2022-2023学年广东省潮州市高一下学期期末联考数学试题【含答案】

2022-2023学年广东省潮州市高一下学期期末联考数学试题
一、单选题
1．已知集合{}
{}2
4,lg 0A y y x B x x ==-=>，则()R A B ⋂=ð（
）A ．[]2,1-B ．(]0,1C ．[]
0,1D ．[]
2,0-【答案】C
【分析】根据给定条件，求出函数的值域化简集合A ，解对数不等式化简集合B ，再利用补集、交集的定义求解作答.
【详解】函数24y x =-中，2044x ≤-≤，解得02y ≤≤，于是[]0,2A =，解不等式lg 0x >，得1x >，即(1,)B =+∞，则R (,1]B =-∞ð，所以()[]R 0,1A B ⋂=ð.故选：C 2．已知复数2023i 13i 2i
z =+-，则8z 的共轭复数为（
）
A ．22i -
B ．22i
+C ．11i
44
-+D ．11i
44
--【答案】B
【分析】根据给定条件，利用i 的性质、复数的模及复数除法运算求出复数z 和8z ，再根据共轭复数的概念求解.【详解】因为()()()2023i 22i i i 22i 11i 22i 22i 22i 844
13i 2i
z -+--=
=
===---++-，则1188i 22i 44z ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
，
所以8z 的共轭复数为22+i.故选：B.
3．端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来广州旅游的概率分别是213
,,345
，假定3人的行
动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为（）
A ．
110
B ．
35
C ．
23
D ．
910
【答案】D
【分析】利用相互独立事件的概率公式求出没有人来广州旅游的概率，再利用对立事件的概率公式求解即可.
【详解】依题意，3人中没有人来广州旅游的概率为2131
(1)(1)(1)34510
-⨯-⨯-=，
所以这段时间内至少有1人来广州旅游的概率为：1911010
-=.故选：D
4．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然.更舒适，“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点.如图，分别用
,,,A B C D 表示黄金分割点.若照片长､宽比例为4:3，设CAB α∠=，则
1cos2tan sin2α
αα
+-=（
）
A ．18
-
B ．
18
C ．712
-
D ．
712
【答案】D
【分析】由题意得到3
tan 4
α=，结合二倍角公式及同角三角函数关系求出答案.【详解】由题意得0.618310.6181BC =⨯
++，0.618
410.6181
AB =⨯++，故3tan 4BC AB α=
=，所以21cos22cos 1437
tan tan tan sin22sin cos tan 3412
ααααααααα+-=-=-=-=.
故选：D
5．如图，在ABC 中，AD AB ⊥，3BC BD = ，1AD = ，则AC AD ⋅=
A ．23
B ．
32
C ．
33
D ．3
【答案】D
【详解】∵3AB BC AB B AC D =+=+
，∴(3)3A AC AD AD AD AD B BD AB BD ⋅=+⋅=⋅+⋅ ，
又∵AB AD ⊥，∴0AB AD ⋅=uuu r uuu r
，
∴
33cos 3cos 33AC AD BD AD BD AD ADB BD ADB AD ⋅=⋅=⋅∠=⋅∠==，故选D ．
6．已知三棱锥S ABC -所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若2,120SC AB AC BAC ===∠=︒，则球O 的体积为（
）
A ．
205π3
B ．
32π3
C ．
20π3
D ．
325π
3
【答案】A
【分析】求出ABC 外接圆半径，再利用球的截面小圆性质求出球半径作答.【详解】在ABC 中，2,120AB AC BAC ==∠=︒，由余弦定理得
2222222cos12023BC =+-⨯⨯︒=，
令ABC 外接圆圆心1O ，则1OO ⊥平面ABC ，且122sin120BC
O C =
=︒
，
而SC ⊥平面ABC ，因此1//SC OO ，取SC 中点D ，连接OD ，有OD SC ⊥，又1O C ⊂平面ABC ，即有1SC O C ⊥，1//OD O C ，于是四边形1CDOO 为平行四边形，则12OD O C ==，球O 的半径225R OD CD =+=，体积为334π4π205π
(5)333
V R =
=⨯=
.
故选：A
7．已知P 是ABC ∆所在平面上一点，满足2PA PB PC AB ++=
.若6ABC S ∆=，则PAB S ∆=.
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
【答案】C
【详解】由()
22PA PB PC AB PB PA ++==- ，得3PA PB PC CB =-=
.
故1
23
PAB ABC S S ∆∆==.选C.
8．已知1011,1112,910m m m a b ==-=-则（）A ．0a b >>B ．0
a b >>C ．0
b a >>D ．0b a
>>【答案】A
【分析】根据指对互化可得lg11
lg10
m =
，再利用基本不等式与换底公式可得11log 12m >与9log 10m <，从而利用指数函数的单调性即可得解．【详解】因为1011m =，所以lg11
lg11lg10
m ==
，因为()2
2
2
2lg10lg12lg120lg121lg10lg12lg11222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<=<= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以
lg11lg12
lg10lg11
>，则11log 12m >，所以11log 12111211120m a =->-=；
因为()2
2
2
2lg 9lg11lg 99lg100lg 9lg11lg10222+⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<=<= ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，所以
lg11lg10
lg10lg 9
<，则9log 10m <，所以9log 109100910m b <=--=；综上，0a b >>.故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握()()1log log 12n n n n n ->+>，从而得到11log 12m >与9log 10m <，由此得解.
二、多选题
9．若()0P A >，()0P B >，则下列说法正确的是（
）
A ．若事件,A
B 相互独立，则事件,A B 也互斥B ．若事件,A B 相互独立，则事件,A B 不互斥
C ．若事件,A B 互斥，则事件,A B 也相互独立
D ．若事件,A B 互斥，则事件,A B 不相互独立【答案】BD
【分析】利用互斥事件与独立事件的概率公式，对各选项逐一分析判断即可.
【详解】对于AB ，若事件,A B 相互独立，则()()()0P AB P A P B =≠，所以事件,A B 不互斥，故A 错误，B 正确；
对于CD ，若事件,A B 互斥，则()0P AB =，又()()0P A P B >，所以()()()P AB P A P B ≠，则事件,A B 不相互独立，故C 错误，D 正确.故选：BD.
10．已知0,0a b >>，且221a b +=，则（
）
A ．2a b +≤
B ．()55
111
a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭
C ．
11
22a b
+≥D ．1ab a b
+<+【答案】ABC
【分析】利用基本不等式与“1”的妙用，可判断ABC ，解析过程要注意等号成立的条件；利用作差法可判断D.
【详解】对于A ，因为0,0a b >>，221a b +=，
所以()()
2
22
22a b a b +≤+=，则2a b +≤，
当且仅当2
2
a b ==
时，等号成立，故A 正确；对于B ，因为0,0a b >>，221a b +=，所以()()
55552
5522
2222112220a b a b a b a b a b a b a b b a b a
⎛⎫
++-+=+-≥⋅- ⎪⎭
=⎝，当且仅当55a b b a =，即2
2
a b ==时，等号成立，故B 正确；
对于C ，因为0,0a b >>，221a b +=，所以2212a b ab +≥=，则12≤ab ，故12ab ≥，当且仅当2
2
a b ==时，等号成立，
所以
111222a b ab +≥≥，当且仅当2
2
a b ==
时，等号成立，故C 正确；对于D ，因为0,0a b >>，221a b +=，所以01a <<，01b <<，则()()1110ab a b a b +--=-->，即1ab a b +>+，故D 错误.故选：ABC.
11．已知定义在R 上的函数()f x ，对于给定集合A ，若12,R x x ∀∈，当12x x A -∈时都有()()12f x f x A -∈，则称()f x 是“A 封闭”函数，则下列命题正确的是（
）
A ．()3
f x x =是“[]1,1-封闭”函数
B ．定义在R 上函数()f x 都是“{}0封闭”函数
C ．若()f x 是“{}1封闭”函数，则()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*
N k ∈D ．若()f x 是“[],a b 封闭”函数()*
,N a b ∈，则()f x 在区间[],a b 上单调递减
【答案】BC
【分析】特殊值122,1x x ==判断A ；根据定义及函数的性质判断B ；根据定义得到R x ∀∈都有
(1)()1f x f x +=+，再判断所给定区间里是否有22()()f x k f x k +-=成立判断C ；举例说明判断D 作
答.
【详解】对于A ：当122,1x x ==时，121[1,1]x x -=∈-，而12()()817[1,1]f x f x -=-=∉-，A 错误；对B ：对于集合{}0，12,R x x ∀∈使120x x -=，即12x x =，必有12()()0f x f x -=，所以定义在R 上的函数()f x 都是“{}0封闭”函数，B 正确；对C ：对于集合{}1，12,R x x ∀∈使{}121x x -∈，则121x x =+，
而()f x 是“{}1封闭”函数，则22(1)()1f x f x +-=，即R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，对于集合{}k ，12,R x x ∀∈使{}12x x k -∈，则12x x k =+，*N k ∈，
而22()(1)1f x k f x k +=+-+，22(1)(2)1f x k f x k +-=+-+，…，22(1)()1f x f x +=+，所以()()()()()()2222221112f x k f x k f x f x k f x k f x k +++-+++=+-++-+++ ，
即22()()f x k f x k +=+，故21()()f x f x k -=，()f x 一定是“{}k 封闭”函数()*
N k ∈，C 正确；
对D ，函数()f x x =，集合[1,2]A =，12,R x x ∀∈，当[]121,2x x m -=∈时，
()()[]12121,2f x f x x x m -=-=∈，则函数()f x 是“[1,2]封闭”函数，
而函数()f x x =是R 上的增函数，D 错误.故选：BC
【点睛】关键点睛：对于C ，根据给定的条件得到R x ∀∈都有(1)()1f x f x +=+，R x ∀∈有()()f x a f x b +=+恒成立，利用递推关系及新定义判断正误.
12．如图，已知正三棱台111ABC A B C -的上、下底面边长分别为2和3，侧棱长为1，点P 在侧面11
BCC B
内运动（包含边界），且AP 与平面11BCC B 所成角的正切值为6，则（
）
A ．CP 长度的最小值为
3
2
B ．不存在点P ，使得⊥AP BC
C ．存在点P ，存在点11Q B C ∈，使得1//AP A Q
D ．所有满足条件的动线段AP 形成的曲面面
积为
7π3
【答案】BCD
【分析】将正三棱台侧棱延长补成正三棱锥，求出点A 到平面1BCC B 的距离即可确定点P 的运动轨迹，再逐项分析即可.
【详解】依题意，延长正三棱台侧棱相交于点O ，取11B C 中点D ，BC 中点E ，连接,,AD DE AE ，则有OA OB OC ==，
显然DE 的延长线必过点O 且11,DE B C DE BC ⊥⊥，过点D 作11//,//DF C C DG B B ，则四边形1DFCC 是边长为1
的菱形，如图，
在OBC △中，
111111B C OC OC BC OC OC C C ==+，即112
31
OC OC =+，解得12OC =，有11213OC OC C C =+=+=，于是OBC △为边长为3的等边三角形，1π3DFE FDC OCB ∠=∠=∠=，33
2
OE =，有π33sin
1322DE DF =⨯=⨯=
，由ABC 是边长为3的等边三角形且E 为BC 中点，得33
2
=AE ，BC AE ⊥，
在OAE △中，由余弦定理得，22
2
222
33333221cos 233333
222OE AE OA OEA OE AE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯⨯
，
在ADE V 中，由余弦定理得，2
2
2
222
333221cos 23333
222
AD DE AE AD DEA DE AE ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭∠===⨯⨯⨯⨯
，
解得6AD =，即有222AE DE AD =+，则AD DE ⊥，
由,,BC AE BC OE AE OE E ⊥⊥⋂=，得BC ⊥平面AOE ，又AD ⊂平面AOE ，则BC AD ⊥，由BC AD ⊥，AD DE ⊥，BC DE E = ，得AD ⊥平面11BCC B ，因为AP 与平面1BCC B 所成角的正切值为6，即
6AD
DP
=，解得1DP =，22617AP AD DP =+=+=，
所以点P 在平面11BCC B 的轨迹为 11,C F B G
，对于A ：当点P 运动到DC 与 1C F
的交点时CP 有最小值，因为四边形1DFCC 是边长为1且1π
3
FDC ∠=
的菱形，而3DC =，此时31CP DC DP =-=-，A 错误；
对于B ：要使得⊥AP BC ，则点P 必须落在平面ADE 与平面11BCC B 的交线上且1DP =，显然在侧面11BCC B 中不存在这样的点P ，B 正确；
对于C ：当点P 运动到点F 时，连接,AF OF ，OF 交11B C 于点Q ，连接1AQ ，由于平面111A B C //平面ABC ，
所以//AF 平面111A B C ，又AF ⊂平面AFO ，平面AFO ⋂平面111A B C 1A Q =，所以1
//AF AQ ，所以存在点P ，存在点11Q B C ∈，使得1//AP A Q ，C 正确；对于D ：设 1
C F 的长度为l ，则πππ1333
l DP ==⨯=，动线段AP 形成的曲面是以点D 为圆心，1为半径的圆为底面圆，母线长为7的圆锥侧面的一部分，其展开图为两个面积相等的扇形，设其中一个的面积为S ,则有11π7π
72236
S l AP =⨯⨯=⨯⨯=
，因此所有满足条件的动线段AP 形成的曲面面积为7π7π
2263
S =⨯
=
，D 正确.
故选：BCD
【点睛】关键点睛：符合某个条件的动点位置问题，利用几何图形，探讨满足给定条件的点所在区域是解题的关键.
三、填空题
13．若非零向量,a b 满足||2|||3|a b a b ==- ，则,a b
夹角的余弦值为
．
【答案】
3
4
/0.75【分析】利用给定等式，结合数量积的运算律求出a b ⋅
的表达式，再利用向量夹角公式计算作答.
【详解】由||2||a b = ，|||3|a a b =- ，得222
2(3)69a a b a a b b =-=-⋅+ ，则232
a b b ⋅= ，
因此22332cos ,4||||2||b a b a b a b b ⋅〈〉=== ，
所以,a b 夹角的余弦值为34
.
故答案为：
34
14．采用简单随机抽样从含15个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，个体a 前两次末被抽到，第三次被抽到的概率为．
【答案】
115
【分析】根据简单随机抽样的特点，结合等可能事件的性质计算作答.
【详解】依题意，由等可能事件的性质，个体a 每次被抽到的概率均相等，均为115
，所以个体a 前两次末被抽到，第三次被抽到的概率为115
.故答案为：
115
15．已知()f x 是定义R 上的奇函数，且()f x 在[]0,1上单调递减，且()1f x +为偶函数，若()f x m =在[]0,6上恰好有4个不同实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++=．
【答案】12
【分析】由题设可得()f x 是周期为4，且关于1x =对称的奇函数，从而判断得()f x 在[]0,6上的单调情况，再根据()f x 与y m =有4个交点及函数的对称性即可得解.
【详解】因为()1f x +为偶函数，则(1)(1)-+=+f x f x ，故()(2)f x f x -=+，
又()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()f x f x =--，
所以()(2)f x f x =-+，故(2)(4)f x f x +=-+，即有()(4)f x f x =+，所以()f x 是周期为4，且关于1x =对称的奇函数，又()f x 在[]0,1上单调递减，
结合上述分析知：()f x 在[1,3]上递增，[3,5]上递减，[5,6]上递增，所以()f x 在[]0,6的大致图像如下：
要使()f x m =在[]0,6上恰好有4个不同的实数根，即()f x 与y m =的图像有4个交点，所以必有两对交点分别关于1,5x x ==对称，则1234212512x x x x +++=⨯+⨯=.故答案为：12.
16．在四面体ABCD 中，,,AB BC BD 两两互相垂直，且2,AB BC E ==是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成的角的余弦值为10
10
，则四面体的体积为．
【答案】83/2
2
3
【分析】根据给定条件，利用几何法求出BD 长，再利用锥体的体积公式计算作答.【详解】取CD 的中点F ，连接,BF EF ，如图，
因为E 是AC 的中点，则//EF AD ，于是BEF ∠是异面直线AD 与BE 所成的角或其补角，令BD a =，而,,AB BC BD 两两互相垂直，则211422BF CD a =
=+，211422
EF AD a ==+，
在等腰BEF △中，1
22BE AC ==，212102cos 10
4
BE BEF EF
a ∠===
+，解得4a =，
显然AB ⊥平面BCD ，所以四面体的体积为1118
2243263
V BC BD BA =⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=.
故答案为：
8
3
【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决.
四、解答题
17．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10
人．
(1)根据频率分布直方图，求m 的值并估计这m 人年龄的第85百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若有甲（年龄38）
，乙（年龄40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率．【答案】(1)200m =，第85百分位数为38.75；
(2)35
.【分析】（1）根据频率分布直方图求出第1组的频率即可求出m ，再计算第85百分位数作答.（2）由（1）的结论求出第四组和第五组抽取的人数，利用古典概型概率公式计算作答.
【详解】（1）由频率分布直方图得：年龄在[)[)[)[)[]20,25,25,30,30,35,35,40,40,45的频率分别为
0.05,0.35,0.3,0.2,0.1，
于是
10
0.05m
=，解得200m =；显然第85百分位数(35,40)a ∈，由(40)0.040.90.85a -⨯=-，解得38.75a =，所以200m =，第85百分位数为38.75.
（2）由（1）知200m =，则第四组有2000.240⨯=人，第五组有2000.120⨯=人，又分层抽样的抽样比是
20120010
=，则需要从第四组抽取140410⨯=人，第五组抽取1
20210⨯=人，
不妨设除甲乙外的四人为,,,A B C D ，于是从第四组和第五组被抽到的使者中抽取2人的所有情况为：甲A ，甲B ，甲C ，甲D ，甲乙，乙A ,乙B ,乙C ,乙D ，,,,,,AB AC AD BC BD CD ，共15种，其中甲乙都没抽到的有,,,,,AB AC AD BC BD CD ，共6种，所以甲､乙两人至少有一人被选上的概率为：63
1155
-
=.18．如图，ABC 是等边三角形，D 是BC 边上的动点（含端点）
，记,BAD ADC αβ∠=∠=．
(1)求2cos cos αβ-的最大值；(2)若1
2,cos 7
BD β==，求ABD △的面积．【答案】(1)3(2)83
3
【分析】（1）由题意得到π3βα=+，利用两角和与差公式将所求化为π3sin 3α⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，从而结合α的
取值范围即可得解；
（2）利用三角函数的平方关系与和差公式求得sin α，再利用正弦定理求得AB ，从而利用三角形面积公式即可得解.【详解】（1）ππ,0,33βαα⎡⎤
=+
∈⎢⎥⎣⎦
，π33π2cos cos 2cos cos cos sin 3sin 3223αβααααα⎛⎫⎛
⎫∴-=-+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，
又ππ2π,,33,3π03αα⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
⎦ ，
故当ππ
3
2α+=
时，即π6
α=时，2cos cos αβ-取得最大值3.（2）由1cos 7β=
，且()0,πβ∈得243
sin 1cos 7
ββ=-=，故πππ33sin sin sin cos cos sin 33314αβββ⎛
⎫=-=-= ⎪⎝
⎭，
在ABD △中，由正弦定理得
sin sin AB BD
ADB α
=∠，又()sin sin π=sin ADB ββ∠=-，
所以43
sin 16
72sin 333
14
AB BD βα=
=⨯=，故1sin 2ABD S AB BD B =
⋅⋅= 11638322323
⨯⨯⨯=.19．在锐角三角形ABC 中，其内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足2A B =.(1)求证：220b bc a +-=；(2)求
3cos b c
b B
+的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)10342,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
【分析】（1）先利用倍角公式得到sin 2sin cos A B B =，再利用正弦定理与余弦定理的边角变换得到
()()220b c bc b a -+-=，再利用锐角三角形排除0b c -=即可得证；
（2）结合（1）中结论得到2cos c b b A =+，从而将问题转化为2
4cos cos B B
+，进而利用角B 的取值范围与对勾函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为2A B =，所以sin sin 22sin cos A B B B ==，
由正弦定理与余弦定理得222
22a c b a b ac
+-=⨯，
所以()2222a c b a c b =+-，整理得()()22
0b c bc b a -+-=，
若0b c -=，即b c =，则B C =，所以4πA B C B ++==，即π4
B =，故π
22
==
A B ，与ABC 是锐角三角形矛盾，故b c ≠，所以220b bc a +-=.
（2）因为220b bc a +-=，所以22a b bc =+，
又2222cos a b c bc A =+-，所以2222cos b c bc A b bc +-=+，故2cos c b b A =+，又因为2A B =，
所以22342cos 4cos 224cos cos cos cos cos s 42cos co B B B b B B B B
b c b b A b B ++====+++
，∵2A B =，πππ,0222A B A B <+<<=<，∴π6π4B <<，∴23
cos 22
B <<
，因为对勾函数()2
4f x x x
=+在23,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
上单调递增，222
4242222f ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⨯+⨯=⎭
=，332103422233f ⎛⎫=⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，∴2103424cos cos 3B B <+
<，∴3cos b c b B +的取值范围为10342,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
．20．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知
45,2,22,3ABC AB BC SA SB ∠=====︒．
(1)求证：SA BC ⊥；
(2)求直线DB 与平面SAB 所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析；(2)
10
10
.【分析】（1）取BC 的中点G ，利用余弦定理求出AC 并证明AG BC ⊥，再利用面面垂直的性质、线面垂直的判定性质推理作答.
（2）利用余弦定理求出BD ，再利用等体积法求出点D 到平面SAB 的距离即可求出.【详解】（1）在四棱锥S ABCD -中，连接AC ，45,2,22ABC AB BC ∠=︒==，由余弦定理得2222
2(22)222242
AC =+-⨯⨯⨯
=，则2AC AB ==，222AC AB BC +=，90CAB ∠=︒，
取BC 中点G ，连接SG ，AG ，则AG BC ⊥，2AG =，因为平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC I 平面ABCD BC =，AG ⊂平面ABCD ，于是AG ⊥平面SBC ，
又SG ⊂平面SBC ，则有AG SG ⊥，221SG SA AG =-=，从而2223SG BG SB +==，
即有SG BC ⊥，而,,SG AG G SG AG =⊂ 平面SAG ，因此BC ⊥平面SAG ，又SA ⊂平面SAG ，所以BC SA ⊥.
（2）由（1）知，SG BC ⊥，平面SBC ⊥平面ABCD ，平面SBC I 平面ABCD BC =，SG ⊂平面SBC ，则SG ⊥平面ABCD ，在ABCD Y 中，135DAB ∠=︒，连接BD ，由余弦定理得2222
2(22)2222()202
DB =+-⨯⨯⨯-=，即25DB =，11
222
ABD ABCD ABC S S S BC AG =
==⋅= ，等腰SAB △底边AB 上的高221
()22
h SA AB =-=，122SAB S AB h =⋅= ，
设D 到平面SAB 的距离为d ，由D SAB S ABD V V --=，得11
33
SAB ABD S d S SG ⋅=⋅ ，
即221d =⨯，解得2d =，设BD 与面SAB 所成角为θ，则210
sin 10
25d DB θ===，所以直线DB 与平面SAB 所成角的正弦值是
1010
.21．已知向量()cos sin ,sin ,(cos sin ,23cos )a x x x b x x x ωωωωωω=-=--
．设函数()()R f x a b x λ=⋅+∈ 的图象关于直线πx =对称，其中,ωλ为常数，且1,12ω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
．
(1)求函数()f x 的最小正周期；
(2)若()y f x =的图象经过点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭，求函数()f x 在区间π3π,105⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围．
【答案】(1)
6π
5
(2)32,22⎡⎤---⎣⎦
【分析】（1）通过两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的解析式，再利用函数的对称性求出ω，从而得解．
（2）通过x 的范围求出相位的范围，利用三角函数的性质求解函数的最值即可．【详解】（1）向量
()cos sin ,sin ,(cos sin ,23cos )a x x x b x x x ωωωωωω=-=-- ，
所以22()sin cos 23sin cos f x a b x x x x λωωωωλ
=⋅+=-+⋅+
cos 23sin 2x x ωωλ=-++π
2sin(2)6x ωλ=-+，
因为()f x 的图象关于直线πx =对称，所以π
sin(2π)16
ω-=±，所以ππ2ππ(Z)62k k ω-
=+∈，即1
(Z)23
k k ω=+∈．又1,12ω⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以1k =时，56ω=，则()5π2sin()36f x x λ=-+，
所以()f x 的最小正周期是
2π6π
553
T =
=．（2）由（1）可知5π()2sin()3
6
f x x λ=-+，
若()y f x =的图像经过点π,04⎛⎫
⎪⎝⎭
，则5ππ2sin()0346λ⨯-+=，解得2λ=-，
所以5
π()2sin()236
f x x =--，由π3π
105
x -
≤≤，得π5π5π3366x -≤-≤，
所以35π
sin()1236
x -
≤-≤，得5π322sin()22236x --≤--≤-，
故函数()f x 在区间π3π,105⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的取值范围为32,22⎡⎤---⎣⎦．22．中国正在由“制造大国”向“制造强国”迈进，企业不仅仅需要大批技术过硬的技术工人，更需要努力培育工人们执著专注、精益求精、一丝不苟、追求卓越的工匠精神．这是传统工艺革新技术的重要基石．如图所示的一块木料中，四边形ABCD 是正方形，1SA SB SC SD AB =====
．
(1)要经过点,B D 将木料锯开，使得截面平行于侧棱SA ，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．
(2)已知点E 是侧棱SC 上的动点，
要经过点E 将木头锯开，使得截面垂直于侧棱SC 且截面面积最大，在木料表面应该怎样画线，请说明理由并计算截面面积．【答案】(1)SC 的中点与点,B D 相连，理由见解析，截面面积为
2
4
；(2)顺次连接SC 上靠近S 的三等分点，,SB AB 上靠近B 的三等分点，,SD AD 上靠近D 的三等分点，
理由见解析，最大面积
23
【分析】（1）取SC 的中点F ，利用线面平行的判定推理，求出截面面积作答.
（2）根据给定条件，证明SC ⊥平面BDF ，再利用面面平行确定截面与棱的交点位置，求出截面面积的函数关系，求出最大值作答.
【详解】（1）取SC 的中点F ，连接,BF DF ，于是,BF DF 即为所画线.连接AC BD O = ，连接OF ，由四边形ABCD 是正方形，得O 为AC 的中点，则有//OF SA ，而OF ⊂平面BFD ，SA ⊄平面BFD ，因此//SA 平面BFD ，所以BFD △是所作截面，由1SA SB SC SD AB =====，得11
,222
OF SA BD ===，
显然,SBC SDC 都是正三角形，有BF DF =，则OF BD ⊥，所以截面面积12
24
BFD S BD OF =
⋅=
.（2）由（1）知，,BF SC DF SC ⊥⊥，而BF DF F = ，,BF DF ⊂平面BFD ，则SC ⊥平面BFD ，因此过点E 垂直于SC 的截面与截面BFD 平行或重合，显然点E 在CF 上（不含端点）时，截面面积小于2
4
，不可能最大，当点E 在SF 上（不含端点）时，令
(01)SE
x x SF
=<<，此时截面交,,,SB AB AD SD 分别于点,,,M N Q P ，平面//EMNQP 平面BFD ，平面EMNQP 平面SBC ME =，平面BFD ⋂平面SBC BF =，因此//ME BF ，同理//,////PE DF MP BD NQ ，由//SA 平面BFD ，SA ⊄平面EMNQP ，得//SA 平面EMNQP ，而平面EMNQP 平面SAB MN =，SA ⊂平面SAB ，则//MN SA ，同理//PQ SA ，
于是//PQ MN ，四边形MNQP 为平行四边形，又,//BD OF OF SA ⊥，则BD SA ⊥，即有MN MP ⊥，MNQP 为矩形，
显然
ME SE PE SP MP BF SF DF SD BD ====，则D MEP BF ∽，22()MEP BFD S ME x S BF == ，2
24
MEP S x = ，由1MN BM EF
x SA SB SF
===-，得1MN x =-，而2MP x =，矩形MNQP 面积2(1)MNQP S x x =-，从而截面EMNQP 的面积
2
2223243222
2(1)()()4
43433
MNQP MEP y S S x x x x x x =+=
+-=-
-=--+
，当2
3
x =
时，max 23y =，显然2234
>
，于是当23SE SF =时，截面面积最大，所以点E 是SC 上靠近S 的三等分点，再与,SB AB 上靠近B 的三等分点，,SD AD 上靠近D 的三等分点，
顺次连接的线段即为所画线，此时截面面积最大，最大值为
23
.【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.。