8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 课件(67张)2020-2021学年高一数学人教A版(20

1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体 棱柱 棱锥 棱台
表面积
多面体的表面积就是 S 棱柱表＝ 02 _S__棱_柱_侧__＋__2_S_底____
01 _围__成__多__面__体__各__个__面_ _的__面__积__的__和_______
S
棱锥表＝ 03 _S__棱_锥_侧__＋__S_底__
答案
2
PART TWO
核心素养形成
题型一 棱柱、棱锥、棱台的表面积
例 1 (1)现有一个底面是菱形的直四棱柱(侧棱与底面垂直)，它的体对 角线长为 9 和 15，高是 5，求该直四棱柱的侧面积和表面积．
(2)已知棱长均为 5，底面为正方形的四棱锥 S－ABCD 如图所示，求它 的侧面积、表面积．
D．6
解析 S 表＝4× 43×22＝4 3.故选 B.
解析 答案
2．底面为正方形的直棱柱，它的底面对角线长为 2，体对角线长为 6，
则这个棱柱的侧面积是( )
A．2
B．4
C．6
D．8
解析 由题意知，该几何体为长方体，底面正方形的边长为 1，长方体
的高为 6－2＝2，故这个棱柱的侧面积为 1×2×4＝8.
解析
题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积
例 2 (1)已知高为 3 的三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面是边长为 1 的正三 角形，如图所示，则三棱锥 B1－ABC 的体积为( )
A．14
B．12
C．
3 6
D．
3 4
答案
(2)如图，已知 ABCD－A1B1C1D1 是棱长为 a 的正方体，E 为 AA1 的中点， F 为 CC1 上一点，求三棱锥 A1－D1EF 的体积．
∴各侧面都是全等的正三角形．
设 E 为 AB 的中点，连接 SE，则 SE⊥AB，
∴S 侧＝4S△SAB＝4×12AB×SE
＝2×5×
52－522＝25 3，
S 表＝S 侧＋S 底＝25 3＋25＝25( 3＋1)．
解
(3)如图，在四棱台 ABCD－A1B1C1D1 中，过 B1 作 B1F⊥BC，垂足为 F，
(2)因为底面边长为 a，侧面都是等腰直角三角形，所以斜高为a2，故 S
侧＝3×12a·a2＝34a2，而
S
底＝
43a2，故
S
3上、下底面的中心，D，D1 分别为 AC，A1C1
的中点，过
D1
作
D1E⊥DO，垂足为
E，在直角梯形
ODD1O1
中，OD＝13×
3a2
答案
(3)正三棱台上、下底面边长分别是 a 和 2a，高为12a，则该正三棱台的 侧面积为___3__2_3_a_2____，表面积为____1_14__3_a_2___.
解析
(1)由题意，知侧面积为
6×6×4＝144，两底面积之和为
2×
3 4
×42×6＝48 3，所以表面积 S＝48(3＋ 3)．
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和． 2．求解棱锥的表面积时，注意棱锥的四个基本量：底面边长、高、斜 高、侧棱，并注意它们组成的直角三角形的应用． 3．求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜 高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：(1)高、侧棱、上下底面多边形的 中心与顶点连线所成的直角梯形；(2)高、斜高、上下底面边心距所成的直 角梯形.
解析 答案
3．已知三棱锥 S－ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上，△ABC 是边长
为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且 SC＝2，则此棱锥的体积为( )
A．
2 6
B．
3 6
C．
2 3
D．
2 2
答案
解析 由于三棱锥 S－ABC 与三棱锥 O－ABC 底面
都是△ABC，O 是 SC 的中点，因此三棱锥 S－ABC 的高
(3)正四棱台两底面边长分别为 20 cm 和 10 cm，侧面面积为 780 cm2. 求其体积．
[答案] (2)见解析 (3)见解析
[解析] (1)设三棱锥 B1－ABC 的高为 h，则
V
三棱锥 B1－ABC＝13S△ABCh＝13×
43×3＝
3 4.
(2)由 V 三棱锥 A1－D1EF＝V 三棱锥 F－A1D1E， ∵S△A1D1E＝12EA1·A1D1＝14a2，
S 棱台表＝ 04 _S__棱_台_侧_＋__S__上_底_＋__S__下_底____
知识点二 棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体
体积
棱柱 V 棱柱＝ 01 __S_h___(S 为底面面积，h 为高)
棱锥
1 V 棱锥＝ 02 ___3_S_h____ (S 为底面面积，h 为高)
棱台
V 棱台＝ 03 ___13_h_(S_′__＋____S_′__S_＋__S_)__(S′，S 分别为棱台的上、下 底面面积，h 为棱台的高)
(2)所求棱台的体积 V＝13×(4＋16＋ 4×16)×3＝28.
解析 答案
题型三 组合体的表面积与体积
例 3 (1)某几何体的三视图如图所示，则该
几何体的表面积为( )
A．54
B．60
C．66
D．72
答案
(2)一个造桥用的钢筋混凝土预制件的尺寸如图所示(单位：米)，浇制一 个这样的预制件需要多少立方米混凝土(钢筋体积略去不计，精确到 0.01 立 方米)?
在 Rt△B1FB 中，BF＝12×(8－4)＝2，B1B＝8，故 B1F＝ 82－22＝2 15，
所以 S 梯形 BB1C1C＝12×(8＋4)×2 15＝12 15，
故四棱台的侧面积 S 侧＝4×12 15＝48 15，
所以四棱台的表面积 S 表＝48 15＋4×4＋8×8＝80＋48 15.
解
1．计算棱柱、棱锥和棱台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面 积和高，要充分运用多面体的有关截面，将空间问题转化为平面问题．
2．在几何体的体积计算中，体会并运用“分割思想”“补体思想”及 “等价转化思想”．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)锥体的体积等于其底面面积与高之积．( × ) (2)棱台的体积可由两个棱锥的体积差得出．( √ ) (3)棱台的侧面展开图是由若干个等腰梯形组成的．( × ) (4)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ )
设 O1，O 分别是上、下底面的中心，则四边形 EOO1E1 为直角梯形． ∵S 侧＝4×12×(10＋20)×EE1＝780(cm2)，∴EE1＝13 cm.
解析
在直角梯形 EOO1E1 中，O1E1＝12A1B1＝5 cm， OE＝12AB＝10 cm， ∴O1O＝ 132－10－52＝12(cm)． 故该正四棱台的体积为 V＝13×12×(102＋202＋10×20)＝2800(cm3)．
又三棱锥 F－A1D1E 的高为 CD＝a，
∴V 三棱锥 F－A1D1E＝13×a×14a2＝112a3，
∴V 三棱锥 A1－D1EF＝112a3.
解析
(3)正四棱台的大致图形如图所示，其中 A1B1＝10 cm，AB＝20 cm，取 A1B1 的中点 E1，AB 的中点 E，则 E1E 为斜高．
[跟踪训练 1] (1)已知正六棱柱的高为 6，底面边长为 4，则它的表面
积为( )
A．48(3＋ 3)
B．48(3＋2 3)
C．24( 6＋ 2)
D．144
(2)侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为 a 时，该三棱锥
的表面积是( )
3＋ A． 4
3a2
B．34a2
3＋ C． 2
3a2
6＋ D． 4
是三棱锥 O－ABC 高的 2 倍，所以三棱锥 S－ABC 的体
积也是三棱锥 O－ABC 体积的 2 倍．如图所示，在三棱
锥 O－ABC 中，其棱长都是 1，作出三棱锥 O－ABC 的高 OD，连接 DC，
∴AB2＝A2C2＋B2D2＝a2＋4 b2 200＋56
＝ 4 ＝64，∴AB＝8.
∴该直四棱柱的侧面积 S 侧＝4×8×5＝160.
∴该直四棱柱的底面积 S 底＝12AC·BD＝20 7.
∴该直四棱柱的表面积 S 表＝160＋2×20 7＝160＋40 7.
解
(2)∵四棱锥 S－ABCD 的各棱长均为 5，
[跟踪训练 3] (1)若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心为
顶点的凸多面体的体积为( )
A．
2 6
B．
2 3
C．
3 3
D．23
(2)如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，
截去三棱锥 A1－ABD，求剩余的几何体 A1B1C1D1－DBC 的
表面积．
答案 见解析
答案
(3)已知四棱台的上、下底面分别是边长为 4 和 8 的正方形，侧面是腰 长为 8 的等腰梯形，求该四棱台的表面积．
[解] (1)如图，设底面对角线 AC＝a，BD＝b，交点为 O，对角线 A1C ＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.
∵该直四棱柱的底面是菱形，
所求几何体 A1B1C1D1－DBC 的表面积 S＝S△A1BD＋3S△DBC＋3S 正方形 A1B1C1D1 ＝ 23a2＋3×12×a2＋3a2＝ 32＋9a2.
解析
3
PART THREE
随堂水平达标
1．已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为 2，则它的表面积是
() A．2 3
B．4 3
C．4
3 2
×2a＝ 33a，O1D1＝13× 23a＝ 63a，
解析
所以
DE＝OD－O1D1＝
3 6 a.
在 Rt△DED1 中，D1E＝a2，
则 D1D＝
63a2＋2a2＝
112a2＋a42＝ 33a，
所以 S 棱台侧＝3×12(a＋2a)× 33a＝323a2.
所以 S 棱台表＝S 上底＋S 下底＋S 棱台侧＝ 43a2＋ 43×(2a)2＋3 2 3a2＝114 3a2.
解析
(2)将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩 下的几何体．
S 底＝0.6×1.1－12×(0.5＋0.3)×0.3＝0.54(平方米)， V＝S 底·h＝0.54×24.8≈13.39(立方米)． 故浇制一个这样的预制件需要约 13.39 立方米混凝土．
解析
求组合体的表面积与体积的方法 求组合体的表面积或体积的问题，首先应弄清它的组成，其表面有哪 些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最 后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积， 然后再相加或相减．
第八章 立体几何初步
8．3 简单几何体的表面积与体积 8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积
和体积
(教师独具内容) 课程标准：知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用 公式解决简单的实际问题． 教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积公式及其应用． 教学难点：棱台的表面积与体积公式的推导． 核心素养：通过棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式的推导和应用 培养直观想象和数学运算素养.
[答案] 见解析
[解析] (1)根据几何体的三视图，可得该几何体的直观图为如图所示的 几何体 ABC－DEF，其中 AB⊥AC，AB＝4，AD＝5，AC＝3，BE＝2，
故其表面积为 S＝S△DEF＋S△ABC＋S 梯形 ABED＋S 梯形 CBEF＋S 矩形 ACFD＝12 ×3×5＋12×3×4＋12×(5＋2)×4＋12×(5＋2)×5＋3×5＝60.
2．做一做
(1)正三棱锥的高为 3，侧棱长为 2 3，则这个正三棱锥的体积为( )
A．247
B．94
C．274 3
D．9 4 3
(2)长方体同一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，则该长方体的体积和
表面积分别是____6_0_,9_4_____.
(3)已知棱台的上、下底面面积分别为 4,16，高为 3，则该棱台的体积为 ____2_8_______.
解析 (1)如图所示，以正方体各个面的中心为顶点的
凸多面体是由两个全等的正四棱锥组合而成，该棱锥的高
是正方体棱长的一半，底面面积是正方体一个面面积的一
半，则该凸多面体的体积为
V＝2×13×12×
2×
2×
22＝
2 3.
(2)由题图可知△A1BD 是边长为 2a 的等边三角形，其面积为 23a2，故
解析
求几何体体积的常用方法
[跟踪训练 2] (1)已知正四棱锥的底面边长为 2，高为 3，则它的体积
为( )
A．2
B．4
C．6
D．12
(2)若棱台的上、下底面面积分别为 4,16，高为 3，则该棱台的体积为
() A．26
B．28
C．30
D．32
解析 (1)正四棱锥的底面积为 2×2＝4，则体积为13×4×3＝4.