第三章曲面论

第三章 曲面的局部理论

§3.1 曲面的概念 1 曲面的方程 ①向量式方程

在3

E 中Descartes 直角坐标系 O-xyz 下，

取单位正交向量 i , j,k 为基向量．给定三个二元函数 x (u,v ), y (u,v ),z(u,v) ∈)(D C ∞ 作向量值函数

r : D → 3

E

(u,v)→ r (u,v ) = x (u,v )i + y (u,v)j+z(u,v) k = (x (u,v ), y(u,v ),z(u,v)) ， 则其位置向量终点全体 C = {(x , y,z ))∈3

E ∣(u,v)∈D} 称为3

E 中一光滑曲面。

简称参数曲线，并将t 称为 C 的参数； 曲面也可写为分量形式的参数方程

⎪⎩

⎪

⎨⎧∈===D v u v u z z v u y y v u x x ),(),()

,(),(

例3.1.1：球面的表达式： 或者2222R z y x =++ 例3.1.2：圆柱面的表达式： 例3.1.3：正螺面的表达式： ②3

E 中曲面的一般式(简单介绍)

方程F (x,y,z )=0在直角坐标系O-xyz 表示的图像也是一曲面。若可写成z =f(x,y). 这时

曲线的向量表达式为r (x,y)=(x ,y,f (x,y )) ③ 正则曲面

),(v u r 是光滑曲面，若满足0),(),(≠∧v u r v u r v u 则称曲面是正则曲面。 2 曲面的参数变换

先比较曲面S:),sin ,(cos ),(v u u v u r = {}

R v u v u D v u ∈<≤=∈,20),(),(π 和)),sin(),(cos(),sin ,(cos ),(:2222v u v u v u v u u v u r S +++==

{}R v u v u D v u ∈≥=∈,0),(),(

以及{}R v u v u

D v u u v u

r S ∈<=-=~,1~)~,~(~)~,~1,~()~,~(:~

2

显然S 和S 都表示整个圆柱面122=+y x ，S ~

表示半圆柱面12

2=+y x ，0>y 。

在S S ~⋂内 取参数),(v u 和)~,~(v u 之间的变换⎩

⎨⎧∈=<<=R

v v v u u u ~0cos ~π

显然),(v u 和)~,~(v u 是一一对应的。而且

0sin 100sin )

,()~,~(≠-=-=∂∂u u v u v u

这时在S S ~

⋂内，

S 和S ~可以统一表示成R v u v u r v u v v u u

r v u r S ∈<<==,0),()),(~,),,(~()~,~(:~π

而)

,()~,~(),(),(~

~v u v u r r v u r v u r v u v u ∂∂∧=∧ 知两曲面正则性也一致。 我们称参数),(v u 和)~,~(v u

之间的变换 为同一曲面之间的参数变换。 定义：设

)

,(),(:v u v u D

D →→σ是一一对应，而且满足

0),()~,~(≠∂∂v u v u

，则我们称D D →:σ是曲面S ：),(v u r D v u ∈),(和曲面S ：),(v u r D v u ∈),(的一个参数变换。 3 曲面的切平面和法方向。

①曲面上的曲线。曲面S ：),(v u r 上的曲线)(t r 总可以写成))(),(()(t v t u t r =

注：S t r ∈)( 对任意t ， 总存在),(v u 与之对应，故v u ,是t 的函数。 特别：当=u 常数，对应的曲线称为-v 曲线。

当=v 常数，对应的曲线称为-u 曲线。 -v 曲线和-u 曲线统称坐标曲线。

例3.1.4：曲面),sin ,cos (),(v v u v u v u r =的两坐标曲线是？ 例3.1.5：曲面),sin ,(cos ),(v u u v u r =的两坐标曲线是？ 例3.1.6：-v 曲线的切向量为u r ，-u 曲线的切向量为v r ②曲面的切向量

若))(),(()(t v t u t r =过曲面P 点，称)(t r 在点P 的切向量为曲面在点P 的一个切向量。

由dt

dv

P r dt du P r P r v u )()

()(+='可以看出，曲面上任意一切向量可以由该点的坐标曲线的切向量线性表出。故曲面在一点所有切向量是共面的。

③切平面和法向量

※ 切平面：曲面在一点由该点的v u r r ,张成的平面称为曲面在该点的切平面。

显然曲面在P 的切平面的方程：0))(),(),((=-P r P r P r R v u

※ 法向量：曲面在一点与该点的切平面垂直的向量称为法向量，过该点与法向量平行

的直线称为法线。

单位法向量v

u v

u r r r r n ∧∧=

法线方程：)()(P n P r λρ=-

※ 切平面和法向量与参数变换的关系。

设)~,~(v u

是曲面),(v u r 的另一参数，))~,~(,),~,~((),(v u v v u u r v u r =

u v r u u r r v u u ~~~∂∂+∂∂=v

v r v u r r v u v ~~~∂∂+∂∂= 显然：v u v u

r r v u

v u r r ∧∂∂=∧)~,~()

,(~~ 故法方向是由Jacobi 行列式的符号决定的。但在参数变换下始终保持平行。故切平面在参数变换下不变。 例3.1.7：求曲面),sin ,(cos ),(v u u v u r =在)0,0(点的切平面和法线。 例3.1.8: 求曲面0),,(:=z y x F S 的单位法向量。

))(),(),(()(t z t y t x t r =是曲面S 上任一曲线，其切向量))(),(),(()(t z t y t x t r '''=' 又

0='+'+'=z F y F x F dt

dF

z y x ，即()()0,,,,,='''z y x F F F z y x 故F ∇与))(),(),(()(t z t y t x t r '''='正交。由曲线的任意性知，F ∇是法向量。 故F

F

n ∇∇=

练习：求2222R z y x =++的单位法向量。 ④ 自然标架

对S P ∈∀ 称{}n r r P r v u ,,);(为点P 处的自然标架。显然它一般不正交。 例3.1.9 验证旋转面))(,sin )(,cos )((),(v g u v f u v f v u r =的自然标架一定是正交的。

§3.2 第一基本形式

1 曲面上曲线的弧长与第一基本形式

若 S t r ∈)( 我们知道)(t r 的弧长微元dr ds = 又dv r du r dr v u += 故222dv r r dudv r r du r r dr ds v v v u u u ++=

=

令v v v u u u r r G r r F r r E ===,,,称为第一基本量。

称 2

2

2

2,Gdv Fdudv Edu dr dr ds I ++===为第一基本形式。

显然曲线)(t r ，),(b a t ∈的弧长为dt dt I dt dt dr b

a

b a ⎰⎰=2 关于第一基本形式的注记：

※ ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫

⎝⎛=++=dv du G F F E dv du Gdv Fdudv Edu I ),(22

2 为一正定二次型。

这是因为0,2

2

>∧∧=-=-v u v u v u v v u u r r r r r r r r r r F EG

※ 坐标曲线夹角余弦为EG

F r r r r v

u v u =

=

ϕcos , 故坐标曲线正交0=⇔F