高中数学《指数函数》针对练习及答案

第二章函数
2.4.2 指数函数（针对练习）针对练习
针对练习一指数与指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0，b>0)．
(1)a
2
2
2．计算或化简下列各式：
（1）(a－2)·(－4a－1)÷(12a－4)(a>0)；
（2）
2
1
3-
2
3
3+0.002
8
-
⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
－
2)－1＋
0. 3．计算：
(1)
111
1
242 114
31
0.7562)16
4300
-
--
⎫⎛⎫⎛⎫
⨯⨯+-++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
11
11
33
42
0,0)
a b
a b a b
-
>>
⎛⎫
⎪
⎝⎭
4．计算：
(1)
101
32
11
4(2)9
24
-
-
-
⎛⎫⎛⎫
-⨯-+-
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
；
(2)29
32
)
-
⨯
5．(1)
()
21
6
32
7
8()[2]
8
---；
(2)
()
()
)12
1
332
1()004
0.1a b a b ---＞，＞.
针对练习二 指数函数的概念
6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4x
y =-；①()121,12
x
y a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝
⎭
中，y 是
关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．下列函数是指数函数的是（ ）
A ．y ＝()2
x π
B ．y ＝(－9)x
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝2×5x
8．下列函数中为指数函数的是（ ） A ．23x y =⋅ B ．3x y =-
C ．3x y -=
D ．1x y =
9．函数()244x
y a a a =-+是指数函数，则有（ ）
A ．a ＝1或a ＝3
B ．a ＝1
C ．a ＝3
D ．a ＞0且a ≠1
10．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(12,)3
，则(1)f -=（ ） A
．1 B ．2
C D ．3
针对练习三 指数函数的图像
11．函数2x y -=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5
4
13
，1
2中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）
A ．5
4
13
，12 B 54
，1
2，13
C ．1
2，1
354
D ．13
，1
2，54
13．若0a >且1a ≠，则函数()1
1x f x a -=+的图象一定过点（ ）
A ．()0,2
B ．()0,1-
C ．()1,2
D ．()1,1-
14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)
D ．()1,1a +
15．对任意实数01a <<，函数()1
1x f x a -=+的图象必过定点（ ）
A ．()0,2
B ．()1,2
C ．()0,1
D ．()1,1
针对练习四 指数函数的定义域
16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞ C ．(,2]-∞ D ．[2,)+∞
17．函数()2
2
f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞
C ．()(),22,-∞+∞
D ．[0,2)(2,)⋃+∞
18．设函数f （x ），则函数f （x 4
）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
C ．(]0,4
D ．10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()
21x
F x f =-的定义域为（ ）
A ．(),1-∞
B ．()(),00,1-∞⋃
C ．()0,∞+
D ．[)0,1
20．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1
针对练习五 指数函数的值域
21．函数2212x x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的值域为（ ） A ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
C ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．(]0,2
22．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0 C ．5 D ．9
23．函数21
21
x x y -=+的值域是（ ）
A ．()(),11,-∞--+∞
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()
(),11,-∞+∞
24．已知函数()()1123,12,1
x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．1,2
⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
C ．(),0-∞
D ．[)0,2
25．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则实数=a （ ）
A ．3
B ．13
C ．3或13
D ．23
或32
针对练习六 指数函数的单调性
26．函数2
435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞
27．函数2231
12x x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
C ．(),1-∞
D ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
28．若函数()215x ax
f x +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）
A ．4a ≤-
B ．2a ≤-
C ．2a ≥-
D ．4a ≥-
29．若函数()(),1,
5
13,1
3x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12
,33⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,2
C ．11,32
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．20,3
⎛⎫
⎪⎝
⎭
30．已知函数()()4211
x
a x x f x a x ⎧-≤=⎨
>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为
（ ）
A ．()01，
B ．()13，
C ．423
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
针对练习七 比较大小与解不等式
31．已知4
12a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，124b =，122
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<
32．已知1313
422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a
33．若21
41122a a
+-⎛⎫
⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞
C ．(3,)+∞
D ．(3),-∞
34．若x 满足不等式2
2
1
139x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）
A ．1
,28
⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
B ．1
,28⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．1,8⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
D ．[2,)+∞
35．若1133a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列正确的是（ ）
A ．33a b <
B ．ac bc >
C ．11a b
<
D ．b c a c -<-
针对练习八 指数函数的应用
36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)
1()1t f t e --=
+，当
()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
37．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者
传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出
0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4
倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天
38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h
39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时
40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e kt
θθθθ-=-+，其中为时间
（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．ln 2
20
B ．
ln 3
20
C ．ln 2
10
-
D ．ln 3
10
-
第二章 函数
2.4.2 指数函数（针对练习）
针对练习
针对练习一 指数与指数幂的运算
1．用分数指数幂的形式表示下列各式(a >0，b >0)．
(1)a
2 2
．
【答案】(1)5
2a ； (2)13
6a ； (3)73
62a b ； (4)7
6a . 【解析】 【分析】
由根式与有理数指数幂的关系，结合指数幂的运算性质化简求值即可. (1)
原式＝115
22222a a a a +⋅==. (2)
原式＝22313
333262a a a a +⋅==． (3)
原式＝12217113332
333
32
62
2
2
22
()()a ab a a b a b a b +⋅===.
(4)
原式＝5
5
7
22666a a a a --⋅==． 2．计算或化简下列各式： （1）(a －2)·(－4a －1)÷(12a －4)(a >0)；
（2）213
-
2
33+0.0028-⎛⎫
- ⎪
⎝⎭
－2)－
1＋0
.
【答案】（1）－1
3a ；（2）－
167
9
.
【解析】 【分析】
直接根据指数幂的运算性质计算即可. 【详解】
(1)原式21434114(12)33
a a a a ----+=-÷=-=-
(2)
原式2
13
2
27118500--⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
213
32
3()5002)12-
⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦
＝49
＋
20＋1＝－ 167
9
. 3．计算：
(1)1
1112
4
2
1
1
4
310.7562)164300-
--⎫⎛⎫⎛⎫⨯⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
1
1
1
133
4
2
0,0)
a b a b a b ->>⎛
⎫ ⎪⎝⎭
【答案】(1)-16 (2)(0,0)a a b b
>> 【解析】 【分析】
（1）根据分数指数幂的运算规则化简计算即可； （2）根据分数指数幂的运算规则化简得出结果. (1)
原式
=111
2
2
2411010233-⎫⎫⎛⎫⨯⨯++⨯+ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎝⎭
(
1
2410223⎫=⨯-⨯+⎝⎭
220216=-+=-
(2)
原式5433112
3
3
(0,0)a b
a
a b b
ab a b
-
=
=
>> 4．计算：
(1)1
13
2114(2)924---⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；
(2)2
932
)-
⨯
【答案】(1)196
(2)【解析】 【分析】
（1）利用指数幂的运算性质即可求解.
（2）利用根式与分数指数幂的互化以及指数幂的运算性质即可求解. (1)
原式1111924()1218236
=-⨯-+=++-=. (2)
原式24119
555636
333
2
2
2
2
21
[(8)](10)10(2)1010102
--
-=⨯÷=⨯÷=⨯
721102=⨯=== 5．(1)
()21
6
03
278()[2]8
---；
(2)
()
()
)12
1
332
1()
004
0.1a b a b ---＞，＞.
【答案】(1)8π+；(2)85
. 【解析】 【分析】
(1)(2)均根据指数幂的运算性质即可计算； 【详解】
(1)原式2
33(2)=-1＋|3﹣π|1
62(2)+=4﹣1＋π﹣3＋23＝π＋8.
(2)原式33322
2
332
2
2485
10a b a b
-
-
⋅==
.
针对练习二 指数函数的概念
6．在①4x y =；①4y x =；①4x y =-；①()4x
y =-；①()121,12
x
y a a a ⎛⎫=->≠ ⎪⎝
⎭
中，y 是
关于x 的指数函数的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
【答案】B 【解析】 【分析】
直接根据指数函数的定义依次判断即可. 【详解】
根据指数函数的定义，知①①中的函数是指数函数， ①中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ①中4x 的系数是1-，所以不是指数函数； ①中底数40-<，所以不是指数函数． 故选：B ．
7．下列函数是指数函数的是（ ）
A ．y ＝()2
x π
B ．y ＝(－9)x
C ．y ＝2x －1
D ．y ＝2×5x
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数定义判断． 【详解】
B 中底数90-<，
C 中指数是1x -，不是x ，
D 中5x 前面系数不是1，根据指数函数定义，只有A 中函数是指数函数， 故选：A.
8．下列函数中为指数函数的是（ ）
A ．23x y =⋅
B ．3x y =-
C ．3x y -=
D ．1x y =
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数函数的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】
根据指数函数的定义知，()0,1x
y a a a =>≠，
可得函数23x y =⋅不是指数函数；函数3x y =-不是指数函数；函数3x y -=是指数函数；函数1x y =不是指数函数. 故选：C.
9．函数()244x
y a a a =-+是指数函数，则有（ ）
A ．a ＝1或a ＝3
B ．a ＝1
C ．a ＝3
D ．a ＞0且a ≠1
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知条件列不等式，由此求得正确选项. 【详解】
由已知得244101a a a a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，即2301a a a a ⎧+=⎪
⎨⎪≠⎩
，解得3a =．
故选：C
10．若函数()x f x a =（a >0，且a ≠1）的图象经过(1
2,)3
，则(1)f -=（ ） A ．1 B ．2 C
D ．3
【答案】C 【解析】 【分析】
由指数函数所过的点求解析式，进而求(1)f -的值. 【详解】
由题意，2
1(2)3
f a ==，又a >0
，则a =
①()x f x =，故1(1)f --== 故选：C
针对练习三 指数函数的图像
11．函数2x y -=的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的解析式可得函数2x y -=是以1
2为底数的指数函数，再根据指数函数的图像即可得出答案. 【详解】
解：由122x
x
y -⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，得函数2x y -=是以12为底数的指数函数，
且函数为减函数，故D 选项符合题意. 故选：D.
12．函数①x y a =；①x y b =；①x y c =；①x y d =的图象如图所示，a ，b ，c ，d 分别是下列四个数：5
4
13
，1
2中的一个，则a ，b ，c ，d 的值分别是（ ）
A ．5
4
13
，12 B 54
，1
2，13
C ．1
2，1354
D ．13
，1
2，54
【答案】C 【解析】 【分析】
由直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b 即可求解. 【详解】
解：直线1x =与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c ，d ，a ，b ，511423
>>， 所以a ，b ，c ，d 的值分别是1
2，13
54
， 故选：C.
13．若0a >且1a ≠，则函数()1
1x f x a -=+的图象一定过点（ ）
A ．()0,2
B ．()0,1-
C ．()1,2
D ．()1,1-
【答案】C 【解析】 【分析】
令10x -=求出定点的横坐标，即得解. 【详解】
解：令10,1-=∴=x x .
当1x =时，()11
11=2f a -=+，
所以函数()f x 的图象过点()1,2. 故选：C.
14．已知函数f （x ）= ax +1的图象恒过定点P ，则P 点的坐标为（ ） A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(1，2)
D ．()1,1a +
【答案】B 【解析】 【分析】
由指数函数过定点的性质进行求解. 【详解】
()x f x a =的图象恒过定点()0,1，所以()1x f x a =+的图象恒过定点()0,2
故选：B
15．对任意实数01a <<，函数()1
1x f x a -=+的图象必过定点（ ）
A ．()0,2
B ．()1,2
C ．()0,1
D ．()1,1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据指数函数的知识确定正确选项. 【详解】
当10x -=，即1x =时，()12f =， 所以()f x 过定点()1,2. 故选：B
针对练习四 指数函数的定义域
16．函数y ） A ．(,3]-∞ B ．[3,)+∞
C ．(,2]-∞
D ．[2,)+∞
【答案】D 【解析】 【分析】
根据函数的定义域定义求解即可. 【详解】
要使得函数y 则390x -≥，39x ≥，233x ≥，解得2x ≥.
故函数y [2,)+∞. 故选：D.
17．函数()2
2
f x x -的定义域为（ ） A ．[0,2) B ．(2,)+∞
C ．()(),22,-∞+∞
D ．[0,2)(2,)⋃+∞
【答案】D 【解析】
求出使函数式有意义的自变量的范围即得、 【详解】
由21020x x ⎧-≥⎨-≠⎩
得02x x ≥⎧⎨≠⎩，即[0,2)(2,)x ∈⋃+∞.
故选：D.
18
．设函数f （x ），则函数f （x 4
）的定义域为（ ） A ．(],4∞- B ．1,4∞⎛⎤
- ⎥⎝
⎦
C ．(]0,4
D ．10,4⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
求得4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
0，结合指数函数的性质求解即可． 【详解】
因为()f x =
所以4x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
因为44
440,44,1,44
x x x x -≥≤≤≤，
所以4x
f ⎛⎫
⎪⎝⎭
的定义域为(],4-∞，故选A ．
【点睛】
本题主要考查函数的定义域以及指数函数的单调性的应用，是基础题．定义域的三
种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.
19．已知函数()y f x =的定义域为()0,1，则函数()()
21x
F x f =-的定义域为（ ）
A ．(),1-∞
B ．()(),00,1-∞⋃
C ．()0,∞+
D ．[)0,1
【答案】B 【解析】 【分析】
抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x 的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】
()y f x =的定义域为()0,1，1021x
-∴<<，即121121x x ⎧-<-<⎨≠⎩
，
1
0x x <⎧∴⎨≠⎩
，解得：1x <且0x ≠， ()()
21x F x f ∴=-的定义域为()(),00,1-∞⋃.
故选：B .
20．函数y (－∞，0]，则a 的取值范围为( ) A ．a ＞0 B ．a ＜1 C ．0＜a ＜1 D ．a ≠1
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得10x a -≥，对a 讨论，分1,01a a ><<,运用指数函数的单调性，列不等式即可得到a 的范围. 【详解】
要使函数0y a >且1)a ≠有意义, 则10x a -≥, 即01x a a ≥=, 当1a >时，0x ≥；
当01a <<时，0x ≤，
因为y =的定义域为(],0-∞ 所以可得01a <<符合题意，
a ∴的取值范围为01a <<，故选
C.
【点睛】
本题考查函数的定义域以及指数函数的单调性，注意运用偶次根式被开方式非负，意在考查分类讨论思想与运算能力，属于中档题.
针对练习五 指数函数的值域
21．函数2212x x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的值域为（ ） A ．1,2
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
B ．1,2⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
C ．10,2⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．(]0,2
【答案】D 【解析】 【分析】
令2
2t x x =-，则12t
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，转求二次函数与指数函数的值域即可.
【详解】
令22t x x =-，则12t
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，
①()2
22111t x x x =-=--≥-，
①(],2120t
y ⎛⎫
⎪⎭
∈= ⎝，
①函数2212x x
y -⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的值域为(]0,2，
故选：D
22．若23x ，则函数1()421x x f x +=-+的最小值为（ ） A ．4 B ．0
C ．5
D ．9
【答案】A 【解析】 【分析】
设23x t =，则2()21=-+f t t t 利用函数()f t 单调性可得答案. 【详解】
设23x t =，则()2
2()211=-+=-f t t t t （3t ）， 对称轴为1t =，所以()f t 在[)3,+∞上单调递增，
所以2
min ()(3)32314f t f ==-⨯+=.
故选：A.
23．函数21
21
x x y -=+的值域是（ ）
A ．()(),11,-∞--+∞
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()
(),11,-∞+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
将函数化为121x
y
y
+=
-，利用20x >列出关于y 的不等式，解出不等式即可. 【详解】
设2121
x x y -=+，由原式得121x
y y +=-，
20x >, 101y
y
+∴
>-， ①11y -<<，
即函数()f x 的值域为(1,1)-. 故选：C
24．已知函数()()1
123,1
2,1
x a x a x f x x -⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R ，则实数a 的取值范围是（ ） A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B ．1,2
⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
C ．(),0-∞
D ．[)0,2
【答案】A 【解析】 【分析】
先求出12x y -=在[)1,+∞上的取值范围，再利用分段函数的值域进行求解．
【详解】
因为12x y -=在[)1,+∞上单调递增， 所以当1≥x 时，1022=1x y -=≥， 若函数()f x 的值域为R ，
则1201231
a a a ->⎧⎨-+≥⎩， 解得102
a ≤<． 故选：A.
25．函数2x y a =-（0a >且1a ≠，11x -≤≤）的值域是5,13⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则实数=a （ ）
A ．3
B ．13
C ．3或13
D ．23
或32
【答案】C 【解析】
当0a >且1a ≠时，函数为指数型函数，需要分情况进行讨论解决．当1a >时，函数
2x y a =-是增函数；当01a <<时，函数2x y a =-是减函数，由此结合条件建立关于a
的方程组，解之即可求得答案． 【详解】
当1a >时，2x
y a =-在[]1,1-上为增函数， 211523a a
-=⎧⎪
∴⎨-=-⎪⎩，解得3a =；
当01a <<时，2x
y a =-在[]1,1-上为减函数，523121
a a
⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩，解得13a =．
综上可知：3a =或1
3
． 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查了指数函数的单调性和值域，解题的关键是利用函数的单调性求解函数值域，但含有参数时往往需要讨论.
针对练习六 指数函数的单调性
26．函数2
435x x y -+-=的单调递减区间是（ ） A ．[2,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(,1]-∞ D ．[1,)+∞
【答案】A 【解析】 【分析】
利用复合函数的单调性“同增异减”来解题. 【详解】
设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2
435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞. 故选：A.
27．函数2231
12x x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调递减区间为（ ） A ．(1,)+∞ B ．3,4⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
C ．(),1-∞
D ．3
,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
根据复合函数单调性法则“同增异减”求解即可. 【详解】
解：因为函数2231y x x =-+在区间3,4⎛⎫
-∞ ⎪⎝
⎭
上单调递减，在3,4
⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上单调递增，
函数12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在定义域内是单调递减函数，
所以，根据复合函数单调性法则“同增异减”得2231
12x x y -+⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
的单调递减区间为
3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
. 故选：D
28．若函数()215x ax
f x +⎛⎫= ⎪
⎝⎭
在[]1,2单调递减，则a 的取值范围（ ）
A ．4a ≤-
B ．2a ≤-
C ．2a ≥-
D ．4a ≥-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据复合函数单调性来求得a 的取值范围. 【详解】
依题意函数()215x ax
f x +⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
在[]1,2单调递减，
1
5x
y =
在R 上递减， 2y x ax =+的开口向上，对称轴为2
a
x =-，
根据复合函数单调性同增异减可知，122
a a -≤⇒≥-. 故选：C
29．若函数()(),1,5
13,1
3x a x f x a x x ⎧≥⎪
=⎨-+<⎪⎩在R 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12
,33⎛⎤
⎥⎝⎦
B ．1,2
C ．11,32
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．20,3
⎛⎫
⎪⎝
⎭
【答案】A 【解析】 【分析】
根据分段函数的性质，以及函数()f x 在R 上单调递减，结合指数函数的性质，可知
011305133a a a a
⎧
⎪<<⎪
-<⎨⎪⎪-+≥⎩
，求解不等式，即可得到结果. 【详解】
①函数()f x 在R 上单调递减，①011305
133a a a a
⎧
⎪<<⎪-<⎨⎪⎪-+≥⎩，解得12
33a <≤，实数a 的取值范围是
12,33⎛⎤
⎥⎝⎦
. 故选：A.
30．已知函数()()421
1
x
a x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩，，是R 上的单调函数，那么实数a 的取值范围为
（ ）
A ．()01，
B ．()13，
C ．423
⎡⎫
⎪⎢⎣⎭，
D ．312⎛⎤ ⎥⎝⎦
，
【答案】C 【解析】 【分析】
根据()f x 的单调性列不等式组，由此求得a 的取值范围. 【详解】 函数()()421
1
x
a x x f x a x ⎧-≤=⎨
>⎩，，，
若()f x 在R 上为单调递增函数，
则()1
4201421a a a a ⎧->⎪>⎨⎪-⨯≤⎩
，解得423a ≤<；
若()f x 在R 上为单调递减函数，
则()142001421a a a a ⎧-<⎪
<<⎨⎪-⨯≥⎩
，无解． 综上所述，实数a 的取值范围为423⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
． 故选：C
针对练习七 比较大小与解不等式
31．已知4
12a ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，124b =，122
c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．a c b << D ．b a c <<
【答案】C 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性判断指数式的大小关系. 【详解】
由题设，42a -=，2b =，1
22c =，又2x y =在定义域上递增， ①a c b <<. 故选：C.
32．已知1313
422,3,4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a <b <c B ．c <a <b C ．a <c <b D ．c <b <a
【答案】B 【解析】 【分析】
结合指数函数、幂函数的单调性确定正确选项. 【详解】
4x y =在R 上递增，1
4y x =在()0,∞+上递增.
123111334442
422893c a b ==<==<==.
故选：B
33．若21
41122a a
+-⎛⎫
⎛⎫> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞ B ．(1,)+∞
C ．(3,)+∞
D ．(3),-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
根据指数函数的单调性，将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可； 【详解】
解：因为12x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，所以21
41122a a
+-⎛⎫⎛⎫
> ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭
等价于214a a +<-，解
得1a <，即原不等式的解集为(,1)-∞ 故选：A
34．若x 满足不等式22
1
13
9x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数2x y =的值域是（ ）
A ．1
,28
⎡⎫⎪⎢⎣
⎭
B ．1
,28⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C ．1,8⎛
⎤
-∞ ⎥⎝
⎦
D ．[2,)+∞
【答案】B 【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性得到自变量的范围，进而得到指数函数的值域. 【详解】 由22
1
13
9x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭
可得22
1
2(2)13
39x x x -+--⎛⎫= ⎪⎝⎭
，
因为3x y =在R 上单调递增， 所以2124x x +-+即x 2+2x -3≤0， 解得：31x -≤≤ ， 所以31222x y -=，
即函数2x y =的值域是1,28⎡⎤
⎢⎥⎣⎦，
故选:B .
35．若1133a
b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则下列正确的是（ ）
A ．33a b <
B ．ac bc >
C ．11a b
<
D ．b c a c -<-
【答案】D 【解析】 【分析】
先根据题干条件和函数13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的单调性得到a b >，
A 选项可以利用函数的单调性进行判断，BC 选项可以举出反例，D 选项用不等式的基本性质进行判断. 【详解】
因为13x
y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，若1133a b
⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a b >，
对于选项A ：若a b >，因为()3
f x x =单调递增，所以33a b >，故A 错误；
对于选项B ：当a b >时，若0c ，则ac bc =，故B 错误；
对于选项C ：由a b >，不妨令1a =，2b =-，则此时11a
b
>，故C 错误； 对于选项D ：由不等式性质，可知D 正确. 故选：D.
针对练习八 指数函数的应用
36．专家对某地区新型流感爆发趋势进行研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t （单位：天）与病情爆发系数()f t 之间，满足函数模型：0.22(340)
1()1t f t e
--=
+，当
()0.1f t =时，标志着疫情将要局部爆发，则此时t 约为（参考数据： 1.13e ≈）（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．40
【答案】A 【解析】 【分析】
根据()0.1f t =列式，并根据给出参考数据，结合指数函数的性质解相应的指数方程，即可得答案. 【详解】
解：因为()0.1f t =，0.22(340)
1()1t f t e
--=+，
所以0.22(340)
10.11t e
--=
+，即0.22(340)011t e --=+，
所以0.22(340)9t e --=，由于 1.13e ≈，故()2
1.1
2.29e e =≈， 所以0.22(23).240t e e --≈，所以()0.22340 2.2t --≈，解得10t ≈. 故选：A.
37．基本再生数0R 与世代间隔T 是流行病学基本参数，基本再生数是指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间，在α型病毒疫情初始阶段，可以用指数函数模型(e )rt I t =描述累计感染病例数()I t 随时间t （单位：天）的变化规律，指数增长率r 与0R 、T 近似满足01R rT =+，有学者基于已有数据估计出
0 3.22R =，10T =.据此，在α型病毒疫情初始阶段，累计感染病例数增加至(0)I 的4
倍，至少需要（ ）（参考数据：ln 20.69≈） A ．6天 B ．7天 C ．8天 D ．9天
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意将给出的数据代入公式即可计算出结果 【详解】
因为0 3.22R =，10T =，01R rT =+，所以可以得到01 3.221
0.22210
R r T --=
==
0.2220(0)1I e ⨯==，由题意可知0.2224t e >，ln 42ln 220.69
6.20.2220.2220.222
t ⨯>
=≈≈ 所以至少需要7天，累计感染病例数增加至(0)I 的4倍 故选：B
38．某灭活疫苗的有效保存时间T （单位：小时h ）与储藏的温度t （单位：①）满足的函数关系为e ht b T +=（k ，b 为常数，其中e 2.71828=⋅⋅⋅，是一个和π类似的无理数，叫自然对数的底数），超过有效保存时间，疫苗将不能使用.若在0①时的有效保存时间是1080h ，在10①时的有效保存时间是120h ，则该疫苗在15①时的有效保存时间为（ ） A ．15h B ．30h C ．40h D ．60h
【答案】C 【解析】 【分析】
根据已知的函数模型以及已知数据，待定系数即可求得结果. 【详解】
由题意知1080e b =，1010120e e e k b k b +==⋅，所以()
2
1051201
e
e 10809
k
k
==
=， 所以51e 3k =，所以151e 27k =
，所以15151e
e e 10804027
k b
k b +=⋅=⨯=. 故选：C ．
39．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ︒）满足函数关系e kx b y +=（e 2.718=为自然对数的底数，,k b 为常数）．若该食品在0C ︒的保鲜时间是192小时，在33C ︒的保鲜时间是24小时，则该食品在22C ︒的保鲜时间是（ ） A ．20 小时 B ．24小时 C ．36小时 D ．48小时
【答案】D 【解析】 【分析】
根据题意建立方程组，进而解出11e ,e b k ，然后将22代入即可求得答案. 【详解】
由题意，331133e 1922411e e 19282e
24b k k k b
+⎧=⇒==⇒=⎨=⎩，所以该食品在22C ︒的保鲜时间是2222e e e 1
192484
k b k b +=⋅=⨯=.
故选：D.
40．牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：()100e kt
θθθθ-=-+，其中为时间
（单位：min ），0θ为环境温度，1θ为物体初始温度，θ为冷却后温度），假设在室内温度为20C 的情况下，一桶咖啡由100C 降低到60C 需要20min .则k 的值为（ ） A ．
ln 2
20
B ．
ln 3
20
C ．ln 2
10
-
D ．ln 3
10
-
【答案】A 【解析】 【分析】
把020θ=，1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt
θθθθ-=-+可求得实数k 的值.
【详解】
由题意，把020θ=，
1100θ=，60θ=，20t =代入()100e kt
θθθθ-=-+中得2080e 2060k -+=，可得201
e
2
k
-=， 所以，20ln 2k -=-，因此，ln 2
20
k =. 故选：A.。