（变量）， 则（x）A 和（x）A 都是合适公式。
⑤只有按上述规则求得的公式才是合适公式。
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②若P是合适公式，则～P也是一个合适公。
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③若P和Q是合适公式，则P∧Q、 P∨Q 、PQ 、 PQ都是合适公式。
④经过有限次使用规则1、2、3，得到的由原子公 式、联结词和园括号所组成的符号串，也是合适 公式。
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对于合适公式，规定下列运算优先级： ① 逻辑联结词的运算优先次序为：
2011年秋季
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第2章 知识表示方法
2.1 状态空间法 2.2 问题归约法 2.3 谓词逻辑法
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2.3 谓词逻辑法
数理逻辑（符号逻辑）是用数学方法研究形式逻
辑的一个分支。它通过符号系统来表达客观对象
以及相关的逻辑推理。常用的是命题逻辑和谓
词逻辑
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谓词逻辑是数理逻辑的基本形式，是基于谓词
～、∧、 ∨、 、 ② 同级联结词按出现顺序优先运算
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在命题逻辑中，主要研究推理的有效性。
即：能否根据一些合适公式（前提）推导出新的
合适公式（结论）。
一些合适公式 （前提条件）
？
合适公式 （结论）
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在命题逻辑中，最基本的单元是命题，它是 作为一个不可分割的整体。
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⑩ (x)P(x) 等价于 (y)P(y) (x)P(x) 等价于 (y)P(y)
注释：这两个关系说明，在一个量化的表达式中 的约束变量是一类虚元，它们可以用任何不在表 达式中出现的其它变量来代替。
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2.3.3 置换与合一
1、置换
置换的定义：形如
{ t1 / v1 , … , tn / vn }
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例：表达式（原子谓词公式）P[x,f(y),B]的四个置
换及其对应的四个例子 （B是常量）
P[x,f(y),B]
s1={z/x, w/y} s2={A/y} s3={q(z)/x, A/y} s4={c/x, A/y}
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P[x, f(y), B]s1=P[z, f(w), B] P[x, f(y), B]s2=P[x, f(A), B] P[x, f(y), B]s3=P[q(z), f(A), B] P[x, f(y), B]s4=P[c, f(A), B]
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例1：“所有的机器人都是灰色的”，用谓词逻辑 可以表示成：
（x）[ROBOT(x) COLOR(x，gray)]
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例2： “一号房间里有一个物体”，可以表示成 （x）INROOM（x , r1）
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我们称 x 是被量化了的变量，称为约束变量。 否则称之为自由变量。
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例：
雪是白的。（陈述句，T） 雪是蓝的。（陈述句，F） 雪是黑的。（陈述句，F） 他是学生。（陈述句，他泛指，无法判断真假） 你今天上课没有？（疑问句） 去北校区，请坐校车！（祈使句）
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命题逻辑是研究命题及命题之间关系的符
号逻辑系统。
在命题逻辑中，表示单一意义的命题，称之为原 子命题。
例如： 雪
是黑的
客体
谓词
本课程主要介绍一阶谓词逻辑。
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2.3.1 谓词演算
1、语法与语义
谓词逻辑的基本组成部分
✓ 谓词
✓ 变量
✓ 函数
✓ 常量
✓ 园括号、方括号、花括号和逗号
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例 “机器人（Robot）在第一个房间（Room1）内”， 可以表示为：
INROOM（ROBOT，r1） 其中
T
T
F
T
T
～P P∧Q P∨Q PQ PQ
T
F
F
T
T
T
F
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
T
T
T
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命题变元：用符号P、Q等表示的不具有固定、具
体含义的命题。它可以表示具有“真”、“假”含 义的各种命题。
命题变元可以利用联结词构成所谓的合适公式。
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合适公式的定义 ①若P为原子命题，则P为合适公式，称为原子公 式。
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如何求 tiλ : λ＝{s1/y1 , … , sm/ym} 如果 ti 出现 {y1, …., ym}中的变量 yi ， 则用其对 应的项 si 来代替。
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例： θ= {t1/x1 , t2/x2}＝{f(y)/x , z/y} λ= {s1/y1 , s2/y2 , s3/y3} = {a/x , b/y , y/z} θλ={t1λ/x1 , t2λ/x2 , s1/y1 , s2/y2 , s3/y3 } ={f(b)/x , y/y , a/x , b/y , y/z} ={f(b)/x , y/z}
④ “” 表示 “蕴含” 复合命题“PQ”为假，当且仅当P为真且Q为假。
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⑤ “” 表示 “等价”
复合命题“PQ”为真，当且仅当P、Q同时为真、 或者同时为假。
联接词的优先顺序：非～ 、合取∧ 、析取∨ 、 蕴含 、等价
注：可以用括号表示优先级
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真值表
P
Q
F
F
F
⑦逆否律 PQ 等价于 ～Q～P
说明：上述等价关系对命题合适公式、谓词合适
公式都成立。
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对于谓词合适公式有下列等价关系：
⑧ ～(x)P(x) 等价于 (x)[～P(x)] ～(x)P(x) 等价于 (x)[～P(x)]
⑨ (x)[P(x)∧Q(x)] 等价于 (x)P(x)∧(x)Q(x) (x)[P(x)∨Q(x)] 等价于 (x)P(x) ∨(x)Q(x)
的集合，称为一个置换，其中 vi 是不同的变量，
ti 是与 vi 不同的项。
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例或例子的定义：
设
θ＝{ t1/v1 , …, tn/vn } 为一个置换，E是一个原子谓词公式。则Eθ表 示将E中的 vi 同时用 ti（i=1,…,n）代入后所得 到的结果，Eθ称为E的一个例子。
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项的例子： 常量：a 变量：x 函数：f(x,a) g(f(x,a))
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原子（谓词）公式的（递归）定义：
①原子命题是原子公式 ②如果t1,…,tn(n≥1)是项，P是谓词，则P(t1,…,tn) 是原子公式 ③其它表达式都不是原子公式
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原子公式的例子 1、原子公式：P（原子命题） 2、项：x, a, f(x, a)，谓词：P
INROOM是谓词 ROBOT和r1是常量
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谓词是指个体（客体）所具有的性质或者若干个体
之间的关系。用大写字母来表示。
个体是可以具体的（如: 小张、3、5）也可以是抽 象的（如: x, y）。
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例： 小明是学生，A表示是“是学生”，x表示“小 明”，记作A(x)。 x大于y，G表示“大于”，记作G（x, y）。
原子命题通过 “联结词” 构成 复合命题。
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五个联结词：
① “～” 表示 “非” 复合命题～P为真，当且仅当P为假。
② “∧” 表示 “合取” 复合命题“P∧Q”为真，当且仅当P和Q都为真。
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③ “∨” 表示 “析取” 复合命题“P∨Q”为真，当且仅当P、Q两者之 一为真。