高中数学课件第3章 3.1 3.1.2 瞬时变化率——导数
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答案：(3,30)
3．求曲线 C：y＝13x3＋43在 x＝2 处的切线方程． 解：把 x＝2 代入 y＝13x3＋43，得 y＝4，所以切点为 P(2,4)，又ΔΔxy＝132＋Δx3＋Δ43x－13×23－43＝4＋ 2Δx＋13(Δx)2，当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔxy趋近于 4. 即切线斜率 k＝4.所以所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4 ＝0.
法二：Δy＝x＋1Δx2＋2－(x12＋2) ＝－2xx＋ΔΔx－x2·Δxx2 2， ∴ΔΔxy＝－x＋2xΔ－xΔ2·xx2. ∴f′(x)＝－x23. ∴f′(1)＝－2.
[一点通] 求函数在 x＝x0 处的导数的方法： 确定 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数．一般有两种方法，一是应 用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy 要求准 确，Δx 可正可负．
∴ΔΔxy＝2Δx－2Δ＋xΔx＋ΔΔxx＝22－＋1Δx＋1. 当 Δx 无限趋近于零时，ΔΔxy无限趋近于34， 即点 A 处的切线的斜率是34. (2)切线方程为 y－52＝34(x－2)， 即 3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某 点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋 近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的常数．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别：“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，是针对 x0 而言 的，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关；“导函数”简记 为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的 函数，依赖于函数本身，而与 x，Δx 无关．
2．已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则 P 点坐 标为________． 解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝ 2Δx2＋4Δxx0Δx＋4Δx＝4x0＋4＋2Δx. 当 Δx 无限趋近于 0 时，4x0＋4＋2Δx 无限趋近于 4x0＋4， 因此 4x0＋4＝16，即 x0＝3， 所以 y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即 P 点坐标为(3,30)．
1．导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，
x0∈(a，b)，当 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔxy＝
定义 fx0＋Δx－fx0
导
________Δ_x_______无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 x
数
＝x0 处 可导 ．并称该常数 A 为函数 f(x)在点 x＝x0 处的导
在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处
的 函数值 ．
1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求 出切线的斜率．
2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度 是速度函数相对于时间的瞬时变化率．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度. Δt 2 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.02 0.01 v 4g 3.5g 3.25g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？ 提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
6．求函数 y＝f(x)＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数． 解：法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. 当 Δx→0 时，2Δx＋16→16. ∴f′(3)＝16.
y＝3x－3， 由y＝－13x－292，
得x＝16， y＝－52.
∴直线 l1 与 l2 的交点为16，－52， l1，l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)，－232，0， 故所求三角形的面积为 S＝12×235×－52＝11225.
[一点通] 解决与导数的几何意义有关的综合题时，其 关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出 切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答．
瞬时速度与瞬时加速度 要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移 s(t)
的平均变化率
st0＋Δt－st0
Δt
，当
Δt
无限趋近于
0
时，st0＋ΔΔtt－st0无
限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时速度 ．
vt0＋Δt－vt0
一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率
问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？ 提示：能． 问题 2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：用曲线的切线的斜率表示．
割线逼近切线的方法 设曲线 C 上有一点 P，Q 是曲线 C 上的另一点，则直线 PQ
称为曲线 C 的 割线 ；当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动时，割线 PQ 在点 P 附近越来越 逼近曲线 C .当点 Q 无限逼近点 P 时，直线
理解教材
新知 3.1.
3.1
2
第 3 章
导 数 的 概
瞬时 变化 率
把握热点 考向
念
导数
应用创新
演练
知识点一 知识点二 知识点三
考点一 考点二 考点三 考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？
1．已知曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)，则 A 处的切线斜率等于________． 解析：∵y＝2x3， ∴ΔΔxy＝21＋ΔΔxx3－2·13 ＝2(Δx2＋3Δx＋3) ＝2(Δx)2＋6Δx＋6.
当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于常数 6， 因而 A 处切线斜率为 6. 2] 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，经过时间 t 高度为 s(t)＝v0t－12gt2.求物体在 t0 时刻的瞬时速度．
[思路点拨] 先求 Δs，再根据定义，当 Δt→0 时，ΔΔst趋近于常 数来求．
[精解详析] 由已知得： Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12g t20 ＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2， ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 v0－gt0. 物体在时刻 t0 时的瞬时速度为 v0－gt0.
求函数在某点处的导数
[例 3] 求函数 f(x)＝x12＋2 在点 x＝1 处的导数． [思路点拨]
法一：
求Δy
―→
Δy Δx
―→
Δx→0
―→
得导数
法二： 求导函数 ―→ 求导函数的函数值
[精解详析] 法一：由已知得 Δy＝1＋1Δx2＋2－112＋2 ＝1＋1Δx2－1＝－Δ1＋x2Δ－x22Δx， ∴ΔΔxy＝－1＋2－ΔxΔx2. ∴Δx→0 时，ΔΔxy→－2. ∴f′(1)＝－2.
求曲线上一点的切线及斜率
[例 1] 已知曲线 y＝x＋1x上的一点 A2，52，用切线斜率定 义求：
(1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f2＋ΔΔxx－f2，再求其在 Δx 趋近于 0 时无限逼近的值．
[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋2＋1Δx－ 2＋12＝2－2＋ΔΔxx＋Δx，
[一点通] (1)求瞬时速度的步骤： ①求位移增量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； ②求平均速度－v ＝ΔΔst； ③求瞬时速度：当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 v. (2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似．
4．一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2，则此 物体在 t＝2 时的瞬时速度为________．
导数的几何意义及其综合应用
[例 4] 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2，求由直线 l1、l2 和 x 轴所围 成的三角形的面积．
[思路点拨] 解答本题可先求 l1、l2 的方程，并求其交点， 然后求围成的三角形面积．
[精解详析] ΔΔxy＝x＋Δx2＋x＋ΔΔxx－2－x2－x＋2 ＝2x·Δx＋ΔΔxx2＋Δx＝2x＋Δx＋1， ∵Δx→0 时，2x＋Δx＋1→2x＋1，∴f′(x)＝2x＋1， 由题意知，(1,0)在曲线上， ∴f′(1)＝2＋1＝3，l1 的方程为 y＝3x－3. 设 l2 过曲线上的点(b，b2＋b－2)，∴f′(b)＝2b＋1， 则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2. 由 l1⊥l2，得 2b＋1＝－13，b＝－23， ∴l2 的方程为 y＝－13x－292.
法二：ΔΔxy＝2x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx－2x2＋4x ＝4x·Δx＋2ΔΔxx2＋4Δx＝4x＋2Δx＋4， 当 Δx→0,4x＋2Δx＋4→4x＋4， ∴f′(x)＝4x＋4， ∴f′(3)＝4×3＋4＝16.
7．已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6，求 a 的值． 解：ΔΔxy＝f1＋ΔΔxx－f1 ＝a1＋Δx2＋2Δ1x＋Δx－a＋2 ＝a·Δx2＋Δ2xa＋2·Δx ＝a·(Δx)＋2(a＋1)． 当 Δx→0 时，ΔΔxy→2a＋2，∴f′(1)＝2a＋2. 由条件知 f′(1)＝6， ∴2a＋2＝6，∴a＝2.
解析：由于 Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， 所以ΔΔst＝－Δt－ΔtΔt2＝－1－Δt. 当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数－1. 故物体在 t＝2 时的瞬时速度为－1. 答案：－1
5．已知物体运动速度 v 与时刻 t 的关系为 v(t)＝t2＋t.求物体在 t＝ 2 时的瞬时加速度． 解：∵Δv＝(2＋Δt)2＋(2＋Δt)－(22＋2)＝(Δt)2＋5Δt， ∴ΔΔvt ＝Δt＋5. 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔvt 趋近于常数 5. ∴物体在 t＝2 时的瞬时加速度为 5.
PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 称为曲 线在点 P 处的切线．
瞬时速度，瞬时加速度
问题 1：探究在 y＝12gt2 中，怎样求在 t＝3 这一时刻的速度？ 提示：物体在 t＝3 临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在 t＝3 这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt]，在这段时间 Δt 内，物体位置的改变量 Δs＝12g(3＋Δt)2－12g·32＝g2(6＋Δt)Δt， 相应的平均速度 v ＝ΔΔst＝g26＋ΔΔt tΔt＝g2(6＋Δt)．
数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”
几何 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念
(1)导函数的定义：
若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是 自变量 x 的函数，该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ．
Δt
，
如果 Δt 无限趋近于 0 时，vt0＋ΔΔtt－vt0无限趋近于一个常数，那么这 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对
于时间的瞬时变化率．
导数的概念
在庆祝建国 60 周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以 “零米零秒”的误差通过天安门上空．
问题 1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题 2：瞬时变化率是导数吗？ 提示：是．
3．求曲线 C：y＝13x3＋43在 x＝2 处的切线方程． 解：把 x＝2 代入 y＝13x3＋43，得 y＝4，所以切点为 P(2,4)，又ΔΔxy＝132＋Δx3＋Δ43x－13×23－43＝4＋ 2Δx＋13(Δx)2，当 Δx 趋近于 0 时，ΔΔxy趋近于 4. 即切线斜率 k＝4.所以所求切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4 ＝0.
法二：Δy＝x＋1Δx2＋2－(x12＋2) ＝－2xx＋ΔΔx－x2·Δxx2 2， ∴ΔΔxy＝－x＋2xΔ－xΔ2·xx2. ∴f′(x)＝－x23. ∴f′(1)＝－2.
[一点通] 求函数在 x＝x0 处的导数的方法： 确定 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数．一般有两种方法，一是应 用导数定义法，二是导函数的函数值法，求解时，Δy 要求准 确，Δx 可正可负．
∴ΔΔxy＝2Δx－2Δ＋xΔx＋ΔΔxx＝22－＋1Δx＋1. 当 Δx 无限趋近于零时，ΔΔxy无限趋近于34， 即点 A 处的切线的斜率是34. (2)切线方程为 y－52＝34(x－2)， 即 3x－4y＋4＝0.
[一点通] 根据曲线上一点处的切线的定义，要求曲线过某 点的切线方程，只需求出切线的斜率，即在该点处，Δx 无限趋 近于 0 时，ΔΔxy无限趋近的常数．
3．“函数 f(x)在点 x0 处的导数”“导函数”“导数”三者之间 的区别：“函数 f(x)在点 x0 处的导数”是一个数值，是针对 x0 而言 的，与给定的函数及 x0 的位置有关，而与 Δx 无关；“导函数”简记 为“导数”，是一个函数，它是对于一个区间而言的，是一个确定的 函数，依赖于函数本身，而与 x，Δx 无关．
2．已知曲线 y＝2x2＋4x 在点 P 处的切线的斜率为 16，则 P 点坐 标为________． 解析：设 P 点坐标为(x0，y0)，则fxx0＋0＋ΔΔxx－－fxx00＝ 2Δx2＋4Δxx0Δx＋4Δx＝4x0＋4＋2Δx. 当 Δx 无限趋近于 0 时，4x0＋4＋2Δx 无限趋近于 4x0＋4， 因此 4x0＋4＝16，即 x0＝3， 所以 y0＝2×32＋4×3＝18＋12＝30. 即 P 点坐标为(3,30)．
1．导数的概念
设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，
x0∈(a，b)，当 Δx 无限趋近于 0 时，比值ΔΔxy＝
定义 fx0＋Δx－fx0
导
________Δ_x_______无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在点 x
数
＝x0 处 可导 ．并称该常数 A 为函数 f(x)在点 x＝x0 处的导
在不引起混淆时，导函数 f′(x)也简称为 f(x)的导数． (2)f′(x0)的意义： f(x)在点 x＝x0 处的导数 f′(x0)就是导函数 f′(x)在点 x＝x0 处
的 函数值 ．
1．求曲线上一点处的切线的关键是利用割线逼近切线的方法求 出切线的斜率．
2．瞬时速度为位移函数相对于时间的瞬时变化率；瞬时加速度 是速度函数相对于时间的瞬时变化率．
问题 2：下表是 Δt 选取不同数值时相应的平均速度. Δt 2 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.02 0.01 v 4g 3.5g 3.25g 3.125g 3.05g 3.025g 3.01g 3.005g
上表的平均速度中最接近 t＝3 时这一时刻的速度的是哪一个？ 提示：Δt→0 时的平均速度即这一时刻的速度，v＝3.005 g.
6．求函数 y＝f(x)＝2x2＋4x 在 x＝3 处的导数． 解：法一：Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx)2＋4Δx＝2(Δx)2＋16Δx， ∴ΔΔxy＝2Δx2Δ＋x 16Δx＝2Δx＋16. 当 Δx→0 时，2Δx＋16→16. ∴f′(3)＝16.
y＝3x－3， 由y＝－13x－292，
得x＝16， y＝－52.
∴直线 l1 与 l2 的交点为16，－52， l1，l2 与 x 轴交点的坐标分别为(1,0)，－232，0， 故所求三角形的面积为 S＝12×235×－52＝11225.
[一点通] 解决与导数的几何意义有关的综合题时，其 关键是设出切点的横坐标，然后根据导数的几何意义，求出 切线斜率，写出切线方程，然后综合有关知识解答．
瞬时速度与瞬时加速度 要刻画物体在某一时刻的运动速度，通常先计算物体的位移 s(t)
的平均变化率
st0＋Δt－st0
Δt
，当
Δt
无限趋近于
0
时，st0＋ΔΔtt－st0无
限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时速度 ．
vt0＋Δt－vt0
一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率
问题 1：陡峭程度能反映山坡高度变化的快与慢吗？ 提示：能． 问题 2：从数学的角度如何量化曲线的“陡峭”程度呢？ 提示：用曲线的切线的斜率表示．
割线逼近切线的方法 设曲线 C 上有一点 P，Q 是曲线 C 上的另一点，则直线 PQ
称为曲线 C 的 割线 ；当点 Q 沿曲线 C 向点 P 运动时，割线 PQ 在点 P 附近越来越 逼近曲线 C .当点 Q 无限逼近点 P 时，直线
理解教材
新知 3.1.
3.1
2
第 3 章
导 数 的 概
瞬时 变化 率
把握热点 考向
念
导数
应用创新
演练
知识点一 知识点二 知识点三
考点一 考点二 考点三 考点四
3.1
导数的概念
3．1.2 瞬时变化率——导数
曲线上一点处的切线
你登过泰山吗？登山过程中，你会体验到“六龙过万壑”的雄 奇，感受到“会当凌绝顶，一览众山小”的豪迈，当爬到“十八盘” 时，你感觉怎样？
1．已知曲线 y＝2x3 上一点 A(1,2)，则 A 处的切线斜率等于________． 解析：∵y＝2x3， ∴ΔΔxy＝21＋ΔΔxx3－2·13 ＝2(Δx2＋3Δx＋3) ＝2(Δx)2＋6Δx＋6.
当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于常数 6， 因而 A 处切线斜率为 6. 2] 以初速度 v0(v0>0)竖直上抛的物体，经过时间 t 高度为 s(t)＝v0t－12gt2.求物体在 t0 时刻的瞬时速度．
[思路点拨] 先求 Δs，再根据定义，当 Δt→0 时，ΔΔst趋近于常 数来求．
[精解详析] 由已知得： Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0－12g t20 ＝(v0－gt0)Δt－12g(Δt)2， ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 v0－gt0. 物体在时刻 t0 时的瞬时速度为 v0－gt0.
求函数在某点处的导数
[例 3] 求函数 f(x)＝x12＋2 在点 x＝1 处的导数． [思路点拨]
法一：
求Δy
―→
Δy Δx
―→
Δx→0
―→
得导数
法二： 求导函数 ―→ 求导函数的函数值
[精解详析] 法一：由已知得 Δy＝1＋1Δx2＋2－112＋2 ＝1＋1Δx2－1＝－Δ1＋x2Δ－x22Δx， ∴ΔΔxy＝－1＋2－ΔxΔx2. ∴Δx→0 时，ΔΔxy→－2. ∴f′(1)＝－2.
求曲线上一点的切线及斜率
[例 1] 已知曲线 y＝x＋1x上的一点 A2，52，用切线斜率定 义求：
(1)点 A 处的切线的斜率； (2)点 A 处的切线方程． [思路点拨] 先计算f2＋ΔΔxx－f2，再求其在 Δx 趋近于 0 时无限逼近的值．
[精解详析] (1)∵Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2＋Δx＋2＋1Δx－ 2＋12＝2－2＋ΔΔxx＋Δx，
[一点通] (1)求瞬时速度的步骤： ①求位移增量 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)； ②求平均速度－v ＝ΔΔst； ③求瞬时速度：当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔst趋近于 v. (2)求瞬时加速度的步骤与上述求瞬时速度的步骤类似．
4．一做直线运动的物体，其位移 s 与时间 t 的关系是 s＝3t－t2，则此 物体在 t＝2 时的瞬时速度为________．
导数的几何意义及其综合应用
[例 4] 已知直线 l1 为曲线 y＝x2＋x－2 在点(1,0)处的切线， l2 为该曲线的另一条切线，且 l1⊥l2，求由直线 l1、l2 和 x 轴所围 成的三角形的面积．
[思路点拨] 解答本题可先求 l1、l2 的方程，并求其交点， 然后求围成的三角形面积．
[精解详析] ΔΔxy＝x＋Δx2＋x＋ΔΔxx－2－x2－x＋2 ＝2x·Δx＋ΔΔxx2＋Δx＝2x＋Δx＋1， ∵Δx→0 时，2x＋Δx＋1→2x＋1，∴f′(x)＝2x＋1， 由题意知，(1,0)在曲线上， ∴f′(1)＝2＋1＝3，l1 的方程为 y＝3x－3. 设 l2 过曲线上的点(b，b2＋b－2)，∴f′(b)＝2b＋1， 则 l2 的方程为 y＝(2b＋1)x－b2－2. 由 l1⊥l2，得 2b＋1＝－13，b＝－23， ∴l2 的方程为 y＝－13x－292.
法二：ΔΔxy＝2x＋Δx2＋4xΔ＋xΔx－2x2＋4x ＝4x·Δx＋2ΔΔxx2＋4Δx＝4x＋2Δx＋4， 当 Δx→0,4x＋2Δx＋4→4x＋4， ∴f′(x)＝4x＋4， ∴f′(3)＝4×3＋4＝16.
7．已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6，求 a 的值． 解：ΔΔxy＝f1＋ΔΔxx－f1 ＝a1＋Δx2＋2Δ1x＋Δx－a＋2 ＝a·Δx2＋Δ2xa＋2·Δx ＝a·(Δx)＋2(a＋1)． 当 Δx→0 时，ΔΔxy→2a＋2，∴f′(1)＝2a＋2. 由条件知 f′(1)＝6， ∴2a＋2＝6，∴a＝2.
解析：由于 Δs＝3(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－22) ＝－Δt－(Δt)2， 所以ΔΔst＝－Δt－ΔtΔt2＝－1－Δt. 当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数－1. 故物体在 t＝2 时的瞬时速度为－1. 答案：－1
5．已知物体运动速度 v 与时刻 t 的关系为 v(t)＝t2＋t.求物体在 t＝ 2 时的瞬时加速度． 解：∵Δv＝(2＋Δt)2＋(2＋Δt)－(22＋2)＝(Δt)2＋5Δt， ∴ΔΔvt ＝Δt＋5. 当 Δt 趋近于 0 时，ΔΔvt 趋近于常数 5. ∴物体在 t＝2 时的瞬时加速度为 5.
PQ 最终就成为在点 P 处最逼近曲线的直线 l，这条直线 l 称为曲 线在点 P 处的切线．
瞬时速度，瞬时加速度
问题 1：探究在 y＝12gt2 中，怎样求在 t＝3 这一时刻的速度？ 提示：物体在 t＝3 临近时间间隔内的平均速度可以看做物体在 t＝3 这一时刻速度的近似值．取一小段时间[3,3＋Δt]，在这段时间 Δt 内，物体位置的改变量 Δs＝12g(3＋Δt)2－12g·32＝g2(6＋Δt)Δt， 相应的平均速度 v ＝ΔΔst＝g26＋ΔΔt tΔt＝g2(6＋Δt)．
数，记作f′(x0)．可用符号“→”表示“无限趋近于”
几何 导数 f′(x0)的几何意义就是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0)) 意义 处的 切线的斜率
2．导函数的概念
(1)导函数的定义：
若 f(x)对于区间(a，b)内 任一点都可导，则 f(x)在各点的导数 也随着自变量 x 的变化而变化，因而也是 自变量 x 的函数，该函数 称为 f(x)的导函数，记作 f′(x) ．
Δt
，
如果 Δt 无限趋近于 0 时，vt0＋ΔΔtt－vt0无限趋近于一个常数，那么这 个常数称为物体在 t＝t0 时的 瞬时加速度 ，瞬时加速度就是 速度 对
于时间的瞬时变化率．
导数的概念
在庆祝建国 60 周年阅兵式上，最后出场的教练机梯队以 “零米零秒”的误差通过天安门上空．
问题 1：通过天安门上空那一时刻的速度用什么描述？ 提示：瞬时速度． 问题 2：瞬时变化率是导数吗？ 提示：是．