第一章概率论的基本概念

第⼀章概率论的基本概念
第⼀章概率论的基本概念
⼀、随机事件其运算
1．随机试验、样本点和样本空间
(1)随机试验
随机试验具有如下特点的试验．
1、在相同的条件下，试验可以重复进⾏．
2、试验的所有可能结果是预先知道的，并且不⽌⼀个．
3、每⼀次试验出现那⼀个结果事先不能确定． (2)样本点和样本空间
随机试验的每⼀个可能的(不可分解的)结果，称为这个随机试验的⼀个样本点，记为ω．
随机试验的所有样本点组成的集合，称为这个随机试验的样本空间，记为．Ω2．随机事件、基本事件、必然事件和不可能事件
在随机试验中，可能发⽣也可能不发⽣的事情称为该试验的随机事件，记为A ,B 等．随机试验的随机事件可以表⽰为它的⼀些样本点组成的集合．在⼀次试验中，若试验结果是随机事件A 中的⼀个样本点，则称在⼀次试验中事件A 发⽣．只包含⼀个样本点的事件称为基本事件．在任何⼀次试验中都发⽣的事件，称为必然事件，它就是Ω所表⽰的事件，因⽽⽤Ω表⽰必然事件．
在任何⼀次试验中都不发⽣的事件，称为不可能事件，它就是由φ所表⽰的事件，因⽽⽤φ表⽰不可能事件．
3．事件之间的关系和运算 (1)包含关系
设A ,B 为⼆事件，若A 发⽣必导致B 发⽣，则称事件A 包含于事件B ，或事件B 包含事件A ，记为B A ?．B A ??A ∈?ω必有B ∈ω，见图1—1． (2)相等关系
设A ,B 为⼆事件，若B A ?并且A B ?，则称A 与B 相等，记为B A =，见图1—2．
(3)事件的并
设A ,B 为⼆事件，
称事件“A ,B ⾄少⼀个发⽣(A 发⽣或B 发⽣)”为A ,B 的并(或和)，记为．B A ∪B A ∪}|{B A ∈∈=ωωω或．见图1—3．
(4)事件的交
设A ,B 为⼆事件，称事件“A ,B 同时发⽣(A 发⽣且B 发⽣)”为A ,B 的交(或积)．记为或B A ∩AB ．AB }|{B A ∈∈=ωωω且．见图1—4． (5)事件的差
设A ,B 为⼆事件，
称事件“A 发⽣且B 不发⽣”为A 减去B 的差，记为B A ?．B A ? }|{B A ?∈=ωωω且．见图1—5．
(6)互不相容关系
设A ,B 为⼆事件，若A ,B 不能同时发⽣，称A ,B 互不相容或互斥，记为AB φ=． A ,B 互不相容?AB φ=，见图1—6． (7)对⽴事件
设A 为⼀事件，称事件“A 不发⽣”为A 的余事件或A 的对⽴事件，记为
A ．A =A ?Ω，即φ=Ω=+A A A A ，，见图1—7．
(8)完备事件组构成完备事件组，若
,,,,21n H H H )( 21j i H H H H H j i n ≠=Ω=++++φ，．
换句话说，如果有限个或可数个事件两两不相容，并且“所有事件的和”是必然事件，则称它们构成完备事件组． ,,,,21n H H H 4．事件的运算法则
对于任意事件，，有
C B A ,, ,,,,21n A A A (1) 交换律 A B B A A B B A ∩∩∪∪==，．
(2) 结合律 C B A C B A ∪∪∪∪)()(=；C B A C B A ∩∩∩∩)()(=．
(3) 分配律；)()()(C A B A C B A ∩∪∩∪∩=)()()(C A B A C B A ∪∩∪∩∪=．
() ∪∩∪∪∩∪∪∪∩)()(11n n A A A A A A A =． (4) 对偶律，；B A B A B A B A ∪∩∩∪==
∩∩∩∪∪∪n n A A 11=；∪∪∪∩∩∩n n A A 11=．
下列关系和运算要熟记：
Ω??A φ；；B A B A B A ∪∩??)(或B B A A B A B A ==??∪∩且；
A B A ??；φ=B A B A ；φφ=A ∩；A A =∪φ；φ=Ω；Ω=φ；
A B B A ；AB A B A B A ?==?∩；)(A B A B A ∪∪=．
【例1】写出下列随机试验的样本空间： (1)从袋中任取3个球，记录取球的结果．
(2)从袋中不放回地接连取出3个球，记录取球的结果． (3)从袋中有放回地接连取出3个球，记录取球的结果．
(4)从袋中不放回地⼀个⼀个地取球，直到取得⽩球为⽌录取球的结果．
【例2】今有3个球、4个盒⼦．写出下列随机试验的样本空间：
(1)将3个球任意地放⼊4个盒⼦中去、每个盒⼦放⼊的球数不限，记录放球的结果． (2)将3个球放⼊4个盒⼦中去，每个盒⼦⾄多放⼊1个球，记录放球的结果．
【例3】写出下列随机试验的样本空间： (1)在上任取⼀点，记录其坐标． )1,0((2)将⼀尺之捶折成三段，记录三段的长度 (3)在上任取三点，记录三点的坐标．
)1,0(
【例4】写出下列随机试验的样本空间，⽤样本点的集合表⽰所述事件，并讨论它们之间的相互关系．
(1)袋中有3个⽩球和2个⿊球，从其中任取2个球，令A 表⽰ “取出的全是⽩球”，B 表⽰“取出的全是⿊球”，表⽰“取出的球颜⾊相同”， (C i A 2,1=i )表⽰“取出的2个球中恰有i 个⽩球”
，表⽰“取出的2个球中⾄少有1个⽩球”． D (2)袋中有2个正品和2个次品，从袋中有放回地接连抽取产品3次，每次任取1件，令 ()表⽰“第次取出的是正品”，i A 3,2,1=i i B 表⽰“3次都取得正品”． (3)从l，2，3，4这4个数字中，任取—数，取后放回，然后再任取⼀数．先后取了3
次，令A 表⽰“3次取出的数不超过3”
，B 表⽰“3次取出的数不超过2”，表⽰“3次取出的数的最⼤者为3”．
C (4)将3个球任意地放⼊4个盒⼦中去，令A 表⽰“恰有3个盒⼦中各有1球”，B 表⽰“⾄少有2个球放⼊同1个盒⼦中”．
【例5】设为3事件，试⽤表⽰下列事件： C B A ,,C B A ,,(1)⾄少有1个发⽣． C B A ,, (2)都不发⽣．
C B A ,,(3)不都发⽣．
C B A ,,(4)不多于1个发⽣． C B A ,,
【例6】什么样的事件X 满⾜下列等式： (1)B A X A X =)()(∪∪∪． (2)．
B A X A ∪∪=(3)． )()(
C B C A X AB ∪∩∪∪=
⼆、事件的概率及其性质
1．事件概率的定义
(1)古典概型
满⾜下列条件的随机试验，称为古典概型．10 有限性：样本点的总数是有限的；20
等可能性：所有基本事件是等可能的；
①概率的定义：设随机试验为古典概型，样本空间为},,{1n ωω =Ω，A 是⼀个事件．},,{1r i i A ωω =，则事件的概率为
含样本点的个数
含样本点的个数
Ω==
A n r A P )(．②概率的性质：对于古典概型，事件的概率具有下列性质． 10
． 1)(0≤≤A P 20
．
1)(=ΩP 30
有限可加性：若两两互不相容，则
n A A A ,,,21 ∑===n
i i n i i A P A P 1
1
)()(∪．
(2)⼏何概型
满⾜下列条件的随机试验，称为⼏何概型．
10
有限性：样本空间是直线、⼆维或三维空间中度量(长度、⾯积或体积)有限的区间或区域．20
均匀性：样本点在样本空间上是均匀分布的(可通俗地称为是等可能的) ．
①概率的定义：在⼏何概型中，Ω为样本空间，A 是⼀个事件，定义事件A 的概率
)
()
()(Ω=
L A L A P ．其中,分别是)(A L )(ΩL A ,的度量．
Ω②概率的性质：对于⼏何概型，事件的概率具有下列性质． 10
． 1)(0≤≤A P 20
．
1)(=ΩP 30
若两两互不相容，则
,,,,21n A A A ∑∞
=∞==1
)()(i i i i A P A P ∪．
(3)事件的频率和性质以及概率的统计定义
①事件的频率：将试验重复独⽴地进⾏次，若其中事件n A 发⽣了次，则称为A n A n A 在这n 次试验中出现的频数，称⽐值为n n A /A 在这次试验中出现的频率，记为，即．
n )(A f n =)(A n f n n A /②频率的性质：事件的频率有如下性质： 10
1)(0≤≤A f n ． 20
．
1)(=ΩP 30 若两两互不相容，则
m A A A ,,,21 ∑===m
i i n m i i n A f A f 1
1
)()(∪．
2．概率的公理化定义及性质
(1)概率的公理化定义
设随机试验E 的样本空间为，以ΩE 的所有随机事件组成的集合(即的⼀些⼦集组成的集合)为定义域，定义⼀个函数(Ω)(A P A 为任意随机事件)，即任意⼀个随机事件A 与
⼀个实数，且满⾜：
)(A P 10
．
0)(≥A P 20
．
1)(=ΩP 30 可列可加性：若两两互不相容，则
,,,,21n A A A ∑∞
=∞==1
1
)()(i i i i A P A P ∪．
(2)概率的性质 10
0)(=φP ．
20 有限可加性：若两两互不相容，则．
n A A A ,,,21 ∑===n
i i
n i i
A P A P 1
1
)()(
可减性：如果B A ?，则)()()(A P B P A B P ?=?，)()(B P A P ≤?．（⽆条件等式)()()(AB P B P A B P ?=?） 40
对于任意事件A ，有1)(≤A P ． 50
⼀般加法公式：
==)(1
∪n i i A P ∑=n
i i A P 1
)(∑
≤<≤?
n
j i j i A A P 1)( ++
∑
≤<<≤n
k j i k j i A A A P 1)()()1(211n n A A A P ??+
【例7】袋中有3个⽩球及5个⿊球，
(1)从袋中任取4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率．
(2)从袋中不放回地接连取出4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率． (3)从袋中有放回地接连取出 4个球，求取得2个⽩球及2个⿊球的概率．
【例8】设有个⼈，每个⼈都等可能地被分配到个房间中的任⼀间()，求下列事件的概率：
n N N n < 事件：某指定的间房中各有1个⼈． 1A n 事件：恰有间房各有1个⼈． 2A n 韦件：某指定的房间中有个⼈．
3A k 事件：当4A N n =时，恰有⼀间房空着．
【例9】编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的车⽪随机地发往三个地区,和的各2，3和4节，求发往同⼀地区的车⽪编号相邻的概率． 1E 2E 3E
【例10】从0,1,2,…,9这10个数字中任取1个，取后放回，先后取了6个数字，求
下列事件的概率：
事件：6个数字全不相同． 1A 事件：不含0与9． 2A 事件：0恰好出现2次． 3A 事件：⾄少出现2个0．
4A 事件：6个数字中最⼤的是6． 5A 事件：6个数字的总和是20．
6A
【例11】有5名插班⽣，其中有3名男⽣、2名⼥⽣．现将他们按每班1⼈任意地分配到编号为1—5的5个班中去，求下列事件的概率：
事件：3名男⽣被分到班号相连的3个班中．
1A 事件：⾄少有2个男⽣被分到的班号或2个⼥⽣被分到的班号相连． 2A
【例12】从n 双尺码不同的鞋⼦中任取r 2 (n r ≤2)只，求下列事件的概率：事件：所取1A r 2只鞋⼦中只有2只成双事件：所取2A r 2只鞋⼦中⾄少有2只成双．
事件：所取3A r 2只鞍⼦恰成r 双．
【例13】在线段AB 上任取⼀点，该点将AB 分成两段，求下列事件的概率：事件：其中⼀段⼤于另⼀段的倍． 1A m 事件：其中每⼀段都⼩于另⼀段的倍．
【例14】设只1个泊位的码头有甲、⼄两艘船停靠，2船各⾃可能在1昼夜的任何时刻到达．设两艘船停靠的时间分别为1⼩时和2⼩时，求下列事件的概率：事件：码头空闲超过2⼩时．
1A 事件：⼀艘船要停靠必须等待⼀段时间． 2A
【例15】在线段上任取3个点，求下列事件的概率： AC 321,,A A A 事件：位于与之间．
1B 2A 1A 1A 事件：能构成1个三⾓形． 2B 321,,AA AA AA
【例16】若,5.0)(=A P 4.0)(=B P ,3.0)(=?B A P ，求和)(B A P ∪)(B A P ∪.
【例17】对于任意两个互不相容的事件A 与B ，以下等式中只有⼀个不正确，它是： (A) ；
)()(A P B A P =?(B) )()(A P B A P =?1)(?+B A P ∪； (C) )()()(B P A P B A P ?=?； (D) ； (E) )())()((A P B A B A P =?∩∪)()()(B
A P A P
B A P ∪?=?.
三、条件概率和乘法公式
1．条件概率的定义及性质
(1)条件概率的定义
设为两个事件，，则称B A ,0)(>B P )
()
()|(B P AB P B A P =为B 发⽣的条件下A 的条件概率．
(2)条件概率的性质条件概率满⾜： 10
． 0)|(≥B A P 20
．
1)|(=ΩB P 30
可列可加性：若两两互不相容，则
,,,,21n A A A ∑∞
=∞==1
1
)|()|(i i i i B A P B A P ∪．
2．关于条件概率的三个定理
(1)乘法公式
若，则0)(>A P )()()(A B P A P AB P =．推⼴若，则
0)(21>n A A A P )()()()(12112121?=n n n A A A A P A A P A P A A A P ．
(2)全概率公式
设是样本空间的⼀个划分（或称为完备事件组），即两两不交：n B B B ,,,21 Ωn B B B ,,,21 j i B B j i ≠=,φ，且Ω=n B B B ∪∪∪21．则
∑==n
i i i B P B A P A P 1
)()|()(．
(3)贝叶斯公式
设是样本空间Ω的⼀个划分，若事件n B B B ,,,21 A 满⾜：，则有
0)(>A P n i B P B
A P
B P B A P A B P n
j j j
i i i ,,2,1,)
()|()
()|()|(1
==
∑=．
)(i B P （），通常叫先验概率．，（n i ,,2,1 =)|(A B P i n i ,,2,1 =），通常称为后
验概率．如果我们把A 当作观察的“结果”
，⽽理解为“原因”，则贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断．
n B B B ,,,21
【例18】在3重努利试验中，设5.0)(=A P ，若已知A ⾄少出现1次，求A ⾄少出
现1次的概率．
【例19】⼝袋个装有个⽩球、个⿊球，⼀次取出球，发现都是同⼀颜⾊的球，求它们都是⿊球的概率． 12?n n 2n
【例20】假设⼀个⼈在⼀年内患感冒的次数X 服从参数为5的泊松分布；正在销售的⼀种药品A 对于75%的⼈可以将患感冒的次数平均降低到3次，⽽对于25%的⼈⽆效．现在有某⼈试⽤此药⼀年，结果在试⽤期患感冒两次，试求此药有效的概率α．
【例21】对产品作抽样检验时，每100件为⼀批，逐批进⾏．对每批检验时，从其中任取1件作检查，如果是次品，就认为这批产品不合格；如果是合格品，则再检查下件．检验过的产品不放回．如此连续检查5件．如果检查5件产品都是合格品，则认为这批产品合格⽽被接受．假定⼀批产中有5％是次品，求这批产品被接受的概率．
【例22】加⼯零件需要经过两道⼯序，第—道⼯序出现合格品的概率为0.9，出现次品的概今为0.1第⼀道⼯序加⼯出来的合格的，在第⼆道⼯序中出现合格品的概率为0.8，出现次品的概率为0.2；第⼀道⼯序加⼯出来的次品，在第⼆道⼯序出现次品或出现废品的概率都是0.5．分别求经过两道⼯序加⼯出来的零件是合格品、次品、废品的概率．
【例23】在某⼯⼚中有甲、⼄、丙3台机器⽣产同样的产品，它们的产量各占25％，35％，40％，并且在各⾃的产品中．废品各占5％，4％，2％，从产品中任取1件，求它是废品的概率．若取出的是废品，分别求它是甲、⼄、丙机器⽣产的概率．
【例24】乒乓球盒内有12个球，其中9个是新球．第⼀次⽐赛时任取3个使⽤，⽤后放回．第⼆次⽐赛时再任取3个球，求此3个球全是新球的概率．若第⼆次取出的3个球全是新球，求第⼀次取出使⽤的3个球也是新球的概率．
【例25】袋中装有5个⽩球和2个⿊球，从中任取5个放⼊⼀个空袋中．再从这个袋的5个球做任取3个球放⼊另⼀个空袋个．最后从第三个袋中任取1球，求从第三个袋中取出⽩球的概率．若从第三个袋取出的是⽩球，分别求从第⼀个袋中取出放⼊第⼆个袋的5个球全是⽩球的概率、从第⼆个袋中取出放⼊第三个袋的3个球全是⽩球的概率．
四、事件的独⽴性
1．⼆事件的独⽴性
定义设为⼆事件，若B A ,)()()(B P A P AB P =，则称相互独⽴． B A , 性质若，则相互独⽴的充要条件是)0(>A P B A ,)()|(B P A B P =．定理若相互独⽴，则B A ,A 与B ，A 与B ，A 与B 均独⽴． 2．三个或三个以上事件的独⽴性
（1）三个事件相互独⽴设为三个事件，若满⾜： C B A ,,)()()(B P A P AB P =； )()()(C P A P AC P =；
)()()(C P B P BC P =；
)()()()(C P B P A P ABC P =，
则称相互独⽴，简称独⽴.
C B A ,,C B A ,,若只满⾜上⾯的前三个式⼦，称两两独⽴．两两独⽴，未必相互独⽴. C B A ,,C B A ,,（2）个事件相互独⽴如
果n 个事件满⾜：
n n A A A ,,,21 )()()(j i j i A P A P A A P =， n j i ≤<≤1，共个等式； 2
n
C )()()()(k j i k j i A P A P A P A A A P =， n k j i ≤<<≤1 共个等式； 3
n
C … … … … … … … … … … … … … … … … … …
)()()()(2121n n A P A P A P A A A P = 共个等式 n
n C 这等式成⽴，则称相互独⽴，简称
独⽴．
1232??=+++n C C C n n
n n n n A A A ,,,21 n A A A ,,,21 若相互独⽴，是中的个事件，则
相互独⽴．
n A A A ,,,21 k i i i A A A ,,,21 n A A A ,,,21 k k i i i A A A ,,,21
若相互独⽴，将任意n A A A ,,,21 m )1(n m ≤≤个事件换成它的对⽴事件后，所得个事件仍独⽴．
n 若相互独⽴，则．
n A A A ,,,21 ∏==??=n
i i
n i i
A P A P 1
1
))(1(1)(∪3．独⽴试验序列概型
贝努利试验对⼀个试验E ，如果只考虑两个结果A 和A ，且，
p A P =)(q p A P =?=1)(，则称E 为贝努利试验．
n 重贝努利试验将贝努利试验E 重复独⽴地做次，称为n 重贝努利试验．
n ⼆项概率公式在n 重贝努利试验中，若⽤表⽰在n 次试验中k n A ,A 出现次，则
k k
n k k n k n q p C A P ?=)(,，，n k ,,1,0 =p q ?=1．
【例26】设有两门⾼射炮，每—门击中飞机的概率都是0.6，求同时射击⼀发炮弹能击中飞机的概率．若欲以99％的概率击中飞机，求⾄少需要多少门⾼射炮同时射击．
【例27】今有甲、⼄两名射⼿轮流对同⼀⽬标进⾏射击，甲命中的概率为，⼄命中的概率为，甲先射，谁先命中谁得胜，分别求甲、⼄获胜的概率． 1p 2p
【例28】甲、⼄⼆⼈进⾏下棋⽐赛，假设每局甲胜的概率为α，⼄胜的概率为β，且
1=+βα，在每局⽐赛中谁获胜谁得1分．如果谁的积分多于对⽅2分，谁就获得全场的
胜利，分别求甲、⼄⼆⼈获得全场胜利的概率．
【例29】检查产品质量时，从其中连续抽查若⼲件，如果废品不超过2件，则认为这批产品合格⽽被接收．现有⼀⼤批产品，其废品率为0.1． (1)若连续抽查10件．求这批产品被接收的概率．
(2)为使这批产品被接收的概率不超过0.9．应⾄少抽查多少件产品．
【例30】保险公司为某年龄段的⼈设计⼀项⼈寿保险，投保⼈在1⽉1⽇向保险公司交纳保险费10元，1年内若投保⼈死亡，家属可向保险公司领取5000元，已知在1年内该年龄段的⼈的死亡率为0.0005，
(1)若有10000⼈投保，⽔保险公司获利不少于50000元的概率． (2)若有7000⼈投保，求保险公司亏损的概率．。