高二数学下学期期中考试试卷含答案(共5套,word版)

高二下学期数学期中考试试卷
时量：120分钟 总分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-=
=>==x y x B x x y y ，则（ ）
A ．
B A ⊆ B ．A B A =⋃
C ．φ=⋂B A
D ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3. 函数x x f 3log )(=的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4. 若向量,a b 的夹角为3
2π
，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56
π
5. 已知0a >，0b >，若不等式313m
a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
6.已知2
1)4
tan(=
-
π
α，且0<<-απ，则αα2
sin 22sin +等于（ ）
A ．
B ．25-
C ．25
D ．
512
7.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A ．π48
B ．π32
C ．π12
D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(lo
g 5.0f a =,
),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(2
2
=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ ）
A ．]6,2[
B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[ 10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．9
11.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为)(x f '，若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ ）
A ．)3(9)2(4f f <-
B ． )3(9)2(4f f >-
C ．)2(3)3(2->f f
D ．)2(2)3(3-<-f f
12.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x C ，：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

若直线x y =与双曲线C 交于Q
P ,两点，且四边形21QF PF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ） A ．62+
B ．62+
C ．22+
D ．22+
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数,x y 满足10,
0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最大值是 ．
14.5)2(x x +
的展开式中，3x 的系数是 。

（用数字填写答案）
15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班级的同学相邻的站法种数有 。

（用数字作答）
16. 已知32,(),x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围
是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17. (10分) 若数列}{n a 的前n 项和为n S ，且n n n a a S a +=>2
12,0 ()n N *∈． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）若0>n a )(*
∈N n ，令)
2(1
+=
n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T ．
18. （12分）已知函数.2
1
)cos()sin(3cos )(2
-+⋅-+=x x x x f ππ （1）求函数)(x f 在],0[π上的单调递减区间；
（2）在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2,1)(=-=a A f ,
A a C b sin sin =,求ABC ∆的面积．
19. （12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y (单位:千元)的数据如下表:
（1）求y 关于t 的线性回归方程.
（2）利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
∑∑∑∑====-⋅-=
---n
i i
n
i i i n
i i
n
i i i
t
n t
y t n y
t t t
y y t t
b
1
2
2
1
1
2
1
)()
)((ˆa y bt =-.
20.（12分） 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是直角梯形，,//,90CD AB ADC
=∠
CD AB 2=，平面PD PA ABCD PAD =⊥,平面，点E 在PC 上，PAC DE 平面⊥。

（1）求证：PCD PA 平面⊥；
（2）设2=AD ，若PAD PBC 与平面平面所成的二面角为
45，求DE 的长．
P
B E A
C D
21.（12分） 已知椭圆)0(9C 2
2
2
>=+m m y x ：
，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点B A ,，线段AB 的中点为M 。

（1）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值; （2）若l 过点),3
(
m m
，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由。

22. （12分）已知函数)0(,)(≠∈-+=a R a a ax e x f x
且
（1）若函数0)(=x x f 在处取得极值，求实数a 的值，并求此时]1,2[)(-在x f 上的最大值; （2）若函数)(x f 不存在零点，求实数a 的取值范围。

参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集R I =，集合}1|{},3,log |{A 3-=
=>==x y x B x x y y ，则（ A ）
A ．
B A ⊆ B ．A B A =⋃
C ．φ=⋂B A
D ．φ≠⋂)(B C A I 2.已知i 是虚数单位，复数z 满足i z i 2)1(=-，则z 的虚部是（ A ） A ．1 B ．i C ．－1 D ．－i
3. 函数4()log f x x =的图象与函数()sin g x x π=的图象的交点个数是( B ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
4. 若向量,a b 的夹角为3
2π
，且1||,2||==b a ，则向量b a 2+与向量a 的夹角为（ B ） A ．6π B ．3π C. 23π D ．56
π
5. 已知0a >， 0b >，若不等式313m
a b a b
+≥+恒成立，则m 的最大值为（ B ）
A ．9
B ．12
C ．18
D ．24
6.已知2
1)4
tan(=
-
π
α，且0<<-απ，则ααα2
sin 2cos sin 2+等于（ D ）
A ．
B ．25-
C ．25
D ．
512
7.已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，AB ⊥BC ，AB=BC=AA 1=2，若该三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ C ）
A ．π48
B ．π32
C ．π12
D ．π8 8. 已知定义在R 上的函数()2
1x m
f x -=- （m 为实数）为偶函数，记)3(lo
g 5.0f a =,
),2(),5(log 2m f c f b ==则,,a b c 的大小关系为（ C ）
A ．a b c <<
B ．a c b <<
C ．c a b <<
D ．c b a <<
9.直线02=++y x 分别与轴轴，y x 交于B A ,两点，点P 在圆2)2(2
2
=+-y x 上，则ABP ∆面积的取值范围是（ A ）
A ．]6,2[
B ．]8,4[ C. ]23,2[ D ．]23,22[
10. 执行如图所示的程序框图，则输出的k 值为（ D ） A ．4
B ．5
C ．7
D ．9
11.已知函数)(x f 是定义域在R 上的偶函数，设函数)(x f 的导数为
)(x f '，
若对任意的0>x 都有0)()(2>'+x f x x f 成立，则（ A ）
A ．)3(9)2(4f f <-
B ． )3(9)2(4f f >-
C ．)2(3)3(2->f f
D ．)2(2)3(3-<-f f
12.设双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x C ，
：的左、右焦点分别为1F 、2F 。

若直线
x y =与双曲线C 交于Q P ,两点，且四边形21QF PF 为矩形，则双曲线的离心率为（ D ）
A ．62+
B ．62+
C ．22+
D ．22+
二、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
13.若实数,x y 满足10,0,0,x y x y x -+≥⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最大值是 2 ．
14.5)2(x x +
的展开式中，3x 的系数是 10 。

（用数字填写答案）
15.来自甲，乙，丙3个班级的5名同学站成一排照相，其中甲班有2名同学，乙班有2名同学，丙班有1名同学，则仅有一个班的同学相邻的站法种数有 48 。

（用数字作答）
16. 已知32,(),x x a
f x x x a
⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是
),1()0,(+∞-∞ .
三、解答题（本题共7道题,第1题10分,第2题12分,第3题12分,第4题12分,第5题12分,第6题12分,第7题12分）
17.若数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项10a >且22n n n S a a =+()n N *
∈．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0()n a n N *>∈，令1
(+2)
n
n n b a a =
，求数列{}n b 的前n 项和n
T ．
解：（1）1
(1)n n a -=-或n a n =；（2）323
42(1)(2)
n n T n n +=
-
++．
解析：（1）当1n =时，21112S a a =+，则11
a =
当2n ≥时，2211122
n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=-
， 即111()(1)0n n n n n n a a a a a a ---+--=⇒=-或11n n a a -=+
1(1)n n a -∴=-或n a n =
（2）由0n a >，n a n ∴=，1111()
(2)22
n b n n n n =
=-++ 1111111111323[(1)()()][1]2324222+1242(+1)(2)n n T n n n n n n +∴=-+-++-=+--=-
+++
18. 已知函数.2
1
)cos()sin(3cos )(2
-+⋅-+=x x x x f ππ （1）求函数)(x f 在],0[π上的单调递减区间；
（2）在锐角ABC ∆中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，已知2,1)(=-=a A f ,
A a C b sin sin =,求ABC ∆的面积．
答：（1）],6
5[
],3
,
0[ππ
π
（2）3=∆ABC S
19. 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y(单位:千元)的数据如下表:
(1)求y 关于t 的线性回归方程.
(2)利用(1)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:
()()
()
1
2
1
,n
i
i
i n
i i t t y y b t t ==--=
-∑∑a y bt =-.
【解析】(1)因为t =
127
7
+++ (4)
y =
2.9
3.3 3.6
4.4 4.8
5.2 5.9
7
++++++=4.3,
设回归方程为y=bt+a,代入公式,经计算得 b=
()3 1.420.700.5 1.8 4.89412
⨯++++++++⨯=14142⨯=1
2, a=y -b t =4.3-
1
2
×4=2.3, 所以,y 关于t 的回归方程为y=0.5t+2.3. (2)因为b=
1
2
>0,所以2007年至2013年该地区人均纯收入稳步增长,预计到2015年, 该地区人均纯收入y=0.5×9+2.3=6.8(千元),
所以,预计到2015年,该地区人均纯收入约6800元左右.
2018-2019学年下学期期中考试试卷
高二数学
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1.复数的虚部是（）
A. i
B. 1
C. -i
D. -1
2.在一项调查中有两个变量和，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作
为关于的回归方程的函数类型是
A. B.
C. D. （）
3.聊斋志异中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术得诀自诩无所阻，额上坟起终不
悟”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：
则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则
A. 7
B. 35
C. 48
D. 63
4.用三段论演绎推理：“复数都可以表示成实部与虚部之和的形式，因为复数的实部是2，所
以复数z的虚部是3i”对于这段推理，下列说法正确的是
A. 大前提错误导致结论错误
B. 小前提错误导致结论错误
C. 推理形式错误导致结论错误
D. 推理没有问题，结论正确
5.用反证法证明命题：“a，b，c，，，，且，则a，b，c，d中至少
有一个负数”时的假设为
A. a，b，c，d全都大于等于0
B. a，b，c，d全为正数
C. a，b，c，d中至少有一个正数
D. a，b，c，d中至多有一个负数
6.从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同
的参赛方案种数为（）
A. 48
B. 72
C. 90
D. 96
7.2017年离考考前第二次适应性训练考试结束后，对全市的英语成绩进行统计，发现英语成绩的频率分
布直方图形状与正态分布N（95，82）的密度曲线非常拟合．据此估计：在全市随机柚取的4名高三同学中，恰有2名冋学的英语成绩超过95分的概率是（）
A. B. C. D.
8.在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式的常数项为（）.
A. B. 7 C. D. 28
9.事件A，B相互独立，它们都不发生的概率为，且，则= （）
A. B. C. D.
10.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A＝“4个人去的景点各不相同”，
事件B＝“小赵独自去一个景点”，则P（A|B）＝（）
A. B. C. D.
11.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种
数为( )
A. 28
B. 49
C. 56
D. 85
12.已知（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R），则
a1-2a2+3a3-4a4+…-2016a2016+2017a2017=（）
A. 2017
B. 4034
C. -4034
D. 0
请点击修改第II卷的文字说明
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.设随机变量X～B（3，），随机变量Y＝2X＋1，则Y的方差D（Y）＝________．
14.直线的参数方程为（为参数），则的倾斜角大小为_________
15.某学校组织的数学竞赛中，学生的成绩服从正态分布，且
，则式子的最小值为．
16.将三项式(x2+x+1)n展开,当n=0,1,2,3,…时,得到以下等式:
(x2+x+1)0=1,
(x2+x+1)1=x2+x+1,
(x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1,
(x2+x+1)3=x6+3x5+6x4+7x3+6x2+3x+1,
……
观察多项式系数之间的关系,可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角,其构造方法:第0行为1,以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的,缺少的数记为0)的和,第k行共有2k+1
个数,若(x2+x+1)5(1+ax)的展开式中,x7项的系数为75,则实数a的值为
____.
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
17.(10)当实数a为何值时z=a2-2a+（a2-3a+2）i．
（1）为纯虚数；
（2）为实数；
（3）对应的点在第一象限．
18.(12)观察下列式子：
（Ⅰ）由此猜想一个一般性的结论；
（Ⅱ）用数学归纳法证明你的结论.
19.(12)设过原点O的直线与圆（x-4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．
20.(12)2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购．为拓展市场，某调研组对甲、乙两个品牌的共享单车在5个城市的用户人数进行统计，得到如下数据：
城市
ⅠⅡⅢⅣⅤ
品牌
甲品牌（百万） 4 3 8 6 12
乙品牌（百万） 5 7 9 4 3
（Ⅰ）如果共享单车用户人数超过5百万的城市称为“优质潜力城市”，否则“非优”，请据此判断是否有85%的把握认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关？
（Ⅱ）如果不考虑其他因素，为拓展市场，甲品牌要从这5个城市中选出3个城市进行大规模宣传．（ⅰ）在城市Ⅰ被选中的条件下，求城市Ⅱ也被选中的概率；
（ⅱ）以Ｘ表示选中的城市中用户人数超过5百万的个数，求随机变量X的分布列及数学期望．
下面临界值表供参考：
P(K2≥k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
参考公式：，n＝a+b+c+d．
21.(12)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋3ρ2sin2θ＝12，且曲线C的左焦点F在直线l上．
(1)若直线l与曲线C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的值；
(2)求曲线C的内接矩形的周长的最大值．
22.(12)随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的
包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.
该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：
公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：
以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.
（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；
（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？
答案和解析
1.B
2.B
3.D
4.A
5.A
6.D
7.D
8.B
9.C10.A 11.B
12.C
【解析】
解：∵（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R），
∴-2×2017（1-2x）2016=a1+2a2（x-1）+…+2017a2017（x-1）2016，
令x=0，则-4034=a1-2a2+3a3-4a4+…-2016a2016+2017a2017，
故选：C．
对（1-2x）2017=a0+a1（x-1）+a2（x-1）2+…+a2016（x-1）2016+a2017（x-1）2017（x∈R），两边求导，取x=0即可得出．
本题考查了二项式定理的应用、导数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.【答案】14.【答案】15.【答案】18
16.【答案】1
【解答】
根据题意可得广义杨辉三角第5行为1,5,15,30,45,51,45,30,15,5,1,
故(1+ax)(x2+x+1)5的展开式中,x7项的系数为30+45a=75,得a=1.
故答案为1.
17.【答案】解：（1）复数z是纯虚数，则由，得，即a=0．
（2）若复数z是实数，则a2-3a+2=0，得a=1或a=2．
（3）在复平面内对应的点位于对应的点在第一象限，
则，
即，解得a＜0或a＞2．
【解析】
18.【答案】（Ⅰ）解：∵1+＜，1+＜，1++＜，
∴一般性结论：1++…+＜;
（Ⅱ）证明:
①时，左右，猜想成立；
②假设时猜想成立，即
则当时，
即时，猜想也成立.
综上: 由①②可知，猜想成立.
【解析】
本题考查归纳推理及用放缩法和数学归纳法证明不等式.
（Ⅰ）根据题意可猜想出1++…+＜;
（Ⅱ）用数学归纳法，放缩法即可证明.
19.【答案】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）
又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ
∴2ρ=8cosθ，
化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．
（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为
点（2，0）到直线的距离为：，
∴△OAB面积的最大值．【解析】
（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ），由点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ，能求出点M的轨迹C的极坐标方程．
（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为，点（2，0）到直线的距离为：，由此能求出△OAB 面积的最大值．
本题考查点的轨迹的极坐标方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
20.【答案】解：（Ⅰ）根据题意列出2×2列联表如下：
优质城市
优质城市非优质城市合计
单车品牌
甲品牌（个）325
乙品牌（个）235
合计5510
所以,
所以没有85%的理由认为“优质潜力城市”与共享单车品牌有关;
（Ⅱ）(i)令事件C为“城市Ⅰ被选中”；事件D为"城市Ⅱ被选中”，
则,
所以;
(ii)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，
故X的分布列为：
X123
P
∴数学期望.
【解析】
本题考查独立性检验的应用及超几何分布,分布列和数学期望及条件概率．
(Ⅰ)根据题意列出2×2列联表，根据2×2列联表，代入求临界值的公式，求出观测值，利用观测值同临界值表进行比较，K2=0.4＜2.706，即可得结论;
(Ⅱ)(i)由条件概率公式求解即可;
(ii)由题意求得X的取值1，2，3，运用排列组合的知识，可得各自的概率，求得X的分布列，由期望公式计算即可得到（X）．
21.【答案】解：（1）曲线C的直角坐标方程为x2+3y2=12，即．
∴曲线C的左焦点F的坐标为．
∵在直线l上，
∴直线l的参数方程为（t为参数）．
将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得：t2-2t-2=0，
∴|FA|•|FB|=|t1t2|=2．
（2）由曲线C的方程为＋＝1，
可设曲线C上的动点P(2cos θ，2sin θ)，
则以P为顶点的内接矩形周长为:
4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin，
因此该内接矩形周长的最大值为16.
【解析】
本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，函数的最值，参数方程的几何意义，属于中档题．
（1）求出曲线C的普通方程和焦点坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程利用根与系数的关系和参数的几何意义得出；
（2）可设曲线C上的动点P(2cos θ，2sin θ)，则以P为顶点的内接矩形周长为:4×(2cos θ＋2sin θ)＝16sin，求出此函数的最大值．
22.【答案】解：（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f==，
故可估计概率为，
显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，
即X～B，故所求概率为=；
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表：
包裹重量（单位：kg）（0，1](1,2](2,3](3,4](4,5]
快递费（单位：元）1015202530
包裹件数43301584
故样本中每件快递收取的费用的平均值为：=15，
故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．
②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），
若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范围 0～100101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 350 450
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY 50×0.1+150×0.1+250×0.5+350×0.2+450×0.1=260
故公司平均每日利润的期望值为260×15×-3×100=1000（元）；
若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：
包裹件数范围 0～100101～200 201～300 301～400 401～500
包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450
实际揽件数 50 150 250 300300
频率 0.1 0.1 0.5 0.2 0.1
EY 50×0.1+150×0.1+250×0.5+300×0.2+300×0.1=235
故公司平均每日利润的期望值为235×15×-2×100=975（元）.
因为975＜1000，
故公司不应将前台工作人员裁员1人．
【解析】
本题考查了频率分布直方图的性质及其应用、茎叶图、相互对立事件、相互独立及其条件概率
计算公式、超几何分布列的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
（1）样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f=，故可估计概率为f．显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数X服从二项分布，即X～B；
（2）①样本中快递费用及包裹件数如下表格，故样本中每件快递收取的费用的平均值．
②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如表格．若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如表格．可得公司平均每日利润的期望值．
高二年级下学期数学期中考试试卷
18. 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的）
1. 复数i
i
z 242+-= 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 1第三象限
D. 第四象限
2．下列求导运算正确的是( )．
A. 2/31)3(x
x x +=+ B ．2ln 1
)(log /2x x =
C ．e x x 3/log 3)3(=
D ．x x x x sin 2)cos (/2-=
3.“对于可导函数f(x)，如果f ’(x 0)=0，那么x=x 0是函数的极值点，因为f(x)=x 3在x=0处的导数值f ’(0)=0，所以，x=0是函数f(x)=x 3的极值点” 在上面的推理中( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．结论正确
4． 用反证法证明：“若a+b+c<3，则a,b,c 中至少有一个小于1”时，下列假设正确的是（ ）
A. 假设a,b,c 至少有一个大于1
B.假设a,b,c 都大于1
C. 假设a,b,c 至少有两个大于1
D. 假设a,b,c 都不小于1
5. 5名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以“去”或“不去”，则第二天可能出现的不同情况的种数为( )
A ．C 25
B ．52
C ． 25
D ．A 25
6. 复数1z i =+，则复数2012
z z z ⎛⎫
+ ⎪
⎝⎭
的虚部是（ ）
A. -i
B. i
C. 1-
D. 1
7.若f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( ) A ．－1<a <2 B ．－3<a <6 C ．a <－3或a >6 D ．a <－1或a >2
8. 已知直线1y x =+与曲线()ln y x a =+相切，则a 的值为( )
（Ａ） 1 （Ｂ）2 （Ｃ） -1 （Ｄ） -2
9. 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )
高 中 数
学
A.144种 B ．72种 C ． 64种 D ．84种
10. 设a=sin1,b=2sin 21,c=3sin 3
1
,则（ ）
A. b<a< c
B. a<b<c
C. c<a<b
D. c<b<a
11.在ABC ∆中，若AC BC ⊥，AC b =，BC a =，则ABC ∆的外接圆半径22
2
a b r +=，将此
结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体S ABC -中，若SA 、SB 、SC 两两互相垂直，,,SA a SB b SC c ===，则四面体S ABC -的外接球半径R =（ ）
A. 2222a b c ++
B. 2223a b c ++
C. 33
33
3
a b c ++ D. 3abc
12.设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()()1y x f x '=-的图像如图所示，则
下列结论中一定成立的是( )
（Ａ）函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1) （Ｂ）函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1) （Ｃ）函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2) （Ｄ）函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
_____2)2(.131
0==+⎰k dx k x ，则实数若
14. 由曲线x y =，直线y=x-2及y 轴所围成的图形的面积______
15. 7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动。

若每天安排3人，则不同的安排方案共有________________种（用数字作答）
16.把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表．设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往
下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8.若a ij ＝2 019，则i 与j 的和为______________
三、解答题（本大题共6题，共计70分。

解答时应写出证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）已知R x ∈，1,2,2
1
22+-=-=+=x x c x b x a ，证明c b a ,,至少有一个
不小于1．
18（本小题满分12分）已知复数11
(59)224
z i i =
--+.（1）求复数z 的模； （2）若复数z 是方程220x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.
的最小值。

在求函数处的切线方程；
在求函数已知函数分本小题满分)0](2,[)().2(x )().1(ln )()12.(19>+==t t t x f e x f x x x f
20.(本小题满分12分)
郑州106中学一年一度的艺术节将在5月举行，为扩大影响,现要张贴海报进行宣传。

如图，海报是竖向张贴的，要求版心面积是128dm 2,上、下两边各空2dm ，左、右各空1dm ，如何设计海报的尺寸，才能使四周的空白面积最小
21、(本小题满分12分)
.
}{)2()1()(),1
(21,n }{321归纳法证明的通项公式，并用数学猜想数列；
，，分别求出且项和为的各项均为正数，其前设数列n n
n n n n a a a a N n a a S S a *∈+=
22.已知函数2()ln f x x a x ax =+-（a 为常数）
（I ）若函数在(1,)+∞内单调递增，求实数a 的取值范围；
（II ）若存在[1,]x e ∈（其中e 为自然对数的底数），使得()2f x x ≤成立，求实数a 的取值范围.
参考答案
1--5 ABADC 6--10 DCBDC 11--12 AD 13.1 14.
3
16 15. 140 16. 112
知，猜想成立
由时，结论也成立，即当解方程得时，有则当即假设则当时，上式成立，上式成立；
时，下用数学归纳法证明：猜想时，时，时，2,111k k 211-k k 1
1)1
(21)1(211,1k ,.211.1)(,1)2(23,0),1
(212)1(21312,0),1
(211)1(2121,01)1
(211)1(21)1.(2111111111333
33333222222221111
11+=-+=-=---+-=--=-
∴+-+=-=+=--===∈--=-=∴>+=+∴+=
=-=∴>+=+∴+===∴>±=∴+==∴+=
+++++++*k n k a k k a a a a a a a a S S a k n k a a n N n n n a a a a a a a a S n a a a a a a a S n a a a a a S n a a S k k
k k k k
k k k k k k k n n
n n
高二第二学期期中考试数学试卷
一、选择题
1．若命题“p q ∧”为假，且“p ⌝”为假，则（ ）
A ．p 或q 为假
B ．q 假
C ．q 真
D ．不能判断q 的真假
2．某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，
那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( )
A ．3.5
B ． 3
C ． 5.0-
D ．3-
3．动点P 到点)0,1(M 及点)0,3(N 的距离之差为2，则点P 的轨迹是（ ）
A ．双曲线
B ．双曲线的一支
C ．两条射线
D ．一条射线
4.从某鱼池中捕得130条鱼，做了记号之后，再放回池中，经过适当的时间后， 再从池中捕得100条鱼，计算其中有记号的鱼为10条，试估计鱼池中共有 鱼的条数大约为( )
A. 1000
B. 1200
C. 130
D.1300
5．有五条线段长度分别为1,3,5,7,9，从这5条线段中任取3条，则所取3条线段能构成一个三角形的概率为（ ）
A ．
101 B ．103 C ．21 D ．10
7 6.已知随机变量ξ服从正态分布），（22σN ，且=<<=<）（则）
（20,8.04ξξP P A. 0.6 B. 0.4 C. 0.3 D. 0.2
19. 已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由 观测的数据得线性回归方程可能为（ ）
.0.4 2.3A y x =+ .2 2.4B y x =- .29.5C y x =-+ D. 4.43.0ˆ+-=x y
20. 从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事 件是（ ）
A ．至少有一个黒球与都是红球
B ．至少有一个黒球与都是黒球
C ．至少有一个黒球与至少有1个红球
D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 9.有下述说法：①0a b >>是22a b >的充要条件. ②0a b >>是b
a 1
1<的充要条件. ③0a b >>是33a b >的充要条件.则其中正确的说法有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
10．6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（ ） A ．90 B ．15 C ．36 D ．20
11．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在4秒内间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ） （A ）
14 （B ）12 （C ）34 （D ）78
12、已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆
E 于,A B 两点．若4A
F BF +=，点M 到直线l 的距离不小于4
5
，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ）
A ． ,1)2
B ．3(0,]4
C ．(0,2
D ．3[,1)4
二、填空题
13.在5张卡片上分别写有数字,5,4,3,2,1然后将它们混合,再任意排列成一行,则 得到的数能被2或5 整除的概率是 。

14．椭圆
124
492
2=+y x 上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直， 则△21F PF 的面积为
15.若
=++++++=-n n n n
a a a x a x a a x 2110,12则）（ 16.已知.022,:;0],2,1[:2
2=-++∈∃≥-∈∀a ax x R x q a x x p 若命题“q p ∧”是真 命题，则实数a 的取值范围为
三、解答题（6个小题，共70分）
17．(10分)如图，从参加环保知识竞赛的1200名学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率。

（60分及以上为及格）
（3）若准备取成绩最好的300名发奖，则获奖的最低分数约为多少？
18.（12分）某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：
A地区：62 73 81 92 95 85 74 64 53 76
78 86 95 66 97 78 88 82 76 89
B地区：73 83 62 51 91 46 53 73 64 82
93 48 65 81 74 56 54 76 65 79
（Ⅰ）根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；
（Ⅱ）根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个不等级：
满意度评分低于70分70分到89分不低于90分
满意度等级不满意满意非常满意
记时间C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”。

假设两地区用户的评价结果相互独立。

根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率。

19.（12分）已知命题p ：方程210x mx ++=有两个不相等的实负根，命题q ：方程2
44(2)10x m x +-+=无实根；若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数m 的取值范围．
20.（12分）已知n x
x ）
（1
2-展开式的二项式系数的和比723）（b a +展开式的二项式系数的和大128。

15. 求n 的值
（2） 求n
x
x ）
（1
2-展开式中的系数最大的项和系数最小的项
21.（12分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2,3,4；白色卡片3张，编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同)．
(1)求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．
22.（12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>，F 是椭圆的焦点，直
线AF O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；
（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.
（答案）
16. 选择题 BDBDB CADAA CC 17. 填空题 22、
53
14. 24 15. ⎩⎨⎧为偶数
为奇数n n 0
2 16. 12=-≤a a 或
2-解答题
17. （1） 频数15 频率0.25 （4分） （2） 75% （3分） （3）82分 （3分） 18. （1）茎叶图 略 （3分）
有图可知A 地区满意度评分的平均值比B 地区的高，且A 地区的满意度 评分比较集中，B 地区的满意度评分比较分散。

（3分） （2）0.48 （6分） 19. 321≥≤<m m 或 （12分） 20. （1）n=8 （4分）
（2）系数最大项 4
570x T = 系数最小项7
4656-56-x T x T ==和 （8分） 21. （1） 7
6
（4分） （2） EX=5
17
22.(Ⅰ) 设()
,0F c ，由条件知
223
3
c =
，得3c = 又
3
2
c a =
， 所以a=2，2
2
2
1b a c =-= ,故E 的方程2
214
x y +=. ……….4分
（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y
X
1 2 3 4 P
351
354
3510
35
20。