期末模拟试题(一)- 2022-2023学年九年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

2022-2023学年九年级上期期末模拟试题（一）
测试内容:九年级上全册+九年级下1-2章
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共24题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江九年级期末）对一批校服进行抽查，统计合格校服的套数，得到合格校服的频率频数表如下：
抽取件数50 100 150 200 500 800 1000
合格频数30 80 120 140 445 720 900
合格频率0.6 0.8 0.8 0.7 0.89 0.9 0.9
估计出售1200套校服，其中合格校服大约有（）
A．1080套B．960套C．840套D．720套
【答案】A
【分析】根据表格中数据估计合格校服的概率约为0.9，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：根据表格数据可估计合格校服的概率约为0.9，
∴估计出售1200套校服，其中合格校服大约有1200×0.9=1080（套），故选：A．
【点睛】本题考查频率估计概率、样本估计总体，根据表格数据估计出合格校服的概率是解答的关键．2．（2022·四川巴中市·中考真题）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如
图，点P是线段AB上一点（AP＞BP），若满足BP AP
AP AB
=，则称点P是AB的黄金分割点．黄金分
割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（）
A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202D．以上都不对
【答案】A
【分析】点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，则BP AP
AP AB
=，即可求解．
【详解】解：由题意知，点P是AB的黄金分割点，且PB＜P A，PB＝x，则P A＝20−x，
∴BP AP
AP AB
=，∴（20−x）2＝20x，故选：A．
【点睛】本题考查黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
3.（2022·石家庄市九年级二模）现从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数，分别作为函数y ax b =+中a ，b 的值．那么所得图像中，分布在一二三象限的概率是（ ）
A ．16
B ．
112 C ．13
D ．23
【答案】A
【分析】先利用列表的方法求解从四个数2-，0，1，2中任意选出两个不同的数的结果数，再判断使函数y ax b =+的图像分布在一二三象限的结果数，再直接利用概率公式进行计算即可得到答案. 【详解】解：列表如下：
2-
0 1 2
2-
()2,0-
()2,1-
()2,2- 0
()0,2-
0,1
()0,2
1
()1,2-
()1,0
1,2
2
()2,2- ()2,0 ()2,1
一共有12种等可能的结果，而y ax b =+分布在一二三象限，a ∴＞0,b ＞0, 所以符合条件的等可能的结果数有2种，所以使y ax b =+分布在一二三象限的概率是
21
=.126
选：.A 【点睛】本题考查的是利用画树状图或列表的方法求解等可能事件的概率，一次函数的性质，灵活应用以上知识解题是解题的关键.
4．（2022•绵阳市九年级一模）如图，以O 为圆心的，C 、D 三等分
，连MN 、CD ，下列结
论错误的是（ ）
A ．∠COM ＝∠COD
B ．若OM ＝MN ，则∠AOB ＝20°
C ．MN ∥C
D D ．MN ＝3CD 【分析】连接ON 、MC 、DN ，过点O 作O
E ⊥CD 交
于点E ，根据圆周角定理判断A ；根据等边三
角形的判定定理和性质定理判断B；根据垂径定理、平行线的判定定理判断C，根据两点之间线段最短判断D．
【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，
∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；
∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，
∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；
∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；故选：D．
【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦直径的关系、垂径定理、平行线的判定，掌握圆心角、弧、弦直径的关系定理是解题的关键．
5．（2022·广西·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在AC上，点F是BD的中点，连接AF 并延长交BC点E，BE：BC＝2：7，则AD：CD＝（）
A．2：3 B．2：5 C．3：5 D．3：7
【答案】A
【分析】过点D作DH∥AE交BC于H，根据平行线的性质得BE＝EH，即可得EH：CH＝2：3，根
据平行线等分线段定理即可得
2
3 AD EH
DC CH
==．
【详解】解：如图，过点D作DH∥AE交BC于H，
∵BF ＝DF ，FE ∥DH ，∴BE ＝EH ，∴BE ：BC ＝2：7，∴EH ：CH ＝2：3， ∵AE ∥DH ，∴
2
3
AD EH DC CH ==，故选：A ． 【点睛】本题考查了平行线等分线段定理，解题的关键是学会添加辅助线，利用平行线等分线段成比例定理解决问题．
6．（2022·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，正方形ABCD 和正三角形AEF 内接于O ，
DC 、BC 交EF 于G 、H ，若正方形ABCD 的边长是4，则GH 的长度为( )
A ．22
B ．4
4233
-
C ．
463
D ．
8
233
- 【答案】A
【分析】连接AC 交EF 于M ，连接OF ，根据正方形的性质、等边三角形的性质及等腰三角形的性质即可求解．
【详解】解：连接AC 交EF 于M ，连接OF ，四边形ABCD 是正方形，90B ∴∠=︒，
AC ∴是
O 的直径，ACD ∴∆是等腰直角三角形，242AC AD ∴==，22OA OC ∴==，
AEF ∆是等边三角形，AM EF ∴⊥，30OFM ∠=︒，1
22
OM OF ∴==，
2CM ∴=，45ACD ∴∠=︒，90CMG ∠=︒，45CGM ∴∠=︒，
CGH ∴∆是等腰直角三角形，222GH CM ∴==．故选：A ．
【点睛】本题考查正多边形与圆的关系，涉及到特殊锐角三角函数值、正方形的性质、等边三角形的
性质及等腰三角形的性质，解题的关键是综合运用所学知识．
7．（2022·河南南阳·二模）如图，平面直角坐标系中，A （4，0），点B 为y 轴上一点，连接AB ，tan ∠BAO ＝2，点C ，D 为OB ，AB 的中点，点E 为射线CD 上一个动点、当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（ ）
A ．（4，4）或（25+2，4）
B ．（4，4）或（25-2，4）
C ．（12，4）或（25+2，4）
D ．（12，4）或（25-2，4）
【答案】C
【分析】根据已知可得OA =4，OB = 8，从而利用勾股定理可求出AB ，然后分两种情况，当∠AE 1B =90°，当∠BAE 2=90°，进行计算即可解答． 【详解】解：∵A （4，0），∴OA =4， 在Rt △ABO 中，tan ∠BAO =
2BO
OA
=，∴OB =2OA =8， ∴22228445AB OA OB =+=+=， ∵点C ，D 为OB ，AB 的中点，
∴1
42
OC OB ==，122CD OA ==，//CD OA 如图，分两种情况：
当∠AE 1B =90°，点D 为AB 的中点， ∴DE 1＝
1
252
AB =，11225CE CD DE =+=+，∴E 1（52＋2，4 ）， 当∠BAE 2=90°，过点E 2作E 2F ⊥x 轴，∴∠BAO +∠E 2AF = 90°， ∵∠BOA ＝90°，∴∠ABO +∠BAO =90°，∴∠ABO ＝∠E 2AF ， ∵∠BOA ＝∠AFE 2=90°，∴△BOA ∽△AFE 2，
∴
2BO AF OA E F =，∴844
AF ＝，∴AF =8，∴OF =OA +AF =12，∴E 2（12，4）． 综上所述，当△AEB 为直角三角形时，点E 的坐标为（52＋2，4 ）或（12，4）．
【点睛】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，坐标与图形的性质，熟练掌握一线三等角构造相似模型是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
8．（2022·重庆九年级开学考试）重庆实验外国语学校坐落在美丽且有灵气的华岩寺旁边，特别是金灿灿的大佛让身高1.6米的小王同学很感兴趣，刚刚学过三角函数知识，他就想测一下大佛的高度，小王到A 点测得佛顶仰角为37︒，接着向大佛走了10米来到B 处，再经过一段坡度4:3i =，坡长为5米的斜坡BC 到达C 处，此时与大佛的水平距离 6.2DH =米（其中点A 、B 、C 、E 、F 在同一平面内，点A 、B 、F 在同一条直线上），请问大佛的高度EF 为（ ）（参考数据：tan370.75︒≈，
sin370.60︒≈，cos370.80)︒≈．
A ．15米
B ．16米
C ．17米
D ．18米
【答案】B
【分析】过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ，设4CM x =，3BM x =，则由勾股定理可以求出x =1，再证明四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形，得到 6.2DH FM ==米，从求出19.2AF GN ==米，最后解直角三角形即可．
【详解】解：过点C 作CM BF ⊥于点M ，过点G 作GN EF ⊥于点N ， 斜坡BC 的坡度4:3i =，5BC =米，∴设4CM x =，3BM x =，
∵222CM BM BC += 222(4)(3)5x x ∴+=，解得1x =，4CM ∴=米，3BM =米， ∵DH ⊥EF ，AB ⊥EF ，DM ⊥AB ，GA ⊥AB ，
∴四边形DHFM 和四边形AGNF 是矩形， 6.2DH FM ∴==米，
10AB =米，103 6.219.2AF GN AB BM MF ∴==++=++=米，
在Rt ENG ∆中，37EGN ∠=︒，tan 370.75EN
NG
∴︒=
≈， 0.750.7519.214.4EN NG ∴=⨯=⨯=米，14.4 1.616EF EN NF ∴=+=+=米．故选B ．
【点睛】本题主要考查了坡比，勾股定理，解直角三角形，矩形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
9．（2022·四川旌阳·九年级期末）关于x 的函数2|2|41y x x x k =---++的图象与x 轴有四个不同的公共点，则k 的取值范围是（ ） A ．13
4
k <
且3k ≠ B ．1334
k <<
C ．134
k >
D ．134
k <
【答案】B
【分析】首先根据绝对值的意义将2
|2|41y x x x k =---++整理为2253(2)
31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩
，
根据图象与x 轴有四个不同的公共点得到判别式24>0b ac ∆=-，代入列出不等式组求解即可．
【详解】解：∵2
|2|41y x x x k =---++∴2253(2)
31(2)x x k x y x x k x ⎧-++≥=⎨-+-<⎩
，
由题意得22
(5)4(3)0(3)4(1)0k k ⎧--+>⎨--->⎩
，且当2x =时，>0y ，即4810k -++>，解得：1334k <<．故选：B ． 【点睛】此题考查了绝对值的意义，二次函数的判别式和与x 轴交点的关系，解题的关键是熟练掌握．抛物线与x 轴交点个数由△决定：Δ＝b 2﹣4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＝0时，抛物线与x 轴有1个交点；Δ＝b 2﹣4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．
10．（2022·绵阳市·九年级期末）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc ＜0；②9a +3b +c ＜0；③a ＞3
c
；④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，则3＜|x 1﹣x 2|＜4，其中正确
的结论有（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．①③④
D ．②③④
【答案】A
【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab 的符号，然后根据函数和y 轴的交点坐标可判断出c 的正负，进而可判断出abc 的正负；
②根据二次函数的对称性可得当x =3时，即可判断函数值y 的正负；
③首先由对称轴公式得出a 与b 的关系，然后根据当x =1时函数值y 为负求解即可； ④根据二次函数与x 轴的交点坐标的取值范围求解即可．
【详解】①抛物线对称轴在y 轴右侧，则a ，b 异号，而c ＞0，则abc ＜0，故结论正确； ②由图象可知x ＝3时，y ＝9a +3b +c ＜0，故结论正确； ③∵2b a
＝2，∴b ＝﹣4a ，∵当x ＝1时，y ＝a +b +c ＜0，∴﹣3a +c ＜0，∴a ＞3
c
，故结论正确； ④若方程ax 2+bx +c ＝0两个根x 1和x 2，由图象可知，0＜x 1＜1，3＜x 2＜4， ∴则2＜|x 1﹣x 2|＜4，故结论错误；故选：A ．
【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·江苏）小红在地上画了半径为2m 和3m 的同心圆，如图，然后在一定距离外向圈内掷小石子，若每一次都掷在大圆形成的封闭区域内，则掷中阴影部分的概率是________________．
【答案】5
9
【分析】用阴影部分的面积除以大圆的面积即可求得概率． 【详解】解：S 阴影＝π（32﹣22）＝5π（cm 2）， 所以掷中阴影部分的概率是
55==99S S 阴影大圆ππ，故答案为：5
9
．
【点睛】考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积，难度不大．
12．（2022·黑龙江·九年级期中）设a 、b 为两实数，且满足2430a a --=，2430b b --=，则b a
a b
+=______．
13．（2022·四川旌阳·九年级期末）点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数2
2y x x c =-++的
图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是________（用“>”连接）． 【答案】231y y y >>
【分析】根据二次函数的解析式求得开口方向和对称轴，根据二次函数的性质可得离对称轴越远的点的函数值越小，分别计算123,,P P P 到对称轴1x =的距离，进而即可求得1y ，2y ，3y 的大小关系． 【详解】解：
22y x x c =-++，∴对称轴为2
12
x =-
=-，10a =-< ∴二次函数的图象开口向下，则离对称轴越远的点的函数值越小，
点11(2,)P y -，22(2,)P y ，33(3,)P y 均在二次函数2
2y x x c =-++的图象上， 点123,,P P P 到对称轴1x =的距离分别为3,1
,2，则231y y y >>故答案为：231y y y >> 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数的图象的性质是解题的关键．
14．（2022·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在ABC 中，8AB cm =，16BC cm =，动点P 从点A 开始沿AB 边运动，速度为2/cm s ；动点Q 从点B 开始沿BC 边运动，速度为4/cm s ；如果P 、Q 两动点同时运动，那么经过______秒时QBP △与ABC 相似．
【答案】0.8或2
【分析】设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：
BP BQ
BA BC
=时，BPQ BAC ∽，即824816t t
-=；当BP BQ BC BA
=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t -=，然后解方程即可求出答案． 【详解】解：设经过t 秒时，QBP △与ABC 相似，则2AP tcm =,(82)BP t cm =-,4BQ tcm =, ∵PBQ ABC ∠=∠，∴当BP BQ BA BC
=时，BPQ BAC ∽，即824816t t
-=，解得：2t =； 当
BP BQ BC BA
=时，BPQ BCA △∽△，即824168t t
-=，解得：0.8t =； 综上所述：经过0.8s 或2s 秒时，QBP △与ABC 相似，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．
15．（2022·辽宁·沈阳实验中学二模）如图，新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，且距离教学楼60米，某同学从这里出发沿着正北方向走了一段时间后，到达位于主教学楼北偏东30°方向的综合楼B 处，此时这位同学一共走的距离为______米．
【答案】(2306．
【分析】过P 作PC ⊥AB 于C ，由新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向，可得∠A =45°可证PC =AC ，由P A =60米，由三角函数可得A C=PC =2B 处在教学楼北偏东30°方向，可得∠B =30°，可求PB =2PC =602Rt △BCP 中，BC =PB cos30°=6AB =BC +AC (302306=米即可．
【详解】解：过P 作PC ⊥AB 于C ，∵新疆部A 位于学校主教学楼P 南偏东45°方向， ∴∠A =45°∴∠CP A =90°-∠A =45°，∴PC =AC ， 设A C=PC =x ，∵P A =60米∴A C=PC =P A cos45°
=602
3022
⨯=， ∵综合楼B 处在教学楼北偏东30°方向，∴∠B =30°，∴PB =2PC =602， 在Rt △BCP 中，BC =PB cos30°3
6023062
=⨯
=， ∴AB =BC +AC ()302306=+米．故答案为：()
302306+．
【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握方位角，三角函数定义，以及三边之间关系是解题关键． 16．（2022·黑龙江龙凤·九年级期末）如图，平行四边形ABCD 中，AC BC ⊥，5AB =，3BC =，点P 在边AB 上运动以P 为圆心，PA 为半径作P ，若P 与平行四边形ABCD 的边有四个公共点，则AP 的长度满足条件是_______．
【答案】
201295
AP <<或5
2AP =
【分析】求出⊙P 与BC ，CD 相切时AP 的长以及⊙P 经过A ，B ，C 三点时AP 的长即可判断． 【详解】解：如图1中，当⊙P 与BC 相切时，设切点为E ，连接PE ． 在Rt △ABC 中，由勾股定理得：22AB BC -=4，
设AP=x ，则BP=5-x ，PE=x ，∵⊙P 与边BC 相切于点E ，∴PE ⊥BC ， ∵BC ⊥AC ，∴AC ∥PE ，∴
PE PB AC AB =，∴545x x -=，∴2020,99
x AP ==；
如图2中，当⊙P与CD相切时，设切点为E，连接PE．
∵S平行四边形ABCD=2×1
2×3×4=5PE，∴PE=
12
5
，
观察图象可知：20
9
＜AP＜
12
5
时⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
②⊙P过点A、B、C三点，如图3，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4，
此时AP=5
2
，综上所述，AP的值的取值范围是：
2012
95
AP
<<或AP=
5
2
．
故答案为：2012
95
AP
<<或AP=
5
2
．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是学会利用特殊位置解决问题．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2022·江苏·常州外国语学校九年级月考）计算：
（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°；（2）cos60°2
cos45°+3tan230°．
【答案】（1）5
2
；（2）1．
【分析】（1）将tan45°=1，sin30°=1
2，cos30°=
3
tan60°= 3
（2）将cos60°=1
2，cos45°=
2
2
，tan230°=2
31
()=
33
分别代入，再计算解题．
【详解】解：（1）2tan45°•sin30°+cos30°•tan60°
13
=21+3
22
⨯⨯⨯
3
=1+
2
5
=
2
；
（2）cos60°﹣
2
2
cos45°+3tan230°2
1223
=3()
2223
-⨯+⨯
111
3
223
=-+⨯1
=．
【点睛】本题考查特殊角的锐角函数值、锐角三角函数值的混合运算等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
18．（2022·广东广州·九年级期末）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为__________人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为__________人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为__________度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
【答案】（1）60，见解析；（2）125、90；（3）1 6
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例得出该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数，再用360°乘以最喜爱“①数独挑战”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图，再由概率公式求解即可．
【详解】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），
补全图（Ⅰ）如下：
故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×15
60=125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×15
60
=90°，故答案为：125，90； （3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个， ∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为
212=16
． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法、扇形统计图、条形统计图；通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．
19．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标分别为A (0，2)，B (1，3)，C (2，1)．
(1)请在平面直角坐标系中，以原点O 为位似中心，画出ABC 的位似图形A 1B 1C 1，使它与ABC 的相似比为2：1；(2)求出A 1B 1C 1的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6
【分析】（1）分别作出三个顶点的对应点，再首尾顺次连接即可； （2）用矩形的面积减去四周三个三角形的面积． （1）如图所示，即为所求．
(2)△A 1B 1C 1的面积为4×4-1
2
×4×2-12
×2×2-12
×2×4=6．
【点睛】本题主要考查作图—位似变换，解题的关键是掌握位似变换的定义与性质．
20．（2022·贵州遵义）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，AB 是灯杆，CD 是灯管支架，灯管支架CD 与灯杆间的夹角60BDC ∠=︒．综合实践小组的同学想知道灯管支架CD 的长度，他们在地面的点E 处测得灯管支架底部D 的仰角为60°，在点F 处测得灯管支架顶部C 的仰角为30°，测得3AE =m ，8EF =m （A ，E ，F 在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
(1)求灯管支架底部距地面高度AD 的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架CD 的长度（结果精确到0.1m 3 1.73≈）． 【答案】(1)33m (2)1.2m
【分析】（1）解Rt ADE △即可求解；
（2）延长FC 交AB 于点G ，证明DGC ∴是等边三角形，解Rt AFG △，根据DC DG AG AD ==-即可求解．
(1)在Rt ADE △中，tan tan 603AD
AED AE
∠=
=︒= 3AE =m 333AD AE ∴==m
(2)如图，延长FC 交AB 于点G ，
3,8AE EF == 11AF AE EF ∴=+= 3tan tan30AG F AF =
=︒=113
AG ∴=
Rt AFG 中，90,30A F ∠=︒∠=︒60AGF ∴∠=︒
60BDC GDC ∠=∠=︒ DGC ∴是等边三角形
112
3333 1.233
DC DG AG AD ∴==-=≈ 答：灯管支架CD 的长度约为1.2m ．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 21．（2022·内蒙古呼和浩特·）某市计划在十二年内通过租房建设，解决低收入人群的住房问题，已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面积y （单位：百万平方米），与时间x （第x 年）的关系构成一次函数（1≤x ≤7且x 为整数），且第一和第三年竣工投入使用的公租房面积分别为
236
和7
2百万平方米；后五年竣工面积与时间的关系是y ＝18-x +15
4
（7＜x ≤12且x 为整数）．
（1）已知第六年竣工使用的公租房面积可解决20万人的住房问题，如果人均住房面积最后一年比第六年提高20%，那么最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决多少万人的住房问题？
（2）受物价上涨的影响，已知这12年中，每年投入使用的租金与时间的函数解析式为m ＝2x +36．假设每年的公租房当年全部出租完，写出这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式，并求出W 的最大值（单位：亿元）．如果在W 取得最大值的这一年，老张租用了58平方米的房子，计算老张这一年应交的租金为多少？
【答案】（1）最后一年竣工投入使用的公租房面积可解决12.5万人的住房问题；（2）
()()2
212144173131357124
x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩，，；W 的最大值为1.47亿元；老张这一年应交的租金为2436元．
【分析】（1）用待定系数法求出一次函数表达式，算出第六年对应的y 值，由已知条件即可求得答案；
（2）分别算出17x ≤≤和712x <≤时，W 的函数表达式，配方求得最值，对比分析即可知道W 的最大值，进一步求得老张应交的租金． 【详解】解：设()0,17y kx b k x =+≠≤≤
由已知得：236
732k b k b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩
，解得：164k b ⎧=-⎪⎨
⎪=⎩∴()14176y x x =-+≤≤ 当6x =时，1
64=36y =-⨯+∴30020=15÷（平方米），15(120)18⨯+=％（平方米）
当12x =时，115912=844y =-⨯+∴9
10018=12.54
⨯÷（万人）
所以最后一年可解决12.5万人的住房问题．
（2）当17x ≤≤时，()2112364214463W x x x x ⎛⎫
=+-+=-++ ⎪⎝⎭
；
当712x <≤时，()21
151********
44W x x x x ⎛⎫=+-+=-++ ⎪⎝⎭
∴这12年中每年竣工的公租房年租金W 关于时间x 的函数解折式为()()2
212144173
131357124
x x x W x x x ⎧-++≤≤⎪⎪=⎨
⎪-++<≤⎪⎩，， 又∵当17x ≤≤时，()2
2112144314733W x x x =-++=--+∴当3x =时，=147W ；
∵当712x <≤时，()2
2113135614444
W x x x =-++=--+∴当8x =时，=143W ；
∵147＞143∴当3x =时，年租金最大，W 的最大值为1.47亿元 当3x =时，233642m =⨯+=∴58422436⨯=（元） 所以老张这一年应交的租金为2436元
【点睛】本题考查一次函数实际应用，二次函数的应用．能够从大量文字中提取出解题所需要的条件，并能够列出符合题意的表达式，利用配方法将二次函数一般式配成顶点式，从而求出最值是解题的关键．
22．（2022·杭州市十三中教育集团九年级）如图，OAB 中，OA OB =，O 过AB 中点C ，且与OA 、
OB 分别交于点E 、F ．（1）求证：直线AB 是O 的切线；（2）延长AO 交O 于点D ，连结DF 、
DC ，求证：EDC FDC ∠=∠；（3）在（2）的条件下，若10DE =，6DF =，求CD 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）45
【分析】（1）连接OC ，证OC AB ⊥即可证直线AB 是O 的切线；
（2）由圆周角定理可得12EDC AOC ∠=∠，1
2
FDC BOC ∠=∠，由（1）证AOC BOC ∠=∠即可；
（3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，在t R CDM 中求出DM 、CM 即可求出CD ． 【详解】解（1）证明：连接OC ，如下图：
∵OA=OB ，C 为AB 的中点，∴OC AB ⊥，∵点C 在O 上，∴AB 是O 的切线；
（2）根据圆周角定理可知，12EDC AOC ∠=∠，1
2
FDC BOC ∠=∠，
由（1）可得AOC BOC ∠=∠，∴EDC FDC ∠=∠； （3）作ON DF ⊥于N ，延长DF 交AB 于M ，如下图：
∵ON DF ⊥，=OD OF ，∴1
===32
DN NF DF ，
在t R ODN 中，∵=90OND ∠︒，1
==52
OD DE ，=3DN ，∴22==4ON OD DN -，
∵=OD OC ，∴=OCD EDC ∠∠，∵=EDC FDC ∠∠，∴=OCD FDC ∠∠，∴OC ∥DM ， ∵OC AB ⊥，∴DM AB ⊥，∴四边形OCMN 是矩形，∴4ON CM ==， 5MN OC ==， 在t R CDM 中，=90DMC ∠︒，4CM =，==35=8DM DN MN ++∴
22228445CD DM CM ++=
【点睛】本题比较综合，考查了圆的切线，圆周角与圆心角的关系，勾股定理等相关知识，熟练掌握并能灵活运用每一个细小的知识点，是解决此类综合大题的关键．
23．(2022.成都市初三一诊)天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图1，在等边△ABC 中，点P 是边BC 上任意一点，连接AP ，以AP 为边作等边
△APQ ，连接CQ ．求证：BP = CQ ；（2）变式探究：如图2，在等腰△ABC 中，AB =BC ，点P 是边BC 上任意一点，以AP 为腰作等腰△APQ ，使AP =PQ ，∠APQ =∠ABC ，连接CQ ．判断∠ABC 和∠ACQ 的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图3，在正方形ADBC 中，点P 是边BC 上一点，以AP 为边作正方形 APEF ，Q 是正方形APEF 的中心，连接CQ ．若正方形APEF 的边长为6，22CQ =，求正方形ADBC 的边长．
【答案】（1）证明见解析；（2）ABC ACQ ∠=∠，理由见解析；（3）正方形ADBC 的边长为214+． 【分析】（1）易证∠BAP ＝∠CAQ ，根据AB ＝AC ，AP ＝AQ ，由SAS 证得△BAP ≌△CAQ ，即可得出结论；（2）由等腰三角形的性质得出∠BAC ＝∠PAQ ，证得△BAC ∽△PAQ ，得出BA PA
AC AQ
=，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则△BAP ∽△CAQ ，可得∠ABC ＝∠ACQ ； （3）连接AB 、AQ ，由正方形的性质得出
2AB
AC
=，∠BAC ＝45°，2AP AQ =，∠PAQ ＝45°，易证∠BAP ＝∠CAQ ，则可得△ABP ∽△ACQ ，根据相似三角形的性质求出BP ＝4，设PC ＝x ，则BC ＝AC ＝4＋x ，在Rt △APC 中，利用勾股定理列方程求出x ，即可得出结果． 【详解】（1）证明：如图1，
ABC 与APQ 都是等边三角形，
60BAC PAQ ∴∠=∠=︒，1323∴∠+∠=∠+∠，12∠∠∴=．
又
AB AC =，AP AQ =，ABP ACQ ∴≅，BP CQ ∴=；
（2）ABC ACQ ∠=∠，
理由：如图2，在ABC 中，AB BC =，1802
ABC BAC ︒-∠∴∠=，
在PAQ △中，PA PQ =，1802
APQ
PAQ ︒-∠∴∠=
，
APQ ABC ∠=∠，BAC PAQ ∴∠=∠，BAC
PAQ ∴，BA PA
AC AQ
∴
=，
又13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，ABP ACQ ∴，∴ABC ACQ ∠=∠；
（3）如图3，连接AB ，AQ ，正方形ADBC ，2AB
AC
∴=，45BAC ∠=︒， 又
Q 为正方形APEF 的中心，2AP
AQ
∴
=，45PAQ ∠=︒， 13BAC ∠+∠=∠，23PAQ ∠+∠=∠，12∠∠∴=，
AB AP
AC AQ
=，ABP ACQ ∴，22
AC CQ AB BP ∴==，22CQ =，4BP ∴=，
设PC x =，则4BC AC x ==+，在Rt APC 中，222AP AC PC =+，即2236(4)x x =++， 解得：214x =-±，0x
，214x ∴=-+，∴边长4214AC x =+=+.
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
24．（2022·广东·广州九年级期中）如图，抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()2,0A -、()6,0B 两点，与y 轴交于点C ．直线l 与抛物线交于A 、D 两点，点D 的坐标为()4,n ．
(1)求抛物线的解析式与直线l 的解析式；
(2)若点P 是抛物线上的点且在直线l 上方，连接PA PD 、，求当PAD 面积最大时点P 的坐标及该面积的最大值；(3)若点Q 是y 轴上的点，且45ADQ ∠=︒，请直接写出点Q 的坐标． 【答案】(1)21
34y x x =-++,112y x =+(2)151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
(3)()09Q -， 【分析】（1）先利用待定系数法求二次函数解析式，然后再根据点D 的横坐标为4，代入二次函数解析式求得D 点坐标，再用待定系数法求直线l 的解析式即可；
（2）过点P 作PF y ∥轴交AD 于F ，设P （n ，21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
），则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，根据()132
PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，得到PF 的值最大时，△P AD 的面积最大，求出PF 的最大值即可； （3）如图2，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，证明AAS ANT DMA ≌（），得到16T -（，），设DT 交x 轴于Q ，证得ATD 是等腰直角三角形，则45ADQ ∠=︒，利用待定系数法求得直线DT 的解析式为39y x =-，再求得与y 轴的交点Q 的坐标即可．
【详解】（1）解：将点A 、B 的坐标代入23y ax bx =++，得
423036630a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得141a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩
，∴抛物线的解析式为2134y x x =-++； ∵当4x =时，21
44334
y =-⨯++=，∴3(4)D ，； ∵直线l 经过点A ，D ，∴设直线l 的解析式y kx m =+，
将点A ，点D 坐标代入得：2043k m k m -+=⎧⎨+=⎩，得121
k m ⎧=⎪⎨⎪=⎩． ∴直线l 的解析式为112y x =+． （2）解：如图1，过点P 作PF y ∥轴交AD 于F
设21,34P n n n ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
，则1,12F n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ∵()132
PAD D A S x x PF PF =⋅-⋅=，
∴PF 的值最大时，PAD 的面积最大，
∵2113142PF n n n ⎛⎫=-++-+ ⎪⎝⎭
=()219144n --+， ∴当1n =时，PF 的值最大，最大值为94
， 此时PAD 的面积最大值为：274
3max PF =
， 当1x =时，2115344y x x =-++=∴此时151,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
． 综上所述：当ΔP AD 面积最大时点P 的坐标为151,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，该面积的最大值为274． （3）解：如图2，，将线段AD 绕点A 顺时针旋转90︒，得到AT ，作DM x ⊥轴于M ，TN x 轴于
N ，则90ANT DMA AT AD ∠=∠=︒=，，
∵90NAT DAM MDA DAM ∠∠∠∠︒＋＝＋＝，∴NAT MDA ∠=∠，
∴AAS ANT DMA ≅（），∴36AN DM NT MA ====，，
∴1ON AN OA ＝－＝，∴()1
6T -，，设DT 交x 轴于Q ， ∵90TAD AD AT ∠︒＝，＝ ，∴ATD 是等腰直角三角形，∴45ADQ ∠=︒，
设直线DT 的解析式为=+y px t ，
∵()()4316D T -，，，，∴346p t p t =+⎧⎨-=+⎩
，解得39p t =⎧⎨=-⎩， ∴直线DT 的解析式为39y x =-，令0x =，得9y =-．∴()09Q -，
． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合、待定系数法求函数解析式、二次函数的最值问题、直线与x 轴的交点、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识并正确添加辅助线是
解题的关键．。