山东省实验中学2020-2021学年高三第三次诊断性考试数学试题

山东省实验中学2021届高三第三次诊断性考试
数学试题 2020．12
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。

2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效。

3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1. 复数2
3i (
)1i
-=+ A ． 34i -- B ． 34i -+ C ． 34i - D ． 34i + 2.若集合{
}1213A x x =-+≤≤，20,x B x
x -⎧⎫
=⎨⎬⎩⎭
≤则A B = A ．{}10x x -<≤ B ．{}
01x x <≤ C ．{}02x x ≤≤ D ．{}
01x x ≤≤ 3. 命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( )
A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2
C ．∃x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ＜x 2
D ．∃x ∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2 4.定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有 A ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<-<
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ B ．113442f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
C ．311244f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<<-
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ D ．131424f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
-<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
5．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AD 为BC 边上的高，O 为AD 的中点，若AO AB BC λμ=+，则=λμ+
A ．1
B ．12
C.1
3
D ．23
6．已知数列{}n a ，2
sin
2
n n
a n π=，则数列{}n a 的前100项和为 A ．5000 B ．5000-
C ．5050
D ．5050-
7. 设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为
A ．2
B ．
3
C ．
31
2
+ D ．
51
2
+ 8．已知函数2
()ln f x x x =-和22
()g x x m x
=-
-的图象上存在关于原点对称的点，则实
数m 的取值范围是
A ．(],1ln 2-∞-
B ．[)0,1ln 2-
C ．(]1ln1,1ln 2-+
D ．[)
1ln 2,++∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求。

全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201，则下列叙述正确的是
A ．这12天中有6天空气质量为“优良”
B ．这12天中空气质量最好的是4月9日
C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90
D ．从4日到9日，空气质量越来越好
10．设函数()2sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫
=+><< ⎪⎝
⎭
的图象关于直线23
x π
=
对称，它的周期为π，则下列说法正确的是
A ．()f x 的图象过点()0,1；
B ．()f x 在2,123ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上单调递减； C ．()f x 的一个对称中心是5,012π⎛⎫
⎪⎝⎭
； D ．将()f x 的图象向右平移ϕ个单位长度得到函数2sin 2y x =的图象. 11．如果一个棱锥的底面是正方形，且顶点在底面内的射影是底面的中心，那么这样
的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，则该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是
A B ．侧棱与底面所成的角为4
π
C
D ．侧棱与底面所成的角为
3
π 12.设12n P P P ⋯，，，为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到点n P P P ，，，⋯⋯21的距离之和最小，则称点P 为点12n P P P ⋯，，
，的一个“中位点”.例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点. 则下列结论正确的是
A ．若三个点,,A
B
C 共线，C 在线段AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； B ．直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点； C ．若四个点,,,A B C
D 共线，则它们的中位点存在且唯一； D ．梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知直线0x y a -+=与圆2
2
2O x y +=：相交于A B 、两点(O 为坐标原点),且
AOB ∆为等腰直角三角形,则实数a 的值为__________；
14. 已知O 为坐标原点，F 为抛物线2:42C y x =的焦点，P 为C 上一点，若
||42PF =,则POF ∆的面积为 ．
15.植树造林，绿化祖国.某班级义务劳动志愿者小组参加植树活动，准备在一抛物线形地块上的ABCDGFG 七点处各种植一棵树苗，如图所示，其中A 、B 、C 分别与E 、F 、G 关于抛物线的对称轴对称.现有三种树苗，要求每种树苗至少种植一棵，且关于抛物线的对称轴对称的两点处必须种植同一种树苗，则共有不同的种植方法是_________.（用数字作答）
16.3
()31f x ax x =-+，对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．
四、解答题：本题包括6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，__________．给出以下三个条件： ①数列{}n a 为等比数列，数列1{}n S a +也为等比数列；②点1(,)n n S a +在直线1y x =+上；③1121222n n n n a a a na -+++
+=
在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设2123
1
log log n n n b a a ++=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T
18．（12分）
如图， ,,a b c 分别为ABC ∆中角,,A B C 的对边，D 为BC 边上的点, 23=BD DC 1
,cos 3
7
ABC ADC π
∠=
∠=
， 8=c . （1）求a 的值；
（2）求ADC ∆的外接圆的半径R .
19．（12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为43
3
的菱形，60BCD ∠=︒，AC 与BD 交于点O ，平面FBC ⊥平面ABCD ，//EF AB ，FB FC =，23
3
EF =
． （1）求证：OE ⊥平面ABCD ；
（2）若FBC ∆为等边三角形，点Q 为AE 的中点，求二面角Q BC A --的余弦值．
20．（12分）
D
C
B
A
某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过1kg的包裹收费10元；重量超过1kg的包裹，除1kg收费10元之外，超过1kg的部分，每超出1kg(不足1kg 时按1kg 计算)需再收5元.公司从承揽过的包裹中，随机抽取100件，其重量统计如下：
公司又随机抽取了60天的揽件数，得到频数分布表如下：
（1）计算该公司3天中恰有2天揽件数在[100,400)的概率；
（2）估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；
（3）公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的用做其他
费用，目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，每人每天工资100元，公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，并判断裁员是否对提高公司利润有利？（同一组中的揽件数以这组数据所在区间中点值作代表）
21．（12分）
设函数()ln m
f x x x
=+
， R m ∈． （1）当1m =时，求函数()f x 的极值； （2）若函数()()3
x
g x f x -
'=有两个零点，求实数m 取值范围； （3）若对任意的0b a >>， ()()1f b f a b a
-<-恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（12分）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，且满
足1122F F AF =，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P 是椭圆上的任意一点，求1PF PA ⋅的取值范围；
（3）已知直线:l y kx m =+与椭圆相交于不同的两点M ，N (均不是长轴的端点)， AH ⊥MN ，垂足为H 且2
AH MH HN =⋅，求证：直线l 恒过定点．。