2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)

3若a，b满足|a| |b|且a与b同向，贝y a b；
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
|b| 2,ab,
R,
则
|a b|等于（）
A.1
B.3
C.1或3
D.
1 1
6.已知点A（3,1）,B（1「3），则与向量AB同方向的单位向量为（）
A.
2 2
(, )
B.
(1,1)
C.(1.3,.3
1)
D.
c.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
3.给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的：②若a,b都是单位向量，则a b；③向量
AB与BA相等，则所有正确命题的序号是（）
A.①
B.③
C.①③
D.
①②
LULT2
ujit
uulujil
4.点C在线段
AB上，且|AC| -
（适吕
2 2
2 2
rr
uulr
rujitrr
若A
、B、C三点共线，则
7.已知
a,b是不共线的向量，
ABa
2b, AC 2ab,,
R,
满足（
)
A.
2
B.
1
C.4
D.
4
iturr
&如图，向量e,巳,a的起点与终点均在正方形网格的格点上,
则向量
用基底
ur遛+一，
e,e表示为（
)
urur
A.e02
itur
C.2e◎
(1)如果ABee2,CB2e e,CDe2，求证A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k的值，使ke,4&和e ke共线.
1 UULTJJJr
NC,BN与CM相交于点E，设AB a,
2
uur r一rr一uuu
AC b，试用基底a、b表示向量AE.
24.如图，已知OAB中，点C是点B关于A的对称点，点D是线段0B的一个靠近B的三等分点，DC
的边按逆时针方向运动一周回到
A.满足
2的点P必为BC的中点
B.满足
1的点P有且只有一个
C.的最大值为3
D.的最小值不存在
13.在
ABC中，点
P满足
uuu BP
UUT亠」
3PC，过点
P的直线与AB，
AC所在的直线分别交于点M，N，若
uujir
UUUUUT
UJIT
的最小值为（
AM
AB，AN
AC(
0,
0），则
)
z
A
7T
C
A.二1
B
逼
1C.-
D.5
2
2
2
2
14.若平面内不共线的向量
a ,b，
c两两所成的角相等，
且|5| 1，|b|1 ,|C|2，则|a b C|
立的是
①
0；
ur r
②
e20;
ITUU
③e //e;
IT UU
④e //e，或o.
22.已知e,e是同一平面内两个不共线的向量，
UUTrr UJDr rUULT rr
3.向量的数乘
数乘向量：实数和向量a的乘积是一个向量，记作
4.向量共线的条件：
如果a b，贝y a〃b；反之，如果a〃b，且b 0，则一定存在唯一的一个实数，使a b.
平面向量的基本概念与线性运算
1.下列命题中，正确的个数是（）
1单位向量都相等；
2模相等的两个平行向量是相等向量；
r rr rrrr「
零向量的相反向量仍是零向量.
(2)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，贝U这两个向量的差是以减向量的终点为始点，
被减向量的终点为终点的向量.
推论：一个向量BA等于它的终点相对于点0的位置向量OOA减去它的始点相对于点0的位置向 量0B，或简记 终点向量减始点向量”.
3) —个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量
置被向量a所唯一确定，这时向量oa又常叫做点a相对于点o的位置向量.
向量的线性运算
1.向量的加法:
(3)向量求和的多边形法则：
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终
点为终点的向量叫做这n个向量的和向量.这个法则叫做向量求和的多边形法则.
2.向量的减法：
(1)相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a.
2e
e>
9.ABC中，若对任意
LUU
t R，恒有| BA
lotuur
tBC |…|AC |，则(
90
B.B 90
90
C 60
10.已知点
P为ABC所在平面上的一点,
uur
AP
1 uuu
AB
3
uur tAC
，其中t为实数，若点
P落在
ABC的
内部，则
t的取值范围是（
11.O是平面上一定点,
C是平面上不共线的三个点,
可以任意平行移动的. 向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算,
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行.向量a平行向量b，记作a〃b.
说明：共线向量的方向相同或相反，
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同.
5.向量AB的大小，也就是向量的长度（或称模），记作|AB
6.零向量：长度等于零的向量，叫做零向量.记作：0.
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行.
7.单位向量：给定一个非零向量a，与a同方向且长度等于i的向量，叫做向量a的单位向量.
r
ruur .r uu un a
如果a的单位向量记作a0，由数乘向量的定义可知a a a°或逐 「.
8.用向量表示点的位置：任给一定点o和向量a，过点o作有向线段oaa，则点a相对于点o位
平面向量的基本概念与线性运算
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平面向量的概念
1.向量的概念：我们把具有大小和方向的量称为向量.
有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是既有大小和方向， 又有作用点的
向量•有些量只有大小和方向，而无特定的位置•例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自
由向量.高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量.是