新北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》章末练习题含答案解析 (36)

一、选择题
1.若a
2=b
3
=c
4
，则a+b−c
a
的值为( )
A．2B．1
9C．1
2
D．9
2.如图，△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，DE
CB =2
5
，则sinA的值为( )
A．2
5B．√21
5
C．√21
2
D．3
5
3.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AC与BD相交于点O，N是AO的中点，点M在边上，
且BM=3，P为对角线BD上一点，当对角线BD平分∠NPM时，∣PM−PN∣的值为( )
A．1B．√2C．2D．√3
4.在下列图形中，不是位似图形的是( )
A．
B．
C．
D．
5.已知线段b是线段a，c的比例中项，且a=6，c=3，则b的值为( )
A．−3√2B．±3√2C．3√2D．无法确定
6.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD
CD =AE
BC
，则( )
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
7.如图，小明在打乒乓球时，要使球恰好能过网（设网高AB=15cm），且落在对方区域桌子底线C处，已知小明在自己桌子底线上方击球，则他的击球点距离桌面的高度DE为( )
A．15cm B．20cm C．25cm D．30cm
8.如图，矩形纸片ABCD，AD:AB=√2:1，点E，F分别在AD，BC上，把纸片如图沿EF折
叠，点A，B的对应点分别为Aʹ，Bʹ，连接AAʹ并延长交线段CD于点G，则EF
AG
的值为( )
A．√2
2B．2
3
C．1
2
D．√5
3
9.下列各组图形中，是相似图形的是( )
A．B．
C．D．
10.我们通常用到的一种复印纸，整张称为A1纸（如图（1）），将其对折一分为二裁开成为A2纸
（如图（2）），再一分为二成为A3纸（如图（3）），⋯⋯，它们都是相似的矩形，这些矩形的长与宽的比值都是一个定值，这个定值是( )
A．3:2B．√2:1C．4:3D．2:√3
二、填空题
11.现有三个数1，√2，2，请你再添上一个数，写出一个比例式．
12.如图，已知△ABC，D，E分别为AB，AC上的点，且AD=1
4AB，AE=1
4
AC，DE=1，则
BC=．
13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=10，AC=8，E，F分别为AB，BC上的点，沿直
线EF将∠B折叠，使点B恰好落在AC上的D处，当△ADE恰好为直角三角形时，BE 的长为．
14.如图，已知△ADE∽△ABC，且AD=3，DC=4，AE=2，则BE=．
15.在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且DE∥BC，AB=12cm，AE=7cm，CE=
3cm，那么DB=cm．
16.如果x
y =5
3
，那么x
x−y
=．
17.若a
b =3
4
，则2a−b
b
=．
三、解答题
18.如图，在边长为1的5×5的正方形网格上有两个三角形，它们的顶点都在格点上，△ABC与
△DEF是否相似？请说明理由．
19.如图，E是△ABC边AC上的中点，且ED⊥AB，垂足为D，AD=2DE，AB
AC =√5
2
．
(1) 求证：△ABC∽△AED；
(2) 若BD=6，求四边形BCED的面积．
20.根据学过的两个三角形相似的判定方法，试归纳两个等腰三角形相似的判定方法．两个直角三角
形呢？
21.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，∠ADE=∠B．
(1) 求证：△ABD∽△DCE．
(2) 点F在AD上，且AF
AE =DE
CD
，求证：EF∥CD．
22.在相同时刻的物高与影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10米，此时身高是
1.8米的小明的影长是1.5米，求：旗杆的高度．
23.观察下面这张残破的图（如图所示），其中残破的七边形ABCDEFG与七边形AʹBʹCʹDʹEʹFʹGʹ相
似，如果量得BC=4cm，BʹCʹ=6cm，你能求出七边形ABCDEFG的面积吗？
24.如图，点B，D，E在一条直线上，BE交AC于点F，AB
AD =AC
AE
，且∠BAD=∠CAE．
(1) 求证：△ABC∽△ADE；
(2) 求证：△AEF∽△BCF．
25.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E．
(1) 求证：△ADE∽△ABC．
(2) 当AC=8，BC=6时，求DE的长．
答案
一、选择题
1. 【答案】C
【解析】设a
2=b
3
=c
4
=k(k≠0)，
则a=2k，b=3k，c=4k．
∴a+b−c
a =2k+3k−4k
2k
=1
2
，故C正确．
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算
2. 【答案】B
【解析】∵CD⊥AB，BE⊥AC，则易证△ABE∽△ACD，
∴AD
AE =AC
AB
，即AD
AC
=AE
AB
，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AD
AC =DE
CB
=2
5
．
设AD=2a(a>0)，则AC=5a，由勾股定理得CD=√21a，
∴sinA=CD
AC =√21
5
．
故选B．
【知识点】两角分别相等
3. 【答案】A
【解析】如图所示．
∵对角线BD平分∠NPM，
∴作以BD为对称轴N的对称点Nʹ，连接MNʹ，PNʹ，
根据轴对称性质可知，PN=PNʹ，∠NPO=NʹPO，NO=NʹO，∵在正方形ABCD中，AB=4，
∴AC=√2AB=4√2，
∵O为AC中点，
∴OA=OC=2√2，
∵N为OA的中点，
∴ON=√2，
∴ONʹ=CNʹ=√2，
∴ANʹ=3√2，
∵BM=3，
∴CM=4−3=1，
∴CM
BC =CNʹ
AC
=1
4
，且∠MCNʹ=∠BCA，
∴△MCNʹ∽△BCA，
∴∠CMNʹ=∠ABC=90∘，
∵∠MCNʹ=45∘，
∴△MCNʹ为等腰直角三角形，
∴MNʹ=CM=1，
∴∣PM−PN∣的值为1．
【知识点】等腰直角三角形、正方形的性质、两边成比例且夹角相等、轴对称的性质
4. 【答案】D
【解析】对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．
根据位似图形的概念，A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；
D中的两个图形不符合位似图形的概念，对应顶点不能相交于一点，故不是位似图形．【知识点】位似
5. 【答案】C
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算、比例的內项、外项和中项
6. 【答案】B
【知识点】两边成比例且夹角相等
7. 【答案】D
【解析】∵AB∥DE，
∴△CAB∽△CDE，
∴AB
DE =CB
CE
，
又由题意知BC=BE，
∴DE=2AB=2×15=30(cm)．
【知识点】相似三角形的应用
8. 【答案】A
【解析】过点F作FH⊥AD于点H，设AG与EF交于点O，如图所示：由折叠A与Aʹ对应易知：∠AOE=90∘，
∵∠EAO+∠AEO=90∘，∠EAO+∠AGD=90∘，
∴∠AEO=∠AGD，即∠FEH=∠AGD，
又∵∠ADG=∠FHE=90∘，∴△ADG∽△FHE．
∴EF
AG =HF
AD
=AB
AD
=
√2
=√2
2
．
故选A．
【知识点】两角分别相等、矩形的性质
9. 【答案】D
【解析】A．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
B．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
C．形状不相同，不符合相似形的定义，此选项不符合题意；
D．形状相同，但大小不同，符合相似形的定义，此选项符合题意．【知识点】相似图形的定义
10. 【答案】B
【解析】设原矩形的长为a，宽为b，根据相似多边形的性质可知，a
b =b a
2
，解得a=√2b，
∴矩形的长与宽的比值为√2:1．
【知识点】相似图形的性质
二、填空题
11. 【答案】1:√2=2:2√2（答案不唯一）
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算12. 【答案】4
【解析】∵AD=1
4AB，AE=1
4
AC，
∴AD
AB =AE
AC
，
∴DE∥BC，
∴DE
BC =AD
AB
=1
4
，
∵DE=1，
∴BC=4．
【知识点】平行线分线段成比例定理
13. 【答案】15
4或30
7
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠C=90∘，AC=8，AB=10，
∴BC=6．
根据折叠的性质得：BE=DE，
设BE=x，则DE=x，AE=10−x，①当∠ADE=90∘时，则DE∥BC，
∴DE
CB =AE
AB
，
∴x
6=10−x
10
，解得：x=15
4
；
②当∠AED=90∘时，则△AED∽△ACB，
∴DE
BC =AE
AC
，
∴x
6=10−x
8
，解得：x=30
7
．
故所求BE的长度为：15
4或30
7
．
【知识点】两角分别相等
14. 【答案】8.5
【解析】∵AD=3，DC=4，
∴AC=AD+DC=3+4=7，
∵△ADE∽△ABC，
∴AD
AB =AE
AC
，
即3
AB =2
7
，
解得AB=10.5，
∴DE=AB−AE=10.5−2=8.5．【知识点】相似三角形的性质
15. 【答案】18
5
【知识点】平行线分线段成比例定理
16. 【答案】5
2
【解析】∵x
y =5
3
，
∴y=3
5
x，
∴x
x−y =x
x−3
5
x
=x2
5
x
=5
2
．
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算
17. 【答案】1
2
【解析】∵a
b =3
4
，
∴设a=3k，b=4k，
∴2a−b
b =6k−4k
4k
=2k
4k
=1
2
．
【知识点】比例的性质与比例线段的概念及运算
三、解答题
18. 【答案】△ABC与△DEF相似．理由：
∵DE=√22+12=√5，DF=√32+12=√10，EF=5，AB=√12+12=√2，AC=2，CB=√32+12=√10，
∴DE
AB =√5
√2
=√10
2
，DF
AC
=√10
2
，EF
CB
=
√10
=√10
2
，
∴DE
AB =DF
AC
=EF
CB
=√10
2
，
∴△ABC∽△DEF．
【知识点】三边成比例19. 【答案】
(1) 易得AE
AD =√5
2
，于是AE
AD
=AB
AC
，又∠A=∠A，
所以△ABC∽△AED．(2) 16．
设DE=x，则AD=2x，AE=CE=√5x，于是：
2√5x =√5
2
，解得x=2．
【知识点】相似三角形的性质、相似三角形的判定、勾股定理
20. 【答案】①有一对角对应相等的两个等腰三角形相似；腰长和底边长对应成比例的两个等腰三角
形相似．
②有一个角对应相等的两个直角三角形相似；任意两边对应成比例的两个直角三角形相似．
【知识点】两边成比例且夹角相等
21. 【答案】
(1) 证得 ∠B =∠C ，∠BAD =∠EDC ，
所以 △ABD ∽△DCE ．
(2) 因为 △ABD ∽△DCE ，
所以 AD DE
=AB DC ， 证得 AF AD =AE AC ，
所以 EF ∥CD ．
【知识点】相似三角形的性质、相似三角形的判定
22. 【答案】 12 米．
【知识点】相似三角形的应用
23. 【答案】能．求解过程如下：
∵ 七边形 ABCDEFG 与七边形 AʹBʹCʹDʹEʹFʹGʹ 相似，且易知其相似比等于 BC BʹCʹ=46=23， ∴ 七边形 ABCDEFG 与七边形 AʹBʹCʹDʹEʹFʹGʹ 的面积比为 49，则 S 七边形ABCDEFG 351=49， ∴S 七边形ABCDEFG =156 cm 2．
故七边形 ABCDEFG 的面积为 156 cm 2．
【知识点】相似图形的性质
24. 【答案】
(1) ∵∠BAD =∠CAE ，
∴∠BAD +∠CAD =∠CAE +∠CAD ，
即 ∠BAC =∠DAE ，
在 △ABC 和 △ADE 中，
AB AD =AC AE ，∠BAC =∠DAE ，
∴△ABC ∽△ADE ．
(2) ∵△ABC ∽△ADE ，
∴∠C =∠E ，
在 △AEF 和 △BFC 中，∠C =∠E ，∠AFE =∠BFC ，
∴△AEF ∽△BCF ．
【知识点】两边成比例且夹角相等、两角分别相等
25. 【答案】
(1) ∵DE垂直平分AB，
∴∠AED=90∘．
∴∠AED=∠C．
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC．
(2) Rt△ABC中，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵DE平分AB，
∴AE=5．
∵△ADE∽△ABC，
∴DE
BC =AE
AC
．
∴DE
6=5
8
．
∴DE=15
4
．
【知识点】两角分别相等、勾股定理。