1990考研数一真题解析

1990考研数⼀真题解析
1990年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试数学⼀试题
⼀、填空题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.)
(1) 过点(1,2,1)M -且与直线2341x t y t z t =-+??
=-??=-?
垂直的平⾯⽅程是___x -3y -z +4=0__________.
(2) 设a 为⾮零常数,则lim(
)x
x x a x a
→∞
+-=____2e a _________. (3) 设函数1, ||1,
()0, ||1,x f x x ≤?=?>?
则[()]f f x =________1_____.
(4) 积分
2
2
2
y x
dx e
dy -?
的值等于____41e 2
--_________.
(5) 已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7)αααα====,则该向量的秩是_____2________.
⼆、选择题(本题共5个⼩题,每⼩题3分,满分15分.) (1) 设()f x 是连续函数,且()()x e x
F x f t dt -=
,则()F x '等于 ( A )
(A) ()()x
x e f e f x ---- (B) ()()x x e f e f x ---+
(C) ()()x
x e
()[()]f x f x '=,则当n 为⼤于2的正整数时,()f x
的n 阶导数()
()n f x 是 ( A )
(A) 1
![()]
n n f x + (B) 1
[()]
n n f x + (C) 2[()]n f x (D) 2![()]n
n f x
(3) 设α为常数,
则级数
2
1
sin (
n n n α∞
=-∑ ( C ) (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛
(C) 发散 (D) 收敛性与α的取值有关 (4) 已知()f x 在0x =的某个领域内连续,且(0)0f =,0() lim
21cos x f x x
→=-,则在点0x =处
()f x ( D )
(A) 不可导 (B) 可导,且(0)0f '≠
(C) 取得极⼤值 (D) 取得极⼩值
(5) 已知1β、2β是⾮齐次线性⽅程组Ax b =的两个不同的解,1α、2α是对应齐次线性⽅程组0Ax =的基础解系,12,k k 为任意常数,则⽅程组Ax b =的通解(⼀般解)必是( B ) (A) 12 11212()2k k ββααα-+++
(B) 12
11212()2k k ββααα++-+
(C) 1211212()2k k ββαββ-+++ (D) 12
11212()2
k k ββαββ++-+
三、(本题满分15分,每⼩题5分.) (1) 求
(2)x dx x +-?.
解：()()
()()()()
1
11
12
00
ln 111
1
d ln 1d ln 1d 22122x x x x x x x
x x x +=+=+---+--蝌?
101111
ln 2d ln 23213
x x x 骣÷?=-+=÷?
÷?桫-+ò (2) 设(2,sin )z f x y y x =-,其中(,)f u v 具有连续的⼆阶偏导数,求2z
x y
.
解：
2cos .z f f y x x u v 抖?=+抖? ()22222222sin cos sin cos cos .z f f f f
x y x y x x x x y u u v v v
抖抖?=-+-++抖抖抖?
(3) 求微分⽅程244x
y y y e
-'''++=的通解(⼀般解).
解：特征⽅程为2440r r ++=的跟为1,22r =-.对应齐次⽅程的通解为()212e x Y C C x -=+，其12C C ，中为任意常数.设原⽅程的特解为()22e x y x Ax *-=，代⼊原⽅程得1
2
A =. 因此，原⽅程的通解为()()22212e
e .2
x
x x y x Y y C C x *
--=+=++
四、(本题满分6分.)
求幂级数
=+∑的收敛域,并求其和函数.
解：因为123=lim
lim 121n n
n n a n ρa n ++==+，所以1
1.R ρ
==
显然幂级数()021n n n x ￥
=+?在1x =?时发散，故此幂级数的收敛域为()11-，
⼜()()0000
121221n
n
n
n n n n n S x n x nx x x x x ゥ
ゥ
====￠骣÷?=+=+=??÷?÷-桫邋邋 ()
()2
2
2111 1.111x
x
x x x x +=
+
=-<<---，
五、(本题满分8分)
求曲⾯积分2,S
I yzdzdx dxdy =+??
其中S 是球⾯222
4x y z ++=外侧在0z ≥的部分.
解：令22140x y S z ì?+??=í?=??
，，其法向量与z 轴的负向相同.设S 和S 1所围成的区域为Ω，则由奥--⾼公式有1Ω
d d 2d d d d d .S I yz z x x y z x y z +
+=蝌蝌?
d d 02d d 2
d d 8.S S x y yz z x x y x y π+?==-=-蝌蝌蝌
，
2222
Ω
d d d =d d cos sin d 4.π
πz x y z θφ
r φr φr π?蝌蝌
蝌
所以12.I π=
六、(本题满分7分)
设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且 ()()f a f b =.证明在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ,使得()0f ξ'>.
证：因()()f a f b =且()f x 不恒为常数，故⾄少存在⼀点()c a b ?，，使得()()
().f c f a f b ?于是()()f c f a >或()().f c f a <
现设()()f c f a >，则在[]a c ，上因()f x 满⾜拉格朗⽇定理的条件，故⾄少存在⼀点()()ξa c a b 翁，，，使得()()()10.f ξf c f a c a 轾
￠=
->臌
-对于()()f c f a <情形，类似地可证得此结果.
七、(本题满分6分)
设四阶矩阵
1 1 0 00 1 1 00 0 1 10 0 0 1B -?? ?-
= -
, 2 1 3 40 2 1 30 0 2 10 0 0 2C ?? ? ?= ?
, 且矩阵A 满⾜关系式1
()T
T
A E C
B
C E --=,其中E 为四阶单位矩阵,1
C -表⽰C 的逆矩
阵,T
T T T
A E C
B
C A C E C B A C B --??-=--??
，故()=T
A C
B E -，因此1
000100
02100210
0()3210121
04
321012
1T A C B ???? ?
- =- -
-
-1
-1==
，
⼋、(本题满分8分)
求⼀个正交变换,化⼆次型222
12312132344448f x x x x x x x x x =++-+-为标准形.
解：⼆次型的矩阵A =122244244骣-÷?÷?÷?÷--?÷?÷?÷÷?-桫
，由()2122
A E 2449244λλλλλλ---=---=----， A 的特征值为12309.λλλ===，
对于121221220A-E=244000244000λλλ骣骣--鼢珑鼢珑
鼢珑鼢==--?珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑-桫桫，，从⽽可取特征向量1011P 骣÷?÷?÷?÷=?÷?÷?÷÷?桫及与P 1正交的另⼀特征向量241.1P 骣÷?÷?
÷?÷=?÷?÷?÷÷?-桫
对于38222459A-E=254099245000λλ骣骣----鼢珑鼢珑
鼢珑鼢=---?-珑鼢珑鼢珑鼢鼢珑--桫
桫，，取特征向量312.2P 骣÷?÷?÷?÷=-?÷?÷?÷÷?桫
将上述相互正交的特征向量单位化，得123
1
03
2
===
3
2
3
ξξξ
骣骣骣
鼢
珑÷
鼢
珑÷
鼢
珑÷
鼢?÷
珑鼢?÷
珑鼢?÷
珑鼢?÷
鼢
珑÷
÷
-÷
÷
÷
÷
÷
÷
，，，
故在正交变换11
22
33
1
3
2
3
2
3
x y
x y
x y
骣÷
÷
÷
÷
÷
骣骣
÷
鼢
珑?
÷
鼢÷
珑?
鼢÷
珑?
鼢÷
珑?
鼢÷
鼢
珑?
÷
桫桫
÷÷
÷÷
÷
下，⼆次型2
3
9
f y
=.
九、(本题满分8分)
质点P沿着以AB为直径的半圆周,从点(1,2)
A运动到点(3,4)
B的过程中受变⼒F作
⽤(见图).F的⼤⼩等于点P与原点O之间的距离,其⽅向垂直于线段OP且与y轴正向的夹⾓⼩于
2
,求变⼒F对质点P所作的功.
解：由题意，变⼒F=-y i+x j.圆弧AB
的参数⽅程是
3
xθπ
πθ
yθ
ì?=+
-＃
í?
=+
，
变⼒F所作的功
))()
4
3
4
d d3sin2cos d21.
π
ABπ
W y x x yθθθθθπ
-
=-+=+++=-
蝌
⼗、填空题(本题满分6分,每⼩题2分.) (1) 已知随机变量X 的概率密度函数|| 1(),2
x f x e x -=
-∞<<∞,则X 的概率分布函数 ()F X =__1e ,0,2
11e ,0,2x x x x -ì??
⽴事件,那么积事件AB 的概率()P AB =_0.3______.
(3) 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松(Poisson)分布,即{}2
2,!
k e P X k k -== 0,1,2k =L ,,则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =___4____.
⼗⼀、(本题满分6分.)
设⼆维随机变量(,)X Y 在区域:01,||D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的⽅差()D Z .解：()X Y ，的联合概率密度函数是()1010x f x y ì<
，
，，，其他，因此X 的边缘概率密度函数是()()201d 0X x x f x f x y y +?
-?
ì<
=
=í
ò
，，，，其他， ()()()()()()()2
2222144d d X X D Z D X E X E X x f x x xf x x +??-??
轾骣
轾犏÷?=+=-=-÷犏?犏桫
臌臌蝌
2
113
20
014242d 2d 4.299
x x x x 轾骣骣÷?犏÷?=-=-=÷÷??÷?犏桫桫臌
蝌
P。