沪科版九年级数学中考复习（含答案）

沪科版九年级数学中考复习锐角三角函数与解直角三角形
专题（含答案）
一、 选择题
1. (·日照)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，则sin A 的值为( )
A. 513
B. 1213
C. 512
D. 125
2. (·阿坝州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边BC 的长是( )
A. msin 35°
B. mcos 35°
C. m
sin 35°
D.
m
cos 35°
第2题
第3题
3. (·湖州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，
BC ＝3，则cos B 的值是( )
A. 35
B. 45
C. 34
D. 43
4. (·哈尔滨)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝4，AC ＝1，则cos B 的值为( )
A.
154 B. 14 C. 1515 D. 417
17
5. (·金华)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则tan A 的值是( )
A. 34
B. 43
C. 35
D. 4
5
6. (·怀化)如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3，4)，那么sin α的值是( )
A. 35
B. 34
C. 45
D. 43
第6题
第7题
7. (·宜昌)△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点 D.下列选项中，错误的是( )
A. sin α＝cos α
B. tan C ＝2
C. sin β＝cos β
D. tan α＝1
8. (·云南)sin 60°的值为( )
A. 3
B.
32 C. 22 D. 1
2
9. (·天津)cos 60°的值为( ) A. 3 B. 1 C.
22 D. 1
2
10. (·聊城)在Rt △ABC 中，cos A ＝1
2，那么sin A
的值是( )
A.
22 B. 32 C. 33 D. 12
11. (·温州)如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13 m ．若cos α＝12
13
，则小车上升的高度是( )
A. 5 m
B. 6 m
C. 6.5 m
D. 12 m
第11题
第12题
12. (·天水)在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则cos B 的值为( )
A. 12
B. 22
C. 32
D. 3
3
13. (·广安)如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H.若cos ∠CDB ＝4
5
，BD ＝5，则OH 的长度为( )
A. 23
B. 56
C. 1
D. 76
第13题 第14题
14. (·黄石)如图，⊙O 为四边形ABCD 的外接圆，点O 为圆心．若∠BCD ＝120°，AB ＝AD ＝2，则⊙O 的半径为
( )
A. 322
B. 6
2
C. 32
D. 233
15. (·黄石)如图，在△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD
⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝3
2
，则∠CDE ＋∠ACD 等于( )
A. 60°
B. 75°
C. 90°
D. 105°
第15题 第16题
16. (·滨州)如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则 tan ∠DAC 的值为( )
A. 2＋ 3
B. 2 3
C. 3＋ 3
D. 3 3 17. (·六盘水)三角形的两边a ，b 的夹角为60°，且满足方程x 2
－32x ＋4＝0，则第三边的长是( )
A. 6
B. 2 2
C. 2 3
D. 3 2
18.(·荆门)如图，在平面直角坐标系xOy 中，等边三角形AOB 的边长为6，点C 在边OA 上，点D 在边AB 上，且OC ＝3BD ，反比例函数y ＝k
x (k ≠0)的图象恰好经过点C 和点
D ，则k 的值为( )
A. 81325
B. 81316
C. 8135
D. 8134
第18题第19题
19.(·泸州)如图，在矩形ABCD 中，E 是边BC 的中点，AE ⊥BD ，垂足为F ，则 tan ∠BDE 的值是( )
A.
24 B. 14 C. 13 D. 2
3
20. (·杭州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝12，E 为AC 边的中点，线段BE 的垂直平分线交边BC 于点D.设BD ＝x ，tan ∠ACB ＝y ，则( )
第20题
A. x －y 2
＝3 B. 2x －y 2
＝9 C. 3x －y 2
＝15 D. 4x －y 2
＝21 二、 填空题
21. (1) (·大庆)计算：2sin 60°＝________；
(2) (·陕西)计算：317tan 38°15′≈________．(结果精确到0.01)
22. (·烟台)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则sin A
2
＝________．
23. (·广州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝15
8
，则AB ＝________．
第23题
第24题
24. (·攀枝花)如图，在▱ABCD 中，CH ⊥AD ，垂足为H.若tan ∠ABC ＝2，且 AB ＝25，则CH ＝________．
25. (·临沂)如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O.若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝3
5，则▱ABCD 的面积
是________．
第25题
第26题
26. (·海南)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝5，点E 在DC 上．将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是________．
27. (·包头)如图，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，
则cos ∠AEF 的值是________．
第27题
第28题
28. (·宁波)如图，在菱形纸片ABCD 中，AB ＝2，∠A ＝60°.将菱形纸片翻折，使点A 落在CD 的中点E 处，折痕为FG ，点F ，G 分别在边AB ，AD 上，则cos ∠EFG 的值为________．
29. (·贵港)如图，点P 在等边三角形ABC 的内部，且PC ＝6，PA ＝8，PB ＝10.将线段PC 绕点C 顺时针旋转60°得到P ′C ，连接AP ′，则sin ∠PAP ′的值为________．
第29题
第30题
30. (·无锡)在如图所示的正方形方格纸中，每个小方格都是相同的正方形，点A ，B ，C ，D 都在格点处，AB 与CD
相交于点O ，则tan ∠BOD ＝________．
31. (·舟山)如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan ∠BA 3C ＝1
7，计
算tan ∠BA 4C ＝________，….按此规律，写出 tan ∠BA n C ＝__________．(用含n 的代数式表示)
第31题
32. (·义乌)以Rt △ABC 的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D.若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为________．
33. (·凉山州)如图，四边形ABCD 内接于半径为4的⊙O 中，且∠C ＝2∠A ，则BD ＝________．
第33题第34题
34. (·通辽)如图，直线y ＝－3
3x －3与x 轴，y 轴
分别交于点A ，B ，与反比例函数y ＝k
x 的图象在第二象限交
于点C ，过点A 作x 轴的垂线交该反比例函数的图象于点D.若AD ＝AC ，则点D 的坐标为____________．
35. (·自贡)如图，等腰三角形ABC 内接于⊙O.若AB ＝AC ，∠ABC ＝30°，BD 是⊙O 的直径，CD ＝433，则 AD ＝
________．
第35题第36题
36. (·随州)如图，∠AOB 的边OB 与x 轴正半轴重合，P 是OA 上一动点，N(3，0)是OB 上一定点，M 是ON 的中点，∠AOB ＝30°，要使PM ＋PN 最小，则点P 的坐标为____________．
37. (·威海)如图，△ABC 为等边三角形，AB ＝2.若P 为△ABC 内一动点，且满足∠PAB ＝∠ACP ，则线段PB 长度的最小值为________．
第37题
第39题
38. (·龙东五市)在△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是________________．
39. (·株洲)如图，直线y ＝3x ＋3与x 轴，y 轴分别交于点A ，B.当直线绕点A 顺时针旋转到与x 轴首次重合
时，点B 运动的路径的长度是________．
40. (·山西)一副三角尺按如图所示的方式摆放，得到△ABD 和△BCD ，其中∠ADB ＝∠BCD ＝90°，∠A ＝60°，∠CBD ＝45°，E 为AB 的中点，过点E 作EF ⊥CD 于点F.若AD ＝4 cm ，则EF 的长为____________cm.
第40题
第41题
41. (·绵阳)如图，过锐角三角形ABC 的顶点A 作DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交BC 的延长线于点F.在AF 上取点M ，使得AM ＝1
3AF ，连接CM 并延长交直线
DE 于点H.若AC ＝2，△AMH 的面积是112，则1
tan ∠ACH 的值是
________．
三、 解答题
42. (·福建)小明在某次作业中得到如下结果： sin 2
7°＋sin 2
83°≈0.122
＋0.992
＝0.994 5， sin 2
22°＋sin 2
68°≈0.372
＋0.932
＝1.001 8， sin 229°＋sin 261°≈0.482＋0.872＝0.987 3，
sin 2
37°＋sin 2
53°≈0.602
＋0.802
＝1.000 0， sin 2
45°＋sin 2
45°＝⎝⎛⎭
⎫
2
22
＋⎝⎛⎭
⎫2
22＝1.
据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin 2
α＋sin 2
(90°－α)＝1.
(1) 当α＝30°时，验证sin 2
α＋sin 2
(90°－α)＝1是否成立．
(2) 小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．
43. (·包头)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB 于点F，已知CD＝3.求：
(1) AD的长；
(2) 四边形AEDF的周长．
第43题
44. (·上海)如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC长18米，中柱AD高6米，其中D是BC的中点，且AD⊥BC.
(1) 求sin B的值；
(2) 现需要加装支架DE，EF，其中点E在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为F，求支架DE的长．
第44题
45. (·广州)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A ＝30°，AC＝2 3.
(1) 利用尺规作线段AC的垂直平分线DE，垂足为E，交AB于点D；(保留作图痕迹，不写作法)
(2) 若△ADE的周长为a，先化简T＝(a＋1)2－a(a－1)，再求T的值．
第45题
46. (·宁波)在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：
第46题
如图，将矩形ABCD的四边BA，CB，DC，AD分别延长至E，F，G，H四点，使得AE＝CG，BF＝DH，连接EF，FG，GH，HE.
(1) 求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2) 若矩形ABCD是边长为1的正方形，且∠FEB＝45°，tan∠AEH＝2，求AE的长．
47. (·广安)如图，AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB 相交于点F.点E在⊙O外，作直线AE，且∠EAC＝∠D.
(1) 求证：直线AE是⊙O的切线；
(2) 若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝
3
4
，CF＝
10
3
，求BF的长．
第47题
48. (·武汉)如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，CO 的延长线交AB 于点D.
(1) 求证：AO 平分∠BAC ；
(2) 若BC ＝6，sin ∠BAC ＝3
5
，求AC 和CD 的长．
第48题
49. (·包头)如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点B 的切线BP 与CD 的延长线交于点P ，连接OC ，CB.
(1) 求证：AE ·EB ＝CE ·ED ；
(2) 若⊙O 的半径为3，OE ＝2BE ，CE DE ＝9
5
，求tan ∠OBC
的值及DP 的长．
第49题
50. (·宁夏)在边长为2的等边三角形ABC 中，P 是BC 边上任意一点，过点 P 分别作 PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，垂足分别为M ，N.
(1) 求证：不论点P 在BC 边的何处时都有PM ＋PN 的长恰好等于△ABC 一边上的高．
(2) 当BP 的长为何值时，四边形AMPN 的面积最大？并求出最大值．
第50题
51.(·赤峰)如图①，在△ABC 中，设∠BAC ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则sin C ＝
AD AC ，即AD ＝AC ·sin C ，则S △ABC ＝12BC ·AD ＝12·BC ·ACsin C ＝12ab sin C ，∴ S △ABC ＝12ab sin C ．同理，S △ABC ＝1
2
bc sin
A ，S △ABC ＝1
2
ac sin B.
通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理——余弦定理：
如图②，在△ABC 中，若∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则a 2
＝b 2
＋c 2
－2bccos A, b 2
＝a 2
＋c 2
－2accos B ，c 2
＝a 2
＋b 2
－2abcos C.
用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题： (1) 如图③，在△DEF 中，∠F ＝60°，∠D ，∠E 的对边分别长3和8.求S △DEF 和DE 2
.
S △DEF ＝1
2EF ·DF sin F ＝________；
DE 2
＝EF 2
＋DF 2
－2EF ·DF cos F ＝________． (2) 如图④，在△ABC 中，AC>BC ，∠C ＝60°，△ABC ′，△BCA ′，△ACB ′分别是以AB ，BC ，AC 为边的等边三角形．设△ABC ，△ABC ′，△BCA ′，△ACB ′的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，求证：S 1＋S 2＝S 3＋S 4.
第51题
52. (·镇江)【回顾】 如图①，在△ABC 中，∠B ＝30°，AB ＝3，BC ＝4，则△ABC 的面积为________；
【探究】 如图②是同学们熟悉的一副三角尺，一个含有30°的角，较短的直角边长为a ；另一个含有45°的角，直角边长为 b.小明用两副这样的三角尺拼成一个平行四边形ABCD(如图③)，用了两种不同的方法计算它的面积，从而推出sin 75°＝
6＋2
4
.小军用两副这样的三角尺拼成一个矩形EFGH(如图④)，也推出sin 75°＝
6＋2
4
. 请你写出小明或小军推出sin 75°＝6＋2
4
的具体说理过程．
①
第52题
1. 锐角三角函数与解直角三角形
一、 1. B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. C 7. C 8. B 9. D 10. B 11. A 12. B 13. D 14. D 15. C 16. A 17. A 18. A 19. A 20. B
二、 21. (1) 3 (2) 2.03 22.1
2 23. 17 24. 4
25. 24 26.35 27.22 28.217 29.35 30. 3 31.1
13
1
n 2
－n ＋1
32. 2 3 33. 4 3 34. (－3，23) 35. 4
36.⎝⎛⎭⎫32，3
2 37.23
3 38. 213或15 3 39.2π3 40.
(2＋6) 41. 8－15
三、 42. (1) 当α＝30°时，sin 2
α＋sin 2
(90°－α)＝sin 2
30°＋sin 2
60°＝⎝⎛⎭
⎫1
22
＋⎝⎛⎭
⎫322
＝14＋3
4
＝1 (2) 小明的猜想成立 如图，设在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，则∠B ＝90°－α，∴ sin 2
α＋sin 2
(90°－α)＝⎝⎛⎭
⎫BC
AB 2
＋
⎝⎛⎭
⎫AC AB 2
＝BC 2＋AC 2AB 2
＝AB 2
AB
2＝1 第42题
43. (1) ∵ ∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴ ∠CAB ＝60°.∵ AD 是△ABC 的角平分线，∴ ∠CAD ＝1
2∠CAB ＝30°.∵
在 Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，CD ＝3，∴ AD ＝2CD ＝6 (2) ∵ DE ∥BA ，DF ∥CA ，∴ ∠CDE ＝∠B ＝30°，∠EAD ＝∠ADF ，四边形AEDF 是平行四边形．∵ AD 平分∠CAB ，∴ ∠EAD ＝∠DAF.∴ ∠ADF ＝∠DAF.∴ AF ＝DF.∴ ▱AEDF 是菱形．∴ AE ＝DE ＝DF ＝AF.∵ 在Rt △CED 中，CD ＝3，∠CDE ＝30°，∴ DE ＝3
cos 30°
＝2 3.∴ 四边形AEDF
的周长为23×4＝8 3
44. (1) ∵ BC ＝18米，D 是BC 的中点，∴ BD ＝DC ＝9米．∵ AD ⊥BC, AD ＝6米，∴ 在Rt △ABD 中，AB ＝BD 2
＋AD
2
＝92＋62
＝313(米)．∴ sin B ＝AD AB ＝6313＝21313 (2)
∵ BE ＝2AE ，∴
BE BA ＝2
3
.∵ AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，∴ EF ∥AD.∴ △BEF ∽△BAD.∴ EF AD ＝BF BD ＝BE BA ＝23，即EF 6＝BF 9＝2
3.∴ EF
＝4，BF ＝6.∴ DF ＝3.∴ 在Rt △DEF 中，DE ＝EF 2＋DF 2
＝42
＋32
＝5
45. (1) 如图，DE 即为所求 (2) ∵ DE 垂直平分AC ，∴ DE ⊥AC ，AE ＝1
2AC ＝ 3.∵ 在Rt △ADE 中，∠A ＝30°，
∴ DE ＝AE ·tan 30°＝1，AD ＝
AE
cos 30°
＝2.∴ △ADE 的
周长a ＝1＋2＋3＝3＋ 3.∵ T ＝(a ＋1)2
－a(a －1)＝3a ＋1，∴ 当a ＝3＋3时，T ＝3×(3＋3)＋1＝10＋3 3
第45题
46. (1) ∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，∠BAD ＝∠BCD ＝90°.∴ ∠EAH ＝∠GCF ＝90°.∵ BF ＝DH ，∴ AH ＝CF.∵ AE ＝CG ，∴ △EAH ≌△GCF(SAS)．∴ EH ＝GF.同理，EF ＝GH.∴ 四边形EFGH 为平行四边形 (2) 在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，设AE ＝x ，则BE ＝x ＋1.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝45°，∴ BE ＝BF.∵ BF ＝DH ，∴ DH ＝BE ＝x ＋1.∴ AH ＝AD ＋DH ＝x ＋2.∵ 在Rt △AEH 中，tan ∠AEH ＝2，∴ AH
AE ＝
2.∴ AH ＝2AE.∴ 2＋x ＝2x ，解得x ＝2.∴ AE ＝2
47. (1) ∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ACB ＝90°.∴ 在△ACB 中，∠B ＋∠CAB ＝90°.∵ ∠EAC ＝∠D ，∠D ＝∠B ，
∴ ∠EAC ＋∠CAB ＝90°，即∠BAE ＝90°.∴ BA ⊥AE.∴ 直线AE 是⊙O 的切线 (2) ∵ 在Rt △ACB 中，∠BAC ＝30°，BC ＝4，∴ AB ＝2BC ＝2×4＝8.由勾股定理，得CA ＝82
－4
2
＝4 3.如图，连接BD.∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB ＝90°.∵ 在Rt △ADB 中，cos ∠BAD ＝34＝AD AB ，∴ 34＝AD
8.∴ AD ＝6.
由勾股定理，得BD ＝82
－62
＝27.∵ ∠BDC ＝∠BAC ，∠DFB ＝∠AFC ，∴ △DFB ∽△AFC.∴ BF CF ＝BD CA .∵ CF ＝10
3
，∴ BF 103
＝2743.∴ BF ＝521
9 第47题
48. (1) 如图，延长AO 交BC 于点H ，连接OB.∵ AC ＝AB ，OC ＝OB ，∴ 点A ，O 在线段CB 的中垂线上．∴ OA ⊥CB.∵ AC ＝AB ，∴ AO 平分∠BAC (2) 如图，过点D 作
DK ⊥AO 于点K.∵ 由(1)，知OC ＝OB ，AO ⊥BC ，BC ＝6，∴ BH ＝CH ＝12BC ＝3，∠COH ＝12∠BOC.∵ ∠BAC ＝1
2∠BOC ，∴ ∠
COH ＝∠BAC.∵ 在Rt △COH 中，∠OHC ＝90°，CH ＝3，∴ sin ∠COH ＝
CH CO ＝3CO ＝35
.∴ CO ＝AO ＝5.∴ OH ＝OC 2－CH 2
＝4.∴ AH ＝AO ＋OH ＝4＋5＝9.在Rt △ACH 中，∠AHC ＝90°，AH ＝9，CH ＝3，∴ tan ∠CAH ＝CH AH ＝13，AC ＝AH 2＋CH 2＝92＋3
2
＝310.由(1)，知∠CAH ＝∠BAH ，∴ tan ∠BAH ＝tan ∠CAH ＝1
3
.设DK ＝3a ，则在 Rt △ADK 中，AK ＝9a.在Rt △DOK 中，∵ tan ∠DOK ＝tan ∠COH ＝3
4，∴ OK ＝4a ，OD ＝5a.∴ AO ＝
OK ＋AK ＝13a ＝5.∴ a ＝513，OD ＝5a ＝25
13.∴ CD ＝OC ＋OD ＝5
＋2513＝90
13
第48题
49. (1) 如图，连接AD.∵ ∠A ＝∠BCD ，∠AED ＝∠CEB ，∴ △AED ∽△CEB.∴ AE CE ＝ED
EB
.∴ AE ·EB ＝CE ·ED
(2) ∵ ⊙O 的半径为3，∴ OA ＝OB ＝OC ＝3.∵ OE ＝2BE ，∴ OE ＝2，BE ＝1，AE ＝5.由
CE DE ＝9
5
，可设CE ＝9x ，DE ＝5x(x>0)．∵ AE ·EB ＝CE ·ED ，∴ 5×1＝9x ·5x ，解得x ＝13.∴ CE ＝9x ＝3，DE ＝5x ＝5
3.如图，过点C 作CF ⊥AB
于点 F.∵ OC ＝CE ＝3，∴ OF ＝EF ＝1
2OE ＝1.∴ BF ＝2.∴
CF ＝OC 2
－OF 2
＝2 2.∵ 在Rt △CFB 中，∠CFB ＝90°，∴ tan ∠OBC ＝CF BF ＝22
2＝ 2.∵ CF ⊥AB 于点F ，∴ ∠CFB ＝
90°.∵ BP 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，∴ ∠EBP ＝90°.∴ ∠CFB ＝∠EBP.在△CFE 和△PBE 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠CFE ＝∠PBE ，EF ＝EB ，
∠FEC ＝∠BEP ，∴ △CFE ≌△PBE.∴ EP ＝EC ＝3.∴ DP ＝EP －ED ＝3－53＝4
3
第49题
50. (1) 如图，连接AP ，过点C 作CD ⊥AB 于点D ，则CD 是△ABC 的边AB 上的高．∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB ＝AC.∵ S △ABC ＝S △ABP ＋S △ACP ，∴ 12AB ·CD ＝12AB ·PM ＋12AC ·PN ，
即12AB ·CD ＝12AB ·PM ＋1
2AB ·PN ，∴ PM ＋PN ＝CD.因此不论点P 在BC 边的何处时都有PM ＋PN 的长恰好等于△ABC 一边上的高 (2) 设BP ＝x ，则CP ＝2－x.∵ △ABC 是等边三角形，∴ ∠B ＝∠C ＝60°.∵ CD ⊥AB ，∴ CD ＝CB ·sin 60°＝2×
3
2
＝ 3.∵ PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴ BM ＝ BP ·cos 60°＝12x ，PM ＝ BP ·sin 60°＝32x ，CN ＝ CP ·cos 60°＝12(2－x)，PN ＝CP ·sin 60°＝
3
2
(2－x)．∴ S 四边形AMPN
＝S △ABC
－S △BMP －S △CNP ＝12×2×3－12×12x ×32x －12×12(2－x)×
3
2
(2－x)＝－
34x 2＋32x ＋32＝－34(x －1)2
＋334
.∴ 当BP ＝1时，四边形AMPN 的面积最大，最大是
33
4
第50题
51. (1) 6 3 49 (2) 方法1：∵ ∠ACB ＝60°，∴ AB 2
＝AC 2
＋BC 2
－2AC ·BCcos 60°＝AC 2
＋BC 2
－AC ·BC.两边同时乘12sin 60°，得12AB 2sin 60°＝12AC 2sin 60°＋12BC 2
sin
60°－1
2AC ·BCsin 60°.∵ △ABC ′，△BCA ′，△ACB ′是
等边三角形，∴ S 1＝12AC ·BCsin 60°，S 2＝12AB 2
sin 60°，
S 3＝12BC 2sin 60°，S 4＝12AC 2
sin 60°.∴ S 2＝S 4＋S 3－S 1.∴
S 1＋S 2＝S 3＋S 4.方法2：令∠BAC ，∠ABC ，∠ACB 的对边分别为a ，b ，c ，∴ S 1＝12ab sin ∠ACB ＝12ab sin 60°＝34ab.
∵ △ABC ′，△BCA ′，△ACB ′是等边三角形，∴ S 2＝
1
2
c ·c ·sin 60°＝34c 2，S 3＝12a ·a ·sin 60°＝34a 2
，S 4
＝12b ·b ·sin 60°＝34b 2.∴ S 1＋S 2＝34(ab ＋c 2
)，S 3＋S 4
＝
34
(a 2＋b 2)．∵ c 2＝a 2＋b 2－2ab ·cos ∠ACB ＝a 2＋b 2
－2ab ·cos 60°，∴ a 2
＋b 2
＝c 2
＋ab.∴ S 1＋S 2＝S 3＋S 4
52. 3 小明的说理过程如下：如图①，设图形内部四边形的顶点为P ，Q ，M ，N ，过点A 作AK ⊥BC 于点K.由拼图知，四边形PQMN 是矩形．在Rt △ABP 中，∠APB ＝90°，∠ABP ＝30°，AP ＝a ，∴ AB ＝2a ，BP ＝3a.在Rt △BCQ 中，∠BQC ＝90°，∠CBQ ＝45°，∴ BQ ＝CQ ＝b ，BC ＝2b.在Rt △ABK 中，∠AKB ＝90°，∠ABK ＝75°，AB ＝2a ，∴ AK ＝sin 75°×AB ＝2a ·sin 75°.∵ AD ＝BC ，AB ＝DC ，∴ 四边形ABCD 是平行四边形．∴ S ▱ABCD ＝BC ·AK ＝22ab ·sin 75°.又∵ S ▱ABCD ＝2S △ABP ＋2S △BCQ ＋S 矩形PQMN ＝3a 2
＋b 2
＋(3a －b)(b －a)＝(3＋1)ab ，∴ 22ab ·sin 75°＝(3＋1)ab.∴ sin 75°＝（3＋1）ab 22ab
＝6＋2
4
第52题①
小军的说理过程如下：如图②，设图形内部四边形的顶点为P ，Q ，M ，N ，作NK ⊥PQ 于点K.由拼图知，四边形EFGH
是矩形．在Rt △PNE 中，∠PEN ＝90°，∠PNE ＝30°，PE ＝a ，∴ PN ＝2a ，NE ＝3a.在Rt △PFQ 中，∠PFQ ＝90°，∠FPQ ＝45°，∴ PF ＝QF ＝b ，PQ ＝2b.在Rt △PNK 中，∠PKN ＝90°，∠NPK ＝180°－60°－45°＝75°，∴ NK ＝sin 75°×PN ＝2a ·sin 75°.∵ PQ ＝MN ，PN ＝QM ，∴ 四边形PQMN 是平行四边形．∴ S ▱PQMN ＝PQ ·NK ＝22ab ·sin 75°.又∵ S 矩形EFGH ＝2S △PNE ＋2S △PFQ ＋S ▱PQMN ＝3a 2
＋b 2
＋22ab ·sin 75°，S 矩形EFGH ＝FG ·EF ＝(3a ＋b)(a ＋b)＝3a 2
＋b 2
＋(3＋1)ab ，∴ 3a 2
＋b 2
＋22ab ·sin 75°＝3a 2
＋b 2
＋(3＋1)ab.∴ sin 75°＝（3＋1）ab 22ab
＝6＋24
第52题②。