第2讲 有理数之绝对值

第二讲有理数之绝对值
一、知识结构框图：
数
二、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
①|||0|
a a
=-表示数a对应的点到原点的距离。

②||
a b
-表示数a、b对应的两点间的距离。

2、认识绝对值
①取绝对值也是一种运算，运算符号是“｜｜”，求一个数的绝
对值，就是根据性质去掉绝对值符号。

②任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，
如：－5 符号是负号，绝对值是5.
3、绝对值的性质（1）绝对值非负性
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

取绝对值的结果最难过时正数或0
如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0
如：若｜a｜+｜b｜+｜c｜=0 ，则a=0，b=0，c=0
（2）绝对值相等相等的两个数相等或互为相反数，反之，互为相反数的两个数的绝对值相等
（3）绝对值的其他重要性质
①任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数
即｜a｜≥a 且｜a｜≥－a
②若｜a｜=｜b｜，则a=b 或a=－b
③｜ab｜=｜a｜·｜b｜；｜
a
b｜=
｜a｜
｜b｜
（b≠0）
④｜a｜2=｜a2｜= a2
⑤｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜
对于｜a+b｜≤｜a｜+｜b｜，当且仅当a、b同号或a、b中至少有一个为0时，等号成立
【思考】
填空：①若a＞0，b＜0，且｜a｜＞｜b｜，那么a+ b 0；
②若a＜0，b＞0，且｜a｜＞｜b｜，那么a+ b 0。

③已知a=11，b=－5，c=－8，求（c－a）－｜b｜的值
④ 绝对值大于3而不大于8的所有整数有（ ） A.4个 B.6个 C.8个 D.10个
三、典型例题
例1．（数形结合）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：
则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ A ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b
解：|a|+|a+b|+|c-a|-|b-c|=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。

例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>，
那么y x z y z x --+++的值（ C ）
A ．是正数
B ．是负数
C ．是零
D ．不能确定符号
解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以
分析：三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系。

虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。

例3．（分类讨论）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？
分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

解：设甲数为x ，乙数为y ，由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：
若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ， 所以y=2 , x= -6
若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ， 所以y=-2, x=6
（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：
若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8，所以y=-4, x=-12
若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4, x=12
例4．（整体）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个
分析：将x-2008看成一个整体，问题转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，
所以零和任意负
)
()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x
201020081861641421⨯++⨯+⨯+⨯ 数都是方程的解，即本题的答案为D 。

例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相反数，试求下式的值．
()()()()()()
1111
112220072007ab a b a b a b ++++
++++++ 分析：利用绝对值的非负性，得到：|a b －2|=|a －1|=0
解得：a=1,b=2
于是()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++
++++++ 200920082009112009
120081413131212120092008143132121=
-
=-++-+-+=⨯++⨯+⨯+=
上述采用了裂项的方法。

同学们可以深入思考，如果题目变成求 的值，你有办法求解吗？
例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，
3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题：
（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？
答：____相等 .
（2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B
两点间的距离可以表示为 ．
分析：根据||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 5 ，
取得最小值时x 的取值范围为 -3≤x_≤2______. 分析：2-x 表示数轴上x 与2之间的距离。

)3(3--=+x x 表示数轴上x 与-3之间的距离。

x 在数轴上的位置有三种可能，图2符合题意：
图1 图2 图3
（4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 x<-4或x>-1 分析： 同理1+x 表示数轴上x 与-1之间的距离，4+x 表示数轴上
x 与-4之间的距离。

借助数轴，我们得到正确答案：x<-4或x>-1。

说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。

这种相互转化在解决某些问题
时可以带来方便。

事实上，B A - 表示的几何意义就是在数轴上表示数A 与数B 的点之间的距离。

四、 小结
1．理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思
五、【巩固练习】：
1、如果在数轴上表示a 、b 两实数点的位置，如下图所示， 那么||||a b a b -++化简的结果等于（ ） A.2a B.2a - C.0 D.2b
2、有3个有理数a 、b 、c ，两两不等，那么
,,a b b c c a
b c c a a b
------中有几个负数？
3、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-
（2）若0x ，化简|||2|
|3|||
x x x x ---
4、设0a ，且||
a
x a ≤，试化简|1||2|x x +--
5、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

6、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果
||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？
7、a 、b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？ （1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b = （3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b = （5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b
8、设a ＜b ＜c ＜d ， 求|x-a| + |x-b| + |x-c| + |x-d| 的最小值 9、
abcde 是一个五位数，
a b c d ，求
||||||a b b c c d d e
-+
-+
-
+-的最大值。

abcde 是一个五位数，a 〈b 〈c 〈d 〈e ,求最大值
10、设1232006,,,,a a a a 都是有理数，
令M=（a 1+ a 2+ a 3+…+a 2005）（a 2+ a 3+ a 4…+a 2006），
N=（a 1+ a 2+ a 3+…+a 2006）（a 2+ a 3+ a 4…+a 2005）,试比较M 、N 的大小。