2020年浙江高三二模数学试卷
浙江省2020版高考数学二模试卷(I)卷
浙江省2020版高考数学二模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共15分)1. （1分） (2016高一上·鼓楼期中) 已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩B=________．2. （2分） (2019高三上·浙江月考) 若复数（为虚数单位），则 ________，的共轭复数 ________．3. （1分）(2016·江西模拟) 运行如图语句，则输出的结果T=________．4. （1分） (2016高一下·龙岩期中) 如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是[20.5，26.5]．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为________．5. （1分）从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.6. （1分） (2019高二上·荔湾期末) 抛物线的焦点为，为抛物线上一点，为坐标原点．△的外接圆与抛物线的准线相切，则此外接圆的半径为________．7. （1分） (2015高二上·承德期末) 已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥底面ABCD，△PAD为正三角形，AB=2AD=4，则球O的表面积为________．8. （1分）函数y=的定义域是________9. （1分） (2016高二上·呼和浩特期中) 在等差数列{an}中，a8=8，则S15的值为________．10. （1分）(2020·丹阳模拟) 圆心在抛物线上，并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程为________.11. （1分） (2016高三上·无锡期中) 已知向量，满足| |=2，| |=1，| ﹣2 |=2 ，则与的夹角为________．12. （1分） (2019高三上·上海期中) 中，角的对边分别为，重心为，若则 ________.13. （1分）已知函数f（x）=x3+mx+ ，g（x）=﹣lnx，min{a，b}表示a，b中的最小值，若函数h（x）=min{f（x），g（x）}（x＞0）恰有三个零点，则实数m的取值范围是________．14. （1分） (2019高三上·成都月考) 已知函数，有下列说法：①函数对任意，都有成立；②函数在上单调递减；③函数在上有3个零点；④若函数的值域为，设是中所有有理数的集合，若简分数（其中，为互质的整数），定义函数，则在中根的个数为5；其中正确的序号是________（填写所有正确结论的番号）.二、解答题： (共12题；共100分)15. （5分）已知sin（+α）sin（﹣α）= ，α∈（，π），求sin4α．16. （5分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，O为AC与BD的交点，E为PB上任意一点．（I）证明：平面EAC⊥平面PBD；（II）若PD∥平面EAC，并且二面角B﹣AE﹣C的大小为45°，求PD：AD的值．17. （10分）(2016·天津文) 设椭圆 1（a＞）的右焦点为F，右顶点为A，已知，其中O为原点，e为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A的直线l与椭圆交于B（B不在x轴上），垂直于l的直线与l交于点M，与y轴交于点H，若BF⊥HF，且∠MOA=∠MAO，求直线l的斜率．18. （5分）(2017·崇明模拟) 在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A．某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45°且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45°+θ（其中sinθ= ，0°＜θ＜90°）且与点A相距10 海里的位置C．（Ⅰ）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（Ⅱ）若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．19. （10分）(2019·天河模拟) 已知函数，．（1）求函数的单调区间和极值；（2）设，且、是曲线上的任意两点，若对任意的，直线AB的斜率恒大于常数m，求m的取值范围．20. （10分）已知数列{an}的前n项和为Sn ， a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．（1）证明：an+2﹣an=λ；（2）若{an}为等差数列，求λ的值．21. （5分）如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；（Ⅱ）若QP=QF= ，求PF的长．22. （10分） (2019高三上·南京月考) 已知，向量是矩阵的属于特征值-3的一个特征向量.（1）求矩阵的另一个特征值；（2）求矩阵的逆矩阵 .23. （10分）(2020·广州模拟) 已知曲线的参数方程为为参数，曲线的参数方程为为参数).（1）求与的普通方程；（2）若与相交于，两点，且，求的值.24. （10分）已知函数f（x）=2|x﹣2|+3|x+3|．（1）解不等式：f（x）＞15；（2）若函数f（x）的最小值为m，正实数a，b满足4a+25b=m，证明： + ≥ ．25. （10分） (2017高二下·湖北期中) 如图是从成都某中学参加高三体育考试的学生中抽出的40名学生体育成绩（均为整数）的频率分布直方图，该直方图恰好缺少了成绩在区间[70，80）内的图形，根据图形的信息，回答下列问题：（1）求成绩在区间[70，80）内的频率，并补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）；（2）从成绩在[80，100]内的学生中选出三人，记在90分以上（含90分）的人数为X，求X的分布列及数学期望．26. （10分）祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商在第一年初到大陆创办一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第七年开始，每年初M的价值为年初的75%．（1）求第n年初M的价值an的表达式；（2）设An= ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：必须在第九年初对M更新．参考答案一、填空题： (共14题；共15分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题： (共12题；共100分)15-1、16-1、17-1、17-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、25-1、25-2、26-1、26-2、。
2020届浙江省浙北四校高三下学期二模数学试题(解析版)
2020届浙江省浙北四校高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知U =R ，{|02}A x x =<<，2{|230}B x x x =+-，则UA B =（ ）A ．∅B ．{|01}x x <<C ．{|02}x x <<D ．{|1x x 或3}x -【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行补集和交集的运算即可. 【详解】解：U R =，{|02}A x x =<<，{|3B x x =-或1}x ， {|31}U B x C x ∴=-<<，(){|01}U A C B x x ⋂=<<.故选：B . 【点睛】本题考查了描述法的定义，以及交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题.2．双曲线22194y x -=的离心率是（ ）A B ．3C ．2D ．3【答案】D【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，由离心率公式ce a=，计算可得所求值. 【详解】解：双曲线22194y x -=的3a =，2b =，c =，则c e a ==故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查运算能力，属于基础题.3．已知函数241y x x =-+的定义域为[]1,t ，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为-5，则实数t 的取值范围是（ ） A ．(1,3] B ．[2,3] C ．(1,2] D ．(2,3)【答案】B【解析】∵ 函数241y x x =-+∴函数241y x x =-+是开口向上，对称轴为2x =的抛物线∵函数241y x x =-+的定义域为[]1,t∴当1x =时，2y =-，当2x =时，3y =- ∵函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为-5 ∴当2y =-时，1x =或3x = ∴23t ≤≤ 故选B4．若实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，则22x y +的取值范围是（ ）A ．1[,13)2B ．1[,13)4C ．5[,13) D ．1[,13)5【答案】D 【解析】【详解】根据实数,x y 满足121x y y x -+<⎧⎨≥-⎩，画出可行域如图所示22x y +表示可行域内的点与坐标原点O 距离的平方，O 与直线AB ：210x y +-=5=， O 与(2,3)C∵可行域不包含(2,3)C ∴21135r ≤<，即22x y +的取值范围是1[,13)5故选：D 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围. 5．已知点52,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线(,)by ax a b R x =+∈上，且该曲线在点A 处的切线与直线4310x y +-=垂直，则方程20x ax b ++=的实数根的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．不确定【答案】A【解析】∵点52,?2A ⎛⎫⎪⎝⎭在曲线(),b y ax a b R x =+∈上∴5222b a += ∵曲线在点A 处的切线与直线4310x y +-=垂直 ∴2b y a x'=-，则344b a -= ∴5222{344b a b a +=-=∴11a b =⎧⎨=⎩∴方程20x ax b ++=为210x x ++= ∵214130∆=-⨯=-<∴方程的实数根的个数为0个 故选A6．已知随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-，若203x <<，则随x 增大（ ） A ．()E ξ增大()D ξ增大 B ．()E ξ减小()D ξ增大 C ．()E ξ减小()D ξ减小 D ．()E ξ增大()D ξ减小【答案】C【解析】利用()E ξ，()D ξ的计算公式求出，再利用函数的单调性即可判断出结论. 【详解】 解：随机变量ξ满足1(0)3P ξ==，()1P x ξ==，2(2)3P x ξ==-， 124()012()333E x x x ξ∴=⨯+⨯+-=-，222224144218111()(0)(1)(2)()()3333339612D x x x x x x x x ξ=-+⨯+-++-+-=--+=-++.若203x <<，则随x 增大，()E ξ减小，()D ξ减小. 故选：C. 【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的求法，考查运算求解能力，属于基础题.7．若ABC 的边BC 上存在一点M （异于B ，)C ，将ABC 沿AM 翻折180︒后使得0AB CM =，则必有（ ） A ．90B <︒ B ．90B ≥︒C ．90C <︒D ．90A <︒【答案】A【解析】只要考虑ABM 翻折180︒后，AB 能否垂直于CM ，由此利用排除法能求出结果. 【详解】解：由0AB CM =可得只要考虑ABM 翻折180︒后，AB 能否垂直于CM ， 当090B ≥时，如图：若1AB CM ⊥， 则90P，又090B ≥，这样ABP △的内角和超过180，故不存在M 点，排除B ；当90C <且90B ︒时，也不存在M 点，排除C ； 当90A <且90B ︒时，就不存在点M 点，排除D. 对于A ，当90B <︒，如图：存在一点M （异于B ，)C ，将ABC 沿AM 翻折后使得1AB CM ⊥． 故选：A. 【点睛】本题考查垂直关系的向量表示，考查化归与转化思想，是基础题. 8．已知函数(){|2|f x min x x a =-，22684}(1)x ax a a -++>，其中,(,),p p q min p q q p q≤⎧=⎨>⎩，若方程9()4f x =恰好有3个不同解1x ，2x ，3123()x x x x <<，则12x x +与3x 的大小关系为（ ） A ．123x x x +> B ．123x x x +=C ．123x x x +<D ．不能确定【答案】D【解析】写出函数的解析式22222,21()2,221684,2x ax x a f x x ax a x a a x ax a x a a ⎧⎪-+⎪⎪=-<+⎨⎪⎪-++>+⎪⎩，作出图象，数形结合，对a 的范围分情况讨论，结合图象进行定性分析，即可求出结果. 【详解】解： 因为222,222,2x ax x ax x a x ax x a⎧->-=⎨-+≤⎩，1a > 当2x a ≤时，()()222222684240x ax a x ax x a -+-=----+<+，即2228426x x x a a ax -+-<++，当2x a >时，()22226848424x a x a a a x x a x -++--=--， 若24840ax a -->，则12x a a>+，2228426x x ax ax a -+>+-， 若24840ax a --≤，则12x a a≤+，2228426x x ax ax a -+≤+-， 又122a a a+>， 22222,21()2,221684,2x ax x a f x x ax a x a a x ax a x a a ⎧⎪-+⎪⎪∴=-<+⎨⎪⎪-++>+⎪⎩，又f （a ）2a =（极大值）；(2)0f a =（极小值）；211(2)2f a a a+=+（极大值）；2(3)4f a a =-（极小值）. 要使9()4f x =恰好有3个不同解，结合图象得：①当9()49(3)4f a f a ⎧>⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，即2294944a a ⎧>⎪⎪⎨⎪->⎪⎩时，解得32a a ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩不存在这样的实数a .②当9()49(3)419(2)4f af af aa⎧<⎪⎪⎪<⎨⎪⎪+>⎪⎩，即222949441924aaa⎧<⎪⎪⎪-<⎨⎪⎪+>⎪⎩时，解得7322a<<；此时1231223a x a x a xa<<+<<<，又因为2x与3x关于3x a=对称，321332x a a x a a x∴-=-<<<.3124x a x x∴<<+.③当9()419(2)4f af aa⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，即22941924aa⎧>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩时，解得2a>.此时，1x，2x是方程2924x ax-+=的两实根，所以122x x a+=，而33x a>，所以123x x x+<，故选：D.【点睛】本题主要考查了函数的零点的判断方法，一般是结合端点处函数值、极值以及最值的取值情况进行分析，同时考查学生利用函数与方程思想、数形结合思想解决问题的能力，属于较难的题目.9．空间向量1OB ，2OB ，3OB 两两垂直，123||||||1AB AB AB ===，123OP OB OB OB =++，1||2AP ≤，则||OA ∈（ ）A ．[4B ．C ．[6 D ．[7 【答案】A【解析】将222123AB AB AB ++用(1i OA OB i =和，2，3)来表示，根据已知条件进行化简，构造不等式求解即可. 【详解】解：由题意222123AB AB AB ++222123()()()OB OA OB OA OB OA =-+-+-222212312332()()OA OA OB OB OB OB OB OB =-⋅+++++22212312312332122()()()2OA OA OA OB OB OB OB OB OB OB OB OB OB OB OB =+-⋅++++⋅++-+⋅⋅221232[()]OA OA OB OB OB =+-++2223OA AP =+=，又10||2AP ≤≤， ∴223113,282AP OA -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，∴22||OA ⎡∈⎢⎣⎦. 故选：A. 【点睛】本题考查向量的运算和几何性质，注意转化与化归思想在解题中的应用，属于中档题. 10．数列{}n x 满足：112x <<，1sin(1)(*)n n n x x x n N +=--∈，数列前n 项和为n S ，则以下说法正确个数是（ ） ①112n n x x +<<<；②2111(1)16n n n x x x +-<--； ③65n S n <+； ④n S n ≥. A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】在①中，用数学归纳法证明；在②中，当01x <<时，3sin 6x x x >-，由此能推导出2111(1)16n n n x x x +-<--；在③中，由31111(1)(1)66n n n x x x +-<-<-，111111()(1)()66n n n x x ----<，从而111()6n n x -<+，由此推导出65n S n <+，在④中，由12n x <<，得n S n >.【详解】解：在①中，用数学归纳法求证：当1n =时，112x <<，成立，假设12k x <<， 则一方面1sin(1)2k k k k x x x x +=--<<， 另一方面由于01x <<时，sin x x <， ∴ 1sin(1)0k k n x x x +=--<， ∴ 112n n x x +<<<，故①正确；在②中，由于当01x <<时，令()3sin 3!x h x x x =-+，则()()21'cos 1,''sin 2h x x x h x x x =-+=-+， 由于01x <<时，sin x x <，故()''0h x >，()'h x 在01x <<单调递增，()'00h =，所以()3sin 3!x h x x x =-+在01x <<上单调递增，故()()00h x h >=，所以3sin 3!x x x >-，即3sin 6x x x >-，则31(1)11sin(1)1[(1)]6n n n n n n x x x x x x +--=---<----，∴2111(1)16n n n x x x +-<--，故②正确；在③中，由于31111(1)(1)66n n n x x x +-<-<-，∴ 1111()(1)6n n x x --≤-，∴ 111111()(1)()66n n n x x ---≤-<，∴ 111()6n n x -<+，∴ 11661516n n S n n -<+<+-，故③正确； 在④中，12n x <<，n S n ∴>，故④正确. 故选：D . 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.二、双空题11．已知,a b ∈R ，复数z a i =-且11zbi i=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________．【答案】6ab =-z =【解析】∵复数z a i =-且11zbi i=++ ∴()(1)(1)(1)1122a i a i i a a ibi i -----+===++ ∴112{12a a b -=+-=∴3{2a b ==- ∴6ab =-，z ==故答案为6-12．已知多项式(2)(1)m n x x ++=2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=__________．【答案】5 72 【解析】∵多项式()()21mnx x ++= 2012m n m n a a x a x a x ++++++满足01416a a ==，∴令0x =，得0214m na ⨯==，则2m =∴2(2)(1)(44)(1)m n nx x x x x ++=+++∴该多项式的一次项系数为11414116n n n n n n C C --+=∴13n nC -=∴3n = ∴5m n +=令1x =，得23012(12)(11)72m n a a a a ++⨯+=+++⋅⋅⋅+=故答案为5，7213．给如图染色，满足条件每个小方格染一种颜色，有公共边的小方格颜色不能相同，则用4种颜色染色的方案有__种，用5种颜色染色的方案共有__种.【答案】252 1040【解析】利用分步计数原理先从上方的小方格A 、B 开始染色，再从下方C 开始利用分类计数原理染色，直至对小方格E 染色完毕，就可求出结果. 【详解】解：（1）根据题意，若用4种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1143C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1122C C 种；②当C 同A 时，有111322C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有111232()C C C +种； 综合①②③共有11111111114322322232[()]252C C C C C C C C C C ++++=种； （2）根据题意，若用5种颜色染色时，先对A 、B 区域染色有1154C C 种，再对C 染色：①当C 同B 时，有1133C C 种；②当C 同A 时，有111433C C C +种；③当C 不同A 、B 时，有11113423()C C C C +种； 综合①②③，共有1111111111154334333423[()]1040C C C C C C C C C C C ++++=种. 故答案为：252；1040. 【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理与分类计数原理的应用，属于中档题. 14．若不等式2||1ax bx c ++对于[1x ∀∈-，1]上恒成立，则||||||a b c ++的最大值是__，若2||1ax bx c ++对于[0x ∀∈，1]上恒成立，则2||3||4||a b c ++的最大值是__. 【答案】3 44【解析】对第一问，可令0x =，1x =-，1x =，得到绝对值不等式，通过绝对值的性质和可加性，可得所求最大值； 对第二问，可令0x =，1x =，12x =，通过绝对值不等式的性质和可加性，化简变形可得所求最大值. 【详解】解：对第一问，令()2f x ax bx c =++，将0x =，1x =-，1x =代入得()()()110f a b c f a b c f c ⎧=++⎪-=-+⎨⎪=⎩可得()()()()()()11021120f f a f f f b c f ⎧+-=-⎪⎪⎪--=⎨⎪=⎪⎪⎩，()()()()()()11110022||||||f f f b c f f f a +-∴--++≤+++()()()()()()11111202f f f f f =+-+--+ 令()()()()11,11A f f B f f =+-=--，∴当()()021220212AB A B f A B AB A B f ⎧≥⇒+=≤⎪⇒+≤⎨<⇒+=-≤⎪⎩，而()||01c f =≤，()()11||||||2012322a b c A B f ∴++≤++≤⨯+=， 当且仅当()()()1101f f f =-=-=±，即2,0,1a b c ===-或2,0,1a b c =-==时取等号，∴||||||a b c ++的最大值是3；对第二问，令()2f x ax bx c =++，将1x =，12x =，0x =代入得()()111124201f a b c a bf c f c ⎧=++≤⎪⎪⎛⎫=++≤⎨⎪⎝⎭⎪⎪=≤⎩可得()()()()()()()()()()112120+4821204221113041+304822001a f f f a f f f b f f f b f f fc f c f ⎧⎛⎫⎧⎛⎫≤+≤=+-⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎛⎫=--+⇒≤+≤⎨⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎪⎪==≤⎪⎪⎩⎪⎩， 2||3||4||28+38+41=44a b c ∴++≤⨯⨯⨯，当且仅当()()11012f f f ⎛⎫==-=±⎪⎝⎭， 即8,8,1a b c ==-=或8,8,1a b c =-==-时取等号，∴2||3||4||a b c ++的最大值是44.故答案为：3，44. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，考查绝对值不等式的性质和不等式的可加性，考查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题.三、填空题15．已知函数()ln (0,)x f x x x t x t R =-+>∈，若函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，则t 的取值范围是__. 【答案】(],2-∞【解析】先对函数求导，结合导数可求函数()f x 的单调性，进而可求函数()f x 的值域，再根据函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，列不等式求解即可. 【详解】解：由题意可知()ln ln x f x x x t x x x t =-+=-+，()ln f x x '=， 易得()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故当1x =时，函数()f x 取得最小值()11f t =-，即函数()f x 的值域[1t -，)+∞， 因为数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域，则11t -≤，即2t ≤， 综上2t ≤.故答案为： (],2-∞. 【点睛】本题考查了函数的概念及简单复合函数的导数的应用，属于中档题.16．已知椭圆22:14y E x +=，圆222:(12)C x y r r +=<<，则椭圆E 与圆C 的公切线段PQ 长的最大值为__.【答案】1.【解析】设直线PQ 的方程为y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，分别联立直线方程与椭圆方程和直线方程，求出P ，Q 点的横坐标，代入弦长公式即可求得椭圆E 与圆C 的公切线段PQ 长的最大值. 【详解】解：设直线PQ 的方程为y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立2214y kx my x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222(4)240k x kmx m +++-=.由△222244(4)(4)0k m k m =-+-=， 得224m k =+，∴1222(4)km kx k m-==-+.联立222y kx mx y r=+⎧⎨+=⎩，得2222(1)20k x kmx m r +++-=. 由△2222244(1)()0k m k m r =-+-=， 得222(1)m r k =+，22222(1)km kr x k m=-=-+.2222212(1)||1||1||1||k kr k r PQ k x x k k m m m-∴=+-=+-+=+.2222222222222222(1)14(1)(4)4||(1)(1)5()1k r r r r PQ k r r m r r r r ----∴=+=-==-+-，12r <<，∴当22r =时，2||5(22)1max PQ =-+=，∴当2r =时，||1max PQ =.故答案为：1. 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题.17．在棱长为6的正三棱锥P ABC -中，D 为棱PA 上一动点，E 为BC 上一动点，且满足32AD BE =，则线段DE 的中点Q 的运动轨迹的测度||L 为__(L 为曲线、平面图形、几何体时，||L 分别对应长度、面积、体积）.13【解析】把正三棱锥P ABC -补形为四棱锥C PABF -，取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，取AB 的中点M ，EG 中点N ，连接QM ，QN ，作//HF GE 交BC （或其延长线）与H ，取FH 的中点K ，根据棱锥的几何特征，可得到线段DE 的中点Q 的轨迹为线段.再根据正三棱锥的性质及勾股定理即可求得||L ． 【详解】 解：如图：把正三棱锥P ABC -补形为四棱锥C PABF -，使四边形PABF 为平行四边形， 取BF 的中点G ，连接DG ，EG ，取AB 的中点M ，EG 中点N ，连接QM ，QN ，则四边形QMBN 为平行四边形， 作//HF GE 交BC （或其延长线）与H ，取FH 的中点K ，32AD BE =，32BG BE =又FBC ∠为确定的角，故GBEFBH ，N ∴在线段BK 上，Q ∴在平行于BK 的一条直线上所以线段DE 的中点Q 的轨迹为线段. 当E 运动到B 点时，Q 点为线段AB 的中点M 当E 运动到C 点时，如图：234BG AD BC ===， 由正三棱锥的性质，可知PA BC ⊥，所以BG BC ⊥， 所以2264||132GE L BN +====13【点睛】本题考查考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力与思维能力，考查学生灵活分析问题与解决问题的能力，属难题.四、解答题18．ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 3C c =-. （1）求tan2B∠的值： （2）若2CA CB CM +=，且||26CM =，求ABC 面积的最大值. 【答案】（1）2；（2）24+【解析】（1）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，转化求解即可； （2）利用余弦定理，以及三角形的面积公式转化求解即可. 【详解】解：（1）ABC中，cos 3C c =-，由正弦定理得，cos 3sin B C A C =-，即cos )3sin B C B C C =+-；所以0sin 3sin B C C =-； 又(0,)C π∈，所以sin 0C ≠，所以cos B =又(0,)B π∈， 所以6B π=，所以21sin2sin cossin 222tan 221cos cos 2cos 22B B B B B B B B ======+（2）由2CA CB CM +=，所以M 为AB 中点，如图所示； 在BMC △中，由余弦定理得2222cos CM BM BC BM BC B =+-⋅⋅，则22242BM BC BC BM BC BC =+⋅≥⋅⋅，所以24(2BM BC ⋅≤=+，当且仅当BM BC =时等号成立； 所以1122sin 24(23)2412322ABCBCMSSBC BM B ==⨯⋅⋅≤+⨯=+，所以ABC 面积的最大值为24123+.【点睛】本题考查三角形的解法和正弦定理、余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题.19．如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C 是菱形，111AC B C ⊥，1AC 与1A C 交于点O .（1）求证：1AO A B ⊥；（2）已知130BAC ∠=︒，1123AC AC =，求二面角1A A B C --的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】（1）在11AAC C 中，由已知可得1AO AC ⊥，又111AC B C ⊥，11//B C BC ，可得AO BC ⊥，利用线面垂直的判定可得AO ⊥平面1A BC ，进一步得到1AO A B ⊥； （2）在平面1A BC 内作1OH A B ⊥于H ，连接AH ，由AO ⊥平面1A BC ，1OH A B ⊥，可得1A B AH ⊥，即AHO ∠为二面角1A A B C --的平面角，设12A C =，然后求解三角形得答案.【详解】（1）证明：在11AAC C 中，1AC 与1A C 交于点O ，1AO AC ∴⊥，又111AC B C ⊥，11//B C BC ，AO BC ∴⊥， 且1A C 、BC ⊂平面1A BC ，1A CBC C =，AO ∴⊥平面1A BC ，则1AO A B ⊥；（2）在平面1A BC 内作1OH A B ⊥于H ，连接AH ，AO ⊥平面1A BC ，1OH A B ⊥，1A B AH ∴⊥，AHO ∴∠为二面角1A A B C --的平面角，设12A C =，则13AC =，11∴=AO ，32AO =. 130BAC ∠=︒，12OH ∴=. 32tan 312AO AHO HO ∴∠===.【点睛】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角的求法，关键是找到二面角的平面角，是中档题. 20．已知数列{}n a ，132a =，2154a =，若数列{}12n n a a +-、{}12n n a a +-都是等比数列，公比分别是1q 、()212q q q ≠，设n S 是数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，数列{}n b 是()cos 1x f x e x =-的零点按从小到大的顺序排成的数列.（1）求数列{}n a 的通项公式，并证明：43n S <； （2）证明：k N *∀∈，有23322222k k b k k πππππ--<<-. 【答案】（1）122nn na =-，证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】（1）由数列{}12n n a a +-，{}12n n a a +-的公比分别为1q 、2q ，写出等比数列{}12n n a a +-，{}12n n a a +-的通项公式，联立求得1q 、()212q q q ≠，则数列{}n a 的通项公式可求，由122221121121211111121221222n n n n n n n n a a a a -----=<⋅=⋅<⋅<<⋅--，然后利用等比数列的前n 项和证得答案；（2）先利用导数判断函数单调性，得到()f x 在()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭递增，()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭递减，再根据零点存在定理得到2k b 为函数()y f x =在()0,∞+内零点，且满足()2732242k k b k k N ππππ*-<<-∈，最后利用分析法把要证的不等式转化为证明322232sin 10222k kf k e k k πππππππ--⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭即可，然后结合函数放缩证明即可. 【详解】（1）因为数列{}12n n a a +-、{}12n n a a +-的公比分别为1q 、2q ，所以()()111211111121223224226n n n nn n n n a a a a q q a a a a q q --+--+⎧-=-=⎪⎨⎪-=-=⎩①②， 2⨯②-①得11121144n n n a q q --+=-，③；②2-⨯①得1121122n n n a q q --=-，④. 2154a =，由④可得221115224a q q =-=，121542q q ∴=-.又分别又③④可得2232121114242a q q q q =-=-，联立122221211542114242q q q q q q ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可得22229100q q -+=， 解得12122q q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或125252q q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（不合题意，舍去）. 由④得122nn na =-. 因为12222111211212111111212122122232n n n n n n n n n a a a a ------=<⋅=⋅<⋅<<⋅=⋅--， 所以11121124142111322332312n n n n S --⎛⎫⎛⎫≤+++=⋅=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-；（2）由题，()cos 10xf x e x =-=，故1cos 1x x e=≤，则0n b x =≥，显然10b =， 且()0cos 12n b n <≤≥，故点(),n n b 在第一、四象限，即2n≥时，32,22,2222n b k k k k πππππππ⎛⎫⎛⎫∈+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中k ∈N ，又()()cos sin sin 4xx f x ex x x π⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()0f x '>，可得()224k x k k Z ππππ-<-<∈，解得()32244k x k k Z ππππ-<<+∈； 令()0f x '<，可得()224k x k k Z ππππ<-<+∈，解得()52244k x k k Z ππππ+<<+∈. 所以，函数()y f x =在()32,244k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭递增，()52,244k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭递减.①当()32,222n b k k k N ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭时，32102f k ππ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，()222210k f k e ππππ++=->，所以，()0f x =有且只有一解； ②当()2,22n b k k k N πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭时，()2210k f k e ππ=-≥，2421042k f k ππππ+⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，2102f k ππ⎛⎫+=-< ⎪⎝⎭，故当()2,24n b k k k N πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，()0f x =无解； 当()2,242n b k k k N ππππ⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，()0f x =有且仅有一解. 综合①②可得：点()(),2n n b n ≥在第一、四象限交替出现，且10b =，故易得2k b 为函数()y f x =在()0,∞+内的零点，且满足()2732242k k b k k N ππππ*-<<-∈.（） （i ）当1k =时，显然有23204221b ππππ>>--=⨯，即202b π<<；（ii ）当2k ≥时，由函数()f x 的单调性可知，要证23722224k b k k k πππππ>--≥-， 只需322232sin 10222k kf k e k k πππππππ--⎛⎫--=-> ⎪⎝⎭即可， 令()xg x e ex =-，则()e e xg x '=-，当1x <时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.所以，函数()xg x e ex =-的单调递减区间为(),1-∞，单调递增区间为()1,+∞，所以，()()10g x g ≥=，即x e ex ≥， 所以，()()3222221222222k k ke k e ee e k k k k k πππππππππ---->≥-=⨯≥⨯>， 又令()sin h t t t π=-，其中102t <≤，则()cos 10h t t t π'=-<，所以，函数()y h t =在区间10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，则()111sin sin 02222g t t t g ππ⎛⎫=-≥=-=> ⎪⎝⎭， 又11022k <<，故1sin 22k kπ>， 故3222312sin 12102222k kf k e k k k k πππππππ--⎛⎫--=->⨯-= ⎪⎝⎭ 由33220222f k f k k πππππ⎛⎫⎛⎫--⨯-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知23322222kk b k k πππππ--<<-，2k ≥，综合（i ）、（ii ）和（）可知，k N *∀∈，23322222k k b k k πππππ--<<-. 【点睛】本题考查了等比数列通项及其求和公式，考查了数列放缩及函数放缩，考查了利用导数判断函数单调性，综合性比较大，属于难题.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其左、右焦点，椭圆上有相异两点A ，B ，O 为坐标原点.（1）若2a =，1b =，直线AB ，直线OA ，直线OB 的斜率满足2(0)ABOA OB AB k k k k >⋅=，当AOBS取得最大值时，试求直线AB 的方程.（2）若P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，△12F PF 的内心为Ⅰ，试求线段OI 的取值范围.【答案】（1）直线1:12AB y x =±；（2）2||[,),(bc c acOI c a c a c+∈=++. 【解析】（1）将2a =，1b =代入求得椭圆方程，设直线:AB y kx t =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，与椭圆联立，再由韦达定理得到1x ，2x 间的关系，结合题意可得12k =，由弦长公式可得||AB =d =1t =±，由此求得直线方程；（2）由焦半径公式可得10||PF a ex =+，20||PF a ex =-，由三角形内心性质可得112212||||||0PF IF PF IF F F IP ++=，根据平面向量的坐标运算可得1010,c cx x y y a a c==+，则00(,)c cI x y a a c+，进而求得2||OI ，再利用二次函数的性质可求得其取值范围，进而得解. 【详解】解：（1）由若2a =，1b =，可得椭圆22:14x C y +=.设直线:AB y kx t =+，0k >，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩联立可得：222(14)84(1)0k x ktx t +++-=，则222212221226416(14)(1)08144(1)14k t k t kt x x k t x x k ⎧⎪∆=-+->⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎩， 2AB OA OB k k k ⋅=，2222212121221212()44(1)y y k x x kt x x t t k k x x x x t +++-∴===-，得2224k t t =，要,,A O B 三点能形成三角形，则必有0t ≠，241k ∴=，又0k >，12k ∴=， 则1221222(1)x x tx x t +=-⎧⎨=-⎩ ||1AB =，点O 到直线AB 的距离d =221112||12222AOBt t S AB d t t +-∴=⋅===≤=，当且仅当222t t =-，即1t =±时取“=”，∴此时直线1:12AB y x =±；（2）设1(,0)F c -，2(,0)F c ，0(P x ，00)(0)y y ≠，1(I x ，1)y ，则1||PF =，又由2200221x y a b +=，得()2222002b y a x a=-10||cPF a x a==+， 同理20||c PF a x a=-现在证明O 为ABC 的内心，则0aOA bOB cOC ++= 证明：AB ACc b、分别为AB AC 、方向上的单位向量， ∴AB ACc b+平分BAC ∠, ∴(AO λ=AB ACc b +)， 同理：()BC BABO u a c=+ 11(()[()]())BC BA u AB AO OB u AB AC a c c a c AB AC u bc a b λλλ=+=+++--++= 11()10u c a cu a b λλ⎧++=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得a u b λ=，代入11()1u c a c λ++=解得bc a b c λ=++， ∴bc AO a b c =++（AB ACc b+) 化简得()0a b c OA bAB c AC ++++=，∴0aOA bOB cOC ++=，得证；又I 为△12PF F 的内心，则112212||||||0PF IF PF IF F F IP ++=，∴0110110101()(,)()(,)2(,)0a ex c x y a ex c c y c x x y y +--+----+--=，∴1010,c c x x y y a a c ==+，即00(,)c c I x y a a c+， ∴2322222222220000002222||()()()()(),(,)()()c c c c b c b c OI x y x b x x x a a a a c a a c a a a c a c =+=+-=+∈-++++，∴222222||,()()b c c ac OI a c a c +⎡⎫⎪⎢⎣++⎭∈，∴2||,(bc c ac OI c a c a c ⎡⎫+∈=⎪⎢++⎣⎭. 【点睛】本题涉及了椭圆的标准方程及其性质，弦长公式，点到直线的距离公式，基本不等式，三角形内心的向量表示等知识点，考查了转化与化归思想，考查化简求解能力，属于较难题目.22．已知函数()ln(1)ax f x e x =+，2()ln g x x a x=+-，其中a R ∈. （1）若函数()y f x =的图象与直线y x =在第一象限有交点，求a 的取值范围. （2）当2a <时，若()y g x =有两个零点1x ，2x ，求证：12432x x e <+<-. 【答案】（1）1(0,)2；（2）证明见解析.【解析】（1）根据题意设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-，问题转化为方程()0g x =，在(0,)+∞有解，求导，分类讨论①若0a ，②若102a <<，③若12a 时，分析单调性，进而得出结论.（2）运用分析法和构造函数法，结合函数的单调性，不等式的性质，即可得证. 【详解】解：（1）设()()(1)ln ax g x f x x e x x =-=+-， 则由题设知，方程()0g x =，在(0,)+∞有解，而1()()1[ln(1)]1()11axax g x f x e a x e F x x '='-=++-=-+. 设()()1ax h x e F x =-，则22221()[()()][(1)](n 1)l ax ax ax a h x e aF x F x e a x x +-'=+'=+++.①若0a ，由0x >可知01ax e <，且11()ln(1)111F x a x x x =++<++，从而()()10ax g x e F x '=-<，即()g x 在(0,)+∞上单调递减，从而()(0)0g x g <=恒成立，因而方程()0g x =在(0,)+∞上无解. ②若102a <<，则221(0)0(1)a h x -'=<+，又x →+∞时，()h x '→+∞， 因此()0h x '=，在(0,)+∞上必存在实根，设最小的正实根为0x ， 由函数的连续性可知，0(0,)x x ∈上恒有()0h x '<， 即()h x 在0(0,)x 上单调递减，也即()0g x '<，在0(0,)x 上单调递减，从而在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g '<'=， 因而()g x 在0(0,)x 上单调递减，故在0(0,)x 上恒有()(0)0g x g <=，即0()0g x ，注意到ax e ax >，因此()(1)ln(1)ln [ln(1)1]ax g x e x x ax x x x a x =+->+-=+-， 令1ax e=时，则有()0>g x ，由零点的存在性定理可知函数()y g x =在0(x ，1)a e 上有零点，符合题意. ③若12a时，则由0x >可知，()0h x '>恒成立，从而()h x 在(0,)+∞上单调递增， 也即()g x '在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)0g x g >=恒成立，故方程()0g x =在(0,)+∞上无解.综上可知，a 的取值范围是1(0,)2.（2）因为()f x 有两个零点，所以f （2）0<， 即21012ln a a ln +-<⇒>+，设1202x x <<<，则要证121244x x x x +>⇔-<， 因为1244x <-<，22x >， 又因为()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以只要证明121(4)()()0f x f x f x -<==， 设()()(4)g x f x f x =--(02)x <<，则222222428(2)()()(4)0(4)(4)x x x g x f x f x x x x x ----'='-'-=+=-<--， 所以()g x 在(0,2)上单调递减，()g x g >（2）0=，所以124x x +>，因为()f x 有两个零点，1x ，2x ，所以12()()0f x f x ==， 方程()0f x =即2ln 0ax x x --=构造函数()2ln h x ax x x =--， 则12()()0h x h x ==，()1ln h x a x '=--，1()0a h x x e -'=⇒=， 记12(1ln 2)a p e a -=>>+，则()h x 在(0,)p 上单调递增，在(,)p +∞上单调递减， 所以()0h p >，且12x p x <<， 设2()()ln ln x p R x x p x p-=--+，22214()()0()()p x p R x x x p x x p -'=-=>++，所以()R x 递增，当x p >时，()()0R x R p >=， 当0x p <<时，()()0R x R p <=， 所以11111112(2ln )x x p ax x lnx x p x p--=<++，即22111111(2)()22l l n n ax x p x px x p x p p -+<-++，211(2ln )(22ln )20p a x ap p p p x p +-+--++>，1(a p e -=，1)lnp a =-，所以21111(23)20a a x e x e --+-+>，同理21122(23)20a a x e x e --+-+<，所以2112111111(23)2(23)2a a a a x e x e x e x e ----+-+<+-+， 所以12121()[(23)]0a x x x x e --++-<， 所以12123a x x e -+<-+， 由2a <得：1122332a x x e e -+<-+<-， 综上：12432x x e <+<-. 【点睛】本题考查导数的综合应用，不等式的证明，关键是运用分类讨论，构造函数的思想去解决问题，属于难题.。
2020年6月浙江省绍兴市上虞区2020届高三下学期第二次教学质量调测(二模)数学试题及答案
绝密★启用前浙江省绍兴市上虞区普通高中2020届高三毕业班下学期第二次教学质量调测(二模)数学试题2020年6月参考公式：球的表面积公式24S R π=； 球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合{}22,A x x x R ==-∈，}2,1{=B ，则=B A IA ．}2,1,1{-B ．}2,1{C ．}1{D ．}2{ 2．设x ∈R ，则“11x<”是“1x >”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知等比数列{}n a 满足82=a ,144453-=a a a ,则=3aA ．2B ．2±C ．4D ．4±4．如图,某几何体的正视图是平行四边形,侧视图和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为A ．39B ．312C ．24D ．365．若函数x y a log =的图象上存在点),(y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+-≤-+102203y y x y x ,则实数a 的取值范围为A ．(1,2]B ．[2,)+∞C ．(0,1)(1,2]UD ．)1,0([2,)+∞U6．已知定义在R 上的函数2()21x m f x -=-（m 为实数）为偶函数,记0.5(log 3),a f = 2(log 5)b f =,(2)c f m =+,则A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<7. 甲箱子里装有3个白球和2个红球,乙箱子里装有2个白球和2个红球．从这两个箱子里 分别摸出一个球,设摸出的白球的个数为X ,摸出的红球的个数为Y ,则A ．()112P X =>,且)()(Y D X D <B ．()112P X =>,且)()(Y D X D = C .()112P X ==,且)()(Y D X D < D ．()112P X ==,且)()(Y D X D = 8．双曲线)0,0(1:22221>>=-b a by a x C 的渐近线与抛物线)0(2:22>=p py x C 交于点B O A ,,,若抛物线2C 的焦点恰为AOB ∆的内心,则双曲线1C 的离心率为A ．23 B ．3 C ．422 D ．221+ 9．如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1CC 的中点,M （非端点,B C ）是 棱BC 上的动点.过点,,A M E 作截面四边形交棱1DD 于N （非端点,D 1D ）.设二面角N AM D --的大小为α,二面角--M AN D 的大小为β,二面角A NE D --的大小为γ,则A ．γβα>>B ．βγα>>C ．βαγ>>D ． γαβ>>10.已知两函数()f x 和()g x 都是定义在R 上的函数,且方程(())0x f g x -=有实数解,则(())g f x 有可能是。
浙江省温州市2020届高三下学期4月二模考试数学试题 Word版含解析
2020年4月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页.满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立，那么()()()·P A B P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n km n P k C p p k n -=-=台体的体积公式11221()3v h S S S S =，其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高柱体的体积公式v Sh =，其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式13V Sh =，其中S 表示锥体的底面积，h h 表示锥体的高 球的表面积公式4s R π=，球的体积公式343V R π=，其中R 表示球的半径选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13,1|{|}A x R x B x R x =∈≤≤=∈≥，则()R A C B =（ ）A. (]1,3-B. []1,3-C. ()–,3∞D. (]3,-∞【答案】D 【解析】 【分析】计算{}1R C B x R x =∈<，再计算并集得到答案.【详解】{}13,1|{|}A x R x B x R x =∈≤≤=∈≥，则{}1R C B x R x =∈<， 故()(],3R AC B =-∞.故选：D【点睛】本题考查了集合的补集和并集，属于简单题.2.已知复数()()1i a i ++纯虚数(i 为虚数单位)，则实数a =（ ） A. -1 B. 1C. 0D. 2【答案】B 【解析】 【分析】化简得到()11z a a i =-++，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】()()()111i a a i i z a ==-++++为纯虚数，故10a -=且10a +≠，即1a =. 故选：B .【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力.3.设实数,x y 满足条件202300x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩则1x y ++的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案. 【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，1z x y =++，即1y x z =-+-，z 表示直线在y 轴的截距加上1，根据图像知，当2x y +=时，且1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，1z x y =++有最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.4.做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X 的期望为（ ） A.13B.12C. 1D. 2【答案】C 【解析】 【分析】每一次成功的概率为2163p ==，X 服从二项分布，计算得到答案. 【详解】每一次成功的概率为2163p ==，X 服从二项分布，故()1313E X =⨯=.故选：C .【点睛】本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力. 5.设()(),0,11,a b ∈+∞，则"a b ="是"a b log b log a ="的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】根据题意得到充分性，验证12,2a b ==得出不必要，得到答案. 【详解】()(),0,11,a b ∈+∞，当"a b =时，log log a b b a =，充分性；当log log a b b a =，取12,2a b ==，验证成立，故不必要. 故选：A .【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力. 6.若()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，则01910a a a a ++⋯++的值为（ ）A. 192B. 191020122C -C. 191020122C +D. 1910202C +【答案】C 【解析】 【分析】计算20nn a C =，根据对称性得到答案.【详解】()201x +展开式的通项为：120r r r T C x +=，故20nn a C =，()2019200119201x a a x a x a x +=++⋯++，根据对称性知：10200110191020019102020202021 (2222)C a a a a C C C C ++⋯++=+++=+=+. 故选：C.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.已知双曲线22221(0,0x y a b a b-=>>)，其右焦点F 的坐标为(),0c ，点A 是第一象限内双曲线渐近线上的一点，O 为坐标原点，满足2||c OA a =，线段AF 交双曲线于点M .若M 为AF 的中点，则双曲线的离心率为（ ）B. 2 D.43【答案】C 【解析】计算得到,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,2bc M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线化简得到答案. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为by x a=，A 是第一象限内双曲线渐近线上的一点，2||c OA a=，故,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0F c ，故,2bc M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入双曲线化简得到：22314c a =，故233e =. 故选：C .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.8.如图，在ABC 中，点M 是边BC 的中点，将ABM 沿着AM 翻折成'AB M ，且点B '不在平面AMC 内，点P 是线段'B C 上一点.若二面角P AM B --'与二面角P AM C --的平面角相等，则直线AP 经过AB C '的（ ）A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心【答案】A 【解析】 【分析】根据题意P 到两个平面的距离相等，根据等体积法得到'PB M PCM S S ∆∆=，得到答案. 【详解】二面角P AM B --'与二面角P AM C --的平面角相等，故P 到两个平面的距离相等.故'P AB M P ACM V V --=，即'A PB M A PCM V V --=，两三棱锥高相等，故'PB M PCM S S ∆∆=， 故'B P CP =，故P 为'CB 中点. 故选：A .【点睛】本题考查了二面角，等体积法，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 9.定义在R 上的函数()y f x =满足()12x f x -≤，且()1y f x =+为奇函数，则()y f x =的图象可能是（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据()1y f x =+为奇函数，得到函数关于()1,0中心对称，排除AB ，计算()21.5f ≤除C ，得到答案.【详解】()1y f x =+为奇函数，即()()11f x f x +=--+，函数关于()1,0中心对称，排除AB .() 1.5112.52f -≤=C .故选：D .【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于()1,0中心对称是解题的关键.10.已知数列{}n a 满足：12125 1,6n n n a a a a n -≤⎧=⎨-⎩()*n N ∈)若正整数()5k k ≥使得2221212k k a a a a a a ++⋯+=⋯成立，则k =（ ）A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B 【解析】 【分析】计算2226716...5n n a a a a a n ++++=-+-，故2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，解得答案.【详解】当6n ≥时，()1211111n n n n n a a a a a a a +--==+-，即211n n n a a a +=-+，且631a =.故()()()222677687116......55n n n n a a a a a a a a a n a a n +++++=-+-++-+-=-+-，2221211...161k k k a a a a k a +++++=+-=+，故17k =.故选：B .【点睛】本题考查了数列的相关计算，意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分11.2020年1月，一场由新型冠状病毒引发的肺炎席卷全国，全国人民众志成城抗击疫情.下图为温州市2月2日至2月9日的疫情变化趋势图，从中可以看出2月_______日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数，其当天新增治愈人数比当天新增确诊人数多________人.【答案】 (1). 8 (2). 11 【解析】 【分析】直接观察图像得到答案.【详解】根据图像知：2月8日当天新增治愈人数超过了当天新增确诊人数， 2月8日新增确诊人数为：44843810-=，新增治愈人数704921-=，故多11人. 故答案为：8；11.【点睛】本题考查了对于统计图像的理解，意在考查学生的理解能力和应用能力. 12.已知向量,a b 满足2,1,1a b a b ==⋅=，则a b +=________，b 的a 上的投影等于________.【答案】 (1). 7 (2). 12【解析】 【分析】计算()227a b a b +=+=，得到7a b +=，再根据投影公式计算得到答案.【详解】()222227a ba b a b a b +=+=++⋅=，故7a b +=；b 的a 上的投影等于12a ba⋅=. 故答案为：7；12. 【点睛】本题考查了向量的运算，向量投影，意在考查学生的计算能力.13.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是_____3cm ；最长棱的长度是_____cm ．【答案】 (1). 2 (2). 3【解析】 【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为四棱锥，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，侧棱PA ⊥底面ABCD ，由棱锥体积公式求棱锥体积，由勾股定理求最长棱的长度． 【详解】由三视图还原原几何体如下图所示：该几何体为四棱锥，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，侧棱PA ⊥底面ABCD ， 则该几何体的体积为()()312212232V cm +⨯=⨯⨯=， )222222PB cm =+=，)22222223PC cm =++=，因此，该棱锥的最长棱的长度为23cm . 故答案为：2；3【点睛】本题考查由三视图求体积、棱长，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 14.在ABC 中，D 为BC 的中点，若1BD =，4B π∠=，3cos 5ADB ∠=-，则AB =________，sin CAD ∠=________【答案】 (1). 2525【解析】 【分析】 计算4sin 5ADB ∠=，2sin BAD ∠=，根据正弦定理得到42AB =5AD =，再利用余弦定理计算得到25AC =. 【详解】3cos 5ADB ∠=-，,2ADB ππ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，故4sin 5ADB ∠=， 222sin sin cos 42210BAD ADB ADB ADB π⎛⎫∠=∠+=∠+∠=⎪⎝⎭根据正弦定理：sin sin sin AB BD AD ADB BAD B==∠∠∠，即42AB =5AD =.3cos cos 5ADC ADB ∠=-∠=，4in 5s ADC ∠=.根据余弦定理：2222cos 20AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠=，故AC =根据正弦定理：sin sin CD AC CAD ADC =∠∠，解得in s CAD =∠=.故答案为：. 【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 15.已知实数,x y 满足()22241,x y y -+=则2x y +的最大值为________.【解析】 【分析】直接利用柯西不等式得到答案.【详解】根据柯西不等式：()()222222412x y y x y y -+-+=≥，故2x y +≤，当22x y y -=，即8x =，4y =时等号成立..【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，也可以利用均值不等式，三角换元求得答案. 16.将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法. 【答案】20 【解析】 【分析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【详解】当四个盒子有球时：246C =种；当三个盒子有球时：1112222212C C C +=种；当两个盒子有球时：222A =种.故共有20种， 故答案为：20.【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力. 17.已知点P 是直线1y x =+上的动点，点Q 是抛物线2y x 上的动点.设点M 为线段PQ 的中点，O 为原点，则OM 的最小值为________.【答案】3216【解析】 【分析】过点Q 作直线平行于1y x =+，则M 在两条平行线的中间直线上，当直线相切时距离最小，计算得到答案.【详解】如图所示：过点Q 作直线平行于1y x =+，则M 在两条平行线的中间直线上，2yx ，则'21y x ，12x =，故抛物线的与直线平行的切线为14y x =-.点M 为线段PQ 的中点，故M 在直线38y x =+时距离最小，故3328162d ==. 故答案为：3216.【点睛】本题考查了抛物线中距离的最值问题，转化为切线问题是解题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.设函数f()sin(2)sin(2),63x x x ππ=-++x ∈R . (I )求()f x 的最小正周期； (II )若(,)6παπ∈且1()22f α=，求sin(2)6πα+的值.【答案】(I )π；(II )4- 【解析】 【分析】(I )化简得到()212f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得到周期.(II ) 1()1n 222f απα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故124sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，根据范围判断cos 124πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭，代入计算得到答案. 【详解】(I ) ()sin 2sin 2sin 2cos 26366f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭122x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故22T ππ==.(II ) 1()1n 222f απα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故12sin πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 12πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， (,)6παπ∈，故13,12412πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，12cos sin 12ππαα⎛⎫⎛⎫+>+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故3,412ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故cos 124πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，1sin(2)2sin co 6412s 2πππααα⎛⎫⎛⎫+=++=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了三角函数的周期，三角恒等变换，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.19.在三棱锥S ABC -中，90,45,60,BAC SBA SCA SAB SAC D ∠=∠=∠=︒∠=∠=︒为棱AB 的中点，2SA = (I )证明：SD BC ⊥；(II )求直线SD 与平面SBC 所成角的正弦值. 【答案】(I )证明见解析；(II )15【解析】 【分析】(I ) 过D 作DE BC ⊥于E ，连接SE ，根据勾股定理得到SE BC ⊥，DE BC ⊥得到BC ⊥平面SED ，得到证明.(II ) 过点D 作DF SE ⊥于F ，证明DF ⊥平面SBC ，故ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成角，计算夹角得到答案.【详解】(I )过D 作DE BC ⊥于E ，连接SE ，根据角度的垂直关系易知：1AC =，AB SB ==，CS CB ==cos BE BD CBD =∠=， sin DE BD CBD =∠=，CE =.221423SE SE +-+-=，解得253SE =，故222SB SE BE =+，故SE BC ⊥，DE BC ⊥，SE DE E =，故BC ⊥平面SED ，SD ⊂平面SED ，故SD BC ⊥.(II )过点D 作DF SE ⊥于F ，BC ⊥平面SED ，DF ⊂平面SED ，故DF BC ⊥，DF SE ⊥，BCSE E =，故DF ⊥平面SBC ，故ESD ∠为直线SD 与平面SBC 所成角，22252SD SB BD =+=，根据余弦定理：222cos 25SE SD DE ESD SE SD +-∠==⋅， 故1sin 5ESD ∠=.【点睛】本题考查了线线垂直，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 20.已知等差数列{},n a 和等比数列{}n b 满足：311249351,*,3,330.n b a b b N a a a b a b ==∈++==-(I )求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(II )求数列21n n n a a +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭的前n 项和n S .【答案】(I ) 21n a n =-，13n n b -=；(II )()2221n nn ++【解析】 【分析】(I )直接利用等差数列，等比数列公式联立方程计算得到答案.(II ) 211111482121n n n a a n n +⎛⎫==+- ⎪⋅-+⎝⎭，利用裂项相消法计算得到答案.【详解】(I ) 311249351,3,330b a b a a a b a b ==++==-，故()224312331130d q q d q ⎧+=⎪⎨⎡⎤+-=-⎪⎣⎦⎩， 解得23d q =⎧⎨=⎩，故21n a n =-，13n n b -=.(II )()()()()22221111212141442121n n n n n a a n n n n n +===+⋅-⋅+--⋅+1111482121n n ⎛⎫=+- ⎪-+⎝⎭，故()21114821221n n n n S n n +⎛⎫=+-= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.21.如图，已知椭圆22:14x C y +=，F 为其右焦点，直线()0:k y x m l m k +<=与椭圆交于1122(,),(,)P x y Q x y 两点，点,A B 在l 上，且满足,,PA PF QB QF OA OB ===.(点,,,A P Q B 从上到下依次排列)(I )试用1x 表示PF ：(II )证明：原点O 到直线l 的距离为定值. 【答案】(I ) 13||2FP x =；(II )证明见解析 【解析】 【分析】(I )直接利用两点间距离公式化简得到答案.(II ) 设()33,A x y ，()44,B x y ，联立方程得到2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，34221kmx x k -+=+，代入化简得到221m k =+，计算得到证明. 【详解】(I ) 椭圆22:14x C y +=，故)3,0F，()()222221111111133||331234244FP x y x x x x x =-+=-+-=-+=. (II )设()33,A x y ，()44,B x y ，则将y kx m =+代入2214xy +=得到：()222418440k x kmx m +++-=，故2121222844,4141km m x x x x k k --+==++，21x x -=， OA OB =，故()3434343421k x x m y y x x x x k +++==-++，得到34221kmx x k -+=+，PA PF =13122x x -=-42222x x -=-，由已知得：3124x x x x <<<或3124 x x x x >>>，)()123421x x x x x +-+=-，2228241141km km k k k -+=+++，化简得到221m k =+. 故原点O 到直线l的距离为1d ==为定值.【点睛】本题考查了椭圆内的线段长度，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知,a b ∈R ，设函数()x f x e ax =--(I )若0b =，求()f x 的单调区间：(II )当[)0,x ∈+∞时，()f x 的最小值为0，求a +的最大值.注： 2.71828e =…为自然对数的底数.【答案】(I )详见解析；(II) 【解析】 【分析】(I )求导得到'()xf x e a =-，讨论0a ≤和0a >两种情况，得到答案.(II) 11202a f ⎫=⎪⎝⎭≥⎛，故a ≤，取a =b =单调性，得到()min 102f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭，得到答案. 【详解】(I ) ()xf x e ax =-，'()x f x e a =-，当0a ≤时，'()0xf x e a =-≥恒成立，函数单调递增；当0a >时，'()0xf x e a =-=，ln x a =，当(),ln x a ∈-∞时，()'0f x <函数单调递减；当()ln ,x a ∈+∞时，()'0f x >函数单调递增.综上所述：0a ≤时，()f x 在R 上单调递增；0a >时，()f x 在(),ln a -∞上单调递减，在()ln ,a +∞上单调递增.(II ) ()0x f x e ax =--≥在[)0,x ∈+∞上恒成立；11202a f ⎫= ⎪⎝⎭≥⎛，故a ≤，现在证明存在,a b ，a =，使()f x 的最小值为0.取a =b =（此时可使1'02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭），'()e ''()e x x f x a f x =-=，1b =<，故当[)0,x ∈+∞上时，(211,e 1x x +≥≥，故''()0f x ≥，()'f x 在[)0,x ∈+∞上单调递增，1'02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故()f x 在10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，故()min 102f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭.综上所述：a 的最大值为.【点睛】本题考查了函数单调性，函数的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2020年浙江省温州市高考数学二模试卷(理科)含答案解析
浙江省温州市2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．36．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A ．f （x ）=B ．f （x ）=2x ﹣1C ．f （x ）=D ．f （x ）=log 2（x +1）8．棱长为2的正方形ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，点P ，Q 分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C 上的动点，则△PEQ 周长的最小值为（ ）A ．2B ．C ．D ．2二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分） 9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是 ，离心率为 ． 10．函数的图象如图所示，则ω= ，φ= ．11．已知等差数列{a n }的公差为﹣3，且a 3是a 1和a 4的等比中项，则通项a n = ，数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为 ． 12．设奇函数f （x ）=，则a +c 的值为 ，不等式f （x ）＞f （﹣x ）在x ∈[﹣π，π]上的解集为 ． 13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为 ．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．=n2﹣m2 20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．2020年浙江省温州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，则A∩∁U B=（）A．{3}B．{1，2，4，5} C．{1，2}D．{1，3，5}【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={3，4，5}，∴∁U B={1，2}，则A∩∁U B={1，2}，故选：C．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．已知实数x，y满足，则z=x﹣y（）A．最小值为﹣1，不存在最大值B．最小值为2，不存在最大值C．最大值为﹣1，不存在最小值D．最大值为2，不存在最小值【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x﹣y，得y=x﹣z表示，斜率为1纵截距为﹣z的一组平行直线，平移直线y=x﹣z，当直线y=x﹣z经过点A时，即和直线AD：x﹣y=﹣1平行时，直线y=x ﹣z的截距最大，此时z最小，最小为﹣1，无最大值，故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划问题的关键，注意利用数形结合来解决．3．直线l1：mx+y﹣1=0与直线l2：（m﹣2）x+my﹣1=0，则“m=1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣1=0，2x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，若l1⊥l2，则﹣m（﹣）=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1，故“m=1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、两条直线相互垂直的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是（）A．4 B．C．8 D．【分析】由三视图知该几何体是一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个矩形：两条边分别是4、2，且四棱锥的高是2，∴几何体的体积V==，故选：B．【点评】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．5．设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算⊕为：A i⊕A j=A k，其中k为i+j被4除的余数，i，j=0，1，2，3．若（A2⊕A3）⊕A m=A0，则m的值为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据新定义进行推理计算即可．【解答】解：∵2+3=5，5除4的余数为1，∴A2⊕A3=A1，则A1⊕A m=A0，则1+m是4的倍数，则m=3，故选：D．【点评】本题主要考查推理的应用，根据新定义是解决本题的关键．比较基础．6．点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是（）A．射线 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线【分析】根据题意可知|PC|﹣r=|PA|，即P到C与A的距离之差为常数，故而P在双曲线上运动．【解答】解：设圆C的半径为r，由题意可知P到圆C的距离为|PC|﹣r，∴|PC|﹣r=|PA|，即|PC|﹣|PA|=r．∴P点轨迹为以A，C为焦点的双曲线靠近A点的一只．故选：C．【点评】本题考查了圆锥曲线的定义，属于基础题，7．数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1 C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）【分析】A．由a1∈（0，1），可得＞a n，即可判断出数列{a n}的单调性；B．由a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，即可判断出数列{a n}的单调性；C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，可得得0≤x≤2．由f（x）==，利用二次函数的单调性及其a1∈（0，1），即可判断出数列{a n}的单调性；D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，即可判断出数列{a n}的单调性．【解答】解：对于A．∵a1∈（0，1），∴＞a n，可得数列{a n}是递增数列；对于B．∵a1∈（0，1），不妨取a1=，则a2=﹣1=﹣1，因此数列{a n}不是递增数列；对于C：f（x）=，令2x﹣x2≥0，解得0≤x≤2．由f（x）==，可知：当0≤x≤1时，函数f（x）单调递增；当1≤x≤2时，函数f（x）单调递减．∵a1∈（0，1），∴数列{a n}是递增数列；对于D．利用几何画板画出图象y=log2（x+1），y=x，可知：在x∈（0，1）时，log2（x+1）＞x，∴a n+1=log2（a n+1）＞a n，因此数列{a n}是递增数列．故选：B．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．8．棱长为2的正方形ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，点P，Q分别为面A1B1C1D1和线段B1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为（）A．2 B． C． D．2【分析】由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，求出MN，即可得出结论．【解答】解：由题意，△PEQ周长取得最小值时，P在B1C1上，在平面B1C1CB上，设E关于B1C的对称点为M，关于B1C1的对称点为N，则EM=2．EN=，∠MEN=135°，∴MN==．故选：B．【点评】本题考查棱柱的结构特征，考查对称点的运用，考查余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分）9．以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率为．【分析】由椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），求出双曲线的标准方程，由此能求出结果．【解答】解：∵椭圆=1的焦点坐标为（，0），长轴顶点为（±2，0），∴以椭圆=1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的标准方程为：=1，∴双曲线的渐近线方程是y=±x，离心率e==．故答案为：，．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆、双曲线的性质的合理运用．10．函数的图象如图所示，则ω=2，φ=．【分析】通过函数的图象，求出T然后求出ω，利用图象经过（π，0）求出φ的值．【解答】2，解：由图象可知T=π，，则ω=2，∵函数经过点（π，1），∴1=2sin（2×π+φ），sinφ=，|φ|＜，故φ=；故答案为2，．【点评】本题是基础题，考查三角函数的图象的应用，学生的视图能力，注意角的范围的应用．11．已知等差数列{a n}的公差为﹣3，且a3是a1和a4的等比中项，则通项a n=﹣3n+15，数列{a n}的前n项和S n的最大值为30．【分析】由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣6），解之可得a1，代入通项公式得到a n=﹣3n+15，再判断数列{a n}的前n项和S n的最大值的n的情况，即可求出，【解答】解：由题意可得（a1﹣6）2=a1（a1﹣9），解得a1=12，∴a n=12+（n﹣1）×（﹣3）=﹣3n+15，∴a n=﹣3n+15≥0，解得n≤5，∴S5=5×12+=30，故答案为：﹣3n+15，30．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式和等比中项的定义，属基础题．12．设奇函数f（x）=，则a+c的值为0，不等式f（x）＞f（﹣x）在x∈[﹣π，π]上的解集为．【分析】根据函数奇偶性的定义和性质求出a，b，c的值，利用分类讨论的思想进行求解即可得到结论．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0，即f（0）=acos0﹣sin0+c=a+c=0，即a+c=0，则f（x）=，若x＜0，则﹣x＞0，则f（﹣x）=acosx+sinx﹣a=﹣cosx﹣bsinx﹣a，则a=﹣1，b=﹣，c=1，即f（x）=，若0≤x≤π，则由f（x）＞f（﹣x）得﹣cosx﹣sinx+1＞cosx+sinx﹣1，即cosx+sinx＜1，即cos（x﹣）＜，∵0≤x≤π，∴﹣≤x﹣≤，则＜x﹣≤，即＜x≤π，若﹣π≤x＜0，则由f （x ）＞f （﹣x ）得cosx ﹣sinx ﹣1＞﹣cosx +sinx +1，即cosx ﹣sinx ＞1，即cos （x +）＞， ∵﹣π≤x ＜0，∴﹣≤x +＜，则﹣＜x +＜，即﹣＜x ＜0，综上不等式的解集为，故答案为：．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质求出a ，b ，c 的值，利用分类讨论的思想结合三角函数的图象和性质是解决本题的关键．13．若正数a ，b 满足log 2a=log 5b=lg （a +b ），则的值为 1 ．【分析】设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ，可得a=2k ，b=5k ，a +b=10k ，可得a +b=ab ．即可得出． 【解答】解：设log 2a=log 5b=lg （a +b ）=k ， ∴a=2k ，b=5k ，a +b=10k ， ∴ab=10k ， ∴a +b=ab ， 则=1．故答案为：1．【点评】本题考查了对数与指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若存在x 0∈[﹣1，1]使得不等式10002124+≤+•-x x x a 成立，则实数a 的取值范围是[0，] ．【分析】将不等式进行等价转化，利用换元法，结合基本不等式的性质进行转化求解，建立不等式关系进行求解即可得到结论． 【解答】解：不等式|4﹣a2+1|≤2等价为≤2，即|2+﹣a |≤2，即﹣2≤2+﹣a≤2，即a﹣2≤2+≤2+a，设t=2，当x0∈[﹣1，1]是t∈[，2]，设y=t+，则函数在[，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数，则当t=1时，函数取得最小值y=1+1=2，当t=2或t=，函数取得最大值y=+2=，则2≤y≤，∵即a﹣2≤y≤2+a，∴若[a﹣2，a+2]与[2，]没有公共点，则a+2＜2或a﹣2＞，即a＜0或a＞，则若[a﹣2，a+2]与[2，]有公共点，则0≤a≤，故答案为：[0，]【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式进行转化，利用不等式求出不等式的范围，建立不等式关系是解决本题的关键．15．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足，若，则x+y的最小值为．【分析】由题意建立平面直角坐标系，设点M（3，a），N（b，4），0＜a＜4，0＜b＜3；求得b=，a=，从而可得+=（x+y﹣1）2，再设x+y=m，则x=m﹣y；利用判别式即可求出m的最小值．【解答】解：由题意建立如图所示坐标系，如图所示；设点M（3，a），N（b，4），且0＜a＜4，0＜b＜3；∵=（3，4），=（3，a），=（b，4）；又∵=x+y，∴（3，4）=x（3，a）+y（b，4），即，∴b=，a=，∴+=+=+=1，即+=（x+y﹣1）2，设x+y=m，则x=m﹣y；则+=（m﹣1）2，即25y2﹣18my+9m2﹣144（m﹣1）2=0，故△=（18m）2﹣4×25×（9m2﹣144（m﹣1）2）≥0，即24m2﹣50m+25≥0，解得，m≥或m≤（舍去）；∴x+y的最小值．故答案为：．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，也考查了数形结合的思想与转化思想的应用问题，是较难的题目．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=，sinA=．（Ⅰ）求sinC的值；（II）设D为AC的中点，若△ABC的面积为8，求BD的长．【分析】（1）利用向量的数量积和正玄定理得出sinBcosA=sinAcosB，根据三角公式得出A=B，根据诱导公式求解即可．（2）利用面积公式，以及余弦定理求解即可．【解答】解：在△ABC中，∵=，∴cbcosA=cacosB，即bcosA=acosB，sinBcosA=sinAcosB，sin（A﹣B）=0，∴A=B，∵sinA=．∴sinC=sin（π﹣2A）=sin（2A）=2sinAcosA=2××=．（2）设AC=BC=m，∵△ABC的面积为8，∴×=，m=3，cosC=，根据余弦定理得出：BD2=m2×=m2=BD=．【点评】本题考查了向量数量积以及正弦定理和余弦定理的运用，在判断三角形形状时，要注意对角的范围进行分析，即求角的大小需要两个条件：该角的一个三角函数值和该角的范围，缺一不可，正、余弦定理是解三解形必用的数学工具17．如图，矩形ABCD中，=λ（λ＞1），将其沿AC翻折，使点D到达点E的位置，且二面角C﹣AB﹣E为直二面角．（1）求证：平面ACE⊥平面BCE；（2）设F是BE的中点，二面角E﹣AC﹣F的平面角的大小为θ，当λ∈[2，3]时，求cosθ的取值范围．【分析】（Ⅰ）推导出AB⊥BC，BC⊥AE，从而AE⊥平面BCE，由此能证明平面ACE⊥平面BCE．（Ⅱ）以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出cosθ的取值范围．【解答】（本题15分）证明：（Ⅰ）∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角，AB⊥BC，∴BC⊥AE平面，∴BC⊥AE…（2分）∵AE⊥CE，BC∩CE=C，∴AE⊥平面BCE…（4分）∵AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面BCE…（6分）解：（Ⅱ）如图，以E为坐标原点，以AD长为一个单位长度，建立如图空间直角坐标系，则AB=λ…（8分）则设平面EAC的法向量为则，取x=1，则…（10分）同理设平面FAC的法向量为…（12分）∴…（14分）∵…（15分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．18．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）的图象过点（1，0）．（1）记函数f（x）在[0，2]上的最大值为M，若M≤1，求a的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，2]，存在x2∈[0，2]，使得f（x1）+f（x2）＞a，求的取值范围．【分析】（1）方法一：由f（x）是开口向上的抛物线，可得：M=max{f（0），f（2）}，即，两式相加可得a的最大值；方法二：=，结合M≤1，可得a的最大值（2）存在，使，结合二次函数的图象和性质，分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）∵f（x）过点（1，0），∴f（1）=a+b+c=0，…（1分）∴c=﹣a﹣b，f（x）=ax2+bx﹣a﹣b∵f（x）是开口向上的抛物线，∴M=max{f（0），f（2）}…（3分）∴…（5分）两式相加得a≤1，即a的最大值为1…（6分）解法二：由解得：=≤=1 …（6分）（2）由题意，存在，使，∴…（8分）∵a+b+c=0∴f（x）=ax2+bx﹣a﹣b其对称轴为①当，即时，f（x）在[0，2]上单调递增，∴∴＞0均符合题意…（10分）②当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）＜f（2），∴∴由得：，符合题意…（12分）③当，即时，f（x）在[0，]上递减，在[，2]上递增且f（0）≥f（2），∴由得：∴符合题意…（13分）④当即时，f（x）在[0，2]上单调递减，∴，∴均符合题意…（14分）综上所述：∴或…（15分）【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．19．已知椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形．（1）求该椭圆方程；（2）过x轴上的一点M（m，0）作一条斜率为k的直线l，与椭圆交于点A，B两点，问是否存在常数k，使得|MA|2+|MB|2的值与m无关？若存在，求出这个k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据题意，有，由此能求出椭圆方程．（Ⅱ）联立方程组，得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件推导出|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意．【解答】（本题15分）解：（Ⅰ）∵椭圆=1（a＞b＞0）的两个焦点为F1，F2，焦距为2，设点P（a，b）满足△PF1F2是等腰三角形，∴根据题意，有…（4分）解得：，故所求椭圆方程为．…（6分）（Ⅱ）联立方程：，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2mx+4m2﹣12=0在△＞0的情况下有：…（9分）令﹣24k2+18=0，得，即…（13分）此时|MA|2+|MB|2=7与m无关符合题意，…（15分）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．20．设正项数列{a n}满足：a1=1，且对任意的n，m∈N+，n＞m，均有a2n+m a2n=n2﹣m2﹣m成立．（1）求a2，a3的值，并求{a n}的通项公式；+a2n+1与2a2n的大小；（2）（ⅰ）比较a2n﹣1（ⅱ）证明：a2+a4+…+a2n＞．【分析】（1）先令m=1，求得a3，n=m+2，求得a2，分类讨论n为奇数或偶数，分别求得通项公式，+a2n+1与2a2n的通项公式，化简、比较大小，采用分析法，写出所以偶数项和奇（2）a2n﹣1数项整理即可．【解答】解：（1）令m=1，得，从而，所以，令n=m+2，得从而，，又=，∴，，从而，∴当n为偶数时，；令n=m+1，，可知当n为奇数时，综上可得（n∈N+）．+a2n+1﹣2a2n（2）（i）a2n﹣1==＜0，+a2n+1＜2a2n所以a2n﹣1（ii）即证明由（i）得，，…，将上述的n个式子相加，得所以，所以，只需证，事实上，当k=0，1，2，…，n时，+﹣1﹣=﹣≥0，（∵，1），∴从而。
2020年浙江杭州高三二模数学试卷
2020年浙江杭州高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）A.B.C.D.1.已知全集，集合，，则（ ）．A.B.C.D.2.设函数，则（ ）．A.B.C.D.3.若实数，满足约束条件，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.4.已知某空几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）．正视图俯视图侧视图5.若，均为实数，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的部分图象大致为（ ）．A.B.C.D.7.设，随机变量的分布列是：则当在内增大时（ ）．A.增大B.减小C.先增大后减小D.先减小后增大8.在正方体中，是底面的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ）．A.B.C.D.9.若表示不超过的最大整数（如，，），已知，，，则（ ）．A.B.C.D.10.已知，是以为直径的圆上的动点，且，则的最大值是（ ）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.复数（为虚数单位），则的虚部为 ， ．12.已知直线，，若，则的值为 ，若直线与圆交于，两点，则 ．13.已知多项式，则， ．14.在中，内角，，所对的边分别是，，．已知，，的面积为，则的值为 ，．15.若实数，满足，且，则的最大值为 ．16.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，若，，则的离心率为 ．17.已知函数，，其中，，记为的最小值，则当时，的取值范围为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）（1）（2）18.已知函数．求的最小正周期．当时，求的最大值和最小值．（1）（2）19.如图，空间四边形中，是正三角形，是直角三角形，点、分别是、的中点，且，．求证：平面．求与平面所成角的正弦值．（1）20.已知数列满足，，正项数列满足（），且是公比为的等比数列．求，，，及的通项公式．【答案】解析:因为，，所以，又因为，所以．故选．解析:由，∴，∴．故选．（2）设为的前项和，若恒成立，求正整数的最小值．（1）（2）21.在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．求抛物线的准线方程和焦点坐标．当时，设圆，若存在四条动弦，满足直线与圆相切，求半径的取值范围．（1）（2）22.已知函数的两个零点记为，．求的取值范围．证明：．D1.C2.B3.解析:依题意作出可行域如图所示的三角形区域，由目标函数知，，故表示直线在纵截距，当直线过点时，．故选．解析:由三视图知，该几何体是一个四棱锥，如图所示，则四边形是个矩形，，，则，由三视图可知棱锥高，则，故几何体的体积是．解析:命题，命题，由题意可知：可以推出命题，反之，C 4.B 5.由命题可知：，，中有个正数或个负数一个正数，当，，则，则满足，但是不满足，故命题成立，则无法推出，命题，所以是的必要不充分条件．故选．解析:图象由奇函数向下平移一个单位得到，可知图象关于中心对称，∴排除选项；当无限趋近正无穷时，函数值为正，∴排除，选项．故选．解析:，，所以，∵，∴增大．故选：．解析:如图，取中点，底面的中心，，且（为了得到平面底面），则，，，D 6.A 7.C 8.由图易知，，，，且，所以，，，由，所以，则，（最小角定理：线面角线线角），又，所以，则，（最大角定理：面面角线面角），又，所以，则，所以，故选．解析:，由题可得，，，，则，，，，，，，通过观察可知，则．∴故选．B 9.A10.解析:解析：投影计算：利用投影法解决问题，如图，设， ，则对于给定的，则根据向量数量积的投影几何意义，作直线使得其与垂直，且又与圆相切，设切点为，直线与的交点为，由于，，由此，当且仅当时取等号，综合上述：的最大值为，选．解析：三数平方的应用：．解析：双变量的处理，以为原点建立坐标系，设，，，，则，，则，设，则，则．解析:，所以虚部为，．解析:由可知，直线过定点，与圆相交于，两点，当圆心与定点连线与直线垂直时，所截得弦长最短，圆心与定点的距离为，所以．解析:令得，将原式改写成，;11. ;12. ;13.记，，按照题意求，即求中的一次项系数与中的零次项系数之积和中的零次项系数与中的一次项系数之积，所以可得．解析:，，，，，，解得，∵，故，．解析:方法一：由，得，又，所以，又，设，则，即的最大值为．方法二：,．．．，．;14.15.．当且仅当时，等号成立．此时，．即最大值为．16.解析:方法一：向量坐标计算，由已知得：点在渐近线上，且可计算得点，由计算得点，点在渐近线上，计算可得，即离心率．方法二：坐标计算，设过的直线方程为，由得，由得，因为，所以，即，解得．17.解析:方法一：①当时，，则在上递增，所以，由题意可得当，时，方程有解；②当时，由可得（负根舍去），Ⅰ．当时，，则在上递增，所以，由题意可得当，时，方程有解；Ⅱ．当时，在上递减，在上递增，所以，即，解得，综上所述，．方法二：题可转化为的最小值为，因为，所以令，的最小值为；①当，即时，，即；②当，即时，，即；综上所述，．方法三：（）当时，在上单调递增，所以，即，所以成立，（）当时，若，则，即，所以，若，则，即，（1）（2）（1）解得，所以综合得．解析:或，∴．∵，∴，则，即的最大值为，最小值为．解析:综合法：因为，，，所以≌，故，所以，连接，不妨设正的边长为，∴，，，又因为，（1）．（2）最大值为，最小值为．18.（1）证明见解析．（2）．19.（2）（1）所以，，又因为，，∴平面．方法一：以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，设平面的法向量，则，，，由，得，不妨令，，设所求角为，所以．方法二：等体积法：不妨设，在中，在中，，可得，在中，，，由中可得，点到平面距离为，∴．解析:∵是公比为的等比数列，又，，，∴，∴，∴，（1），，，，．（2）．20.为正奇数为正偶数（2）（1）（2），，，由移项，得，所以，将以上两式相除，可得，所以数列的奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是，因为，，所以．当是偶数时，，由，所以，故．解析:有抛物线可得，，准线方程：．设直线，，，联立方程得：，∴，为正奇数为正偶数（1），．（2）．21.（1），∴，即，∴，∵与圆相切，∴，∴，不妨令，，则，令，∴在单调递减，在单调递增，，则若关于的方程有四解，只需关于的方程有两个大于的解，所以．解析:方法一：由得，令得在单增，单减，且，，，，，，，，所以．方法二：由题意可得，则在单调递增，在单调递减，当时，若，则恒成立，有且只有一个零点，不满足题意；当时，恒成立，无零点，不满足题意；当时，有且只有一个零点，当时，有两个零点，（1）．（2）证明见解析．22.（2）此时，，故在之间存在唯一零点；当时，取一点，使得，即，显然，故只需，故取，则在之间存在唯一零点，综上所述：．方法一：先证（极值点偏移），不妨设，由（）可知，构造函数，，，当，，递增，，，所以，即，因为，所以，又，在单增，则，要证明，只需证明，即，，只需证明，，令，，当，，递增，当，，递减，当，，即，故．方法二：由题意可得，则，，为拐点，那么不妨尝试一下割线放缩和拐点问题，且，显然当时，，则，，，，不妨设，当时，两条割线分别为，和，则，，则方向不对，放缩的太小了，无法达到证明的目的：先来证明一个不等式，则，因此当时，则由，因为，由此可解得，那么只需证明，即证，即证，设，，则，即证，显然成立，综上：，∴．方法三：对进行放缩，对任意恒成立，证明由（）可知，，则方程两根，又夹在里面，由图可得．。
2020年浙江省高考数学模拟试卷(2月份)
2020年浙江省高考数学模拟试卷(2月份)2020年浙江省高考数学模拟试卷（2月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.（4分）已知U=R，集合A={x|x²-4x+3≤0}，集合B={y|y>1}，则∁U（A∩B）=（）A。
{x|x1} D。
{x|x≤1}2.（4分）已知i是虚数单位，若z=2-3i，则z的共轭复数等于（）A。
2+3i B。
2-3i C。
-2+3i D。
-2-3i3.（4分）若双曲线$\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$的焦距为4，则其渐近线方程为（）A。
$y=\frac{2}{3}x$ B。
$y=-\frac{2}{3}x$ C。
$y=\frac{4}{3}x$ D。
$y=-\frac{4}{3}x$4.（4分）已知α，β是两个相交平面，其中l⊂α，则（）A。
β内一定能找到与l平行的直线 B。
β内一定能找到与l垂直的直线 C。
若β内有一条直线与l平行，则该直线与α平行 D。
若β内有无数条直线与l垂直，则β与α垂直5.（4分）等差数列{an}的公差为d，a1≠0，Sn为数列{an}的前n项和，则“d＝0”是“Sn=0”的（）A。
充分不必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.（4分）随机变量ξ的分布列如表：ξ。
|-1|1|2|P。
|a|b|c|其中a，b，c成等差数列，若P(ξ=1)=P(ξ=2)，则D（ξ）=（）A。
$\frac{1}{2}a+\frac{3}{2}c$ B。
$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}c$ C。
$\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b$ D。
$\frac{1}{2}b+\frac{3}{2}c$7.（4分）若存在正实数y，使得$2^x+2^{-x}=y$，则实数x的最大值为（）A。
2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷(含解析)
2020届浙江省宁波市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|x 2<1}，B ={x|2x −1<0}，则A ∩B =( )A. {x|x <12} B. {x|−1<x <1} C. {x|0<x <12}D. {x|−1<x <12}2. 圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且与x 轴相切，被双曲线的渐近线截得的弦长为，则圆C 的方程为( )A. x 2+(y −1)2=1B. x 2+(y −)2=3C. x 2+(y −)2=D. x 2+(y −2)2=43. 已知z 为纯虚数，且(2+i)z =1+ai 3(i 为虚数单位)，则复数a +z 在复平面内对应的点所在的象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 已知m ，n 是直线，α，β是平面，以下命题正确的是( )A. 若α⊥β，α∩β=m ，n ⊥m ，则n ⊥α或n ⊥βB. 若α//β，m ⊄α，n//m ，则n//βC. 若m 上有两个点到α的距离相等，则m//αD. 若α∩β=m ，n//m ；且n ⊄α，n ⊄β，则n//α且n//β5. 已知函数f(x)={13x 3−x 2−3x +2,x ≤5−log 3(x +4),x >5，则函数y =f(f(x))的零点个数为( )A. 6B. 7C. 9D. 106. 1+C 271+C 272+C 2727除以3所得余数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. 若一个几何体的三视图都是三角形，则这个几何体可能是( )A. 圆锥B. 四棱锥C. 三棱锥D. 三棱台8. 如图，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −13a⃗ +34b ⃗B. 512a⃗−34b⃗C. 34a⃗−13b⃗D. −34a⃗+512b⃗9.已知数列{a n}，满足a n+1=a n+a4(n∈N∗)，且a5=4，则a1=()A. −2B. −4C. −6D. −910.以下函数中满足f(x+1)>f(x)+1的是()A. f(x)=lnxB. f(x)=e xC. f(x)=e x−xD. f(x)=e x+x二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11.现有五种不同的颜色要对如图形中的四个部分进行着色，要有有公共边的两块不能用同一种颜色，共有______ 种不同的着色方案．(用数字作答)．12.设变量x，y满足条件{x+y≤1x−y≤1x≥0，则z=2x−y的最小值为______．13.设向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(1,−2)，则|a⃗+2b⃗ |=______．三、多空题（本大题共4小题，共24.0分）14.函数y=(12)x2−2x−3的单调增区间为(1)函数y=(14)x−22−x+3的单调增区间为(2)．15.已知多项式(x+1)6(3x2+1)2=a0+a1x+a2x2+⋯+a9x9+a10x10，则a0=(1)；a2=(2)．16.已知随机变量X的分布列如表，且E(X)≥4P(X=1)，则a+b=，E(X)的取值范围为．X0123P 13a b1617.定义在R上的函数f(x)(x∈R)既是奇函数又是周期函数，若f(x)(x∈R)的最小正周期是π，且x∈[0,π2)时f(x)=sinx，则f(11π3)=(1)，方程f(x)=0的解集为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，a=2，cosB=−3．5(1)若b=4，求sin A的值；(2)若△ABC的面积S△ABC=4，求b、c的值．19.已知：在四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=CD=BC=2AD，AD//BC，∠BCD=90°(Ⅰ)求证：BC⊥PC；(Ⅱ)求直线PA与平面PBC所成的正弦值．20.设正项数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,S n=λa n−λ，且a1+1,a2+5,a3是等差数列{b n}的前4三项。
2020届浙江省杭州市高考数学二模试卷(含解析)
2020届浙江省杭州市高考数学二模试卷一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}，则A∩(∁R B)=()A. (0,2]B. (−1,2)C. [−1,2]D. [0,4]2.定义运算∣∣∣a,bc,d∣∣∣=ad−bc，则符合条件∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=0的复数z对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. C第三象限D. 第四象限3.对于二项式(1x+x3)n(n∈N∗),4位同学做出了4种判断：①存在n∈N∗，展开式中有常数项；②对于任意n∈N∗，展开式中没有常数项；③对于任意n∈N∗，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N∗，使展开式中有x的一次项．上述判断中正确的是()A. ①③B. ②③C. ②④D. ①④4.已知p：0≤x≤1，q：1x<1，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件5.某多面体的三视图如图所示，则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()A. √618πB. √69πC. √63πD. √62π6.函数的图象关于对称，则图象的对称一个中心为A. B. C. D.7.从某企业生产的某种产品中随机抽取10件，测量这些产品的一项质量指标，其频率分布表如下：则可估计 这批产品的质量指标的方差为( )A. 140B. 142C. 143D. 134.88. 已知函数f(x)={e x −ax 2,x ≤12a +lnx,x >1在定义域(−∞,+∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,e2]B. [e3,+∞)C. [e 3,e2]D. (e 3,e2)9. 在数列{a n }中，a 1=1，且a n+1=an1+na n ，则其通项公式为a n =( )A. 1n 2−n+1B. 1n 2−n+2C. 2n 2−n+1D. 2n 2−n+210. 椭圆x 2a 2+y 2=1的一个焦点在抛物线y 2=4x 的准线上，则该椭圆的离心率为( )A. 12B. √22C. 13D. √33二、单空题（本大题共3小题，共12.0分）11. 10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种(用数字作答)． 12. 已知a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(−1,2)，则b ⃗ 在a⃗ 方向上的投影为______． 13. 若正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A −BDA 1的体积为______ ． 三、多空题（本大题共4小题，共24.0分） 14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)，A 1，A 2分别是双曲线的左、右顶点，M(x 0,y 0)是双曲线上除两顶点外的一点，直线MA 1与直线MA 2的斜率之积是169，则双曲线的离心率为 ；若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是4，则双曲线的方程为 ．15. 已知函数f(x)={(12)x −2,x ≤−1(2−x)(x +1),x >−1，则f(−2)= (1) ，若f (t)≥2，则t 的取取值范围是 (2)16. 在△ABC 中，已知A =π4，cosB =2√55，若BC =2√5，D 为AB 的中点，则cosC = (1) ，CD 的长为 (2) ．17. 变量x ，y 满足约束条件{y ≤2x +y ≥1x −y ≤1，则目标函数z =(12)2x+y 的最大值是 (1) ，最小值是 (2) ．四、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2,x∈R)的部分图象如图所示．(Ⅰ)求函数y=f(x)的解析式；(Ⅱ)将函数y=f(x)的图象沿x轴方向向右平移π6个单位长度，再把横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象，当x∈[−π12,π3]时，求函数g(x)的值域．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，H为PC的中点，M为AH的中点，PA=AC=2，BC=1．(Ⅰ)求证：AH⊥平面PBC；(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值；(Ⅲ)设点N 在线段PB 上，且PNPB =λ，MN//平面ABC ，求实数λ的值．20. 设数列{a n }的前n 项和S n =2a n −a 1，且a 1，a 2+1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{1a n}的前n 项和T n ，求使得|T n −1|<12016成立的n 的最小值．21. 如图，已知M(m,m 2)，N(n,n 2)是抛物线C ：y =x 2上两个不同点，且m 2+n 2=1，m +n ≠0.直线l 是线段MN 的垂直平分线．设椭圆E 的方程为x 22+y 2a=1(a >0,a ≠2)．(1)当M ，N 在抛物线C 上移动时，求直线l 斜率k 的取值范围； (2)已知直线l 与抛物线C 交于A ，B 两个不同点，与椭圆E 交于P ，Q 两个不同点．设AB 中点为R ，PQ 中点为S ，若OR ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OS⃗⃗⃗⃗⃗ =0，求椭圆E 离心率的范围．22.已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)在[1,+∞)上单调递增，求a的取值范围；(3)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1，x2总有以下不等式1 2[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)成立，则函数y=f(x)为区间D上的“下凸函数”.试证当a≤0时，f(x)为“下凸函数”．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．先化简集合B，根据补集与交集的定义写出运算结果即可．解：R为实数集，集合A={x|x>0}，B={x|x2−x−2>0}={x|x<−1或x>2}，∴∁R B={x|−1≤x≤2}，∴A∩(∁R B)={x|0<x≤2}=(0,2]．故选A．2.答案：B解析：本题是新定义题，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．利用新定义可得关于z的等式，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求得z得答案．解：由题意可得：∣∣∣z,1+i−i,2i∣∣∣=z(2i)−(−i)(1+i)=0，即z=−i (1+i)2i=1−i2i=(1−i)(−2i)2i(−2i)=−2−2i4=−12−i2，∴z=−12+i2，则复数z对应的点的坐标为(−12,12)，在第二象限．故选B．3.答案：D解析：解：二项式(1x +x3)n(n∈N∗)的展开式通项公式为T r+1=C n r⋅(1x)n−r⋅x3r=C n r⋅x4r−n，故当n=4r时，x的幂指数等于零，该项为常数项，故①正确，②不正确；当4r−n=1时，x的幂指数等于1，该项为x的一次项，故④正确，③不正确，故选：D．分析二项展开式的通项公式，得出结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：D解析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．解：当x=0时，不等式1x<1不成立，即充分性不成立，当x=−1时，满足1x<1但0≤x≤1不成立，即必要性不成立，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D5.答案：A解析：本题考查了棱锥的结构特征与三视图，几何体的体积计算，是中档题．由三视图知该几何体是三棱锥，把它放入长方体中，计算棱锥的体积和棱锥外接球的直径与体积，求出体积比．解：由三视图知该几何体是三棱锥A−BCD，把它放入长方体中，如图所示：则三棱锥A−BCD的体积为V A−BCD=13S△BCD⋅ℎ=13×12×2×4×2=83，三棱锥外接球的直径为2R=AC，所以4R2=AC2=22+22+42=24，解得R=√6；所以外接球的体积为V球=43πR3=4π3⋅(√6)3=8√6π，所以该几何体的体积与外接球的体积比为838√6π=√618π．故选A．6.答案：C解析：解：，在对称轴处取得最大值或最小值，∴，即，解得；，令，解得，当k=−1时，，函数f(x)图象的一个对称中心为，故选C。
浙江省2020年高考数学二模试卷(理科)(I)卷
浙江省2020年高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高三上·唐山期末) 是虚数单位，复数满足，则（）A . 或B . 或C .D .2. （2分）已知定义域为R的函数在区间上单调递减，并且函数为偶函数，则下列不等式关系成立的是（）A .B .C .D .3. （2分）(2017·山西模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A .B .C .D .4. （2分）(2020·河南模拟) 已知两条直线和平面，若，则是的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分又不必要条件5. （2分）(2018·民乐模拟) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）函数的图像如图所示，为了得到的图像，则只需将的图像（）A . 向右平移个长度单位B . 向右平移个长度单位C . 向左平移个长度单位D . 向左平移个长度单位7. （2分）已知直线与曲线有交点，则（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·内蒙古模拟) 如图所示的茎叶图为高三某班名学生的化学考试成绩，算法框图中输入的，，，，为茎叶图中的学生成绩，则输出的，分别是（）A . ，B . ，C . ，D . ，9. （2分）(2020·安徽模拟) 在三棱锥中，已知，，，，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A .B .C .D .10. （2分）(2016·天津模拟) 设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A .B . 4C . 3D . 011. （2分）(2017·日照模拟) 抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，且P在第一象限，PM⊥l于点M，线段MF与抛物线C交于点N，若PF的斜率为，则 =（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高三上·衡阳月考) 已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·浙江) 我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度，祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6 ， S6=________．14. （1分）(2016·天津理) 的展开式中x2的系数为________.(用数字作答)15. （1分） (2016高三上·六合期中) 如图，在2×4的方格纸中，若和是起点和终点均在格点的向量，则向量2 + 与﹣的夹角余弦值是________．16. （1分） (2016高三上·泰州期中) 在△ABC中，（﹣3 ）⊥ ，则角A的最大值为________．三、解答题 (共7题；共60分)17. （10分）(2018·枣庄模拟) 已知数列是等比数列，首项，公比，其前项和为，且成等差数列，。
2020年浙江高三二模数学试卷
2020年浙江高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若全集 ，集合 ，集合，则集合（ ）．A. B. C. D.2.已知双曲线 （，）的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ）．A. B. C. D.3.若直线 与不等式组 表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）．A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的体积（单位：）是（ ）．正视图侧视图俯视图A. B. C. D.5.已知平面 平面，且，，，则“”是“或”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的图象可能是（ ）．A.B.C.D.7.已知，随机变量，的分布列如下：则下列正确的是（ ）．A.B.C.D.8.已知为斜边上一点，且为等边三角形，现将沿翻折至，若在三棱锥中，直线和直线与平面所成角分别为，，则（ ）．A.B.C.D.9.已知 ，则下列正确的是（ ）．A.B.C.D.以上均不正确10.已知数列满足：，，前项和为（参考数据：），则下列选项中的是（ ）．A.是单调递增数列，是单调递减数列B.C.D.错.误.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.若复数（为虚数单位） ，则 ．12.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，天共走了里．”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路．13.在二项式的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 ．14.设椭圆的左焦点为，直线，动点在椭圆上，记点到直线的距离为，则的最大值是 ．15.在 中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则，的面积是 ．16.已知，，且满足，则的最小值是 ．17.已知平面向量 ， ， ， ， ，，，的最大值是 ，最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）（1）（2）18.已知函数 ．求的值．求函数的最小正周期及单调递增区间．（1）（2）19.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，，，．求证：直线平面．求直线与平面所成角的正弦值．20.已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足，且．【答案】解析:全集 ，集合 ，集合，，，，（1）（2）求数列，的通项公式．设数列前项和为，证明：．（1）（2）21.已知抛物线上一点到它的准线的距离为．若点，，分别在抛物线上，且点、在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点．记，，的面积分别为，，．求的值及抛物线的准线方程．求的取值范围．（1）（2）22.已知函数，其中，．求函数的单调区间．证明：当时，存在唯一的整数，使得．（注：为自然对数的底数，且，．）C1.故答案选．解析:∵双曲线的渐近线方程为，∴，∴双曲线的离心率，故选项正确．解析:平面区域如图所示，，可知过定点，，故交点为，与之间的斜率为，故与平面区域有公共点需满足，故选．A 2.B 3.D4.解析:由三视图可知，该几何体体积：上底下底．故选．解析:∵，，，，当时，不能推出或，故为不充分条件，当或时，即有或，故可推出，固此为不充要条件，综上为必要不充分条件．故选．解析:上底下底B 5.D 6.，∴为奇函数排除、选项；当时，，故排除选项．故选．解析:由随机变量，的分布列可得：，，，，则，故选．解析:作平面且交平面于点，连接、，则即为，即为，由几何关系有：，，D 7.B 8.又，，∴，即，且，，作，由几何关系知：，∴，则，∴，，显然成立，∴，又，即，综上所述，，故选．解析:，，，．∵，∴．xyO由图可知：，，且，，即，，，，对于，的大小比较，可用特殊值法，设，，则，，A 9.∴．故．故选．解析:考虑函数：，则，则单调递减令，即又，下面用蛛网模型分析，；令，即，令，，即则则x=ln2（）（0,ln2）（ln2,ln）为奇数为偶数由上图可知，当为偶数时，分布在上点的左上部分．当为奇数时，分布在上点的右下半部分，且大于等于．显然，当为偶数时，单调递减且收敛于．当为奇数时时，单调递增且收敛于．C 10.并且由上述分析知：，选项正确．对于：∵若则由图可知，显然成立，则正确．对于：∵∴则∴令，则时，，单调递减；时，，单调递增；∴则∴则错误，综上所述，选．11.解析:，．解析:由题意可知，设第一天为 ，第六天为，其公比，∴，，∴，前三天走了：，故答案分别为；．解析:展开式中每一项都满足，故当时，常数项为，所有二项式系数之和满足 ，故答案分别为 ；．解析:如图，过点作，垂足为，;12. ;13.14.则，椭圆的左焦点为，，当点位于点处时，为所求最大值，∴为点到直线的距离，即．解析:∵ ，∴，，∴，，，又∵ ，，解得： 或，又∵ ，∴ 或，∴或．解析:方法一：，令，，或 ; 或15.16.则，即，，∴，当且仅当时成立，故答案为．方法二：，所以，， 设，则，所以时，，故填．方法三：，即，则，，当且仅当时，最小值为，故填．解析:不失一般性，设，，， ，，，则，先求最大值：，，;17.（1）（2）“ ”当且仅当 时，取得．再求最小值：令，其中，①当 时，，其中，则 在上递增，在上递减．此时 ．②当 时，，其中．此时 在上单调递增，在上单调递减，则此时 ．③当 时， ；其中 与①中一致．则 在上递增，在上递减．此时，综上所述，最大值为 ，最小值为．解析:由可得：，则．由知：，函数的最小正周期为．（1）．（2）最小正周期为 ，单调递增区间为．18.（1）（2）又由 ，解得 ，因此函数的单调递增区间为．解析:方法一：连接，交于，因为，，，所以≌，故又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以又四边形为菱形，故而，所以平面．方法二：因为，所以点在平面内的射影在为的平分线，又四边形为菱形，故为的平分线，则直线故平面平面，而平面|平面，又四边形为菱形，故，所以平面．方法一：延长，，，，交于点，平面，即为平面，平面即平面，由（）得平面平面，平面平面，所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大倍结果不变）（1）证明见解析．（2）．19.（1）因为四棱台中，所以，因为，所以，作，因为，则，所以，，，，故．方法二：延长，，，交于点，平面，即为平面，平面，即平面，设直线与平面；所成角为过作，垂足为，因为，所以建系，以，为，轴，作轴，，，，所以，,所以．解析:由，得，即，，又，故，所以，（1），．（2）证明见解析．20.（2）（1）（2）由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，所以，从而数列的通项公式为．由知，令，数列之和为，则，因为，则，两式相减得，，整理得，所以．解析:抛物线上点到准线的距离，则，因此，抛物线的准线方程为．，，，，为重心，则且，则，令，因为，因此，则，因此，其中，则，则．（1），．（2）．21.（1）22.（1）（2）解析:由题意知，，，若，，函数在区间上单调递增：若，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，即存在使得，当时，，令，因为是关于的一次函数，所以，，，又，所以，则不符合题意，解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明：时，不符合题意即可，当时，令，则，令，则，由易知在上单调递增，则，，则在区间上单调递增，则当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，（2）证明见解析．，，即，则在区间上单调递增，则，，，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不符合题意即可．当时，令，则，，则，则易知在上单调递增，则，则在区间上单调递增，则，即，则在区间上单调递增，则，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．。
2020年浙江省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案
2020年浙江省第二次高考模拟考试文科数学试题与答案（满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡和试卷指定位置上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合y x y x M ,|),{(=为实数,且}222=+y x ,y x y x N ,|),{(=为实数, 且}2=+y x ,则N M 的元素个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若复数满足3(1)12i z i +=-,则z 等于（ ）A ．32 C ．2D ．123. 已知直线l 和平面,αβ，且l α⊂，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 函数1tan()23y x π=+的最小正周期为（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π5. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n 的值为（ ）（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）A. 12B. 24C. 48D. 966. 函数x x x x x f 22cos 3cos sin 2sin )(++=的最小正周期和最小值分别是（ ） A. π，0B. 2π，0C. π，22-D. 2π，22-7.如图所示，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）B.3D.838. 已知椭圆的焦点分别为，，点，在椭圆上，于，，，则椭圆方程为（ ）A. B.C. D.9. 若x 、y 满足约束条件，则z=3x-2y 的最小值为（ ）A. B. C. D. 510. 设，则的大小关系为（ ）A. B.C.D.11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( ) A.B.C.D.12. 已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
浙江省2020年高考数学二模试卷(理科)(II)卷
浙江省2020年高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·富阳月考) 已知，则“ ”是“ ”成立的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 即不充分也不必要条件2. （2分） (2019高三上·宜昌月考) i是虚数单位，，（）A .B .C . 2D .3. （2分）如图所示，程序的输出结果为S＝132，则判断框中应填（）A . i≥10?B . i≥11?C . i≤11?D . i≥12?4. （2分） (2019高三上·东丽月考) 已知平面向量，满足，，且，则向量，的夹角为（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·宾阳月考) 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如下图，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a，视力在4.6到5.0之间的学生数为b，则a，b的值分别为（）A . 0.27,78B . 0.27,83C . 2.7,78D . 2.7,836. （2分）(2019·宣城模拟) 如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）已知，那么用a表示为（）A . a-2B . 5a-2C .D .8. （2分） (2020高一下·绍兴月考) 已知向量，则的值为（）A .B . 1C . 2D . 39. （2分）已知镭经过100年，剩留原来质量的95．76%，设质量为1的镭经过x年的剩留量为y，则y与x 的函数关系是（）A .B . y=（0．9576）100xC . y=（）xD .10. （2分） (2018高二上·綦江期末) 已知表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，且,则下列命题正确的是（）A . 若，则B . 若，则C . 若，则D . 若，则11. （2分）(2016·绍兴模拟) 如图，面ABC⊥α，D为AB的中点，|AB|=2，∠CDB=60°，P为α内的动点，且P到直线CD的距离为，则∠APB的最大值为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 120°12. （2分）已知函数是R上的偶函数，对于都有成立，且，当，且时，都有．则给出下列命题：①；②函数图象的一条对称轴为；③函数在[﹣9，﹣6]上为减函数；④方程在[﹣9，9]上有4个根；其中正确的命题个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·宝山模拟) 年女排世界杯共有12支参赛球队，赛制采用12支队伍单循环，两两捉对厮杀一场定胜负，依次进行，则此次杯赛共有________ 场球赛.14. （1分） (2016高二上·南阳期中) 在约束条件下，目标函数z=|x﹣y+4|的最大值为________15. （1分）已知圆（x﹣2）2+（y+1）2=3，圆心坐标为________．16. （1分） (2019高三上·苏州月考) 若f（x）＝|x﹣2018|+2020|x﹣a|的最小值为1，则a＝________三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2020·焦作模拟) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，．（Ⅰ）是边上的中线，若，求c的值；（Ⅱ）若，求的周长．18. （5分）(2017·榆林模拟) 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（Ⅰ）证明：EM⊥BF；（Ⅱ）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．19. （10分）(2020·安阳模拟) 截至2019年，由新华社《瞭望东方周刊》与瞭望智库共同主办的"中国最具幸福感城市"调查推选活动已连续成功举办12年，累计推选出60余座幸福城市，全国约9亿多人次参与调查，使"城市幸福感"概念深入人心.为了便于对某城市的"城市幸福感"指数进行研究，现从该市抽取若干人进行调查，绘制成如下不完整的2×2列联表(数据单位:人).男女总计非常幸福1115比较幸福9总计30附: ，其中 .）0．100. 050. 0100.0012.7063.841 6. 63510. 828（1）将列联表补充完整，并据此判断是否有90%的把握认为城市幸福感指数与性别有关；（2）若感觉"非常幸福"记2分，"比较幸福"记1分，从上表男性中随机抽取3人，记3人得分之和为，求的分布列，并根据分布列求的概率20. （10分） (2020高二上·淮阴期末) 已知平面上的三点、、 .（1）求以、为焦点且过点的椭圆的标准方程；（2）设点、、关于直线的对称点分别为、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程.21. （15分） (2016高三上·大连期中) 已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax2﹣x（a∈R）．（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；（2）在（1）的条件下，证明f（x）≤g（x）在（0，+∞）上恒成立；（3）若a=1，b＞2e，求方程f（x）﹣g（x）=x在区间（1，eb）内实根的个数（e为自然对数的底数）．22. （10分）在直角坐标系下，直线l过点P（1，1），倾斜角α= ，以原点O为极点，以Χ轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）写出l的参数方程和C的直角坐标方程（2）设l与曲线C交于A、B两点，求 + 的值．23. （10分） (2018高二下·石嘴山期末) 已知函数 .（1）当a=2时，求不等式的解集；（2）设函数 .当时，，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
浙江省2020年高考数学二模试卷(文科)D卷
浙江省2020年高考数学二模试卷（文科）D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）(2020·新课标Ⅲ·理) 复数的虚部是（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高一下·宜宾月考) 设集合，集合，则（）A .B .C .D .3. （2分）某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从8～10岁，11～12岁，13～14岁，15～16岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份．因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中在11～12岁学生问卷中抽取60份，则在15～16岁学生中抽取的问卷份数为（）A . 60B . 80C . 120D . 1804. （2分）设变量满足则目标函数的最小值为（）A . 2B . 4C . 6D . 以上均不对5. （2分） (2017高三上·古县开学考) 某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（）A . 28πB . 32πC . 36πD . 40π6. （2分） (2016高二上·温州期中) 已知a，b为异面直线．对空间中任意一点P，存在过点P的直线（）A . 与a，b都相交B . 与a，b都垂直C . 与a平行，与b垂直D . 与a，b都平行7. （2分）已知f（x）=sin（x+），若sinα=（＜α＜π），则f（α+）=（）A .B . -C .D . -8. （2分） (2020高二下·大庆月考) “复数是实数”的充分不必要条件为（）A .B .C . 是实数D . 是实数9. （2分） (2018高二上·海口期中) 已知直线与抛物线相交于、两点，为的焦点，若，则的值为（）A .B .C .D .10. （2分）已知函数y=f(x)的定义域为{x|-38,且}，值域为{y|-12,且}.下列关于函数y=f(x)的说法：①当x=-3时，y=-1；②点(5,0)不在函数y=f(x)的图象上；③将y=f(x)的图像补上点（5,0），得到的图像必定是一条连续的曲线；④y=f(x)的图象与坐标轴只有一个交点.其中一定正确的说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分）(2017·山东模拟) 执行如图所示的程序框图，则输出n的值为________．12. （1分）(2017·苏州模拟) 双曲线的准线方程是________．13. （1分）已知{an}满足，类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法，可求得 =________．14. （1分） (2020高二上·慈溪期末) 已知椭圆和双曲线有相同焦点，且它们的离心率分别为，设点是与的一个公共点，若，则的最小值为________.15. （1分） (2019高一上·上海月考) 若为奇函数，为偶函数，且，令，则 ________．三、解答题 (共6题；共60分)16. （10分） (2020高一下·嘉兴期中) 在中，内角所对的边分别为 .已知，其中C为锐角.（1）求角C的大小；（2）若，求c的值.17. （15分） (2016高一下·石门期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，对一切正整数n，点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，记an与an+1的等差中项为kn ．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若，求数列{bn}的前n项和Tn；（3）设集合，等差数列{cn}的任意一项cn∈A∩B，其中c1是A∩B 中的最小数，且110＜c10＜115，求{cn}的通项公式．18. （10分） (2018高一下·东莞期末) 近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有70人．（1）求该组织的人数．（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，然后在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．19. （10分） (2018高二上·西宁月考) 如图，在底面边长为的正三棱柱中，，D是 AC的中点。
浙江省2020版高考数学二模试卷(理科)(I)卷
浙江省2020版高考数学二模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·肇庆模拟) 已知为虚数单位，复数，则 =（）A .B .C .D .3. （2分）已知向量=（﹣1，3），则||的值是（）A .B . 10C .D . 54. （2分） (2019高三上·宁波月考) 已知三个实数2，a，8成等比数列，则双曲线的渐近线方程为（）A . 3x±4y＝0B . 4x±3y＝0C . x±2y＝0D . 9x±16y＝05. （2分）已知a，b∈R，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6. （2分）已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项的值，则判断框内的条件是（）A . n≤8B . n≤9C . n≤10D . n≤117. （2分） (2016高二下·赣州期末) 在（1+x）8（1+y）4的展开式中，记xmyn项的系数为f（m，n），则f （3，0）+f（1，2）=（）A . 102B . 1038. （2分） (2019高二下·瑞安期中) 下列命题中，错误的是（）A . 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B . 平行于同一平面的两条直线不一定平行C . 如果平面垂直，则过内一点有无数条直线与垂直．D . 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面9. （2分） (2020高一下·北京期中) 已知，都是锐角，若，则下列结论正确的是（）A .B .C .D . 与大小关系不确定10. （2分）(2020·辽宁模拟) 某个家庭有三个孩子，已知其中一个孩子是女孩，则至少有两个孩子是女孩的概率是（）A .B .C .D .11. （2分）(2019·永州模拟) 已知抛物线上的点到焦点的距离为5，则点的横坐标为（）A . 1D . 1012. （2分） (2018高二上·万州期末) 已知为命题，则“ 为假”是“p 为假”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一下·苏州期中) 设等比数列{an}中，前n项和为Sn ，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=________．14. （1分） (2016高一下·汕头期末) 已知x，y满足不等式，且函数z=2x+y﹣a的最大值为8，则常数a的值为________．15. （1分）(2017·青州模拟) 某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是________．16. （1分） (2016高一上·陆川期中) 已知下列四个命题：①函数f（x）= x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）在区间（，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点；②函数f（x）=log2（x+ ），g（x）=1+ 不都是奇函数；③若函数f（x）满足f（x﹣1）=﹣f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=﹣2；④设x1、x2是关于x的方程|logax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x1x2=1，其中正确命题的序号是________．三、解答题 (共7题；共50分)17. （10分） (2019高二上·岳阳月考) 的内角，，所对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若，，求 .18. （10分） (2019高一下·凌源月考) 如图，在三棱锥中，，分别为棱，上的三等份点，， .（1）求证：平面；（2）若，平面，求证：平面平面 .19. （5分）某同学做3个数学题和2个物理题，已知做对每个数学题的概率为，做对每个物理题的概率为p（0＜p＜1），5个题目做完只错了一个的概率为．（Ⅰ）求p的值；（Ⅱ）做对一个数学题得2分，做对一个物理题得3分，该同学做完5个题目的得分为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．20. （5分）(2019·昌平模拟) 已知椭圆的离心率为，经过点B（0，1）．设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点（点Q在第一象限），且与线段AB交于点M．（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；（Ⅱ）是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高一下·伊春期末) 已知函数（Ⅰ）若函数在处的切线与直线平行，求的值；（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．22. （10分）(2018·山东模拟) 已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是 ( 是参数)，以原点为极点，轴正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）求直线与曲线的普通方程；（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.23. （5分） (2019高三上·桂林月考) 已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若对任意，不等式都成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共50分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。
2020年浙江省绍兴市嵊州市高考数学二模试卷(含答案解析)
2020年浙江省绍兴市嵊州市高考数学二模试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合，集合，则A. B.C. D.2.双曲线左、右焦点坐标分别是A. ，B. ，C. ，D. ，3.若实数x，y满足约束条件则A. 既有最大值也有最小值B. 有最大值，但无最小值C. 有最小值，但无最大值D. 既无最大值也无最小值4.设a，b是空间中的两条直线，则“a，b是异面直线”是“a，b不平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.展开式中的系数为A. B. C. 16 D. 246.已知函数的部分图象如图所示，则可能的解析式是A.B.C.D.7.设，随机变量X的分布列是X01P则当p在内增大时A. 增大，增大B. 减小，增大C. 增大，减小D. 减小，减小8.如图，圆O是的外接圆，过点O的直线l与圆O相交于M，N两点，已知，，设，，则A. B. C. D.9.已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则实数a的取值范围是A. B. 或C. D. 或10.已知数列满足，，，则A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.已知a，，为虚数单位，则______，______．12.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为______．13.某几何体的三视图如图所示单位：，则该几何体的体积单位：是______，表面积单位：是______．14.在中，D是BC边的中点，若，，，则______，______．15.已知P是椭圆上任意一点，AB是圆的任意一条直径B为直径两个端点，则的最小值为______，最大值为______．16.已知，设，，若同时满足：对任意的，有，存在，使得，则实数a的取值范围是______．17.如图，已知正四面体的棱长为2，E是棱CD上一动点，若于F，则线段CF的长度的最小值是______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数．若求的值；Ⅱ设，若在区间上是单调函数，求的最大值．19.如图，已知四棱锥，平面平面ABCD，是以AD为斜边的等腰直角三角形，，，，E为AB的中点．证明：；Ⅱ求直线PE与平面PBC所成角的正弦值．20.设数列的前n项的积为，满足，，记．Ⅰ证明：数列是等差数列；Ⅱ记，证明：．21.如图，已知抛物线C：，设直线l经过点且与抛物线C相交于AB两点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点P，直线PA，PB分别与x轴交于D，E两点．Ⅰ求点P的轨迹方程；Ⅱ当点P不在x轴上时，记的面积为，的面积为，求的最小值．22.已知函数，记为的导函数．Ⅰ当时，若存在正实数，使得，证明：；Ⅱ若存在大于1的实数t，使得当时都有成立，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：，，，．故选：D．进行交集和并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集和并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：B解析：解：由双曲线，可知双曲线的焦点在x轴上，又，，．则双曲线左、右焦点坐标分别是，．故选：B．由双曲线方程求得，，再由隐含条件求得c，则答案可求．本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题．3.答案：C解析：解：由得，作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分平移直线，由图象可知当直线，过点A时，直线的截距最大，此时z最小，由，解，即，代入目标函数，得目标函数的最小值是．目标函数有最小值，但无最大值．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．4.答案：A解析：解：由a，b是异面直线，b不平行，反之不成立，可能相交．“a，b是异面直线”是“a，b不平行”的充分不必要条件．故选：A．由a，b是异面直线，b不平行．反之不成立，可能相交．即可判断出结论．本题考查了异面直线的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：解：含的项为，所以，的系数等于16，故选：C．根据的展开式，求得的展开式中，的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6.答案：B解析：解：因为为奇函数，，则，即为奇函数，结合函数图象可知，函数图象关于原点对称，故函数为奇函数，故排除选A，C，先考虑时，当时，，，，故当且时，，结合选项可排除D，故选：B．先从奇偶性上排除不符合题意的选项，然后结合特殊点的函数值的正负即可判断．本题主要考查了由函数的图象判断函数解析式，解题的关键是分析函数的特征性质．7.答案：A解析：解：令，则，．令，则，．，．当p在内增大时，增大，增大．故选：A．计算当和时对应的数学期望和方差，得出结论．本题考查了离散型随机变量的数学期望和方差计算，属于基础题．8.答案：D解析：解：设圆O的半径为r，则，．连接OB，OC，则，以O为原点，以MN为x轴建立平面直角坐标系，则，，设，则，，，，，，，．故选：D．计算圆的半径，建立平面直角坐标系，设，则，用表示出各向量，计算x，y得出结论．本题考查了平面向量的数量积运算，考查三角恒等变换，属于中档题．9.答案：B解析：解：函数的图象如下所示，，当时，，即存在唯一的整数使得，由图可知，该整数为，；当时，，即存在唯一的整数使得，由图可知，该整数为，．综上，实数a的取值范围是或．故选：B．结合指数函数和二次函数的图象画出分段函数的图象，若存在唯一的整数x，使得成立，则需要分和两类进行讨论，然后结合函数的图象，分别找出符合题意的整数x，即可得到对应的a的取值范围．本题考查分段函数的性质、基本初等函数的图象与性质，考查学生的数形结合能力和逻辑推理能力，属于中档题．10.答案：C解析：解：，故数列单调递增，由，则，故；又，则，故；故选：C．易知数列单调递增，而，可得；，可得；综合即可得出正确选项．本题考查数列递推式，数列的函数特性以及不等式的运用，考查化简变形能力，逻辑推理能力，属于较难题目．11.答案：1解析：解：由，得，则，由，得，即，由，得．．．故答案为：1，．利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件可得，利用整体运算思想方法求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查整体运算思想方法，是基础题．12.答案：解析：【分析】本题考查概率的求法，考查等可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．基本事件总数，田忌的马获胜包含的基本事件有：种，由此能求出田忌的马获胜的概率．【解答】解：现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，基本事件总数，田忌的马获胜包含的基本事件有：种，田忌的马获胜的概率．故答案为：．13.答案：解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个棱长为2的正方体挖去一个半径为1的半个球．如图所示：所以该几何体的体积为：．故答案为：．首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的体积和表面积．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积和表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．14.答案： 3解析：解：D是BC边的中点，若，，，设，在中，由正弦定理，可得，在中，由正弦定理，可得，，可得：，可得，可得：．，，在，中，由余弦定理可得：，，整理可得：，解得，或舍去．故答案为：，3．设，由于，可得，由正弦定理可得，解得利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据余弦定理即可解得AD的值．本题主要考查了正弦定理、余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握相关公式定理的应用是解题的关键，属于中档题．15.答案：0解析：解：设圆C：的圆心为C，则．是椭圆上的任意一点，设，，即．点，．，当时，取得最小值1，当时，取得最大值．的最小值为0，最大值为．故答案为：0；．由题意画出图形，利用向量的加减运算可得设，得可得，再由的范围求出的范围，可得的最小值与最大值．本题考查圆与椭圆位置关系的应用，考查平面向量数量积的运算，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．16.答案：解析：解：由题在R上单调递增，，由对任意的，有可得：当时，，则，当时，，则，存在，使得，等价于存在，使得，当时，即有，显然不满足条件，舍去，当时，存在使得，不满足，舍去；当时，有等价于，等价于，故只需，解得，故答案为：．根据条件可判断出时，；时，，根据条件讨论可得时均不满足题意，舍去，故只能，列出不等式即可本题用全称命题与存在性命题考查了指数函数与二次函数性质的应用问题，是易错题，属于中档偏难题17.答案：解析：解：取AB中点O，，在以O为球心，1为半径的球上，，点F平面ACD上，的轨迹是一段圆弧，设O在平面ACD上的投影点为，正四面体的棱长为2，等于点B到平面ACD的距离的一半，，，F点轨迹如图所示，当F在上时，CF取到最小值，平面ACD，平面ACD，，．故答案为：．取AB中点O，则F在以O为球心，1为半径的球上，从而F的轨迹是一段圆弧，设O在平面ACD 上的投影点为，当F在上时，CF取到最小值．本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.答案：解：函数，若，则，且，，．Ⅱ，若在区间上是单调函数，在区间上，，，求得，故的最大值为．解析：由题意利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据条件求出的值．Ⅱ由题意利用余弦函数的单调性求得的最大值．本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的单调性，属于中档题．19.答案：Ⅰ证明：取AD中点F，连接EF，PF，，，又EF为的中位线，．设，则，，，，得，故AD．又，平面PEF，得；Ⅱ解：平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，，平面ABCD，三棱锥的体积．取BC的中点G，连接FG，PG，，又由平面ABCD，知，而，平面PFG，故BC．，，，则．设E到平面PBC的距离为h，则由，知，即．又，直线PE与平面PBC所成角的正弦值为．解析：Ⅰ取AD中点F，连接EF，PF，由，得，再证明然后利用直线与平面垂直的判定可得平面PEF，从而得；Ⅱ由已知利用平面与平面垂直的性质可得平面ABCD，求出三棱锥的体积．取BC的中点G，连接FG，PG，得，证明平面PFG，得．再求出三角形PBC的面积，利用等体积法求得E到平面PBC的距离为h，求出PE，可得直线PE 与平面PBC所成角的正弦值为．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查空间角的求法，训练了利用等体积法求点到平面的距离，是中档题．20.答案：证明：Ⅰ，，即．由题意可知，，，即．数列是公差为1的等差数列，且首项为；Ⅱ由Ⅰ知，，则，首先，，．又，；其次，．．．综上所述，．解析：Ⅰ由已知数列递推式求得首项，由题意可知，，变形整理可得则数列是公差为1的等差数列，且首项为；Ⅱ由Ⅰ求得，分两步把分别缩小与放大，再由裂项相消法求和即可证明．本题考查数列递推式，考查等差关系的确定，训练了利用放缩法证明数列不等式，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．21.答案：解法1：Ⅰ因为抛物线C：，所以，其导数为，设，，则切线PA，PB的方程分别为，和，联立解得它们的交点P的坐标为，，设直线l的方程为，代入消去x化简整理得：，所以，，且，所以，，于是，故点P的轨迹方程为．Ⅱ因为切线PA的方程为，所以，同理得：，所以，又，故，由Ⅰ可知，又点P到直线AB的距离，所以，所以，令，则，当时，；当时，．综上所述，的最小值为4．解法2：Ⅰ设，则切线PA，PB的方程分别为和，设，则，且，所以，是方程的两组解，即直线AB的方程为．因为直线AB经过点，所以，所以点P的轨迹方程为．Ⅱ因为切线PA的方程为，所以，同理得：，所以，又，故，由知，直线AB的方程为，且，所以直线AB的方程为，过P作y轴的平行线交AB于点G，则，，所以，所以，所以，令，则，当时，；当时，．综上所述，的最小值为4．解析：Ⅰ因为抛物线C：，其导数为，设，，分别写出切线PA，PB的方程分别，求出交点P的坐标，设直线l的方程为，代入，得：关于x 的一元二次方程，结合韦达定理得，，且，得，，消去参数k，即可得点P的轨迹方程．Ⅱ解法1：因为切线PA的方程为，所以，同理得：，得，又，故，由Ⅰ可知，又点P到直线AB的距离，所以，所以，令，则，分两种情况当时，当时，得的最小值．解法2：Ⅰ设，写出切线PA，PB的方程，设代入切线PA，PB方程，得，且，进而得直线AB的方程为将点坐标代入AB直线方程，所以，进而得点P的轨迹方程．Ⅱ写出切线PA的方程为，得，同理得：，得，又，故，由Ⅰ知，直线AB的方程为，且，所以直线AB的方程为，过P作y轴的平行线交AB于点G，得交点G坐标，，进而得，得，再分析，令，则，分两种情况当时，当时．讨论，进而得的最小值．本题考查曲线的轨迹方程，和取值范围，属于中档题．22.答案：解：当时，，所以，故在上单调递增，又，所以，则，整理可得，，，，于是，整理可得，，即，又函数在上单调递增，故，当时，都有成立，等价于，即或，设，则，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，考虑存在大于1的实数t，使得当时，都有，取，则时，要使得恒成立，只要，所以，考虑存在大于1的实数t，使得当时，都有，若，即，则由在上单调递减且可知，必存在，使得当时，恒成立，故符合题意，若，则，结合在上单调递减可知，当时，，故不存在大于1的实数t，使得成立．解析：把代入后对函数求导，然后结合导数与单调性关系可分析出，结合基本不等式及单调性可证；当时，都有成立，等价于，即或，构造函数，结合导数与最值的关系可求．本题综合考查了导数与函数，导数与不等式及由不等式恒成立求解参数范围问题，体现了转化思想的应用．。
2020年浙江宁波高三二模数学试卷-学生用卷
2020年浙江宁波高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第1题4分已知全集U={−2,−1,0,1,2,3}，集合A={−1,0,1}，B={−1,1,2}，则(∁U A)∪(∁U B)=（）．A. {−1,1}B. {−2,3}C. {−1,0,1,2}D. {−2,0,2,3}2、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第2题4分已知复数z是纯虚数，满足z(1−i)=a+2i（i为虚数单位），则实数a的值是（）．A. 1B. −1C. 2D. −23、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第3题4分已知实数x，y满足约束条件{x⩾1 x+y⩽4,y⩾3x−5若z=3x+y的最大值是（）．A. 6B. 152C. 172D. 2534、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第4题4分已知△ABC中角A、B、C所对的边分别是a，b，c，则“a2+b2=2c2”是“△ABC为等边三角形”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第5题4分已知随机变量X的分布列是其中a⩽2b⩽6a，则E(X)的取值范围是（）．A. [49,1]B. [−29,1 3 ]C. [13,5 9 ]D. [−13,4 9 ]6、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第6题4分函数y=cosx⋅2x+12x−1的部分图象大致为（）．A.B.C.D.7、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第7题4分 设a ，b ∈R ，无穷数列{a n }满足：a 1=a ，a n+1=−a n2+ba n −1，n ∈N∗，则下列说法中 不正．．确．的是（ ）．A. b =1时，对任意实数a ，数列{a n }单调递减B. b =−1时，存在实数a ，使得数列{a n }为常数列C. b =−4时，存在实数a ，使得{a n }不是单调数列D. b =0时，对任意实数a ，都有a 2020>−220188、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第8题4分若正实数x 、y 满足x −2√y =√2x −y ，则x 的取值范围是（ ）． A. [4.20] B. [16,20] C. (2,10] D. (2,2√5]9、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第9题4分 点M 在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若△MPQ 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）．A. (0,√6−√22) B. (0,√22) C. (√22,√32),1)D. (√2210、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第10题4分在正四面体S−ABC中，点P在线段SA上运动（不含端点）．设PA与平面PBC所成角为θ1，PB与平面SAC所成角为θ2，PC与平面ABC所成角为θ3，则（）．A. θ2<θ1<θ3B. θ2<θ3<θ1C. θ3<θ1<θ2D. θ3<θ2<θ1二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第11题6分)(2x−1)5的展开式中各项系数的和为2，则实数a=，该展开(ax+1x式中常数项为．12、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第12题6分一个四面体的三视图如图所示（单位cm），则该四面体体积（单位cm3）为外接球的表面积（单位cm2）为．13、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第13题6分已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象关于点(π4,0)对称，关于直线x=−π4对称，最小正周期T∈(π2,π)，则T=，f(x)的单调递减区间是．14、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第14题6分已知过抛物线C1：y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，其中A(4,4√2)，双曲线C2：y 2a2−x2b2=1(a>0,b>0)过点A，B，则p的值是，双曲线C2的渐近线方程是．15、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第15题4分某会议有来自6个学校的代表参加，每个学校有3名代表．会议要选出来自3个不同学校的3人构成主席团，不同的选取方法数为．16、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第16题4分函数f(x)={3x,0⩽x⩽13+log12x,1<x⩽32，g(x)=2x2−x，若y=g[f(x)]−t恰有3个零点，则实数t的取值范围是．17、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第17题4分已知矩形ABCD中，AB=4，AD=3，动点M、N分别在射线CB、CD上运动，且满足1CM2+ 1CN2=1，对角线AC交MN于点P，设AP→=xAB→+yAD→，则x+y的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第18题14分已知△ABC中角A、B、C所对的边分别是a，b，c，且2acosA=√3(ccosB+bcosC)．(1) 求A的值．(2) 若a=1且sinB+cosC=√32，求△ABC的面积．19、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第19题15分已知三棱柱ABC−A1B1C1中，M、N分别是CC1与A1B的中点，△ABA1为等边三角形，CA=CA1，A1A=A1M=2BC．(1) 求证：MN//平面ABC．(2) 解答下列各题．①求证：BC⊥平面ABB1A1．②求二面角A−MN−B的正弦值．20、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第20题15分已知正项数列{a n}的首项a1=1，其前n项和为S n，且a n与a n+1的等比中项是√2S n，数列{b n}满足：b1+b2+⋯+b n=a n2a n+2．(1) 求a2，a3，并求数列{a n}的通项公式．(2) 记c n=√b na n ，n∈N∗，证明：c1+c2+⋯+c n<2(1√n+1)．21、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第21题15分2020~2021学年9月广东湛江吴川市吴川市第三中学高三上学期月考第22题12分已知椭圆Γ:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点F1，F2的距离为2√3，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆Γ于A，B两点，且|AB|=1．(1) 求椭圆Γ的方程．(2) 若存在实数t，使得经过相异两点P(4t,t2+ℎ)和Q(2t+2,t+ℎ)的直线交椭圆Γ所得弦的中点恰为点Q，求实数ℎ的取值范围．22、【来源】 2020年浙江宁波高三二模第22题15分已知实数a≠0，函数f(x)=ln|ax|−√xa+1．(1) 证明：对任意a∈(0,+∞)，f(x)⩽3a−52恒成立．(2) 如果对任意x∈(0,+∞)均有f(x)⩽x−ax+a，求a的取值范围．1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 C;4 、【答案】 B;5 、【答案】 B;6 、【答案】 A;7 、【答案】 D;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 D;11 、【答案】1;10;12 、【答案】6cm3;34πcm2;13 、【答案】2π3;[2kπ3+π12,2kπ3+5π12](k∈Z);14 、【答案】4;y=±25√10x;15 、【答案】540;16 、【答案】t∈[1,10];17 、【答案】8;518 、【答案】 (1) π．6;(2) √3．2;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2)①证明见解析．．②4√7035;20 、【答案】 (1) a2=2，a3=3，a n=n(n∈N∗)．;(2) 证明见解析．;+y2=1．21 、【答案】 (1) x24;(2) 1⩽ℎ<√2．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 实数a的取值范围是(0,1]．;。
2020年浙江台州高三二模数学试卷-学生用卷
2020年浙江台州高三二模数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1、【来源】 2020年浙江台州高三二模第1题4分已知全集U={1,2,3,4,5}，若集合A={1,2,3}，B={3,4}，则(∁U A)∩B=（）．A. ∅B. {4}C. {3}D. {3,4,5}2、【来源】 2020年浙江台州高三二模第2题4分已知复数z满足(3−4i)z=i (其中i为虚数单位)，则|z|=（）．A. 25B. 125C. 5 D. 153、【来源】 2020年浙江台州高三二模第3题4分2019~2020学年上海闵行区高一上学期期末第13题已知a，b∈R，则“3a>3b”是“a3>b3”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件4、【来源】 2020年浙江台州高三二模第4题4分若实数x，y满足{1⩽x+y⩽23⩽2x+y⩽5，则3x+y的最大值为（）．A. 7B. 8C. 9D. 105、【来源】 2020年浙江台州高三二模第5题4分函数y =f(x)的部分图象如图所示，则（ ）．A. f(x)=12(x+1)+1x +12(x−1) B. f(x)=12(x+1)−1x +12(x−1) C. f(x)=12(x+1)+1x −12(x−1) D. f(x)=−12(x+1)−1x +12(x−1)6、【来源】 2020年浙江台州高三二模第6题4分已知数列{a n }满足：a n+1+(−1)n+1a n =n 2(n ∈N ∗)，若a 6=5，则a 1=（ ）． A. −26B. 0C. 5D. 267、【来源】 2020年浙江台州高三二模第7题4分2019~2020学年山东青岛李沧区青岛第五十八中学高二下学期期末第5题5分 2019~2020学年6月湖北武汉高三下学期月考理科供题（二）第4题5分5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：C =Wlog 2(1+SN)．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN 叫做信噪比．按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN 从1000提升至2000，则C 大约 增加了．．．（ ）． A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%8、【来源】 2020年浙江台州高三二模第8题4分已知F 1，F 2分别为双曲线x 29−y 216=1的左右焦点，以F 2为圆心的圆与双曲线的渐近线相切，该圆与双曲线在第一象限的交点为P ，则△F 1PF 2的面积为（ ）．A. 16√6B. 12√6C. 8√6D. 4√69、【来源】 2020年浙江台州高三二模第9题4分平面向量a →，b →，c →，d →满足|a →−b →|=2，|b →−c →|=3，|c →−d →|=4，|d →−a →|=5，则(a →−c →)⋅(b →−d →)=（ ）．A. −14B. 14C. −7D. 710、【来源】 2020年浙江台州高三二模第10题4分 已知函数f (x )=x 2+px +q ，满足f (−p2)+p 2<0，则（ ）．A. 函数y =f(f (x ))有2个极小值点和1个极大值点B. 函数y =f(f (x ))有2个极大值点和1个极小值点C. 函数y =f(f (x ))−a 有可能只有一个零点D. 有且只有一个实数a ，使得函数y =f(f (x ))−a 有两个零点二、填空题（本大题共7小题，共36分）11、【来源】 2020年浙江台州高三二模第11题6分2020~2021学年浙江宁波海曙区宁波效实中学（白杨校区）高二下学期期中第11题4分 2020~2021学年浙江宁波鄞州区宁波效实中学（东部校区）高二下学期期中第11题4分 2019~2020学年浙江宁波余姚市余姚中学高二下学期期中第12题6分在二项式(1−x)6的展开式中，含x3项的系数为；各项系数之和为．（用数字作答）12、【来源】 2020年浙江台州高三二模第12题4分某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则它的体积是cm3．13、【来源】 2020年浙江台州高三二模第13题6分某同学从家中骑自行车去学校，途中共经过6个红绿灯路口．如果他恰好遇见2次红灯，则这2次红，灯的不同的分布情形共有种：如果他在每个路口遇见红灯的概率均为13用ξ表示他遇到红灯的次数，则E(ξ)=．（用数字作答）．14、【来源】 2020年浙江台州高三二模第14题6分)两点的直线与单位圆x2+y2=1在第二象限的交点为C，则点C的坐标如图，过A(1,0)，B(0,12)=．为；sin(∠AOC−9π415、【来源】 2020年浙江台州高三二模第15题6分若函数f(x)={lgx,x >0|x 2+2x |,x ⩽0，则f (f (√1010))= ；不等式f (x +1)⩾f (x )的解集为 ．16、【来源】 2020年浙江台州高三二模第16题4分在等差数列{a n }中，若a 12+a 192=10，则数列{a n }的前10项和S 10的最大值为 ．17、【来源】 2020年浙江台州高三二模第17题4分如下图1，在直角梯形ABCD 中，∠ABC =∠CDB =∠DAB =90°，∠BCD =30°，BC =4，点E 在线段CD 上运动．如下图2，沿BE 将△BEC 折至△BEC ′，使得平面BEC ′⊥平面ABED ．则AC ′的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）18、【来源】 2020年浙江台州高三二模第18题14分 已知函数f(x)=cos 2x −2√3sinxcosx −sin 2x ． (1) 求函数f (x )的最小正周期和最大值． (2) 问方程f(x)=23在区间[−π6,11π6]上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．19、【来源】 2020年浙江台州高三二模第19题15分如图，△ABC 与等边△ABD 所在的平面相互垂直，DE//BC ，M 为线段AD 中点，直线AE 与平面CBM 交于点N ，BC =BA =2DE =2，∠ABC =90°．(1) 求证：平面CBMN⊥平面ADE．(2) 求二面角B−CN−A的平面角的余弦值．20、【来源】 2020年浙江台州高三二模第20题15分已知数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且S n=14(a n+3)，b n=1−S2n1+S2n．(1) 求数列{a n}，{b n}的通项公式．(2) 求证：17n<T n<17n+114．21、【来源】 2020年浙江台州高三二模第21题15分2020年浙江宁波余姚市余姚中学高三下学期高考模拟第21题如图，已知椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，并以抛物线C2:x2=8y的焦点F为上焦点，直线l:y=kx+m(m>0)交抛物线C2于A，B两点，分别以A，B为切点作抛物线C2的切线，两切线相交于点P，又点P恰好在椭圆C1上．(1) 求椭圆C1的方程．(2) 求mk的最大值．(3) 求证：点F恒在△AOB的外接圆内．22、【来源】 2020年浙江台州高三二模第22题15分2020年浙江宁波余姚市余姚中学高三下学期高考模拟第22题已知函数f(x)=e x−x2，g(x)=ax．(1) 求证：存在唯一的实数a，使得直线y=g(x)与曲线y=f(x)相切．(2) 若a∈[1,2]，x∈[0,2]，求证：|f(x)−g(x)|⩽e2−6．（注：e=2.71828⋯为自然对数的底数．）1 、【答案】 B;2 、【答案】 D;3 、【答案】 C;4 、【答案】 C;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 D;10 、【答案】 A;11 、【答案】−20;0;12 、【答案】92√3;13 、【答案】15;2;14 、【答案】(−35,45 );7√210;15 、【答案】34;[−3+√32,−32]∪[0,+∞);16 、【答案】25;17 、【答案】√19−4√3;18 、【答案】 (1) π，2．;(2) 4个，10π3．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √24．;20 、【答案】 (1) a n=−13a n−1，b n=1+132n−17−132n−1．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) y28+x24=1．;(2) √22．;(3) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) 证明见解析．;。
浙江省2020年高考数学二模试卷(理科)(II)卷
浙江省2020年高考数学二模试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知M,N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则（）A . MB . NC . ID .2. （2分）复数z1 ， z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且z1=3+2i，则z2=（）A . 3﹣2iB . 2﹣3iC . ﹣3﹣2iD . 2+3i3. （2分）等差数列{an}中，a4 ， a2016是函数f（x）=x3﹣6x2+4x﹣1的极值点，则log a2010=（）A .B . 2C . ﹣2D . ﹣4. （2分） (2019高一上·吴起期中) 设是定义在上的奇函数，当时，，则（）A .B .C .D .5. （2分）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为-25时，输出x的值为（）A . -1B . 1C . 3D . 96. （2分） (2018高一上·白城月考) 要得到的图像, 需要将函数的图像（）A . 向左平移个单位B . 向右平移个单位C . 向左平移个单位D . 向右平移个单位7. （2分） (2016高二上·清城期中) 下列说法中正确的是（）A . 一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B . “a＞b”与“a+c＞b+c”不等价C . “a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0”D . 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真8. （2分）(2017·鞍山模拟) （x+y+z）4的展开式共（）项．A . 10B . 15C . 20D . 219. （2分）过点P（﹣2，4）作圆O：（x﹣2）2+（y﹣1）2=25的切线l，直线m：ax﹣3y=0与直线l平行，则直线l与m的距离为（）A . 4B . 2C .D .10. （2分） (2019高三上·佳木斯月考) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，其中俯视图由两个半圆和两条线段组成，则该几何体的表面积为（）A .B .C .D .11. （2分）一个所有棱长均为1的正四棱锥的顶点与底面的四个顶点均在某个球的球面上，则此球的体积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高二上·锦州期末) 设是双曲线（，）上的点，、是焦点，双曲线的离心率是，且，面积是9，则（）A . 4B . 5C . 6D . 7二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高一上·徐州期末) 平行四边形ABCD中，| |=6，| |=4，若点M，N满足：=3 ， =2 ，则 =________．14. （1分） (2019高一下·宿州期中) 若等比数列的前项和，则 ________.15. （1分）(2017·芜湖模拟) 已知点P（x，y）在不等式组（a为常数）表示的平面区域上运动，若z=4x+3y的最大值为8，则a=________．16. （1分） (2017高一上·长宁期中) 不等式的解是________．三、解答题 (共8题；共90分)17. （10分） (2016高一下·义乌期末) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos2 = sinB，a=3c．（1）求角B的大小和tanC的值；（2）若b=1，求△ABC的面积．18. （15分）(2018·广元模拟) 2020年开始，国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，采用3+3模式，其中语文、数学、外语三科为必考科目，满分各150分，另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求，结合自己的兴趣爱好等因素，在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6门科目中自选3门参加考试（6选3），每科目满分100分.为了应对新高考，某高中从高一年级1000名学生（其中男生550人，女生 450 人）中，采用分层抽样的方法从中抽取名学生进行调查.（1）已知抽取的名学生中含女生45人，求的值及抽取到的男生人数；（2）学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目，为了了解学生对这两个科目的选课情况，对在（1）的条件下抽取到的名学生进行问卷调查（假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目），下表是根据调查结果得到的列联表. 请将列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由；（3）在抽取到的45名女生中按（2）中的选课情况进行分层抽样，从中抽出9名女生，再从这9名女生中抽取4人，设这4人中选择“地理”的人数为，求的分布列及期望.选择“物理”选择“地理”总计男生10女生25总计，其中 .0.050.013.841 6.63519. （15分） (2016高二下·洛阳期末) 在如图的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G是BC的中点．（1）求证：AB∥平面DEG；（2）求证：BD⊥EG；（3）求二面角C﹣DF﹣E的余弦值．20. （10分）(2018·茂名模拟) 设椭圆的离心率为，以椭圆四个顶点为顶点的四边形的面积为 .（1）求的方程；（2）过的左焦点作直线与交于两点，过右焦点作直线与交于两点，且，以为顶点的四边形的面积，求与的方程.21. （10分） (2020高二下·通辽期末) 设函数，曲线在点处与直线相切.（1）求的值；（2）求函数的单调区间.22. （10分）(2017·通化模拟) 如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB垂直，并与AB相交于点E，点F为弦CD上异于点E的任意一点，连接BF、AF并延长交⊙O于点M、N．（1）求证：B、E、F、N四点共圆；（2）求证：AC2+BF•BM=AB2 ．23. （10分）在极坐标中，直线l的方程为，曲线C的方程为 . （1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好有两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围.24. （10分） (2016高三上·遵义期中) 已知∃x0∈R使得关于x的不等式|x﹣1|﹣|x﹣2|≥t成立．（1）求满足条件的实数t集合T；（2）若m＞1，n＞1，且对于∀t∈T，不等式log3m•log3n≥t恒成立，试求m+n的最小值．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共90分)17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
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2020年浙江高三二模数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.若全集 ，集合 ，集合，则集合（ ）．A. B. C. D.2.已知双曲线 （，）的渐近线方程为，则双曲线的离心率是（ ）．A. B. C. D.3.若直线 与不等式组 表示的平面区域有公共点，则实数的取值范围是（ ）．A. B. C. D.4.某几何体的三视图如图所示（单位：），该几何体的体积（单位：）是（ ）．正视图侧视图俯视图A. B. C. D.5.已知平面 平面，且，，，则“”是“或”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数的图象可能是（ ）．A.B.C.D.7.已知，随机变量，的分布列如下：则下列正确的是（ ）．A.B.C.D.8.已知为斜边上一点，且为等边三角形，现将沿翻折至，若在三棱锥中，直线和直线与平面所成角分别为，，则（ ）．A.B.C.D.9.已知 ，则下列正确的是（ ）．A.B.C.D.以上均不正确10.已知数列满足：，，前项和为（参考数据：），则下列选项中的是（ ）．A.是单调递增数列，是单调递减数列B.C.D.错.误.二、填空题（本大题共7小题，共36分）11.若复数（为虚数单位） ，则 ．12.我国古代数学著作《增删算法统宗》中有这样一道题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关；要见每朝行里数，请君仔细详推算．”其大意为“某人行路，每天走的路是前一天的一半，天共走了里．”则他第六天走 里路，前三天共走了 里路．13.在二项式的展开式中，常数项是 ，所有二项式系数之和是 ．14.设椭圆的左焦点为，直线，动点在椭圆上，记点到直线的距离为，则的最大值是 ．15.在 中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则，的面积是 ．16.已知，，且满足，则的最小值是 ．17.已知平面向量 ， ， ， ， ，，，的最大值是 ，最小值是 ．三、解答题（本大题共5小题，共74分）（1）（2）18.已知函数 ．求的值．求函数的最小正周期及单调递增区间．（1）（2）19.如图，在四棱台中，底面是菱形，，，，，．求证：直线平面．求直线与平面所成角的正弦值．20.已知等比数列的前项和为，满足，，数列满足，且．【答案】解析:全集 ，集合 ，集合，，，，（1）（2）求数列，的通项公式．设数列前项和为，证明：．（1）（2）21.已知抛物线上一点到它的准线的距离为．若点，，分别在抛物线上，且点、在轴右侧，点在轴左侧，的重心在轴上，直线交轴于点且满足，直线交轴于点．记，，的面积分别为，，．求的值及抛物线的准线方程．求的取值范围．（1）（2）22.已知函数，其中，．求函数的单调区间．证明：当时，存在唯一的整数，使得．（注：为自然对数的底数，且，．）C1.故答案选．解析:∵双曲线的渐近线方程为，∴，∴双曲线的离心率，故选项正确．解析:平面区域如图所示，，可知过定点，，故交点为，与之间的斜率为，故与平面区域有公共点需满足，故选．A 2.B 3.D4.解析:由三视图可知，该几何体体积：上底下底．故选．解析:∵，，，，当时，不能推出或，故为不充分条件，当或时，即有或，故可推出，固此为不充要条件，综上为必要不充分条件．故选．解析:上底下底B 5.D 6.，∴为奇函数排除、选项；当时，，故排除选项．故选．解析:由随机变量，的分布列可得：，，，，则，故选．解析:作平面且交平面于点，连接、，则即为，即为，由几何关系有：，，D 7.B 8.又，，∴，即，且，，作，由几何关系知：，∴，则，∴，，显然成立，∴，又，即，综上所述，，故选．解析:，，，．∵，∴．xyO由图可知：，，且，，即，，，，对于，的大小比较，可用特殊值法，设，，则，，A 9.∴．故．故选．解析:考虑函数：，则，则单调递减令，即又，下面用蛛网模型分析，；令，即，令，，即则则x=ln2（）（0,ln2）（ln2,ln）为奇数为偶数由上图可知，当为偶数时，分布在上点的左上部分．当为奇数时，分布在上点的右下半部分，且大于等于．显然，当为偶数时，单调递减且收敛于．当为奇数时时，单调递增且收敛于．C 10.并且由上述分析知：，选项正确．对于：∵若则由图可知，显然成立，则正确．对于：∵∴则∴令，则时，，单调递减；时，，单调递增；∴则∴则错误，综上所述，选．11.解析:，．解析:由题意可知，设第一天为 ，第六天为，其公比，∴，，∴，前三天走了：，故答案分别为；．解析:展开式中每一项都满足，故当时，常数项为，所有二项式系数之和满足 ，故答案分别为 ；．解析:如图，过点作，垂足为，;12. ;13.14.则，椭圆的左焦点为，，当点位于点处时，为所求最大值，∴为点到直线的距离，即．解析:∵ ，∴，，∴，，，又∵ ，，解得： 或，又∵ ，∴ 或，∴或．解析:方法一：，令，，或 ; 或15.16.则，即，，∴，当且仅当时成立，故答案为．方法二：，所以，， 设，则，所以时，，故填．方法三：，即，则，，当且仅当时，最小值为，故填．解析:不失一般性，设，，， ，，，则，先求最大值：，，;17.（1）（2）“ ”当且仅当 时，取得．再求最小值：令，其中，①当 时，，其中，则 在上递增，在上递减．此时 ．②当 时，，其中．此时 在上单调递增，在上单调递减，则此时 ．③当 时， ；其中 与①中一致．则 在上递增，在上递减．此时，综上所述，最大值为 ，最小值为．解析:由可得：，则．由知：，函数的最小正周期为．（1）．（2）最小正周期为 ，单调递增区间为．18.（1）（2）又由 ，解得 ，因此函数的单调递增区间为．解析:方法一：连接，交于，因为，，，所以≌，故又因为为菱形对角线交点，即是线段的中点，所以又四边形为菱形，故而，所以平面．方法二：因为，所以点在平面内的射影在为的平分线，又四边形为菱形，故为的平分线，则直线故平面平面，而平面|平面，又四边形为菱形，故，所以平面．方法一：延长，，，，交于点，平面，即为平面，平面即平面，由（）得平面平面，平面平面，所以过做，则平面，故即为直线与平面所成角（若研究直线与平面所成角的正弦值则线段等比例扩大倍结果不变）（1）证明见解析．（2）．19.（1）因为四棱台中，所以，因为，所以，作，因为，则，所以，，，，故．方法二：延长，，，交于点，平面，即为平面，平面，即平面，设直线与平面；所成角为过作，垂足为，因为，所以建系，以，为，轴，作轴，，，，所以，,所以．解析:由，得，即，，又，故，所以，（1），．（2）证明见解析．20.（2）（1）（2）由两边同除以，得，从而数列为首项，公差的等差数列，所以，从而数列的通项公式为．由知，令，数列之和为，则，因为，则，两式相减得，，整理得，所以．解析:抛物线上点到准线的距离，则，因此，抛物线的准线方程为．，，，，为重心，则且，则，令，因为，因此，则，因此，其中，则，则．（1），．（2）．21.（1）22.（1）（2）解析:由题意知，，，若，，函数在区间上单调递增：若，，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，当时，，即存在使得，当时，，令，因为是关于的一次函数，所以，，，又，所以，则不符合题意，解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明：时，不符合题意即可，当时，令，则，令，则，由易知在上单调递增，则，，则在区间上单调递增，则当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，（2）证明见解析．，，即，则在区间上单调递增，则，，，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．解法：因为讨论的是整数解问题，所以接下来若能证明时，不符合题意即可．当时，令，则，，则，则易知在上单调递增，则，则在区间上单调递增，则，即，则在区间上单调递增，则，即，不符合题意，综上所述，当时，存在唯一的整数，使得．。