七年级数学相交线与平行线讲义

相交线与平行线
一、相交线同步知识梳理
1．如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．
2．如果两个角有公共顶点，并且其中一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么具有这种位置关系的两个角叫做对顶角．
3．对顶角的重要性质是对顶角相等．
4．当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
5．垂线的性质
性质1：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
6．直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．
7．内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型。

二、同步题型分析
题型1：对顶角以及邻补角
例题1：图中是对顶角的是( )．
例题2：如图，∠1的邻补角是( )．
(A)∠BOC(B)∠BOC和∠AOF
(C)∠AOF(D)∠BOE和∠AOF
题型2：垂线
例题3：如图，直线AB，CD互相垂直，记作______；直线AB，CD互相垂直，垂足为O点，记作____________；
线段PO的长度是点_________到直线_________的距离；点M到直线AB的距离是_______________．
题型3：同位角、内错角、同旁内角
例题4：如图所示，图中用数字标出的角中，同位角有______；内错角有______；同旁内角有______．
三、课堂达标检测
1、如图所示，直线l1，l2，l3相交于一点，则下列答案中，全对的一组是( )．
(A)∠1＝90°，∠2＝30°，∠3＝∠4＝60°
(B)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝30°
(C)∠1＝∠3＝90°，∠2＝∠4＝60°
(D)∠1＝∠3＝90°，∠2＝60°，∠4＝30°
2、判断正误
（1）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角．( )
（2）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角．( )
（3）有一条公共边的两个角是邻补角．( )
（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互为补角．( )
（5）对顶角的角平分线在同一直线上．( )
（6）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角．( )
3、如图，过A点作CD⊥MN，过A点作PQ⊥EF于B．
图a 图b 图c
4、如图，过A点作BC边所在直线的垂线EF，垂足是D，并量出A点到BC边的距离．
5、如图，下列结论正确的是( )．
(A)∠5与∠2是对顶角(B)∠1与∠3是同位角
(C)∠2与∠3是同旁内角(D)∠1与∠2是同旁内角
6、如图，直线AB，CD与直线EF，GH分别相交，图中的同旁内角共有( )．
(A)4对(B)8对
(C)12对(D)16对
一、平行线及其判定同步知识梳理
1．在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．若直线a与直线b平行，则记作a∥b．
2．在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交、平行．
3．平行公理是：经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行．
4．平行公理的推论是如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即三条直线a，b，c，若a∥b，b∥c，则a∥c．
5．两条直线平行的条件(除平行线定义和平行公理推论外)：
(1)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法1可简述为：同
位角相等，两直线平行．
(2)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．这个判定方法2可简述为：内
错角相等，两直线平行．
(3)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．这个判定方法3可简述为：
同旁内角互补，两直线平行．
二、同步题型分析
题型1：
例题1：如图，根据下列条件，可推得哪两条直线平行？并说明理由•
⑴∠CBD＝∠ADB；
⑵∠BCD＋∠ADC＝180°
⑶∠ACD＝∠BAC
A
B C D
O
例题2：已知：如图，请分别依据所给出的条件，判定相应的哪两条直线平行?并写出推理的根据．
(1)如果∠2＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(2)如果∠2＝∠5，那么____________．
(____________，____________)
(3)如果∠2＋∠1＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(4)如果∠5＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
(5)如果∠4＋∠6＝180°，那么____________．
(____________，____________)
(6)如果∠6＝∠3，那么____________．
(____________，____________)
例题3：已知：如图，请分别根据已知条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
(1)∵∠B＝∠3(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(2)∵∠1＝∠D(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(3)∵∠2＝∠A(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
(4)∵∠B＋∠BCE＝180°(已知)，
∴______∥______．(____________，____________)
例题4：已知：点P是∠AOB内一点．过点P分别作直线CD∥OA，直线EF∥OB．
三、课堂达标检测
1、如图① 不能判定a ∥b 的一组条件是（ ）
A ．∠1=∠2
B ．∠1=∠5
C ．∠3=∠4
D ．∠2=∠6
2、如图② 能够判定DE ∥BC 的条件是（ ）
A ． ∠DCE+∠DEC= 180
B ． ∠EDC=∠DCB
C ． ∠BGF=∠DCB
D ． CD ⊥AB ，GF ⊥AB
3、已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB ∥CD ．
(1)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠1＝______．
证法1：
∵∠1＝∠2，(已知)
又∠3＝∠2，( ) ∴∠1＝_______．( )
∴AB ∥CD ．(___________，___________)
(2)分析：如图，欲证AB ∥CD ，只要证∠3＝∠4．
证法2：
∵∠4＝∠1，∠3＝∠2，( ) 又∠1＝∠2，(已知)
从而∠3＝_______．( )
∴AB ∥CD ．(___________，___________)
4、如图，AD 平分∠BAC ，EF 平分∠DEC ，且∠1＝∠2，试说明DE 与AB 的位置关系. 解：∵AD 是∠BAC 的平分线（已知）
∴∠BAC ＝2∠1（角平分线定义）
又∵EF 平分∠DEC （已知）
∴ （ ）
又∵∠1＝∠2（已知）
∴ （ ）
∴AB ∥DE （ ）
5、已知：如图，CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，∠1＝∠2．试确定射线DF 与
AE 的位置关系，
并说明你的理由．
(1)问题的结论：DF ______AE ．
(2)证明思路分析：欲证DF ______AE ，只要证∠3＝______． (3)证明过程：
证明：∵CD ⊥DA ，DA ⊥AB ，( )
∴∠CDA ＝∠DAB ＝______°．(垂直定义) 又∠1＝∠2，( )
从而∠CDA －∠1＝______－______，(等式的性质)
A B C
D E
F 1 2
即∠3＝＿＿＿．
∴DF ＿＿＿AE ．(＿＿＿＿，＿＿＿＿)
6、已知：如图，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠
ADC ．且∠1＝
∠3．
求证：AB ∥DC ．
证明：∵∠ABC ＝∠ADC ，
.2
1
21ADC ABC ∠=∠∴( ) 又∵BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，
.2
1
2,211ADC ABC ∠=∠∠=
∠∴ ( ) ∴∠______＝∠______．( )
∵∠1＝∠3，( ) ∴∠2＝∠______．(等量代换) ∴______∥______．( )
7、已知：如图，∠1＝∠2，∠3＋∠4＝180°．试确定直线a 与直
线c 的位置关系，
并说明你的理由．
(1)问题的结论：a ______c ．
(2)证明思路分析：欲证a ______c ，只要证______∥______且______∥______． (3)证明过程：
证明：∵∠1＝∠2，( )
∴a ∥______．(________，________)① ∵∠3＋∠4＝180°，( )
∴c ∥______．(________，________)② 由①、②，因为a ∥______，c ∥______， ∴a ______c ．(________，________)
8、如图，∠D =∠A，∠B =∠FCB，求证：ED∥CF．
E B
A
F
D
C
一、能力培养
1、如图，已知AB、CD、EF相交于点O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD＝28°，求∠COE、∠AOE、∠AOG的度数．
2、如图所示,L1,L2,L3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.
3、已知：如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF平分∠COB，
∠AOD∶∠DOE＝4∶1．求∠AOF的度数．
解析：考察角平分线的性质，对顶角的性质
3
4
l3
l2
l1
1
2
4、当两条直线相交于一点时，共有2对对顶角；
当三条直线相交于一点时，共有6对对顶角；
当四条直线相交于一点时，共有12对对顶角.
问：当有100条直线相交于一点时共有对顶角.
5、已知平面内有一条直线m及直线外三点A，B，C，分别过这三个点作直线m的垂线，想一想有几个不同
的垂足?画图说明．
6、已知点M，试在平面内作出四条直线l1，l2，l3，l4，使它们分别到点M的距离是1.5cm．
·M
2、已知∠B＝∠C，∠1＝∠2。

求证：AE∥DF。

二、能力点评
相交线方面主要是考察基本概念和性质，尤其是在角平分线的性质方面需要加强。

垂线主要是考察垂线的做法以及点到直线的距离情况，平行线方面主要是考察平行线的判定。

主要是为后期学习平行线的性质以及坐标轴做准备。

学法升华
一、知识收获
主要是通过学习，掌握相交线的基本特点，运用相交线的三线八角解决对顶角以及平行线的判定问题
二、方法总结与技巧提炼
内错角为“Z”型，同位角为“F”型，同旁内角为“U”型，主要是见角找边，如，已知：如图，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．我们可以知道∠1与∠2公用了EF这条边，然后只需要在EF这条边所截的三线八角中找到相等或互补关系的角即可。

课后作业
1、如图，∠EAC＝∠ADB＝90°.下列说法正确的是（）
A．α的余角只有∠B B．α的邻补角是∠DAC
C．∠ACF是α的余角D．α与∠ACF互补
2、如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，则∠EMB的同位角为（）
A．∠AMF B．∠BMF C．∠ENC D．∠END
3、下列语句中正确的是（）
A．在同一平面内，一条直线只有一条垂线
B．过直线上一点的直线只有一条
C．过直线上一点且垂直于这条直线的直线有且只有一条
D．垂线段就是点到直线的距离
4、如图，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数有（）
①AB⊥AC②AD与AC互相垂直③点C到AB的垂线段是线段AB④线段AB的长度是点B到AC的距离
⑤垂线段BA是点B到AC的距离⑥AD＞BD
A．0 B．2 C．4 D．6
5、点A、B、C是直线l上的三点，点P是直线l外一点，且PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝6cm，则点P到直线
l的距离是（）
A．4cm B．5cm C．小于4cm D．不大于4cm
6、将一副直角三角板按图所示的方法旋转（直角顶点重合），则∠AOB＋∠DOC＝ .
A
B
C
D
O
A
B C
D
E
F
G
H
a
b
c 第6题图第7题图第9题图
1
2
34
5
6
78
1
A
E
B C F
D
A
B
C D
F
E
M
N
α
第1题图第2题图
A
B D C
第4题图
7、如图，矩形ABCD 沿EF 对折，且∠DEF ＝72°，则∠AEG ＝ .
8、在同一平面内，若直线a 1∥a 2,a 2⊥a 3,a 3∥a4,…则a 1 a 10.（a 1与a 10不重合）
9、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠5，②∠1＝∠7，③∠2＋∠3＝
180°，④∠4＝∠7，其中能判断a ∥b 的条件的序号是 . 10、在同一平面内两条直线的位置关系有 .
11、如图，已知BE 平分∠ABD ，DE 平分∠CDB ，且∠E ＝∠ABE ＋∠EDC ．试说明AB ∥CD ？
12、如图，已知BE 平分∠ABC ，CF 平分∠BCD ，∠1＝∠2，那么直线AB 与CD 的位置关系如何？
13、如图，推理填空：
⑴∵∠A ＝ （已知）
∴AC ∥ED （ ） ⑵∵∠2＝ （已知） ∴AC ∥ED （ ）
⑶∵∠A ＋ ＝180°（已知） ∴AB ∥FD ．
A
C D
E
B A
B C D
E F
1 2 1 2
3 A
B C D
E F
第13题图
11
14、如图，请你填上一个适当的条件 使AD ∥
BC ．
A
B C D E F 第14题图。