深圳市彩田学校选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试(含答案解析)

一、选择题
1．函数 tan22tanyxx42x的最大值为（
）

A．33 B．3 C．0 D
．

3

2
．已知函数2()fxxa，2()xgxxe，若对于任意的2[1,1]x，存在唯一的

1
1
2[,]2x
，使得12()()fxgx，则实数a的取值范围是（ ）

A．（e，4） B．（e14，4] C．（e14，4） D．（14，4]
3
．已知21ln(0)2fxaxxa，若对任意两个不等的正实数1x，2x，都有


12

12
2fxfxxx


恒成立，则a的取值范围是（ ）

A．0,1 B．1, C．0,1 D
．




1,

4．已知3216132mfxxxx在1,1单调递减，则m的取值范围为（
）

A．[33]， B．（-3,3） C．[55]， D．(-5,5)

5
．已知函数22,22,2xxxxfxexx，函数gxfxm有两个零点，则实数m的

取值范围为（ ）
A．28,e B．28,4e C．280,e D
．




2

8

,4,e




6
．如图所示，函数yfx的图像在点P处的切线方程是29yx，则


44ff
的值为（ ）

A．0 B．1 C．－1 D．2
7．已知函数32114332fxxmxx在区间1,2上是增函数，则实数m
的取值范围

为（ ）
A．45m B．24m C．2m D
．

4m

8．函数f（x）＝x﹣g（x）的图象在点x＝2处的切线方程是y＝﹣x﹣1，则g（2）+g'
（2）＝（ ）
A．7 B．4 C．0 D．﹣4
9．已知函数coslnfxxx，则1f的值为（
）

A
．

sin11

B
．

1sin1

C
．

1sin1

D
．

1sin1

10．已知奇函数fx在R上是增函数且当0x时0fx
，gxxfx．若


2
log5.1ag
，0.82bg，3cg，则a，b，c的大小关系为（ ）

A．abc B．cba C．bac D
．

bca

11
．已知函数2()sincosfxxxxx，则不等式1(ln)(ln)2(1)0fxffx的解集为

（ ）
A．(,)e B．(0,)e C．1(,)ee D
．

1
(0,)(1,)e

e

12．，,22，且sinsin0，则下列结论正确的是（
）

A． B．0 C． D
．

22




二、填空题

13
．函数2ln2xfxx在其定义域内的一个子区间1,1kk内不是单调函数，则

k

的取值范围是______________．
14
．已知()fx是定义在R上的函数fx的导函数，且0fxfx，则


2ln2af
，1bef，0cf的大小关系为
_____

15．若函数12sin2cos2fx=xxax在R上递增，则a的取值范围___________.
16．函数32()22fxxx在区间[1,2]上的最大值是___________.
17
．若点112212,,,AxyBxyxx是函数1,1()ln,1xexfxxx的图象上任意两点，

且函数fx分别在点A和点B处的切线互相垂直，则12xx的最大值为
__________.
18．已知位移和时间的关系是321()2533stttt，则2t时的瞬时速度是_______
19．已知函数32()26fxxxm（m∈R）在区间[－2，2]上有最大值3
，那么在区间
[－2，2]上，当x=_______
时，()fx取得最小值。

20．若0()2fx，则000()()lim2xfxxfxx＝________.
三、解答题
21．已知函数1exfxa，ln1xgxa，其中0a.
（1）若1a，在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点O分别作函数yfx与

ygx
的图象的切线1l，2l，求1l，2l的斜率之积；

（2）若fxgx在区间0,上恒成立，求a的最小值
.
22．已知函数()()xfxxke.
（1）求()fx的极值；

（2）求()fx在区间0,1上的最小值
.
23．已知函数lnfxaxbx.
（1）当1,0ab时，求函数yfx的极值；
（2）当1,1ab时，求不等式22fxx的解集；
（3）当1,1ab时，若当1,x，恒有1fxx成立，求实数的取值范
围
.
24．已知函数221xfxxexx.
（1）求函数fx在[1,1]上的最大值；
（2）证明：当0x时，

1fxx
.

25．（1）求曲线2xyx在点1,1处的切线方程.
（2）求函数316fxxx过点0,0的切线方程
.
26．设函数kxfxxe，xR，（0k），试讨论函数的单调性.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题
1．A
解析：
A
【分析】
化简可得322tan 1tanxyx，令tantx，1,t，则3221tyt，求出函数导数，利用
导数判断函数的单调性即可求出最值
.
【详解】

可得3222tan2tan tan22tan2tan1tan1tanxxyxxxxx，

令tantx，则1,t，则3221tyt，
则22322222261222311ttttttytt，
当1,3t时，0y，函数单调递增，
当3,t时，0y，函数单调递减，

所以当3t时，


3

max
2

233313y



.

故选：
A.
【点睛】

关键点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键是利用换元法将函数化为3221tyt，
然后利用导数讨论其单调性即可求出最值
.
2．B
解析：
B
【分析】
结合导数和二次函数的性质可求出()fx和()gx的值域，结合已知条件可得[0e4[]a,，
1
)4a
，从而可求出实数a的取值范围
.

【详解】
解：g（x）=x2ex的导函数为g′（x）=2xex+x2ex=x（x+2）ex，当0x时，0gx，
由1,0x时，0gx，0,1x时，0gx，可得g（x）在[–1，0]上单调递
减，
在（0，1]上单调递增，故g（x）在[–1，1]上的最小值为g（0）=0，最大值为g（1）=e，
所以对于任意的2[1,1]x，2()[0,e]gx．因为2yxa开口向下，对称轴为y轴，

又10202，所以当0x时，max()fxa，当2x时，min()4fxa，
则函数2()fxxa在[12，2]上的值域为[a–4，a]，且函数f（x）在11[,]22，
图象关于y轴对称，在（12，2]上，函数()fx单调递减．由题意，得[0e4[]a,，
1
)4a
，

可得a–4≤0故选:B．
【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，考查了二次函数的性质，属于中档题.本题的难点是

12
()()fxgx
这一条件的转化
.

3．D
解析：
D
【分析】

根据条件12122fxfxxx可变形为112212()2[()]20fxxfxxxx，构造函数

2

1

()2ln()202gxfxxaxaxx
，利用其为增函数即可求解
.

【详解】
根据1212()()2fxfxxx可知112212()2[()]20fxxfxxxx，

令

2

1

()2ln()202gxfxxaxaxx

由112212()2[()]20fxxfxxxx知()gx为增函数，
所以'200,0agxxxax恒成立，
分离参数得2axx，
而当0x时，2xx在1x时有最大值为1，
故
1a
.

故选：
D
【点睛】

关键点点睛：本题由条件12122fxfxxx恒成立，转化为

1122
12

()2[()]20fxxfxxxx



恒成立是解题的关键，再根据此式知函数