山东省潍坊市新高考数学的多选题及答案

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一、函数的概念与基本初等函数多选题

1.已知函数()2,0

21,0

x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩,则( )

A .()f x 的值域为()1,-+∞

B .当0a ≤时,()()

2

1f x f x >+

C .当0a >时,存在非零实数0x ,满足()()000f x f x -+=

D .函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】

A .考虑2a =时的情况,求解出各段函数值域再进行判断;

B .先根据条件分析()f x 的单调性,再根据21x +与x 的大小关系进行判断;

C .作出

222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象,根据图象的对称性进行分析判断;

D .根据条件先分析出()0,1a ∈,再根据有三个零点确定出a 满足的不等式,由此判断出

a 是否有解,并判断结论是否正确.

【详解】

A .当0x >时,21011x

y -=->-=-,当0x ≤时,2

22

24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝

⎭,取2a =,此时()2

111y x =+-≥-,

所以此时的值域为[)1,-+∞,故A 错误;

B .当0a ≤时,2

22

24a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝

⎭的对称轴为02a x =-≥,所以()f x 在

(],0-∞上单调递减,

又因为()f x 在()0,∞+上单调递减,且200021a -+⨯=-,所以()f x 在R 上单调递减,

又因为2

2

131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝

⎭,所以21x x +>,所以()()

21f x f x >+,故B 正

确;

C .作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示:

由图象可知:22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称,且2

y x ax =-+与21x y -=-相

交于()00,x y ,

因为点()00,x y 在函数2

y x ax =-+的图象上,所以点()00,x y --在函数2

y x ax =+的图

象上,

所以()()()00000f x f x y y +-=+-=,

所以当0a >时,存在0x 使得()()000f x f x -+=,故C 正确;

D .由题意知:()f x a =-有三个根,所以()f x 不是单调函数,所以0a >, 又因为()2

11,0x

y -=-∈-,所以()1,0a -∈-,所以()0,1a ∈,

且22

,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭

,若方程有三个根,则有2

4a a ->-,所以4a >或0a <,这与()0,1a ∈矛盾,

所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点,故D 错误, 故选:BC. 【点睛】

思路点睛:函数与方程的综合问题,采用数形结合思想能高效解答问题,通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题,常见的图象应用的命题角度有: (1)确定方程根的个数; (2)求参数范围; (3)求不等式解集; (4)研究函数性质.

2.对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠,有如下结论,当()lg f x x =时,上述结论中正确结论的序号是( )

A .()()()1212f x x f x f x +=⋅

B .()()()1212f x x f x f x ⋅=+

C .1212

()()f x f x x x -->0

D .()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<

⎪⎝⎭

【答案】BC 【分析】

由对数的运算性质判断A ,B ,由对数函数的单调性判断C ,由对数的运算结合基本不等式判断D . 【详解】 对于A ,()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅,即()()()1212f x x f x f x +≠⋅,故A 错误; 对于B ,()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=,故B 正确; 对于C ,()lg f x x =在定义域中单调递增,()()

1212

0f x f x x x -∴

->,故C 正确;

对于D ,

()1212,0x x x x >≠

,利用基本不等式知

1122lg 22x x x x f +⎛⎫

> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()

(

)221121lg lg lg 222

f x f x x x x x +=

==+()()12122

2f x f x x x f ++⎛⎫>

⎪⎝⎭

,故D 错误; 故选:BC 【点睛】

关键点点睛:本题考查命题的真假判断,考查对数函数的性质,考查基本不等式的应用,

解决本题的关键点是将对数形式化为根式,即

2

1lg lg 2

x x =+合基本不等式放缩得出答案,并验证取等条件,考查了学生逻辑思维能力和计算能力,属于中档题.

3.已知函数()22x f x x =+-的零点为a ,函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ,则( ) A .2a b += B .22log 2a

b +=

C .223a b +>

D .01ab <<

【答案】ABD 【分析】

在同一坐标系中分别作出函数2x

y =,2log y x =,2y x =-的图象,图像的交点即为函

数的零点,反函数的性质知A ,B 关于点()1,1对称,进而可判断A ,B ,D 正确. 由函数

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