运用类比教学提高数列复习课的效率

运用类比教学提高数列复习课的效率
摘要：类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处，推出它们的其它属性也相同或相似的思维方式，类比联想可以发现新的结论、新的规律，可以找到解决数学问题的有效方法和途径。

可以大大提高课堂教学的效率，也可以帮助学生对知识的系统掌握。

本文以《等差等比数列复习课》为例阐述如何运用类比教学提高复习课的效率。

关键词：类比教学数列复习课效率
高三复习课时间紧、任务重；因此如何合理运用教学方法和教学手段，提高课堂教学的有效性，是我们每个教师必须研究的课题。

而“类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处，推出它们的其它属性也相同或相似的思维方式，类比联想可以发现新的结论、新的规律，可以找到解决数学问题的有效方法和途径”[1]。

可以大大提高课堂教学的效率，也可以帮助学生对知识的系统掌握。

因此根据教学内容合理运用类比教学法对提高课堂教学的效率极其有效。

例如在复习等差等比数列时、我们以往的做法往往是讲等差和等比分成两个部分来复习；一方面所话时间较多另一方也不利于学生系统全面地掌握知识。

如果恰当地设计合理地运用类比教学法不但可以提高复习效率、对学生深刻系统地掌握等差等比数列有良好的效果。

下面结合高三《等差等比数列复习课》的教学谈谈我的一些做法。

1 根据教材内容确定类比点
类比是根据两个或两类对象的某些属性相同或相似之处进行合情推理和合理比较。

因此我们要根据教材内容合理地确定类比内容。

等差和等比数列有很多相似之处。

根据它们的特点我确定了下列类比点：
1.1基本量的计算
【例1】（2011·福建）在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3。

（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值。

【思路点拨】等差数列的通项公式及前n项和公式中，共涉及五个量，知三可求二，如果已知两个条件，就可以列出方程组解之.
解：（1）设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d。

由a1=1，a3=-3可得1+2d=-3，解得d=-2，从而，
an=1+（n-1）×（-2）=3-2n。

（2）由（1）可知an=3-2n，所以Sn=■=2n-n2 。

进而由Sk=-35可得2k-k2=-35. 即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5，又k∈N*，故k=7为所求。

【类比练习1】（2011·全国）设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30.求an和Sn 。

【引导学生类比研究可得】
解：设{an}的公比为q，由题设得a■q=66a■+a■q■=30
解得：a■=3，q=2或a■=2，q=3
当a1=3，q=2时，an=3·2n-1，Sn=3·（2n-1）；
当a1=2，q=3时，an=2·3n-1，Sn=3n-1 。

1.2等差等比数列的判定或证明
【例2】已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2Sn·Sn-1=0（n≥2），a1=■ 。

（1）求证：■是等差数列；（2）求an的表达式
【思路点拨】（1）化简所给式子，然后利用定义证明。

（2）根据Sn与an 之间关系求an 。

（1）证明：
∵an=Sn-Sn-1（n≥2），又an=-2Sn·Sn-1
∴Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1，Sn≠0，∴■-■=2 （n≥2）。

由等差数列的定义知■是以■=■=2为首项，以2为公差的等差数列。

（2）解由（1）知■=■+（n-1）d=2+（n-1）×2=2n
∴Sn=■
当n≥2时，有an=-2Sn×Sn-1=-2n（■），
又∵a1=■，不适合上式，an=■，n=1-■
【类比练习2】已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=■，
n∈N*，令bn=an+1-an，证明：（1）{bn}是等比数列；（2）求{an}的通项公式。

（1）证明：
b1=a2-a1=1，
当n≥2时，bn=an+1-an=■-an=-■（an-an-1）=-■bn-1，
∴{bn}是以1为首项，-■为公比的等比数列。

（2）解：由（1）知bn=an+1-an=■n-1，
当n≥2时，an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=1+1+■+…+■n-2=1+■=1+■■=■-■n-1。

当n=1时，■-■n-1=1=a1，∴an=■-■n-1 （n∈N*）
1.3等差等比数列的性质及其应用
【性质1】等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d=dn+a1-d？圳
kn+b是关于n的一次函数。

【例1】设等差数列{an}满足a3=5，a10=-9
（1）求{an}的通项公式；（2）求{an}的前n项Sn最大的序号n的值。

解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则a■=a1+2d=5a■=a1+9d=-9解得d=-2.从而，an=5+（n-3）（-2）=11-2n
（2）由an=11-2n知数列单调递减且a1>0所以：数列{an}所有非负数项之和最大。